Il criterio media-varianza
e il modello CAPM
1
Il criterio media-varianza
• Se α1 è la quota della ricchezza destinata all’acquisto del titolo 1 e α2 è la quota
impiegata nell’acquisto del titolo 2, il valore finale della ricchezza nello stato s è
ys = W [α1 (1 + r1s) + α2 (1 + r2s)] = W (α1R1s + α2R2s)
Per semplificare, supporremo che la ricchezza iniziale sia pari a 1, W = 1.
• Calcoliamo media e varianza di un portafoglio qualsiasi. Prendendo l’aspettativa
μ ≡ E (ys) = α1E (R1s) + α2E (R2s) = α1μ1 + α2μ2
Il rendimento medio di un portafoglio, μ, è perciò pari alla combinazione lineare dei
rendimenti medi, μ1 e μ2, dei due titoli.
• La varianza del portafoglio, σ 2, è
σ 2 = E [α1R1s + α2R2s − (α1μ1 + α2μ2)]2 =⇒
2
σ 2 = E [α1 (R1s − μ1) + α2 (R2s − μ2)]2
Svolgendo il quadrato, si ha
σ 2 = α21E (R1s − μ1)2 + α22E (R2s − μ2)2
+2α1α2E [(R1s − μ1) (R2s − μ2)]
= α21σ 21 + α22σ 22 + 2α1α2σ 12
σ 21 e σ 22 sono le varianze dei rendimenti dei due titoli e σ 12 è la covarianza.
• Il criterio media-varianza afferma che le preferenze individuali sono caratterizzate
soltanto da questi due parametri. Gli individui preferiscono quei portafogli che presentano un rendimento atteso maggiore a parità di rischiosità e, al tempo stesso, una
rischiosità minore a parità di rendimento atteso
E (U ) = V
∂V < 0.
con ∂V
>
0
e
∂μ
∂σ 2
³
μ, σ 2
´
3
• Due portafogli, il portafoglio A e il portafoglio B, caratterizzati da una media, μA e
μB , e da una varianza, σ 2A e σ 2B . Il portafoglio A è preferito o domina il portafoglio
B se A ha un rendimento atteso maggiore di quello di B e una varianza uguale o
minore di B; oppure, se A presenta una varianza minore e insieme un rendimento
atteso uguale o maggiore di B
μA > μB
e σ 2A ≤ σ 2B
σ 2A < σ 2B
e μA ≥ μB
oppure
Il criterio media-varianza e la teoria dell’utilità attesa
• In quali casi l’approssimazione non è rilevante sicché il criterio media-varianza e quello
dell’utilità attesa danno luogo alla medesima scelta?
4
• La risposta intuitiva a questa domanda è chiara: il criterio di scelta fondato sull’utilità
attesa dipende dalla funzione di utilità delle conseguenze e dalla loro distribuzione di
probabilità. Se una di queste due funzioni può essere definita in termini soltanto di
media e varianza, i due criteri conducono alla stessa scelta.
• Partiamo dalla funzione di utilità e effettuiamo un’espansione in serie di Taylor di
questa funzione nell’intorno di E (ys) = μ
0
1 00
U (ys) = U (μ) + U (μ) (ys − μ) + U (μ) (ys − μ)2 +
2
1 000
+ U (μ) (ys − μ)3 + · · ·
3!
5
Prendendo l’aspettativa di questa espressione, otteniamo l’utilità attesa
1 00
E [U (ys)] = U (μ) + U (μ) E (ys − μ) + U (μ) E (ys − μ)2 +
2
1 000
+ U (μ) E (ys − μ)3 + · · ·
3!
1 00
1 000
= U (μ) + U (μ) σ 2 + U (μ) E (ys − μ)3 + · · ·
2
3!
perché E (ys − μ) = E (ys) − μ = 0. In quali casi nell’espansione in serie dell’utilità
attesa contano soltanto media e varianza? I casi possibili sono due.
0
Funzione di utilità quadratica
• Se la funzione di utilità è quadratica
1
U (ys) = c + bys − dys2
2
6
dove c, b e d sono delle costanti positive, ovvero
1 2
U (ys) = ys − ays
2
dove d/b = a. Prendendo l’aspettativa
³ ´
´
1
1 ³ 2
2
2
E [U (ys)] = E (ys) − aE ys = μ − a σ + μ
2
2
³ ´
2
perché σ = E ys2 − [E (ys)]2.
L’utilità attesa dipende soltanto da media e
varianza, proprio come richiede il criterio M-V
La forma delle curve di indifferenza. Differenziando
d {E [U (ys)]} = 0 = dμ − aμdμ − aσdσ =⇒
dμ
aσ
=
>0
dσ
1 − aμ
7
Le curve di indifferenza sono crescenti: per mantenere l’utilità attesa costante, ad un
aumento dello scarto quadratico medio deve corrispondere un aumento del rendimento
atteso. Derivando ulteriormente
d2μ
a (1 − aμ) + a2σ (dμ/dσ)
=
>0
2
2
dσ
(1 − aμ)
Le curve di indifferenza sono convesse, l’aumento di μ è più che proporzionale rispetto
all’aumento di σ
8
μ
μB
B
C
μA
A
σB
σA
σ
Figura 1:
Lacune della funzione di utilità quadratica.
• 1. Graficamente la funzione di utilità quadratica è una parabola con un punto di
massimo per ys = 1/a. Dopo questo punto l’utilità marginale diviene negativa,
contraddicendo il requisito della monotonicità.
9
2. Il coefficiente di avversione assoluta al rischio λ è
00
a
U (ys)
=
λ (ys) = − 0
1 − ays
U (ys)
Deriviamo λ rispetto a ys:
0
λ (ys) =
a2
>0
2
(1 − ays)
L’avversione assoluta al rischio è crescente, un’implicazione poco plausibile
Distribuzione normale dei rendimenti dei portafogli
• Se i rendimenti dei portafogli sono normalmente distribuiti, l’intera distribuzione di
probabilità dipende soltanto dalla media e dalla varianza (i momenti dispari intorno
alla media sono nulli, mentre quelli pari dipendono dalla varianza).
10
• Con l’ipotesi di normalità dei rendimenti l’utilità attesa è funzione soltanto di media
e varianza, basta fare alcune sostituzioni. Se i rendimenti dei portafogli seguono una
distribuzione normale, l’utilità attesa è
E [U (ys)] =
Ponendo
"
#
2
1
(ys − μ)
U (ys) √ exp −
dys
2
2σ
σ 2π
+∞
Z
−∞
ys − μ
v=
σ
e sostituendo, otteniamo
1
e perciò dv = dys
σ
+∞
Z
Ã
E [U (ys)] =
=
v2
1
U (μ + vσ) √ exp −
2
2π
−∞
+∞
Z
!
dv
U (μ + vσ) g (v) dv
−∞
dove g(v) è la normale standardizzata e l’utilità attesa dipende solo da μ e σ.
11
• Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse.
• Perché i rendimenti dei portafogli dovrebbero essere normalmente distribuiti? Il teorema del limite centrale. Consideriamo un portafoglio qualsiasi: il rendimento di
questo portafoglio è dato dalla somma dei rendimenti dei singoli titoli, ciascun addendo essendo pesato con la quota della ricchezza rivolta all’acquisto dei titoli che
entrano nel portafoglio. Naturalmente, se il rendimento di ogni titolo ha una distribuzione normale, anche il rendimento del portafoglio seguirà una distribuzione normale
perché una combinazione lineare di variabili normalmente distribuite ha anch’essa una
distribuzione normale.
• Ma, in generale, i rendimenti dei titoli non hanno una distribuzione normale. Ed è a
questo riguardo che possiamo fare appello al teorema del limite centrale. Questo teorema afferma che la somma di un dato numero di variabili casuali ha una distribuzione
che tende alla normale al crescere del numero di variabili casuali considerate. Quanto
maggiore è il numero dei titoli che entrano nel portafoglio tanto più la distribuzione
del rendimento del portafoglio approssima la normale.
12
• L’approssimazione dipende da due elementi: (i) dal grado di correlazione tra i rendimenti dei titoli; quanto minore è la correlazione tanto migliore è l’approssimazione
alla normale; (ii) dalla misura in cui la distribuzione dei rendimenti dei singoli titoli
approssima la distribuzione normale.
• La distribuzione normale pone alcuni vincoli alla teoria dell’utilità attesa. In primo
luogo, occorre che la funzione di utilità sia definita per lo stesso intervallo di variazione
di una variabile con una distribuzione normale, cioè tra −∞ e +∞. Ma alcune
funzioni di utilità non sono definite per valori negativi: ad esempio, una funzione di
utilità come ln (ys): non siamo liberi di postulare qualsivoglia rappresentazione delle
preferenze. In secondo luogo, è realistico ipotizzare che il rendimento possa assumere
valori negativi e infinitamente elevati o se, viceversa, non è più plausibile ipotizzare
che il rendimento (negativo) non possa eccedere un certo limite, data la possibilità di
fallimento?
13
La frontiera dei portafogli efficienti (solo titoli rischiosi)
• Costruiamo ora l’insieme dei portafogli disponibili, ossia l’insieme dei portafogli che
possono essere formati a partire dal titolo 1 e 2. Se applichiamo a questo insieme il
criterio media-varianza, troveremo che alcuni portafogli risultano dominanti ed altri
sono dominati. I portafogli dominanti in base al criterio media-varianza vengono
definiti portafogli efficienti.
• Analiticamente è più semplice determinare il sottoinsieme di quei portafogli che hanno
la varianza minore a parità di rendimento atteso: questi vengono detti portafogli di
varianza minima. Il sottoinsieme dei portafogli con varianza minima è più ampio di
quello dei portafogli efficienti. Un portafoglio efficiente ha una varianza minore di tutti
gli altri portafogli che hanno lo stesso rendimento atteso, ma non è necessariamente
vero il contrario: un portafoglio con varianza minima potrebbe non essere efficiente.
14
μ
M
μΑ
C
A
μΒ
B
M’
σ
Figura 2:
L’intera curva M M 0 (compresa la parte tratteggiata) rappresenta la frontiera dei
portafogli di minima varianza; per ogni dato livello di μ, su M M 0 troviamo il
portafoglio che ha uno scarto quadratico medio, e perciò una varianza, minima. La
parte AM non tratteggiata della curva, il tratto crescente di MM 0, è la frontiera dei
portafogli efficienti.
15
• Supporremo inoltre che il titolo 1 abbia un rendimento atteso più elevato del titolo
2, μ1 > μ2, ma che sia anche più rischioso, σ 1 > σ 2. Il rendimento atteso di un
portafoglio è
μ = α1μ1 + α2μ2
mentre la varianza è
σ 2 = α21σ 21 + α22σ 22 + 2α1α2σ 12 =⇒
σ 2 = α21σ 21 + α22σ 22 + 2α1α2ρσ 1σ 2
Il problema di minima varianza
min σ 2 = α21σ 21 + α22σ 22 + 2α1α2ρσ 1σ 2
α1,α2
sotto i vincoli che
μ = α1μ1 + α2μ2
e α1 + α2 = 1
16
• Dai vincoli possiamo ricavare direttamente i valori di α1 e α2.
μ = α1μ1 + (1 − α1) μ2 = α1 (μ1 − μ2) + μ2 =⇒
μ − μ2
α1 =
μ1 − μ2
μ1 − μ
e α2 =
μ1 − μ2
Sostituendo questi valori di α1 e α2 nell’espressione di σ 2
σ2 =
2 (μ − μ )2 + σ 2 (μ − μ)2 +
1
[σ
2
2 1
(μ1−μ2)2 1
+2ρσ 1σ 2 ³(μ − μ2) (μ1 − μ)] ´
2 + σ 2 − 2ρσ σ μ2 − 2[σ 2μ + σ 2μ −
1
{
σ
=
1 2
2
1
2
1 2
2 1
(μ1−μ2)
ovvero
´
2
2
2
2
−ρσ 1σ 2 (μ1 + μ2)]μ + σ 1μ2 + σ 2μ1 − 2ρσ 1σ 2μ1μ2 }
σ2 =
³
1
³
2 − 2Bμ + C
Aμ
2
(μ1 − μ2)
´
dove A = σ 21 + σ 22 − 2ρσ 1σ 2, B = σ 21μ2 + σ 22μ1 − ρσ 1σ 2 (μ1 + μ2), C =
σ 21μ22 + σ 22μ21 − 2ρσ 1σ 2μ1μ2.
17
• Questa è l’equazione di una parabola. Se prendiamo la radice quadrata
q
1
Aμ2 − 2Bμ + C
σ=
μ1 − μ2
otteniamo l’equazione di un’iperbole nel piano scarto quadratico medio-rendimento
atteso
18
(a)
σ
σ
B
σ1
( b)
σ2 A
M
45°
α1
1
0
( c)
μ
M
0
B
M
A
μ2
(d)
μ
μ1
B
μ1
σ
1
α1
μ2
A
σ2
σ1 σ
19
Figura 3:
La parte (a): il grafico dello scarto quadratico medio del portafoglio in funzione di α1
σ=
q
α21σ 21 + (1 − α1)2 σ 22 + 2α1 (1 − α1) ρσ 1σ 2
La parte (c): il grafico dell’equazione μ = α1 (μ1 − μ2) + μ2.
La parte (b) è una retta inclinata a 45o
Perfetta correlazione positiva tra i rendimenti
• Se i rendimenti sono perfettamente correlati in senso positivo, tra i rendimenti dei
due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare positiva, R1s =
a + bR2s, dove a e b sono delle costanti come pure tra i rendimenti attesi
μ1 =
X
π s (a + bR2s) = a + bμ2
20
• Lo scarto quadratico medio del titolo 1 è
σ1 =
mentre per la covarianza
q
E [(a + bR2s) − (a + bμ2)]2 = bσ 2
σ 12 = E [(a + bR2s) − (a + bμ2)] [R2s − μ2] = bσ 22
Il coefficiente di correlazione è
bσ 22
σ 12
ρ=
= 2=1
σ 1σ 2
bσ 2
Se ρ = 1, la varianza del portafoglio è
σ 2 = α21σ 21 + (1 − α1)2 σ 22 + 2α1 (1 − α1) ρσ 1σ 2
= [α1σ 1 + (1 − α1) σ 2]2
e perciò lo scarto quadratico medio del portafoglio è
σ = α1σ 1 + (1 − α1) σ 2
21
Sostituendo α1 dalla prima equazione
σ=
μ − μ2
(σ 1 − σ 2) + σ 2
μ1 − μ2
La frontiera dei portafogli efficienti è una retta
22
(a)
σ
σ1
( b)
σ
B
A
σ2
45°
( c)
μ
A
μ2
0
1
(d)
μ
μ1
B
μ1
σ
α1
1
0
α1
μ2
B
σ2
A
σ1 σ
23
Figura 4:
• Unica differenza: nella parte (a) è rappresentata una retta invece che un’iperbole. Se
tra i rendimenti dei due titoli esiste una perfetta correlazione positiva, ogni aumento di
α1 comporta un aumento del rendimento atteso del portafoglio ma anche un aumento
della variabilità
Perfetta correlazione negativa tra i rendimenti
• Tra i rendimenti dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare
negativa, R1s = a − bR2s. Il rendimento atteso del titolo 1 è
μ1 =
X
π s (a − bR2s) = a − bμ2
mentre il suo scarto quadratico medio è
σ1 =
q
E [(a − bR2s) − (a − bμ2)]2 = bσ 2
24
La differenza importante rispetto all’altro caso polare è data dalla covarianza
σ 12 = E [(a − bR2s) − (a − bμ2)] [R2s − μ2] = −bσ 22
Quando il rendimento di un titolo si trova al di sopra della propria media, il rendimento
dell’altro titolo è minore della sua media.
• Il coefficiente di correlazione
−bσ 22
σ 12
=
= −1
ρ=
2
σ 1σ 2
bσ 2
Se ρ = −1, la varianza del portafoglio è
σ 2 = α21σ 21 + (1 − α1)2 σ 22 + 2α1 (1 − α1) ρσ 1σ 2
= [α1σ 1 − (1 − α1) σ 2]2
Dobbiamo prendere il valore assoluto del termine in parentesi. Per definizione lo scarto
quadratico medio è positivo
σ = |α1σ 1 − (1 − α1) σ 2|
25
Se α1σ 1 − (1 − α1) σ 2 > 0 e perciò se
α1 >
σ2
σ1 + σ2
lo scarto quadratico medio è
σ = α1σ 1 − (1 − α1) σ 2 = (σ 1 + σ 2) α1 − σ 2
2 , lo scarto quadratico medio è
mentre per valori di α1 < σ σ+σ
1
2
σ = (1 − α1) σ 2 − α1σ 1 = σ 2 − (σ 1 + σ 2) α1
Queste due rette si trovano nella parte (a)
26
(a)
σ
( b)
σ
B
σ1
A
σ2
45°
M
0
( c)
μ
M
0
B
M
A
μ2
(d)
μ
μ1
B
μ1
σ
α1
1
0
1
α1
μ2
A
σ2
σ1 σ
27
Figura 5:
In questo caso è possibile ridurre a zero lo scarto quadratico medio del portafoglio. Il
valore di α1 per cui ciò avviene è
σ2
σ1 + σ2
La possibilità di azzerare la variabilità dei rendimenti è dovuta alla loro perfetta correlazione negativa. Anche la parte (d) è costituita da una spezzata la cui equazione
è
¯
¯
¯μ−μ
¯
¯
¯
2
σ = |α1σ 1 − (1 − α1) σ 2| = ¯
(σ 1 + σ 2) − σ 2¯
¯μ − μ
¯
1
2
La frontiera dei portafogli efficienti è data dal tratto continuo MB. Tutti i casi
intermedi per cui −1 < ρ < 1 sono compresi tra i due analizzati.
28
μ
1
ρ=
0,5
ρ=
0
ρ=
R
−0
μR
ρ=
ρ = −1
,5
A
B
σ
Figura 6:
A mano a mano che la correlazione tra i rendimenti dei due titoli diminuisce, è possibile
ridurre la loro variabilità a parità di rendimento atteso. Quanto più i rendimenti dei
due titoli tendono a muoversi in direzione opposta relativamente alle rispettive medie,
tanto più è possibile combinarli nel portafoglio in modo da attenuare la loro variabilità.
29
La frontiera dei portafogli con un titolo privo di rischio
• La frontiera efficiente è una retta. Componiamo un portafoglio in cui una quota α0
della ricchezza è impiegata nel titolo privo di rischio e la quota residua 1 − α0 in un
portafoglio A composto soltanto da titoli rischiosi
μ = α0R0 + (1 − α0) μA
mentre il suo scarto quadratico medio è
σ=
q
(1 − α0)2 σ 2A = (1 − α0) σ A
Dall’ultima equazione otteniamo un’espressione per la quota di ricchezza investita nei
titoli rischiosi:
σ
1 − α0 =
σA
30
Se sostituiamo questa espressione nell’equazione del rendimento atteso
Ã
!
σ
σ
R0 +
μ =
μ = 1−
σA
σA A
μ − R0
σ
= R0 + A
σA
In presenza di un titolo privo di rischio la relazione tra μ e σ è una retta.
31
μ
T
B
A
R0
σ
Figura 7:
Tre possibili rette: ciascuna si distingue dalle altre perché combina il titolo privo di
rischio con un diverso portafoglio di titoli rischiosi, A, B o T . L’equazione che prima
abbiamo ricavato si riferisce alla retta R0A.
• Se ci si basa sul criterio media-varianza, si preferiscono i portafogli che si trovano
32
lungo la retta R0B a quelli che si trovano sulla R0A
• Se indichiamo questo portafoglio con T , la frontiera efficiente in presenza di un titolo
privo di rischio assume la seguente forma
μ − R0
μ = R0 + T
σ
σT
L’equazione rimane indeterminata finché non siamo in grado di calcolare μT e σ T ,
finché cioè non conosciamo la composizione del portafoglio di tangenza.
La derivazione formale della frontiera
• Se accanto ai due titoli rischiosi ce n’è un terzo che offre un rendimento certo, R0, il
rendimento atteso di un portafoglio è
μ = α0R0 + α1μ1 + α2μ2 = R0 + α1 (μ1 − R0) + α2 (μ2 − R0)
33
perché
P
αi = 1.
• L’equazione della varianza rimane tuttavia inalterata perché la varianza del titolo con
il rendimento certo è ovviamente nulla.
• La ricerca del portafoglio con varianza minima a parità di rendimento atteso si traduce
nella soluzione del seguente problema di minimo
con il vincolo
´
1 2 1³ 2 2
2
2
min σ =
α1σ 1 + α2σ 2 + 2ρσ 1σ 2α1α2
α1,α2 2
2
μ = α1 (μ1 − R0) + α2 (μ2 − R0) + R0
Formando il lagrangiano
1
L = σ 2 + λ [μ − (α1 (μ1 − R0) + α2 (μ2 − R0) + R0)]
2
34
e derivando
⎧
⎪
∂L
⎪
2 + ρα σ σ − λ (μ − R ) = 0
⎪
=
α
σ
⎪
1
2 1 2
0
1
⎨ ∂α
1
1
∂L
⎪
2 − λ (μ − R ) = 0
⎪
⎪
=
ρα
σ
σ
+
α
σ
⎪
1
1
2
2
0
2
2
⎩ ∂α
2
• Determiniamo media e varianza del portafoglio di tangenza dove α1 + α2 = 1.
1. Risolviamo le prime due equazioni del sistema per α1 e α2
i
λh 2
α1 =
σ 2 (μ1 − R0) − ρσ 1σ 2 (μ2 − R0)
∆
i
λh 2
α2 =
σ 1 (μ2 − R0) − ρσ 1σ 2 (μ1 − R0)
∆
³
´
2
2
2
dove ∆ = σ 1σ 2 1 − ρ .
35
Sostituiamo α1e 2 nel rendimento atteso del portafoglio di tangenza
μT = α1μ1 + α2μ2 = α1 (μ1 − μ2) + μ2
σ 22 (μ1 − R0) − ρσ 1σ 2 (μ2 − R0)
=
(μ1 − μ2) + μ2
B − AR0
C − BR0
A (R0)2 − 2BR0 + C
=
=⇒ μT − R0 =
B − AR0
B − AR0
2. Determiniamo λ per il portafoglio di tangenza.
(a) Moltiplichiamo la prima equazione per α1, la seconda per α2 e sommiamo
α21σ 21 + α22σ 22 + 2ρσ 1σ 2α1α2 = λ [α1 (μ1 − R0) + α2 (μ2 − R0)] =⇒
2
σ
σ 2 = λ (μ − R0) e perciò λ =
μ − R0
36
(b) Nel portafoglio di tangenza α1 +α2 = 1.Sommando le due precedenti soluzioni
1=
λ
(B − AR0)
∆
3. Uguagliando le due espressioni per λ
ovvero
σ 2T
∆
=
μT − R0
B − AR0
μT − R0 = σ 2T
B − AR0
∆
Poiché
A (R0)2 − 2BR0 + C
A (R0)2 − 2BR0 + C
=⇒ B − AR0 =
μT − R0 =
B − AR0
μT − R0
37
Sostituendo
1 A (R0)2 − 2BR0 + C
2
=⇒
μT − R0 = σ T
∆
μT − R0
v
u
u A (R )2 − 2BR + C
μT − R0
0
0
t
σT
=
s
μT − R0
AR02 − 2BR0 + C
μ = R0 ± σ
∆
In presenza di un titolo privo di rischio, la frontiera dei portafogli con varianza
minima è costituita da due rette che hanno una comune intercetta pari a R0 e
una pendenza che è pari al coefficiente di σ in valore assoluto.
38
μ
α0 < 0
α0 = 0
μT
R0
0<α0<1
T
α0 > 1
α0 = 1
E
σT
σ
Figura 8:
La frontiera di minima varianza è costituita dalle due rette R0T e R0E; di cui il
tratto positivamente inclinato R0T costituisce la frontiera efficiente.
• Ogni portafoglio che appartiene a T R0E può essere visto come una combinazione
lineare del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T . In particolare:
39
1. Nel punto T , tutta la ricchezza viene investita nei due titoli rischiosi (α0 = 0);
2. In R0, tutta la ricchezza viene investita nel titolo privo di rischio (α0 = 1);
3. A destra di T , vi è una vendita allo scoperto del titolo privo di rischio (α0 < 0) il cui
ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio rischioso T ;
4. Nel tratto R0E, vi è una vendita allo scoperto del portafoglio T , il cui ricavato viene
investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio privo di rischio (α0 > 1).
Il modello CAPM
• Passiamodall’analisi delle scelte individuali all’analisi del funzionamento del mercato
dei capitali esaminando l’equilibrio attraverso il modello CAPM.
40
• Il CAPM fa uso di ipotesi semplificatrici
1. Ogni investitore sceglie il proprio portafoglio massimizzando l’utilità attesa. L’utilità
attesa differisce da investitore a investitore ma dipende in ogni caso soltanto da μ e
σ 2. Ciò equivale ad assumere che i rendimenti dei titoli seguano una distribuzione
normale o che la funzione di utilità sia quadratica. Le scelte di portafoglio sono
effettuate in base al criterio media-varianza.
2. Tutti gli investitori dispongono delle stesse informazioni e hanno le stesse aspettative
riguardo ai rendimenti futuri dei titoli e alla loro variabilità. Tutti gli investitori
concordano sui rendimenti attesi dei titoli e sulle loro varianze e covarianze.
3. Tutti gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale, ovvero tutte le decisioni di
acquisto e vendita dei titoli vengono prese nello stesso istante e hanno la medesima
durata.
41
4. Tutti gli investitori assumono come dati i prezzi dei titoli.
5. Esiste un titolo non rischioso che può essere venduto o acquistato in quantità illimitate.
6. Non ci sono costi di transazione che gravano sugli scambi né imposte (per esempio
sui guadagni in conto capitale).
7. Le quantità disponibili di tutti i titoli sono fisse e, inoltre, ogni titolo è infinitamente
divisibile.
• Tralasciando la prima ipotesi, alle restanti molto spesso ci si riferisce dicendo che il
mercato dei capitali, delle attività, è perfetto.
42
• Le prime due ipotesi dell’elenco precedente ci permettono di trarre l’importante conclusione che i portafogli domandati da tutti gli individui si trovano sulla stessa frontiera
efficiente, anche se naturalmente questi portafogli differiscono tra loro.
μ
3
2
1
R0
LMC
P3
T
P1
σ
Figura 9:
Benché le scelte di questi tre investitori siano diverse, tutte e tre si trovano sulla
medesima frontiera. Questa conclusione discende dall’ipotesi aspettative omogenee;
43
poiché tutti gli investitori percepiscono lo stesso insieme di opportunità e quindi lo
stesso portafoglio di tangenza, la retta R0T è rappresentativa dell’intero mercato e
viene denominata linea del mercato dei capitali (lmc).
• Tutti i portafogli che si trovano sulla lmc possono essere rappresentati come combinazioni lineari del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T. Ne discende
che tutti gli investitori avranno la stessa composizione di portafoglio di titoli rischiosi. Tutti gli investitori distribuiranno la loro ricchezza tra i titoli rischiosi secondo le
proporzioni fissate dal portafoglio di tangenza (Teorema di separazione)
• Poiché la domanda di titoli rischiosi di ciascun investitore riflette le proporzioni del
portafoglio di tangenza, anche la domanda complessiva avrà le medesime proporzioni.
Domanda e offerta in equilibrio sono uguali; anche l’offerta avrà perciò in equilibrio la
composizione del portafoglio di tangenza. Questa osservazione ci consente di derivare
la relazione più importante del modello capm.
44
• Questa relazione determina il rendimento atteso di un qualsiasi titolo o portafoglio
come somma del rendimento del titolo privo di rischio e di un premio per il rischio.
• Questa relazione è valida per tutte le attività, sia che appartengano alla lmc sia che non
vi appartengano. In equilibrio tutti i titoli sono rappresentati nei portafogli individuali
e quindi nel portafoglio di mercato, inteso come la media dei singoli portafogli: se
un titolo non venisse domandato, il suo prezzo cadrebbe facendo salire il rendimento
fino a che non divenisse sufficientemente attraente da venir incluso nel portafoglio di
mercato.
Il portafoglio di mercato
• Definiamo con W i la ricchezza individuale dell’individuo i e con αij la proporzione
di questa ricchezza investita nel titolo j.
45
• La ricchezza totale, W M , è la somma delle ricchezze individuali
N
X
Wi = WM
1
In equilibrio domanda e offerta di ciascun titolo debbono uguagliarsi. Se αM
j è la quota
del titolo j nella ricchezza totale, l’equilibrio di mercato per il titolo j comporta
N
X
M
αij W i = αM
j W
i=1
I coefficienti αM
j sono i pesi del portafoglio di mercato. Li scriviamo come
N
X
i
W
αM
αij M
j =
W
i=1
Il portafoglio di mercato è semplicemente la media ponderata dei portafogli individuali,
dove i pesi sono dati dalla ricchezza di ciascun investitore rispetto alla ricchezza totale.
46
• Se sommiamo gli αM
j
M
αM
+
α
1
2
P
N
X
N
X
Wi
Wi
=
(αi1 + αi2) M =
(1 − αi0) M =
W
W
i=1
i=1
N
X
Wi
= 1−
αi0 M
W
i=1
Il termine i αi0W i rappresenta la domanda netta (cioè la somma algebrica delle
domande individuali) del titolo non rischioso. Identificando questo titolo con i prestiti
tra gli investitori, in equilibrio la sua domanda netta deve essere pari a zero perché vi
è uguaglianza tra domanda e offerta di prestiti e perciò ad ogni creditore corrisponde
un debitore.
• In equilibrio deve essere
M =1
αM
+
α
1
2
47
Se poniamo pari a 1 la ricchezza totale esistente W M , la condizione dice che in
equilibrio questa ricchezza viene domandata dagli investitori senza che si verifichino
eccessi di domanda o di offerta. Gli αM
j indicano in quali proporzioni questa ricchezza
viene ripartita tra i due titoli dall’insieme degli investitori ovvero la composizione del
portafoglio di mercato.
• Nelle ipotesi del CAPM tutti i portafogli individuali sono formati allo stesso modo
per ciò che riguarda i titoli rischiosi: in tutti i portafogli i titoli rischiosi entrano nelle
stesse proporzioni e questa è anche la composizione del portafoglio di mercato.
• Il portafoglio di tangenza può differire da investitore a investitore perché dipende dalle
aspettative individuali sui rendimenti dei titoli rischiosi e sulla loro variabilità. Ma se,
come nelle ipotesi del CAPM, tutti nutrono le stesse aspettative su rendimenti attesi,
varianze e covarianze, il portafoglio di tangenza risulterà uguale per tutti. Tutti gli
investitori domanderanno i titoli rischiosi nelle stesse proporzioni e in equilibrio, per
l’uguaglianza di domanda e offerta, questa sarà anche la composizione del portafoglio
di mercato.
48
• Qualunque siano le preferenze degli investitori, le proporzioni con cui i titoli rischiosi
entrano nei portafogli individuali rimangono invariate.
• Il problema di scelta del singolo investitore. In sintonia con l’analisi media-varianza,
la sua funzione di utilità attesa dipenderà positivamente dal rendimento atteso e
negativamente dalla varianza
³
μ, σ 2
´
E (U ) = V
= V [α1 (μ1 − R0) + α2 (μ2 − R0) + R0,
α21σ 21 + α22σ 22 + 2α1α2ρσ 1σ 2]
Obiettivo dell’investitore è di massimizzare questa funzione scegliendo le due quote
di portafoglio α1 e α2. Le condizioni del primo ordine sono
⎧
³
´
∂V
⎪
2
⎪
⎪
= V1 (μ1 − R0) + V2 2α1σ 1 + 2α2ρσ 1σ 2 = 0
⎨
∂α1
³
´
∂V
⎪
⎪
2
⎪
= V1 (μ2 − R0) + V2 2α2σ 2 + 2α1ρσ 1σ 2 = 0
⎩
∂α2
49
Il rapporto tra α1 e α2 può essere scritto come
σ 22 (μ1 − R0) − ρσ 1σ 2 (μ2 − R0)
α1
= 2
α2
σ 1 (μ2 − R0) − ρσ 1σ 2 (μ1 − R0)
Il rapporto α1/α2 ci mostra qual è la composizione ottimale del portafoglio del singolo
investitore: questa composizione non dipende dalla particolare funzione di utilità, ossia
dalla forma di V (·). Non dipende dal particolare atteggiamento del singolo verso il
rischio. Per l’ipotesi di omogeneità delle aspettative, il rapporto α1/α2 è uguale per
tutti gli investitori.
• Il rapporto α1/α2 conferma anche un altro risultato, che in equilibrio il portafoglio
di mercato ha la stessa composizione del portafoglio di tangenza. Esso è
identico a quello ricavato in base al criterio media-varianza.
50
La linea di valutazione delle attività (SML)
• La conclusione appena raggiunta ha due corollari importanti.
• Il primo è che, siccome tutti gli investitori hanno la stessa composizione di portafoglio relativamente ai titoli rischiosi, ciò che distingue un investitore dall’altro è la
ripartizione della ricchezza tra il titolo non rischioso e i titoli rischiosi (teorema di
separazione) .
• La scelta di portafoglio può essere separata in due stadi distinti:
1. trovare la composizione ottimale di portafoglio riguardo ai soli titoli rischiosi; questa
scelta conduce agli stessi risultati per tutti gli investitori e perciò è indipendente dalle
preferenze;
51
2. trovare la ripartizione ottimale della ricchezza tra titoli rischiosi e titolo non rischioso;
questa ripartizione dipende dalle preferenze individuali.
• Il secondo corollario sfrutta di nuovo la conclusione che il portafoglio di mercato
coincide in equilibrio con quello di tangenza per pervenire ad un’equazione che determina il tasso di rendimento atteso per tutti i titoli e non soltanto di quelli che
appartengono alla lmc.
• Calcoliamo la covarianza tra il titolo 1 e il portafoglio di mercato
σ 1M
h
³
´i
M
M
M
M
= E (R1 − μ1) α1 R1 + α2 R2 − α1 μ1 + α2 μ2 =
2 + αM ρσ σ
σ
= αM
1 2
1 1
2
dove l’apice M ci ricorda che gli α sono riferiti al portafoglio di mercato.
52
• Utilizziamo le condizioni del primo ordine prima determinate
⎧
³
´
∂V
⎪
M
2
M
⎪
⎪
= V1 (μ1 − R0) + 2V2 α1 σ 1 + α2 ρσ 1σ 2 = 0
⎨
∂α1
³
´
∂V
⎪
⎪
M
2
M
⎪
= V1 (μ2 − R0) + 2V2 α2 σ 2 + α1 ρσ 1σ 2 = 0
⎩
∂α2
M
Moltiplichiamo la prima per αM
1 , la seconda per α2 e sommiamo
V
μ −R
V1 (μM − R0) + 2V2σ 2M = 0 =⇒ 2 = − M 2 0
V1
2σ M
Sostituendo
σ iM
E (Ri) − R0 = [E (RM ) − R0] 2 ; i = 1, 2
σM
Il rapporto σ iM /σ 2M è il coefficiente di regressione di Ri su RM ; lo indicheremo con
β i.
E (Ri) = R0 + [E (RM ) − R0] β i
53
per i = 1, 2. Essa è nota come linea di valutazione delle attività (sml, Security Market
Line).
E(R i )
SML
E(RM)
R0
E(R M) - R
0
1
βi
Figura 10:
• Essa afferma che il tasso di rendimento atteso di qualsiasi titolo o portafoglio titoli,
54
sia efficiente che non efficiente, è pari in equilibrio al tasso di rendimento del titolo
non rischioso più un premio per il rischio.
• A sua volta il premio per il rischio è composto di due parti: l’eccesso del tasso di
rendimento atteso del portafoglio di mercato e il coefficiente di regressione β i. Il
primo termine è evidentemente uguale per tutti i titoli: corrisponde alla pendenza
della sml. Il secondo varia da titolo a titolo; poiché β i = Cov (Ri, RM ) / Var (RM ),
esso è tanto maggiore quanto più il tasso di rendimento del titolo considerato tende
a muoversi in sincronia con il tasso di rendimento del portafoglio di mercato, ovvero
quanto più forte e positivo è il “comovimento” tra i due tassi di rendimento.
• Un esempio. Due titoli, 1 e 2, che offrono lo stesso rendimento atteso in livello (non
come tasso), E (z1s) = E (z2s). Il titolo 1 ha un rendimento che è positivamente
correlato con quello del portafoglio di mercato, mentre quello del titolo 2 è negativamente correlato con quello del portafoglio di mercato, cioè β 1 > 0 e β 2 < 0. Per
55
rendere concretamente l’idea, si può pensare che il rendimento del titolo 1 è elevato
quando l’economia è in espansione mentre quello del titolo 2 è elevato quando l’economia è in depressione. Se si valuta il rendimento in termini di utilità marginale,
possiamo dire che una unità addizionale del titolo 1 vale meno di una unità addizionale del titolo 2 perché nel primo caso il rendimento del titolo è maggiore quando già
il reddito dell’economia è elevato.
• Siccome il titolo 2 vale di più, la sua domanda risulterà relativamente più alta di quella
del titolo 1 e il suo prezzo sarà maggiore, P2A > P1A. Poiché i due titoli hanno lo stesso
rendimento atteso, ma il prezzo del titolo 2 è più elevato, il tasso di rendimento del
E (z2s)
E (z1s)
titolo 2 sarà minore di quello del titolo 1,
=
E
(R
)
<
E
(R
)
=
.
2s
1s
A
A
P2
P1
Affinché tutti e due i titoli siano domandati in equilibrio, occorre che il titolo 1 offra
un tasso di rendimento atteso più alto perché la sua struttura dei rendimenti è meno
attraente di quella del titolo 2.
56
Il mercato dei titoli
• La rischiosità di un titolo o di un portafoglio non può essere in generale misurata
dalla varianza o dallo scarto quadratico medio del rendimento ma da quanto questo
rendimento tende a muoversi in sincronia con quello dell’intero mercato, ovvero con
il rendimento del portafoglio di mercato
• Due sono le relazioni principali del capm. La prima riguarda la linea del mercato dei
capitali (lmc)
E (RM ) − R0
σP
E (RP ) = R0 +
σM
dove P è un portafoglio efficiente, che giace cioè sulla lmc, M è il portafoglio di
mercato e R0 è il rendimento del titolo non rischioso.
57
• L’altra relazione importante del capm è la linea di valutazione delle attività (sml)
E (RA) = R0 + [E (RM ) − R0] β A
dove A è un titolo o portafoglio qualunque, sia esso efficiente o no. Possiamo riscrivere
l’equazione della sml come
E (RM ) − R0 σ AM
E (RA) = R0 +
σM
σM
Le due equazioni presentano una struttura assai simile. In ambedue il rendimento atteso di una attività viene espresso come somma del rendimento del titolo non rischioso
e di un premio per il rischio.
• A sua volta il premio per il rischio può essere scomposto in due parti: una prima
E (RM ) − R0
, uguale nelle due equazioni è abitualmente denominata prezzo
parte
σM
di mercato del rischio o premio per unità di rischio e rappresenta di quanto
aumenta il rendimento atteso dell’attività considerata quando viene aumentato di
58
una unità il rischio; l’altra parte dà conto appunto del rischio e differisce nelle due
equazioni. Tutt’e due le equazioni hanno una struttura del tipo:
Rendim. atteso = Rendim. non rischioso + Premio rischio
dove
Premio rischio = Prezzo rischio × Ammontare rischio
Rimane da spiegare perché la definizione di rischio differisca nei due casi.
• Nel caso di attività efficienti la definizione di rischio coincide con lo scarto quadratico medio. Prendiamo ad esempio il portafoglio di mercato che è chiaramente
efficiente (è identico al portafoglio di tangenza del singolo investitore); se poniamo
σ 2M
σ AM
2
= σ = σ M . La
A = M, σ AM diviene σ M sicché la misura del rischio è σ
M
M
stessa conclusione vale per tutti i portafogli efficienti: questi sono infatti formati per
una quota α0 dal titolo privo di rischio e per la quota residua 1 − α0 dal portafoglio
di mercato. Si conclude che σσAM = (1 − α0) σ M , il rischio corrisponde cioè ad una
M
quota dello scarto quadratico medio del portafoglio di mercato.
59
• Consideriamo ora un’attività qualsiasi, efficiente o meno che sia. Qual è la misura
rilevante del rischio in questo caso? Siccome tutti gli investitori detengono il portafoglio di mercato il cui rischio è misurato dal relativo scarto quadratico medio, la
misura appropriata del rischio di un’attività qualsiasi è costituita dalla variazione che
subisce σ M quando si varia la detenzione di questa attività.
• Se continuiamo a supporre per semplicità che vi siano solo due titoli rischiosi, σ M è
³
´1/2
2
2
2
2
σ M = α1σ 1 + α2σ 2 + 2α1α2σ 12
dove le quote α1 e α2 sono riferite al portafoglio di mercato.
• Se variamo la quota α1 del titolo 1 nel portafoglio di mercato, la variazione conse-
60
guente di σ M è
∂σ M
=
∂α1
=
=
³
´1/2
2
2
2
2
∂ α1σ 1 + α2σ 2 + 2α1α2σ 12
∂α1
´
(1/2) 2α1σ 21 + 2α2σ 12
σ 1M
σM
³
σM
=
=
Il rischio complessivo σ A attribuibile ad un’attività viene abitualmente suddiviso in
due parti: σσAM rappresenta il cosiddetto rischio sistematico o non diversificabile,
M
mentre il rischio residuo σ A − σσAM viene detto non sistematico o diversificabile.
M
61
μ
LMC
M
E (R)
E (RA )=E (RP)
P
A
Z
E (R)=R0
σΑΜ
σ
= σP
σΜ
σΑ = σΖ
σ
Figura 11:
L’attività A è chiaramente inefficiente perché si trova al di sotto della lmc. Non
tutto il rischio σ A viene remunerato dal mercato ma solo la componente sistematica.
62
Viceversa, l’attività P è efficiente e tutto il rischio σ P viene remunerato. Se invece
guardiamo alla linea di valutazione delle attività tutte e due le attività si trovano sulla
sml . Il motivo è che in questo caso la variabile sull’asse delle ascisse β i = σiM
2 è
σM
una misura del rischio sistematico, e le due attività hanno lo stesso livello di rischio
sistematico.
63
E (R i)
SML
M
E (R M )
P
E ( R A )= E ( R P )
E ( R Z )= R 0
A
Z
β A =β P
1
βi
Figura 12:
Sia la lmc che la sml ci dicono che soltanto la componente sistematica del rischio è
rilevante ai fini della determinazione del rendimento (atteso) di un’attività. L’unica
differenza è che nel grafico della lmc il rischio sistematico di un’attività non è misurato
64
da tutta l’ascissa ma solo dal tratto orizzontale che si trova tra il rendimento atteso
dell’attività considerata e la lmc.
• Che la lmc e la sml forniscano lo stesso messaggio a proposito del rischio lo si può
verificare anche guardando alle due equazioni che le definiscono,
LM C =⇒
E (RP ) − R0
E (RM ) − R0
=
σP
σM
E (RA) − R0
E (RM ) − R0
SML =⇒
=
σ AM /σ M
σM
Possiamo scrivere in forma compatta queste due equazioni nel seguente modo:
E (RM ) − R0
E (RA) − R0
E (RP ) − R0
=
=
σP
σM
σ AM /σ M
Per qualunque attività, efficiente o inefficiente, il mercato paga lo stesso premio per
unità di rischio sistematico.
65
Il titolo con β = 0
• Guardiamo all’attività Z. Come risulta dal grafico, questa attività ha un rendimento
uguale a quello del titolo non rischioso perché il suo rischio sistematico è nullo. Siccome Z non ha rischio sistematico, può essere considerata equivalente ad un’attività
priva di rischio. Sfruttando la presenza di attività come Z, possiamo costruire una
versione del CAPM in cui non vi è alcun titolo che fornisce un rendimento certo pari
a R0.
66
μ
M
E(RM)
B
E (R B )
Z
E (R Z)
σΒΜ
σΜ
σΜ
σΖ σΒ
σ
Figura 13:
Sia M il portafoglio di mercato. Conducendo la tangente alla frontiera di minima
varianza nel punto M e poi tracciando una retta orizzontale fino a incontrare di
nuovo l’iperbole, si individua l’attività Z che ha correlazione zero con il portafoglio
di mercato.
67
• Siccome Z ha un rischio sistematico nullo, può di fatto svolgere lo stesso ruolo del
titolo privo di rischio; in particolare, il premio per il rischio deve essere calcolato
rispetto a Z.
• Determiniamo in primo luogo il premio per unità di rischio per il portafoglio di mercato;
questo può essere fatto calcolando la pendenza della E(RZ )M nel punto M :
E (RM ) − E (RZ )
σM
68
μ
2
1
M
P2
P1
Z
σ
Figura 14:
Prendiamo ora una qualsiasi attività come B; il premio per unità di rischio (sistematico) per questa attività equivale in termini grafici alla pendenza della E(RZ )M nel
69
punto B
E (RB ) − E (RZ )
σ BM /σ M
Uguagliando le ultime due espressioni:
E (RM ) − E (RZ )
E (RB ) − E (RZ )
=
=⇒
σ BM /σ M
σM
E (RB ) = E (RZ ) +
E (RM ) − E (RZ ) σ BM
σM
σM
La relazione principale del capm è immutata anche in assenza di un titolo con un
rendimento certo.
• È bene però sottolineare due punti che sono una conseguenza immediata del fatto
che in questa versione del CAPM non vi è un titolo privo di rischio. Il primo è che la
retta E(RZ )M non rappresenta l’insieme dei portafogli disponibili agli investitori: la
70
E(RZ )M non sostituisce la CML proprio perché non vi è alcun titolo privo di rischio.
Gli investitori scelgono piuttosto in base alle loro preferenze un’attività che si trova
sul tratto crescente dell’iperbole, cioè sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi.
• La figura illustra la situazione di due individui: l’investitore 1 sceglie il portafoglio P1
avendo così una posizione lunga in M e Z; l’investitore 2 sceglie il portafoglio P2
con una posizione corta in Z e lunga in M.
• Si noti che ogni portafoglio può essere ottenuto combinando linearmente M e Z.
Dalla precedente equazione, ricordando che β i = σiM
2
σM
E (RB ) = (1 − β B ) E (RZ ) + β B E (RM )
71
μ
M
M
2
1
Z2
Z1
σ
Figura 15:
• Il secondo punto che va sottolineato è che abbiamo individuato l’attività Z assumendo
che il portafoglio di mercato sia M. Questo modo di procedere è però rovesciato
rispetto a quello che abbiamo prima seguito in presenza di un titolo privo di rischio. In
72
quest’ultimo caso siamo partiti dal titolo privo di rischio per identificare il portafoglio
di mercato. In assenza di un titolo privo di rischio, siamo invece partiti dal portafoglio
di mercato per individuare l’attività Z con esso incorrelata: di conseguenza, esiste
un’attività con un rischio sistematico nullo per ogni possibile portafoglio di mercato,
ovvero per ogni possibile portafoglio efficiente.
• Per esempio, al portafoglio di mercato M1 corrisponde l’attività Z1 e al portafoglio
di mercato M2 corrisponde l’attività Z2. La versione del CAPM senza un titolo privo
di rischi soffre così di un’ambiguità che non può essere eliminata finché non siamo in
grado di identificare il “vero” portafoglio di mercato.
73