Paolo Martinis
Trieste, 28 luglio 2003
Università degli Studi di Trieste - Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Relazione di Laboratorio di Fisica Generale
Misura della costante elastica di una molla
Introduzione
Lo scopo dell’esperienza è lo studio del comportamento di una molla in
due diversi procedimenti che dovrebbero portare allo stesso risultato:
l’espressione della costante elastica k della molla.
I due metodi che si seguono sono:
• il metodo statico: alla molla vengono appese diverse masse note
e si misura l’allungamento della stessa;
• il metodo dinamico: dopo aver messo in oscillazione la molla
alla quale viene preventivamente applicata una massa, se ne
misura il periodo.
Note di teoria
Per quanto riguarda il metodo statico, la relazione che ci permette di determinare k in funzione di
misure a noi note è la Legge di Hooke:
(1)
F = k∆x
dove F è la forza applicata alla molla mentre ∆x è l’allungamento della molla.
Dalla (1) è facile ricavare l’equazione
(2)
k=
F mg
=
∆x ∆x
dove m è il peso delle masse appese e g è l’accelerazione di gravità.
Per quanto riguarda il metodo dinamico, la legge che ci guida è quella che mette in relazione il
periodo T di oscillazione della molla con la massa m ad essa applicata e con la costante elastica k:
(3)
T = 2π
m
k
Esplicitando la relazione rispetto a k abbiamo
(4)
k = 4π 2
m
T2
Esperienza, misure e risultati – metodo statico
La molla è stata agganciata verticalmente ad un piedistallo. Gli strumenti utilizzati nell’esperienza
sono stati:
• una riga graduata agganciata all’asta verticale (cost. di lettura λ=1mm) per la misura
dell’allungamento ∆x subito;
martinis - molla
1
• 4 masse di 50g, 75g, 100g, 125g per le quali il costruttore ha fornito uno scarto σm=0,100g;
Le misure non sono state ripetute, ed inoltre abbiamo assunto nei calcoli g=9,806ms-2 tenendo
conto di uno scarto quadratico σg=0,001 ms-2.
Dopo aver constatato che l’allungamento della molla a riposo risultava essere y0=0,4cm, abbiamo
effettuato le varie prove che hanno dato i risultati organizzati nella seguente tabella:
Massa
Posizione finale
Allungamento
Costante elastica
m
xf
k=mg/ ∆x
Kg
m
∆x=x f-x 0
m
0,05
0,075
0,1
0,125
0,051
0,075
0,098
0,122
0,047
0,071
0,094
0,118
10,4
10,4
10,4
10,4
N/m
Poiché quattro misure con diverse masse ci hanno dato il medesimo risultato, possiamo concludere
che la Legge di Hooke è rispettata almeno nell’ambito di 3 cifre significative.
Valutiamo ora l’errore che abbiamo compiuto nel calcolare k come funzione di altre grandezze
accompagnate da errori di misura.
La costante elastica dipende da prodotti e rapporti, quindi
σk
k
=
σm
m
+
σg
g
+
σ (∆x)
∆x
Considerato che il secondo termine della somma è trascurabile, abbiamo
σm
m
=
0,1g
= 0,001
100 g
σ (∆x)
2 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 m
= 0,042
=
(0,098 − 0,004)m
∆x
dove σ (∆x) = 2σx è la differenza tra due misure che portano entrambe con sé un errore.
Allora l’errore percentuale relativo a k è
σk
k
= 0,001 + 0,042 = 0,043 = 4,3%
Tenendo presente che σk = k ⋅ 0,043 possiamo dire che il valore reale di k si trova nell’intervallo
[
]
definito da k − σk ; k + σk , dove k è il valore di k da noi effettivamente misurato.
Esperienza, misure e risultati – metodo dinamico
La molla è stata agganciata verticalmente al piedistallo ed al suo estremo libero è stata agganciata
una massa di 200g. Gli unici strumenti utilizzati nell’esperienza sono stati 5 cronometri con
costante di lettura λ=0,1s.
Data la difficoltà di misurare con precisione il tempo di un unico periodo, la misurazione è stata
fatta su 10 periodi ed è stata successivamente divisa per 10. Inoltre per ovviare agli svariati errori
accidentali (primo tra tutti i riflessi dell’operatore), abbiamo condotto 11 diverse misure.
martinis - molla
2
11
Il valore medio del periodo sarà T =
∑T
i
i =1
: potremo così calcolare lo scarto i-esimo del periodo
11
misurato con quello medio, ossia ν i = T − Ti ed il suo quadrato. La tabella seguente mostra i
risultati delle diverse misure ed i relativi scarti dal valore medio.
2
Misura
Ti (s)
νi (s)
νi (s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,88
0,80
0,79
0,87
0,90
0,88
0,87
0,88
0,79
0,79
0,81
-0,04
0,04
0,05
-0,03
-0,06
-0,04
-0,03
-0,04
0,05
0,05
0,03
1,5E-03
1,7E-03
2,7E-03
7,9E-04
3,4E-03
1,5E-03
7,9E-04
1,5E-03
2,7E-03
2,7E-03
1,0E-03
Il valore medio risulta essere T = 0,84 s : inserendo tale valore nella (4) abbiamo
m
k = 4π 2
T
2
0,200 g
N
= 11,19
2
m
(0,84 s )
= 4π 2
Calcoliamo ora la deviazione standard del periodo:
n
σT =
∑ν i2
i =1
n −1
11
=
∑ν
i =1
2
i
10
=
202 ⋅ 10 − 4
s = 4,5 ⋅ 10 − 2 s
10
Lo scarto quadratico medio del periodo risulta così essere
σT =
σT
n
=
4,5 ⋅ 10 −2
11
s = 1,3 ⋅ 10 − 2 s
{ }
Osserviamo che tutti i valori misurati possono essere accettati poiché max ν i ≤ 2σ T per i=1,…,11.
Possiamo finalmente giungere al calcolo dello scarto quadratico medio di k, dato da
2
2
 ∂f (m, T )  2  ∂f (m, T )  2
σk = 
 σT + 
 σm
 ∂T 
 ∂m 
ma, osservando che il secondo termine sotto radice è trascurabile in quanto lavoriamo con masse
campione estremamente precise, il calcolo si riduce a
2
2
N
 ∂f (m, T )  2 8π m
σ
=
σ T = 0,35
 T
3
m
T
 ∂T 
σk = 
In conclusione possiamo affermare che il vero valore di k si trova
•
•
[
nell’intervallo [k − 2σ
]
N
N
< k < 11,54 )
m
m
N
N
con una probabilità del 95% (ossia 10,49 < k < 11,89 )
m
m
nell’intervallo k − σ k ; k + σ k con una probabilità del 67% (ossia 10,84
martinis - molla
k
; k + 2σ k
]
3