LEZIONE 10
10.1. Sfere nello spazio.
In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici “non lineari”, circonferenze e sfere nello spazio A3 . Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono
del tutto analoghe alle proprietà delle sfere nello spazio ci limiteremo ad esaminare
quest’ultimo caso.
Definizione 10.1.1. Sia C ∈ A3 , % ∈ R, % > 0. Definiamo sfera S(C, %) di centro
C e raggio % il luogo dei punti P ∈ A3 tali che d(P, C) = %.
z
S(C,ρ)
C
ρ
O
y
x
Figura 10.1
Poiché entrambe le quantità ai due membri dell’equazione d(P, C) = % sono
positive, questo è equivalente alla condizione d(P, C)2 = %2 . Esprimiamo tale
condizione in coordinate: se C = (xC , yC , zC ) ∈ A3 , si ottiene l’equazione cartesiana della sfera nello spazio
(x − xC )2 + (y − yC )2 + (z − zC )2 = %2 .
Svolgendo i conti otteniamo la cosiddetta equazione della sfera di centro C =
(xC , yC , zC ) e raggio %
(10.1.2)
2
2
x2 + y 2 + z 2 − 2xC x − 2yC y − 2zC z + x2C + yC
+ zC
− %2 = 0 :
ciò significa che
2
2
S(C, %) = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 − 2xC x − 2yC y − 2zC z + x2C + yC
+ zC
− %2 = 0 }.
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1
2
10.1. SFERE NELLO SPAZIO
Esempio 10.1.3. La sfera di centro C = (0, −2, 1) e raggio % = 1 ha equazione
(x − 0)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 − 1 = x2 + y 2 + z 2 + 4y − 2z + 4 = 0.
Si noti che, essendo noi interessati al luogo dei punti che annullano l’Equazione
(10.1.2) e non all’equazione stessa, possiamo ad essa sostituire un qualsiasi suo
multiplo non nullo: quindi, per ogni λ ∈ R non nullo, abbiamo anche
2
2
S(C, %) = { (x, y, z) | λ(x2 +y 2 +z 2 −2xC x−2yC y−2zC z+x2C +yC
+zC
−%2 ) = 0 }.
Esempio 10.1.4. Ricordando l’Esempio 10.1.3, osserviamo che anche equazione
−2x2 − 2y 2 − 2z 2 − 8y + 4z − 8 = 0
è un’equazione cartesiana della sfera di centro C = (0, −2, 1) e raggio % = 1.
Si ha, dunque, un’equazione di grado 2 nelle coordinate del punto generico. Tale
equazione ha due caratteristiche principali. La prima è che manca dei monomi
“misti” (cioè in xy, xz, yz). La seconda è che i coefficienti dei termini quadratici
sono non nulli ed uguali fra loro.
Viceversa supponiamo di avere un’equazione di grado 2 con tali proprietà.
A patto di dividere per il coefficiente comune dei termini quadratici, abbiamo
un’equazione della forma
x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 :
(10.1.5)
ci domandiamo se l’Equazione (10.1.5) rappresenta una sfera e, in caso affermativo,
come calcolare il suo centro ed il suo raggio.
Confrontando le Equazioni (10.1.2) e (10.1.5) deduciamo che dovrebbero esistere
xC , yC , zC ∈ R e % ∈ R positivo per cui valgano le relazioni
α = −2xC ,
β = −2yC ,
γ = −2zC ,
2
2
δ = x2C + yC
+ zC
− %2 ,
quindi
β
α
yC = − ,
xC = − ,
2
2
Abbiamo perciò la seguente
γ
zC = − ,
2
4%2 = α2 + β 2 + γ 2 − 4δ.
Proposizione 10.1.6. L’insieme
S = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 }
è una sfera in A3 se e solo se α2 + β 2 + γ 2 − 4δ > 0.
Se ciò accade, risulta S = S(C, %) ove
p
α β
γ
α2 + β 2 + γ 2 − 4δ
C = − ,− ,−
,
%=
.
2
2
2
2
Per semplicità, qualora valga la condizione α2 +β 2 +γ 2 −4δ < 0 per l’Equazione
(10.1.5), si dice che essa rappresenta una sfera immaginaria (o, anche, una sfera
di raggio immaginario o a punti immaginari) o che l’insieme
S = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 }
che con tale condizione sui coefficienti è l’insieme vuoto, è una sfera immaginaria
(o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari).
LEZIONE 10
3
Esempio 10.1.7. Si consideri l’equazione
x2 + y 2 + z 2 + 3x − 2y + 1 = 0.
Poiché 32 + (−2)2 − 4 · 1 = 3 > 0 tale equazione è l’equazione
di una sfera S in
√
A3 . Il suo centro è C = (−3/2, 1, 0), il suo raggio % = 3/2.
Invece l’equazione
x2 + y 2 + z 2 + 3x − 2y + 2 = 0
non rappresenta una sfera nel senso della Definizione 10.1.1 poiché 32 + (−2)2 −
4 · 2 = −1 < 0: rappresenta, invece, una sfera immaginaria.
10.2. Circonferenze nello spazio.
Definizione 10.2.1. Sia π ⊆ A3 un piano, C ∈ π, % ∈ R, % > 0. Definiamo
circonferenza C(π, C, %) del piano π, di centro C e raggio % il luogo dei punti P ∈ π
tali che d(P, C) = %.
z
ρ
S
C
C
O
y
x
Figura 10.2
Per rappresentare la circonferenza C(π, C, %) ci possono essere vari modi. Il più
comodo è quello di pensarla come intersezione del piano π con S(C, %). Cioè se π
ha equazione
ax + by + cz = d
e C = (xC , yC , zC ), si ottengono le seguenti cartesiane per C(π, C, %)
(10.2.2)
ax + by + cz = d
(x − xC )2 + (y − yC )2 + (z − zC )2 = %2 .
4
10.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO
Esempio 10.2.3. Nel piano π di equazione x + y + z = 3 si consideri il punto
C = (1, 1, 1). Allora la circonferenza del piano π di centro C e raggio % = 1 ha
equazioni cartesiane
x+y+z =3
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z + 2 = 0.
Come nel caso della sfera ci poniamo ora il problema inverso a quello della
rappresentazione. Cioè dato il sistema della forma
(10.2.4)
ax + by + cz = d
x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0,
ci domandiamo se esso rappresenta una circonferenza e, in caso affermativo, come
calcolare il suo centro ed il suo raggio (il piano d’appartenenza è, evidentemente,
quello d’equazione ax + by + cz = d).
Chiaramente, affinché il Sistema (10.2.4) rappresenti una circonferenza è, innanzi tutto, necessario che l’equazione x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 rappresenti
una sfera S(C, %) di centro C e raggio %. Se ciò accade, allora occorre e basta che
il piano π di equazione ax + by + cz = d e la sfera S(C, %) abbiano punti in comune:
ciò accade se e solo se C ha distanza d(C, π) da α minore di %.
S(C,ρ)
C
ρ
d(C,α)
C'
ρ'
α
Figura 10.3
Sia ora C = π ∩ S(C, %). In tale caso il centro della circonferenza CalC è la
proiezione ortogonale C 0 sul piano π: invece è il raggio %0 di C soddisfa la relazione
%2 = %02 + d(π, C)2 , da cui si deduce
(10.2.5)
%0 =
p
%2 − d(π, C)2 .
Se, invece, d(C, π) > %, il Sistema (10.2.4) non ha soluzioni, cioè π ∩S(C, %) = ∅.
LEZIONE 10
5
S(C,ρ)
ρ
C
α
d(C,α)
C'
Figura 10.4
Esempio 10.2.6. Si consideri il piano πh d’equazione x + y + z = 1 + h, h ∈ R.
Sia poi S la sfera di equazione
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z − 1 = 0.
Vogliamo individuare i valori di h ∈ R tali che S ∩ πh sia una circonferenza. A tale
scopo osseriamo che S ha centro nel punto C = (1, 1, 1) e raggio % = 2. Poiché
d(C, πh ) =
|2 − h|
3
segue che S ∩ πh è una circonferenza se e solo se |2 − h| < 6: svolgendo i calcoli
ciò significa che S ∩ πh è una circonferenza se e solo se h ∈] − 4, 8[.
Siano Ch e %h rispettivamente il centro ed il raggio di tale circonferenza, cioè
C(πh , Ch , %h ) = S ∩ πh . Per determinare %h utilizziamo la Formula (10.2.5):
otteniamo
s
√
2
2
−
h
32 + 4h − h2
%h = 22 −
=
.
3
3
Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del centro Ch si noti che la retta u
per C e perpendicolare a πh ha equazioni parametriche


 x=1+t
y =1+t


z = 1 + t.
Dunque
Ch = u ∩ πh =
1+h 1+h 1+h
,
,
3
3
3
.
6
10.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO
Più interessante è il caso in cui d(C, π) = %. In questo caso si ha che l’intersezione π ∩ S(C, %) = P0 si riduce ad un solo punto. In questo caso π è l’unico piano
passante per P0 e perpendicolare a P0 − C.
S(C,ρ)
ρ
C
α
P0
Figura 10.5
Introduciamo allora la seguente
Definizione 10.2.7. Sia data la sfera S(C, %) ⊆ A3 e sia P0 ∈ S(C, %). Definiamo
piano tangente a S(C, %) nel punto P0 , l’unico piano per P0 perpendicolare a P0 −C.
Una retta tangente a S(C, %) in P0 è una qualsiasi retta passante per P0 e
contenuta nel piano tangente a S(C, %) nel punto P0 .
Si noti che il piano tangente è lo stesso per tutte le sfere passanti per P0 ed
aventi centro sulla retta per P0 e C: infatti il centro di tali sfere ha coordinate
(x0 + t(xC − x0 ), y0 + t(yC − y0 ), z0 + t(zC − z0 )) per un opportuno t ∈ R non
nullo, dunque il piano tangente in P0 ha in tal caso equazione
t(x0 − xC )(x − x0 ) + t(y0 − yC )(y − y0 ) + t(z0 − zC )(z − z0 ) = 0
cioè, semplificando t,
(x0 − xC )(x − x0 ) + (y0 − yC )(y − y0 ) + (z0 − zC )(z − z0 ) = 0.
Sia ora C una circonferenza intersezione del piano π. È solo questione di facili
conti verificare che i piani tangenti in P0 alle sfere S contenenti C passano tutti
per una stessa retta r ⊆ π. Tale retta interseca C solo in P0 ed ha la proprietà di
essere perpendicolare al vettore P0 − C 0 ove C 0 ∈ π è il centro di C.
√
Esempio 10.2.8. Siano C = (1, 1, 1), % = 3. Allora S(C, %) ⊆ A3 ha equazione
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z = 0
e contiene P0 = (2, 2, 2). Il piano tangente a S(C, %) in P0 ha dunque equazione
(2 − 1)(x − 2) + (2 − 1)(y − 2) + (2 − 1)(z − 2) = 0,
LEZIONE 10
cioè x + y + z = 6.
La retta
7


 x=2+t
y = 2 − 2t


z = 2 + `t
è tangente a S(C, %) in P0 se e solo se ` = 1.
Osservazione 10.2.9. Un caso interessante di circonferenze sono quelle contenute
nel piano xy, cioè quelle le cui equazioni cartesiane sono della forma
z=0
(10.2.9.1)
x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0,
(si veda il Sistema (10.2.4)). Il Sistema (10.2.9.1) è equivalente a
z=0
(10.2.9.2)
x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0,
che rappresenta la circonferenza data come intersezione del piano xy con un
cilindro circolare avente asse perpendicolare a tale piano. Spesso si parla allora
della circonferenza nel piano di equazione
x2 + y 2 + αx + βy + δ = 0.
Quanto detto sopra per le sfere continua a valere, con le dovute modifiche,
per le circonferenze nel piano xy (calcolo del centro e del raggio, circonferenze
immaginarie, calcolo della retta tangente, etc.).
10.3. Intersezione di due sfere.
Si considerino ora due sfere in A3 , diciamo S(C1 , %1 ) e S(C2 , %2 ). La struttura
dell’intersezione S(C1 , %1 )∩S(C2 , %2 ) è legata strettamente alla distanza d(C1 , C2 ).
Si possono verificare tre casi principali.
Nel primo caso d(C1 , C2 ) > %1 + %2 oppure d(C1 , C2 ) < |%1 − %2 |: le due sfere
non possono avere punti in comune e sono, rispettivamente, esterne o interne l’una
all’altra.
S(C,ρ)
S(C,ρ)
C
C
S(C',ρ')
S(C',ρ')
C'
C'
Figura 10.6
8
10.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE
Nel secondo caso d(C1 , C2 ) = %1 + %2 oppure d(C1 , C2 ) = |%1 − %2 |: le due
sfere hanno esattamente un punto in comune. Si dicono tangenti, rispettivamente,
esternamente o internamente.
S(C,ρ)
S(C,ρ)
C
P0
S(C',ρ')
C
C'
S(C',ρ')
C'
P0
Figura 10.7
Nel terzo caso |%1 − %2 | < d(C1 , C2 ) < %1 + %2 : in questo caso le due sfere hanno
punti in comune
S(C,ρ)
C
C'
S(C',ρ')
Figura 10.8
Tali punti descrivono una circonferenza C avente centro sulla retta che unisce i
punti C1 e C2 . Vogliamo determinarne le equazioni cartesiane.
Si osservi preliminarmente che C1 6= C2 , cioè le due sfere non sono concentriche.
Se le equazioni delle due sfere sono rispettivamente
(10.3.1)
x2 + y 2 + z 2 + α1 x + β1 y + γ1 z + δ1 = 0
x2 + y 2 + z 2 + α2 x + β2 y + γ2 z + δ2 = 0
allora tale condizione si traduce nella disuguaglianza (α1 , β1 , γ1 ) 6= (α2 , β2 , γ2 ).
Le coordinate dei punti di C soddisfano le due equazioni di S(C1 , %1 ) e S(C2 , %2 ),
dunque soddisfano anche l’equazione ottenuta sottraendo membro a membro le due
Equazioni (10.3.1): in particolare le coordinate dei punti di C soddisfano anche
l’equazione di primo grado
(α1 − α2 )x + (β1 − β2 )y + (γ1 − γ2 )z + (δ1 − δ2 ) = 0 :
LEZIONE 10
9
poiché (α1 , β1 , γ1 ) 6= (α2 , β2 , γ2 ) tale equazione rappresenta, nello spazio A3 , un
piano π che contiene C. Dunque possiamo scrivere C = π ∩ S(Ci , %i ). Si noti che
il piano π è perpendicolare a
C1 − C2 = (α1 − α2 )~ı + (β1 − β2 )~ + (γ1 − γ2 )~k 6= ~0.
Definizione 10.3.2. Date le due sfere S1 e S2 non concentriche, rispettivamente
di equazione
x2 + y 2 + z 2 + α1 x + β1 y + γ1 z + δ1 = 0,
x2 + y 2 + z 2 + α2 x + β2 y + γ2 z + δ2 = 0.
Il piano π di equazione
(α1 − α2 )x + (β1 − β2 )y + (γ1 − γ2 )z + (δ1 − δ2 ) = 0
viene detto piano radicale della coppia di sfere S1 e S2 .
Esempio 10.3.3. Si considerino le due sfere S1 e S2 rispettivamente di equazione
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y + 4z + 5 = 0,
x2 + y 2 + z 2 + 2x + 2y − 4z + 1 = 0.
Allora il centro di S1 è C1 = (1, 1, −2), mentre il centro di S2 è C2 = (−1, −1, 2),
quindi d(C1 , C2 ) = 5.
Poiché e %1 = %2 = 1 si deduce che S1 ∩ S2 = ∅: di più le sfere sono esterne
l’una all’altra.
Esempio 10.3.4. Si considerino le due sfere S1 e S2 rispettivamente di equazione
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 4 = 0,
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z + 2 = 0.
Allora il centro
√ di S1 è C1 = (1, 0, 2), mentre il centro di S2 è C2 = (1, 1, 1), quindi
d(C1 , C2 ) = 2. Per quanto riguarda i raggi abbiamo %1 = %2 = 1. Concludiamo
che C = S1 ∩ S2 è una circonferenza: calcoliamone centro e raggio. A tale scopo
osserviamo prima che il piano radicale π, che contiene C, ha equazione
y − z + 1 = 0.
La retta passante per C1 e C2 ha equazioni


x=1
y =1+t


z = 1 − t.
10
10.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE
Concludiamo che il centro
√ di C è C = (1, 1/2, 3/2). Per quanto riguarda il raggio
%, poiché d(C1 , π) = 1/ 2, segue che
q
√
% = %21 − d(C1 , π)2 = 1/ 2.
Quanto visto sopra circa l’intersezione di due sfere può essere utile per la
determinazione di sfere che soddisfano certe proprietà come, per esempio, contenere una circonferenza data o essere tangenti ad un piano dato.
Esempio 10.3.5. Si consideri la circonferenza C di equazioni
x2 + y 2 + z 2 − 7 = 0
x + y + z − 3 = 0.
Una sfera contenente C è perciò S1 di equazione
x2 + y 2 + z 2 − 7 = 0.
Per quanto osservato sopra, ogni altra sfera S contenente C deve avere un’equazione
della forma
x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0
tale che
(x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ) − (x2 + y 2 + z 2 − 7) = λ(x + y + z − 3),
cioè
x2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = x2 + y 2 + z 2 − 7 + λ(x + y + z − 3)
per un’opportuno λ ∈ R.
Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera contenente C e passante per
P0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che
12 + 02 + 02 − 7 + λ(1 + 0 + 0 − 3) = 0,
ovvero λ = −3. Pertanto la sfera cercata ha equazione
x2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z + 2 = 0.
LEZIONE 10
11
Esempio 10.3.6. Si consideri il piano π di equazione
x+y+z−3=0
e sia P0 = (1, 1, 1): si noti che P0 ∈ π. Vogliamo determinare le sfere tangenti
a π in P0 . ogni sfera di questo tipo ha centro in un punto della retta per P0
perpendicolare a π, cioè in un punto Ct avente coordinate (1 + t, 1 + t, 1 + t),
quindi ha equazione della forma
x2 + y 2 + z 2 − 2(1 + t)x − 2(1 + t)y − 2(1 + t)z + 3 + 6t + t2 − %2 = 0
Poiché P0 appartiene a tale sfera si ha necessariamente t2 = %2 . A questo punto
si osserva facilmente che tale equazione si può anche scrivere come
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + λ(x + y + z − 3) = 0
con λ = −2t.
Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera tangente a π e passante per
P0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che
02 + (−1)2 + (−1)2 − 2λ(1 + 0 + 0 − 3) = 0,
ovvero λ = 1. Pertanto la sfera cercata ha equazione
x2 + y 2 + z 2 − x − y − z = 0.