C I R C O N F E R E N Z A ........................................................................................
ESERCITAZIONI SVOLTE
3
Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r ..................................... 3
Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A...................... 3
Equazione della circonferenza conoscendo un suo diametro di estremi A e B ....... 3
Equazione della circonferenza di centro C e tangente all’asse delle ascisse .......... 4
Equazione della circonferenza di centro C e tangente all’asse delle ordinate ........ 4
Equazione della circonferenza di centro C e tangente a una data retta ................ 5
Determinazione delle coordinate del centro e del raggio di una circonferenza ..... 5
Determinazione delle coordinate del centro e del raggio di una circonferenza ..... 5
Tangenti ad una circonferenza ............................................................................. 6
Tangenti ad una circonferenza passanti per un punto .......................................... 6
Tangenti ad una circonferenza parallele ad una data retta .................................. 7
Tangenti ad una circonferenza perpendicolari ad una data retta ......................... 8
ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA
9
Equazione della circonferenza, dato centro e raggio............................................. 9
Coordinate del centro e il raggio della circonferenza ............................................ 9
Circonferenza passante per i punti ........................................................................ 9
Circonferenza noto centro e un suo punto ............................................................ 9
Circonferenza noto centro e retta tangente .......................................................... 9
Circonferenza noti estremi del diametro ............................................................. 10
Tangenti alla circonferenza per un punto ........................................................... 10
Tangenti alla circonferenza parallele ad una retta.............................................. 10
Tangenti alla circonferenza perpendicolari ad una retta ..................................... 10
Risolvi i seguenti esercizi ..................................................................................... 10
Circonferenza contenente un parametro ............................................................ 12
DCR Circonferenza Pagina 1 di 12
CIRCONFERENZA
DEFINIZIONE:
Si dice circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da
un punto detto centro.
EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA
2
 x  2   y    r2
x 2  y 2  ax  by  c  0
Centro della circonferenza:
C  ;  
Raggio della circonferenza:
r
Relazioni fra le due equazioni della circonferenza
a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2
a
b
1
  ,  e r
a 2  b 2  4c
2
2
2
ALTRE FORMULE UTILI
Distanza fra due punti
d
Punto medio
x
2
2
 x1    y 2  y1 
xm 
x 2  x1
2
2
ym 
y 2  y1
2
ax 0  by 0  c
Distanza punto retta
d
Fascio di rette di centro A x 0 ; y 0 
y  y 0  m x  x 0 
Fascio di rette parallele
y  mx  k con m coefficiente angolare noto
a2  b2
Coefficiente angolare della retta passante per due punti
DCR Circonferenza Pagina 2 di 12
m
y 2  y1
x 2  x1
ESERCITAZIONI SVOLTE
Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C 2;1 e r  2 .
2
2
Utilizzando la  x      y     r 2 ricordando che è C ;   e sostituendo i corrispondenti
2
2
valori si ha  x  2   y  1  2 2 da cui x 2  4  4 x  y 2  1  2 y  4 , l’equazione della
circonferenza cercata è x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 .
Oppure ricordando che a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2 si ricava a  4 , b  2 , e
c  4  1  4  1,
sostituendo
in
x 2  y 2  ax  by  c  0 ,
si
ottiene
l’equazione
della
circonferenza cercata che è x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 .
Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C 11
;  e passante per il punto A3;4
Ricordando che per scrivere l’equazione di un circonferenza occorre conoscere centro e raggio,
che in questo caso manca, per calcolarlo, ricordando che la circonferenza passa per il punto A il
raggio è proprio la distanza fra A e C
d
x
2
2
2
2
2
 x1    y 2  y1  ovvero r   3  1   4  1  16  9  25  5
essendo a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2 si ricava a  2 , b  2 , e c  1  1  25  23 ,
sostituendo in x 2  y 2  ax  by  c  0 , si ottiene l’equazione della circonferenza cercata che è
x 2  y 2  2 x  2 y  23  0 .
Equazione della circonferenza conoscendo un suo diametro di estremi A e B
Scrivere l’equazione della circonferenza conoscendo un suo diametro che ha per estremi i punti
A  3;1 e B5;3
Ricordando che il diametro e il doppio della lunghezza del raggio e che il centro della circonferenza
è il punto medio del segmento che fa per estremi punti A e B si ricava no facilmente raggio e
DCR Circonferenza Pagina 3 di 12
coordinate del centro della circonferenza. Ricordando che la distanza fra due punti si calcola con
d
x
2
2
2
 x1    y 2  y1  e il punto medio con x m 
ottiene il raggio r 
x 2  x1
y  y1
e ym  2
, facilmente si
2
2
1
1
1
1
2
 5  3 2   3  1 2 
64  4 
68 
4 * 17 
17  17 e le
2
2
2
2
2
coordinate del centro x m   
x 2  x1 5  3
y 2  y1 3  1

 1 e ym   

 2 . Ricordando le
2
2
2
2
relazioni a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2 si ricava a  2 , b  4 , e c  1  4  17  12 ,
sostituendo in x 2  y 2  ax  by  c  0 , si ottiene l’equazione della circonferenza cercata che è
x 2  y 2  2 x  4 y  12  0 .
Equazione della circonferenza di centro C e tangente all’asse delle ascisse
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C 2;3 e tangente all’asse delle ascisse
Sapendo che la circonferenza è tangente all’asse delle ascisse si ricava facilmente la lunghezza del
raggio che coincide con il valore assoluto dell’ordinata del centro; ovvero: r     3  3 .
Ricordando le relazioni a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2 si ricava a  4 , b  6 , e
x 2  y 2  ax  by  c  0 , si ottiene l’equazione
c  4  9  9  4 , sostituendo in
della
circonferenza cercata che è x 2  y 2  4 x  6 y  4  0
Equazione della circonferenza di centro C e tangente all’asse delle ordinate
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C 4;1 e tangente all’asse delle ordinate
Sapendo che la circonferenza è tangente all’asse delle ordinate si ricava facilmente la lunghezza
del raggio che coincide con il valore assoluto dell’ascissa del centro ovvero: r     4  4 .
Ricordando le relazioni a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2 si ricava a  8 , b  2 , e
c  16  1  16  1, sostituendo in
x 2  y 2  ax  by  c  0 , si ottiene l’equazione della
circonferenza cercata che è x 2  y 2  8 x  2 y  1  0
DCR Circonferenza Pagina 4 di 12
Equazione della circonferenza di centro C e tangente a una data retta
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C 1;2 e tangente alla retta di equazione
y  3x  4
Sapendo che la circonferenza è tangente alla retta la lunghezza del raggio è uguale alla distanza tra
centro della circonferenze e retta tangente, applicando la formula per il calcolo della distanza
punto retta, si ottiene: d  r 
ax 0  by 0  c
a2  b2

3 *  1  2  4
3 2   1
2

324
9 1

9
10
.
Ricordando le relazioni a  2 , b  2  , e c   2   2  r 2 si ricava a  2 , b  4 , e
c  1 4 
81 10  40  81
31

 ,
10
10
10
sostituendo
in
x 2  y 2  ax  by  c  0 ,
l’equazione della circonferenza cercata che è x 2  y 2  2 x  4 y 
si
ottiene
31
0
10
Determinazione delle coordinate del centro e del raggio di una circonferenza
Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza di equazione
x2  y2  4x  6y  7  0
Ricordando che
r

a
4

2,
2
2

b
6
   3 e
2
2
1 2
1
1
1
1
  4 2  6 2  4  7  16  36  28 
a  b 2  4c 
80  * 4 * 5  2 5
2
2
2
2
2
ottenendo coordinate del centro e raggio della circonferenza C2;3 e r  2 5
Determinazione delle coordinate del centro e del raggio di una circonferenza
Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza di equazione
2 x 2  2 y 2  8x  7 y  5  0
Si procede come per l’esercizio precedente dopo aver ridotto l’equazione delle circonferenza a
forma normale, dividendo tutti i termini dell’equazione per 2
2 x 2  2 y 2  8x  7 y  5 
2 2 2 2 8
7
5
7
5
x  y  x  y   x 2  y 2  4x  y   0
2
2
2
2
2
2
2
DCR Circonferenza Pagina 5 di 12
Ricordando che

a
4

 2,
2
2

b
1 7
7
 *  e
2
2 2
4
2
1 2
1
7
51
1
49
1 153 3
  4 2     4    16   10 
r
a  b 2  4c 

17
 2
 2 2
2
2
4
2 4
4
7
3

ottenendo coordinate del centro e raggio della circonferenza C  2;  e r 
17

4
4
Tangenti ad una circonferenza
Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x 2  y 2  2 x  4 y  5  0
nel suo punto di ordinata uno e ascissa positiva
Per trovare i punti della circonferenza di ordinata 1 si risolve il sistema
 x 2  y 2  2 x  4 y  5  0  x 2  1  2 x  4  5  0  x1  2... e... x 2  4
poiché l’ascissa deve



y  1
y  1
y  1
essere positiva si considera solo il punto A4;1 .
Poiché la tangente alla circonferenza nel punto A4;1 è perpendicolare al raggio AC dove C1;2 è
il centro della circonferenza. Il coefficiente angolare della tangente è il reciproco ed opposto al
coefficiente angolare m AC 
A4;1 sarà
m
y 2  y1 1  2
1

  , il coefficiente angolare della retta tangente in
x 2  x1 4  1
3
1
3
m AC
e
la
sua
equazione:
y  y 0  m x  x 0   y  1  3 x  4  y  3x  11
Tangenti ad una circonferenza passanti per un punto
Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x 2  y 2  4 x  6 y  3  0
passanti per il punto A 6;2
Si trovano centro e raggio della circonferenza C2;3.. e.. r  4 . Calcolata la distanza tra centro e
punto A si ottiene AC  65 , da cui si deduce che essendo il segmento AC  r cioè maggiore del
raggio il punto A è esterno alla circonferenza. Per tale punto si possono condurre due tangenti alla
circonferenza.
L’equazione del fascio di rette passanti per A 6;2 è
DCR Circonferenza Pagina 6 di 12
y  y 0  m x  x 0   y  2  m x  6  mx  y  6m  2  0
per la condizione di tangenza si deve avere che la distanza del centro C2;3 della circonferenza
alle rette tangente deve essere uguale al raggio .r  4 . Ricordando come si calcola la distanza
punto retta si ottiene d 
2m  3  6m  2
2
m 1
ax 0  by 0  c
a2  b2
dalla quale
 4  8m  1  4 m 2  1  64m 2  16m  1  16m 2  48m 2  16m  15  0 .
Risolta l’equazione di secondo grado si ottengono m1 
5
3
.. e.. m2  
12
4
che sostituiti
nell’equazione del fascio di rette y  y 0  m x  x 0  porta alle due seguenti equazioni di rette
tangenti
alla
circonferenza
e
passanti
per
il
punto
A 6;2
5x  12 y  6  0..... e......3x  4 y  26  0 .
Tangenti ad una circonferenza parallele ad una data retta
Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x 2  y 2  2 x  4 y  1  0
parallele alla retta 3x  4 y  12  0
L’equazione del fascio di rette alla retta data è 3x  4 y  k  0 .
Il centro e il raggio della circonferenza sono rispettivamente C1;2.. e.. r  2 .
Per la condizione di tangenza la distanza centro circonferenza rette tangente sarà pari al raggio,
per cui dalla relazione distanza punto retta si ottiene d 
38 k
9  16
ax 0  by 0  c
a2  b2
dalla quale
 2  k  5  10  k  5  10 .
Risolta la precedente equazione si ottiene k1  15.. e.. k 2  5 che sostituiti nell’equazione del
fascio di rette 3x  4 y  k  0 porta alle due seguenti equazioni di rette tangenti alla
circonferenza e parallele ad una retta data 3x  4 y  15  0..... e......3x  4 y  5  0 .
DCR Circonferenza Pagina 7 di 12
Tangenti ad una circonferenza perpendicolari ad una data retta
Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x 2  y 2  2 x  4 y  1  0
perpendicolari alla retta 2 x  3 y  7  0
L’equazione del fascio di rette alla retta data è 3x  2 y  k  0 .
Il centro e il raggio della circonferenza sono rispettivamente C1;4.. e.. r  13 .
Per la condizione di tangenza la distanza centro circonferenza rette tangente sarà pari al raggio,
per cui dalla relazione distanza punto retta si ottiene d 
ax 0  by 0  c
a2  b2
dalla quale
3 8 k
 13  k  11  13  k  5  13 .
94
Risolta la precedente equazione si ottiene k 1  2.. e.. k 2  24 che sostituiti nell’equazione del
fascio di rette 3x  2 y  k  0 porta alle due seguenti equazioni di rette tangenti alla
circonferenza e parallele ad una retta data 3x  2 y  2  0..... e......3x  2 y  24  0 .
DCR Circonferenza Pagina 8 di 12
ESERCIZI SULLA CIRCINFERENZA
Equazione della circonferenza, dato centro e raggio
1)
C 2;1 , r  2
2)
C 4;3 , r  6
3)
C 4;3 , r  5
4)
C5;3 , r  6
5)
C1;2 , r  2
6)
3
3

C   2;  , r 

2
2
7)
C 2;6 , r  4 .
8)
C8;2 , r 
9)
5
7

C  1;  , r 
 2
2
10)
C2;1 , r 
17
.
2
2
3
Coordinate del centro e il raggio della circonferenza
11)
x 2  y 2  4x  2 y  4  0
15)
x 2  y 2  2 x  8y  8  0
12)
x 2  y 2  6x  4 y  3  0
16)
x 2  y 2  8 x  6 y  11  0
13)
x 2  y 2  x  6y  3  0
17)
x 2  y 2  4 x  12 y  24  0
14)
x 2  y 2  10 x  3y  3  0
18)
2 x 2  2 y 2  6 x  12 y  1  0
Circonferenza passante per i punti
19)
A3;2 , B 7;1 , C 4;1
22)
A1;2 , B0;3 , C1;4
20)
A 0;1 , B 3;0 , C5;0
23)
A0,0 , B0;1 , C 0;3
21)
A3;2 , B 1;3 , C 3;4
24)
A 1;0 , B0;1 , C 0;2 
Circonferenza noto centro e un suo punto
25)
C 3;0
A 4;3
27)
C0;3
A4;0
26)
C5;2
A4;0
28)
C  5;3
A 11;4
Circonferenza noto centro e retta tangente
29)
C 2;3
y  5x  1
34)
C 4;3
y  2 x  1
30)
C3;3
x0
35)
y  2x  5
31)
C5;7
y0
1 
C  ;3 
4 
C 2;3
36)
C 5;4
x0
32)
y  2x  5
C 2;3
37)
C1;2
3x  y  4  0
33)
y  x 1
DCR Circonferenza Pagina 9 di 12
Circonferenza noti estremi del diametro
38)
A 4;6
B6;2
40)
A0;3
B7;2 
39)
A2;3
B8;5
41)
A 3;8
B 7;5
Tangenti alla circonferenza per un punto
42)
x 2  y 2  12 x  20 y  120  0
O0;0 
43)
x 2  y 2  8 x  6 y  20  0
A3;0
44)
x 2  y 2  8x  4 y  16  0
A1;2
45)
x 2  y 2  4x  4y  4  0
A 4;6
46)
x 2  y 2  10 y  11  0
A 2;3
Tangenti alla circonferenza parallele ad una retta
47)
x 2  y 2  2x  4y  4  0
y  3x  1
48)
x2  y 2  2x  4 y  4  0
3x  4 y  1  0
49)
x 2  y 2  4 x  10 y  13  0
y  2x  8
Tangenti alla circonferenza perpendicolari ad una retta
50)
x 2  y 2  6x  4 y  1  0
2y  x  2
51)
x2  y 2  2x  4 y  4  0
3x  4 y  1  0
52)
x 2  y 2  4 x  10 y  13  0
y  2x  8
Risolvi i seguenti esercizi
53)
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C 2;3 e passante per il punto di
intersezione delle rette y  2 x  5 e y  x  1 .
54)
Scrivere
l’equazione
della
retta
passante
per
il
centro
della
circonferenza
x 2  y 2  10 x  4 y  1  0 e parallela alla retta y  2 x  1
55)
Determinare il valore del parametro K in modo che la retta y  x  k risulti tangente alla
circonferenza di centro C 3;2 e raggio r  3 .
DCR Circonferenza Pagina 10 di 12
56)
Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza
57)
Scrivi l’equazione della circonferenza che passa l’origine degli assi, per il punto A 3;0  e
x
per il punto B0;5 .
58)

2
 y 2  3x  5 y  0
Scrivi le equazione della circonferenza passante per i punti A 4;16  e B6;3 e che ha il
centro sulla retta di equazione y  4 . [L’ordinata del centro è 4. Per trovare l’ascissa del
centro basta osservare che AC =BC e usare la formula che permette di calcolare la distanza
fra due punti. Note le coordinate del centro è possibile conoscere il raggio e quindi
x 2  y 2  12 x  8 y  96  0 ]
l’equazione richiesta è
59)
Scrivi l’equazione della circonferenza che ha raggio uguale a 7 e centro nel punto di
intersezione fra le rette di equazione x  3 y  6  0 e 2 x  y  2  0 .
x
60)
2
 y 2  4 y  45  0
Scrivi l’equazione della circonferenza che passa per il punto 4;3 ed è concentrica alla
x
circonferenza di equazione x 2  y 2  2 x  2 y  2  0
61)

2
 y 2  2 x  2 y  23  0

Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C 2;3 e raggio uguale a 5. Determina,
quindi, le coordinate dei punti d’intersezione della circonferenza con gli assi.
x
62)
2

 y 2  4 x  6 y  12  0...
Scrivi l’equazione della retta parallela a quella di equazione 4 x  3 y  5 , passante per il
8x  6 y  19  0S
centro della circonferenza di equazione x 2  y 2  4 x  y  3  0
63)
Scrivi l’equazione della circonferenza di raggio 5e centro d’intersezione fra le rette di
equazione x  y  7  0 e 2 x  3 y  6  0
64)
2

 y2  6x  8 y  0
Scrivi l’equazione della circonferenza che passa per il punto P3;5 e interseca l’asse y nei
3x
punti di ordinata -2 e 4
65)
x
2
 3 y 2  16 x  6 y  24

Dati i punti A1;1 e B5;3 verifica che il luogo dei punti P x; y  del piano tali che il
segmento PA risulta perpendicolare al segmento PB è la circonferenza di diametro AB.
[Ponendo uguale a -1 il prodotto de coefficiente angolare di PA per il coefficiente angolare di
PB si trova l’equazione che è anche l’equazione della circonferenza di diametro AB]
x2  y2  6x  4 y  8  0
66)
Determina l’equazione del luogo dei punti P  x; y  del piano tali che la somma dei quadrati
delle distanze di P 3 / 5;0  e B  3 / 5;0  sia uguale a 2.
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25x
2
 25 y 2  16  0

Circonferenza contenente un parametro
67)
Fra le infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  6x  ky  1  0 individua quella passante
per il punto 3;5
68)
Fra le infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  k  1x  y  2  0 . Individua quella
passante per il punto 1;1 , determinandone poi centro e raggio
69)
Fra le infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  ky  3ky  1  0 ne esiste una passante
per il punto 6;2 ? E per il punto 6;1 ?
70)
Fra le infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  2ky  3ky  12  0 individua quella
passante per il punto 2;8 , determinandone centro e raggio.
71)
Verifica che i centri delle infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  k  2 x  ky  1  0
appartengono alla retta di equazione x  y  1  0 .
72)
Verifica che i centri delle infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  6ky  4ky  1  0
appartengono alla retta di equazione 2 x  3 y  0 , il raggio di queste circonferenze dipende
dal valore della variabile k : al raggio di lunghezza
53 , corrispon di k. Determina quali, e,
per entrambi, le coordinate del centro.
73)
Verifica che i centri delle infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  2ky  ky  0
appartengono alla retta x  2 y  0 . determina poi a quali valori di k corrispondono
circonferenze di raggio
74)
20 e, per ciascuno di tali valori, quali sono le coordinate del centro.
Fra le infinite circonferenze di equazione x 2  y 2  ax  2bx  3  0 determina quella
passante per P1;0 e Q0;5
75)
Fra le infinite circonferenze di equazione x  y  a  1x  2by  1  0 determina quella
passante per P 0;3 e Q 3;0
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