Problema E2
(tratto dagli esempi 5.3 e 5.4 del cap. V del Mazzoldi-Nigro-Voci)
Un satellite artificiale di massa m = 103 Kg ruota attorno alla Terra descrivendo un’orbita circolare di raggio r1 = 6.6 · 103 Km.
1. Calcolare il periodo T1 dell’orbita del satellite [4 punti]
Per migliorare la trasmissione tra satellite e Terra, emerge la necessità di
portare il satellite ad un’orbita circolare diversa.
La prima opzione è quella di portare il satellite su un’orbita circolare di
raggio r2 = 7.1 · 103 Km
2. calcolare di quanti minuti e secondi il periodo dell’orbita varia rispetto
a quello originaria; [2 punti]
3. calcolare il lavoro che è necessario fornire per eseguire tale operazione;
[5 punti]
Una seconda opzione è quella di portare il satellite a descrivere un’orbita
circolare di raggio r20 e di periodo T20 piú lungo di 4 minuti rispetto a T1 .
4. calcolare la differenza di raggio tra le due orbite; [2 punti]
5. calcolare il lavoro che è necessario fornire per eseguire tale operazione,
e stabilire quale opzione è energeticamente piú conveniente. [2 punti]
(costante di gravitazione G = 6.67 · 10−11
massa della Terra M = 5.98 · 1024 Kg)
m3
;
Kg s2
Non cambiare le notazioni del testo !
1
SOLUZIONE
Dati iniziali:
r1 = 6.6 · 103 Km = 6.6 · 106 m
r2 = 7.1 · 103 Km = 7.1 · 106 m
m = 103 Kg
m3
Kg s2
= 5.98 · 1024 Kg
G = 6.67 · 10−11
M
Consideriamo un’orbita circolare generica di raggio r. Applicando le equazioni
della dinamica al caso della forza gravitazionale otteniamo
Mm
v2
=
m
(1)
r2
r
dove il membro destro è la massa del satellite moltiplicata per l’accelerazione
centripeta. Ricordando che nel moto circolare uniforme
G
2πr
T
dove T è il periodo dell’orbita, e sostituendo nell’Eq.(1), si ricava
v = ωr =
G
M
r
= (2π)2 2
2
r
T
(2)
(3)
e dunque
r
T = 2π
r3
GM
(4)
Punto 1.
Applicando la formula (4) al caso dell’orbita di raggio r1 si ottiene
r
r13
T1 = 2π
=
sG M
(6.6 · 106 m)3
=
= 2π
m3
6.67 · 10−11 Kg
5.98 · 1024 Kg
s2
= 5334 s
(5)
Punto 2.
Applicando la formula (4) al caso dell’orbita di raggio r1 si ottiene
r
r23
T2 = 2π
=
sG M
(7.1 · 106 m)3
= 2π
=
m3
6.67 10−11 Kg
5.98 · 1024 Kg
s2
= 5952 s
(6)
2
e quindi la differenza tra i periodi è
∆T = T2 − T1 = 5952 s − 5334 s = 618 s
(7)
∆T = 10 min 18s
(8)
ossia
Punto 3.
L’energia meccanica corrispondente all’orbita i-esima è
Mm
1
Ei = mvi2 −G
|2 {z } | {zri }
cinetica
(9)
pot. gravit.
Ricordando l’Eq.(1) abbiamo che
vi2 = G
M
r
(10)
Pertanto quando si varia il raggio dell’orbita circolare, si cambia non solo
l’energia potenziale ma anche l’energia cinetica del satellite. L’energia meccanica totale relativa ad un satellite su orbita di raggio ri si scrive come
Ei = −G
Mm
2ri
(11)
e dunque, passando da un’orbita ad un’altra, non può conservarsi. Per
cambiare orbita è necessario applicare delle forze esterne il cui lavoro è pari
alla variazione dell’energia meccanica del satellite
Lext = E2 − E1 =
Mm 1
1
= −G
−
=
2
r2 r1
3
5.98 · 1024 Kg · 103 Kg
1
1
−11 m
·
−
=
= −6.67 10
Kg s2
2
7.1 · 106 m 6.6 · 106 m
Kg m2
= 2.13 · 109
=
s2
= 2.13 · 109 J
(12)
Si noti che per il teorema dell’energia cinetica il lavoro L è pari alla variazione
dell’energia cinetica (non meccanica). Tuttavia tale lavoro L si riferisce alle
forze totali, che comprendono sia le forze esterne che quelle gravitazionali.
Dato che queste ultime sono conservative, il lavoro Lgrav dovuto ad esse è
pari alla variazione dell’energia potenziale gravitazionale (con un segno -).
Esplicitamente
L = ∆Ekin
3
(13)
ossia
Lext + Lgrav = Ekin,2 − Ekin,1
(14)
Lgrav = −∆U = −(U2 − U1 )
(15)
Lext = ∆Ekin + ∆U = ∆Emec = E2 − E1
(16)
con
da cui
Punto 4.
Invertendo la formula (4) in favore del raggio si ottiene
1/3
GM T 2
r=
(2π)2
(17)
Un’orbita con un periodo di 4 minuti piú lungo,
T20 = T1 + 4 × 60 s = 5574 s
(18)
ha dunque un raggio
r20 =
6.67 · 10−11
m3
Kg s2
5.98 · 1024 Kg (5574 s)2
!1/3
(2π)2
=
= 6.8 · 106 m =
= 6.8 · 103 Km
(19)
e dunque la differenza tra i raggi è
∆r = r20 − r1 =
= 6.8 · 103 Km − 6.6 · 103 Km =
= 0.2 · 103 Km
(20)
Punto 5.
Calcoliamo il lavoro come differenza tra le energie meccaniche che competono
alle due orbite, utilizzando l’Eq.(11),
L0ext = E20 − E1 =
1
Mm 1
−
=
= −G
2
r20
r1
m3 5.98 · 1024 Kg · 103 Kg
1
1
= −6.67 · 10−11
·
−
=
Kg s2
2
6.8 · 106 m 6.6 · 106 m
Kg m2
= 0.89 · 109
=
s2
= 0.89 · 109 J
(21)
Questa seconda opzione è energeticamente piú conveniente.
4