Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Fatica dei materiali
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Introduzione, i cumulativi di sollecitazione
Danneggiamento: regola di Palmgren – Miner
Metodo di conteggio: metodo rainflow
2
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1
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Introduzione (1/4)
σ
(ε)
(F)
Storia reale
t
4
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2
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Introduzione (2/4)
σ
(ε)
(F)
Storia reale
t
σ
(ε)
(F)
Storia a blocchi
n1,σm1, n2,σm2,
σa1
σa2
n2,σm3,
σa3
t
5
Introduzione (3/4)
σ
(ε)
(F)
Storia reale
t
Metodi di
conteggio
σ
(ε)
(F)
Storia a blocchi
n1,σm1, n2,σm2,
σa1
σa2
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n2,σm3,
σa3
t
6
3
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Introduzione (4/4)
σ
(ε)
(F)
Storia reale
NO!
t
Metodi di
conteggio
σ
(ε)
(F)
Storia a blocchi
n1,σm1, n2,σm2,
σa1
σa2
n2,σm3,
σa3
t
7
Cumulativi di sollecitazione (1/2)
σa
(∆σ)
σm = cost
(R=cost)
Istogramma delle
sollecitazioni
n1 n2 n3 n4 n5 n6 N
8
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4
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Cumulativi di sollecitazione (2/2)
σa
(∆σ)
σm = cost
(R=cost)
Istogramma delle
sollecitazioni
n1 n2 n3 n4 n5 n6 N
σa
(∆σ)
σm = cost
(R=cost)
Spettro delle
sollecitazioni
9
N
Spettri tipici (adimensionali)
σa
σa 1
b
d
Ampiezza costante
a
Distribuzione normale
delle ampiezze
(pseudo random)
c
e
0
0
NN
1
Andamento lineare
(tipico di alcuni
fenomeni naturali:
vento, terremoti, onde)
10
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5
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Eliminazione piccole ampiezze
σa
σa 1
σ a,min
p=
σa
p=0.50
p=0.25
0
0
NN
1
p=0.00
p legato alla risoluzione del metodo di conteggio 11
Matrice degli eventi (rainflow)
Log(N)
5.5
40
60
σ
a
80
100
120
140
160
180
200
(M
Pa
)
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220
240
260
-50
-100
0
50
σm
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
150
Pa
M
(
)
12
6
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Danneggiamento (1/2)
Quando è presente una cricca ogni ciclo ne
aumenta la lunghezza (propagazione):
Danno (fisico) = ∆a
14
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7
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Danneggiamento (2/2)
Quando è presente una cricca ogni ciclo ne
aumenta la lunghezza (propagazione):
Danno (fisico) = ∆a
Prescindendo dal danno fisico possiamo definire
il danneggiamento.
Numero di cicli nel blocco i-esimo
n
Di = i
Ni
Vita nell’ i-esima condizione
15
Ni e ni sul diagramma SN
1000
σa
500
σai
100
102
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103 ni
104
105 Ni
106
N
16
8
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Accumulo del danneggiamento (1/3)
Regola di accumulo del danneggiamento lineare:
D=
n
∑ Di = ∑ Ni
i
= C ⇔ rottura
17
Accumulo del danneggiamento (2/3)
Regola di accumulo del danneggiamento lineare:
D=
n
∑ Di = ∑ Ni
i
= C ⇔ rottura
C = 0.5 ÷ 2 (Sperimentazione di Miner)
C ≈ 1 storie di carico “pseudo random”
18
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9
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Accumulo del danneggiamento (3/3)
Regola di accumulo del danneggiamento lineare:
D=
n
∑ Di = ∑ Ni
i
= C ⇔ rottura
C = 0.5 ÷ 2 (Sperimentazione di Miner)
C ≈ 1 storie di carico “pseudo random”
n
D = ∑ Di = ∑ i = 1
Ni
Regola di:
Palmgren (1924)
Miner (1945)
19
Limite di fatica (1/2)
Con cicli ad ampiezza variabile il limite di fatica
può scomparire, infatti a parità di
∆σ < ∆σD:
Se ∆K = Y∆σ a1 < ∆K th ⇒ no propagazione!
20
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10
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Limite di fatica (2/2)
Con cicli ad ampiezza variabile il limite di fatica
può scomparire, infatti a parità di
∆σ < ∆σD:
Se ∆K = Y∆σ a1 < ∆K th ⇒ no propagazione!
Se ∆K = Y∆σ a2 > ∆K th ⇒ sì propagazione!
(a2>a1)
21
Modifica di Haiback (1/3)
1000
σa
σm =
500
k
k=∞
100
103
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104
105
106
107
108
N
22
11
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Modifica di Haiback (2/3)
1000
σa
σm =
500
k
k=∞
k
100
103
104
105
107
106
108
N
23
Modifica di Haiback (3/3)
1000
σa
σm =
500
k
k=∞
100
103
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2k-1
k
104
105
106
107
108
N
24
12
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Utilizzo della regola di Miner I (1/3 )
Supponendo di avere una storia di carico a
blocchi:
ni, σmi, σai
25
Utilizzo della regola di Miner I (2/3 )
Supponendo di avere una storia di carico a
blocchi:
ni, σmi, σai
Per ogni σmi si ricava Ni dal diagramma SN in
corrispondenza di σai e si calcola:
n
D = ∑ Di = ∑ i
Ni
26
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13
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Utilizzo della regola di Miner I (3/3 )
Supponendo di avere una storia di carico a
blocchi:
ni, σmi, σai
Per ogni σmi si ricava Ni dal diagramma SN in
corrispondenza di σai e si calcola:
n
D = ∑ Di = ∑ i
Ni
Il coefficiente di sicurezza (in termini di durata)
risulta:
1
CS =
D
27
Utilizzo della regola di Miner II
Nel caso di σm costante è possibile definire una
tensione e una durata equivalenti.
Data una σa,eq vogliamo una neq tale che:
neq
Neq
=
n
n
⇒ neq = Neq ∑ i
Ni
i
∑ Ni
28
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14
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Neq e Ni dal diagramma SN log-log
1000
σa
500
σa,eq
σai
100
102
σkai
103
⋅ Ni =
104
σka,eq
106
Neq 105 Ni
⋅ Neq ⇒ Ni = Neq
N
σka, eq
σkai
29
Durata e tensione equivalenti I (1/5)
n
neq = Neq ∑ i
Ni
Ni = Neq
σka,eq
σkai
30
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15
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Durata e tensione equivalenti I (2/5)
n
neq = Neq ∑ i
Ni
Ni = Neq
σka,eq
σkai
ni
neq = Neq ∑
Neq
σka,eq
σkai
31
Durata e tensione equivalenti I (3/5)
n
neq = Neq ∑ i
Ni
Ni = Neq
σka,eq
σkai
ni
neq = Neq ∑
Neq
σka,eq
σkai
32
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16
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Durata e tensione equivalenti I (4/5)
n
neq = Neq ∑ i
Ni
Ni = Neq
Neq
∑ ni
σkai
ni
neq = Neq ∑
neq =
σka,eq
σka,eq
σkai
σkai
σka,eq
33
Durata e tensione equivalenti I (5/5)
n
neq = Neq ∑ i
Ni
Ni = Neq
Neq
∑ ni
σkai
σka,eq
σkai
ni
neq = Neq ∑
neq =
σka,eq
σka,eq
σkai
σ a,eq = k
∑ niσkai
neq
34
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17
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Durata e tensione equivalenti II (1/3)
σa
(∆σ)
σa,eq
N
neq
NC
35
Durata e tensione equivalenti II (2/3)
σa
(∆σ)
Se si pone neq =
σa,eq
k
∑ niσkai
=k
∑ αiσkai
σ a,eq =
N
neq
NC
∑ ni = NC
NC
αi = ni / NC
36
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18
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Durata e tensione equivalenti II (3/3)
σa
(∆σ)
Se si pone neq =
σa,eq
k
∑ niσkai
=k
∑ αiσkai
σ a,eq =
N
neq
NC
∑ ni = NC
NC
αi = ni / NC
Prove di delibera accelerate
Calcoli di prima impostazione
37
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
© 2006 Politecnico di Torino
19
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Time history
Metodo rainflow: versione del serbatoio
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
σ (MPa)
t
39
Modifica della time history I
La time history viene tagliata in corrispondenza del
picco più alto
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
σ (MPa)
t
40
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20
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Modifica della time history II
I pezzi della time history vengono traslati in modo da avere
i picchi più alti agli estremi (eventuale aggiunta di un pezzo)
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
σ (MPa)
t
41
Conteggio 0
Si suppone che la storia così modificata sia un serbatoio
pieno di acqua
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
σ
(MPa)
t
42
© 2006 Politecnico di Torino
21
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Conteggio 1
Si svuota il serbatoio dalla valle più profonda; si registrano
il livello massimo (σmax) e il livello di uscità (σmin) ….
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
σA
(MPa)
t
1
43
Conteggio 2
Tabella I: Conteggi (MPa)
min max ∆σ
σm
σa
n
1
-200
300
500
250
50
44
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22
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Conteggio 3
…rimangono dei serbatoi secondari che a loro volta sono
svuotati dalla loro valle più profonda …
300
B
250
200
150
100
50
0
-50 2
-100
-150
-200
8
4
12
10
7
5
3
9
6
1
11
t
45
Conteggio 4
Tabella I: Conteggi (MPa)
min max ∆σ
σa
σm
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-200
0
-150
0
-100
-150
-100
0
50
-50
-100
100
300
200
200
100
100
100
100
150
200
250
250
250
500
200
350
100
200
250
200
150
150
300
350
150
250
100
175
50
100
125
100
75
75
150
175
75
50
100
25
50
0
-25
0
75
125
100
75
175
46
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23
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Conteggio 5
…rimangono ancora dei serbatoi secondari che a loro volta
sono svuotati dalla loro valle più profonda …
300
C
250
200
150
100
50
0
-50 2
13
-100
14
-150
-200
18
15
3
8
17
4
10
6
22 23
20
11
7
5
16
12
21
9 19
t
1
47
Conteggio 6
Tabella I: Conteggi (MPa)
min max ∆σ
σa
σm
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-200
0
-150
0
-100
-150
-100
0
50
-50
-100
100
-50
300
200
200
100
100
100
100
150
200
250
250
250
100
500
200
350
100
200
250
200
150
150
300
350
150
150
250
100
175
50
100
125
100
75
75
150
175
75
75
50
100
25
50
0
-25
0
75
125
100
75
175
25
Tabella I: Conteggi (MPa)
min max ∆σ
σa
σm
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
-100
-100
-150
0
100
50
0
50
0
0
100
50
100
50
150
200
150
150
100
200
200
150
250
50
50
150
150
100
100
200
100
75
125
25
25
75
75
50
50
100
0
-25
-25
25
125
125
75
100
50
100
48
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24
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Conteggio 7
…e si completa il processo
300
D
250
200
150
100
50
0
-50 2
4 17
26
25
24
-100 13
14
15
-150
5
16
3
-200
6
18
8
21
9 19
20
10
12
27
22 23
11
7
t
1
49
Conteggio 8
Tabella I: Conteggi (MPa)
min max ∆σ
σa
σm
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-200
0
-150
0
-100
-150
-100
0
50
-50
-100
100
-50
300
200
200
100
100
100
100
150
200
250
250
250
100
500
200
350
100
200
250
200
150
150
300
350
150
150
250
100
175
50
100
125
100
75
75
150
175
75
75
50
100
25
50
0
-25
0
75
125
100
75
175
25
Tabella I: Conteggi (MPa)
min max ∆σ
σa
σm
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
-100
-100
-150
0
100
50
0
50
0
0
-50
-50
-50
50
100
50
100
50
150
200
150
150
100
200
50
0
50
150
200
150
250
50
50
150
150
100
100
200
100
50
100
100
100
75
125
25
25
75
75
50
50
100
50
25
50
50
0
-25
-25
25
125
125
75
100
50
100
0
-25
0
100
50
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25
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Matrice degli eventi dell’esempio
Sa
Sm
250 175 150 125 100
-25
2
0
3
25
1
50
1
75
1
100
1
2
125
175
Tot. 1
2
1
2
5
75
1
50
2
1
2
2
2
2
1
7
6
25 Tot.
1
4
5
1
3
3
3
5
1
3
1
3
27
51
Matrice degli eventi dell’esempio (grafico)
Cicli
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
25 50
75 100
125150
175
σa (MPa)
250
0
-25
175
125
100
75
50
25
σm (MPa)
52
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26
Comportamento meccanico dei materilai
Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile
Spettro dell’esempio
Considerando un’unica tensione media si può
tracciare lo spettro delle sollecitazioni
σa (MPa)
Sa 250 175 150 125 100
Tot. 1
2
1
2
5
1
3
4
6
11
Σ
250
200
150
100
50
0
© 2006 Politecnico di Torino
1
10
75
7
18
50
6
24
N (log) 100
25
3
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