Partiamo da un gioco ...
Riflessioni matematiche nascoste
Dall'osservazione di giochi di strategia, interessanti e idonei a sviluppare abilità di pensiero,
ad alcune riflessioni matematiche sulla struttura dei giochi stessi .
L'idea di questa mostra- laboratorio nasce da un'attività sui giochi di strategia, proposta a Carrara
nel 2011 e nel 2012 dal gruppo di docenti dell'associazione Matematica in Gioco.
A studenti dei diversi ordini di scuola sono stati presentati giochi astratti di varie tipologie, su
tavolieri e non, al fine di offrire momenti di socializzazione e sviluppare, attraverso l'attività ludica,
processi logici e metacognitivi.
I giochi risultano intrisi di apprendimenti impliciti, giocare è un piacere, ma anche un apprendistato
di regole comuni e favorisce la formazione della persona nel rispetto dell'altro.
Alcuni giochi offrono anche un'occasione per riflessioni su alcuni temi della matematica e possono
essere utilizzati nella didattica per favorire un atteggiamento positivo verso questa disciplina e per
introdurre concetti teorici in un contesto motivante.
Chi si pone di fronte ad un gioco diventa protagonista, in quanto scopritore della soluzione,
soggetto attivo che potrà avere il piacere della sorpresa, del risultato inatteso, elementi stimolanti
per l'attività cognitiva. La ricerca della strategia risolutiva ed il controllo delle fasi di gioco si
legano al miglioramento dell'attenzione e della capacità di previsione.
La fantasia, l'idea e nello stesso tempo il rigore logico e la formalizzazione sono entrambi
fondamentali per trovare i procedimenti risolutivi e quindi le soluzioni.
Il matematico però non si ferma ad individuare una legge che appare evidente dal ripetersi di
regolarità, ma deve confermarla con una dimostrazione rigorosa . Anche le strategie risolutive dei
giochi possono essere anche occasione per avvicinare alla dimostrazione, facilitata dall’uso di
modelli.
Alcuni giochi offrono un’opportunità per proporre esercizi in cui si utilizza l'induzione, processo
logico tipico delle scienze e in particolare della matematica, che conduce alla scoperta di leggi
generali a partire dall'osservazione e dall'analisi di regolarità e analogie in situazioni particolari.
Si può così stimolare ad osservare e studiare regolarità in situazioni problematiche, scoprire leggi,
fare previsioni, formulare ipotesi e congetture
Iniziamo allora a giocare e ...
“Non attraverso l’imposizione i ragazzi impareranno, ma attraverso il gioco”
Platone
1
Puzzle tetraedrico
N° giocatori: 2
Scopo: costruire un tetraedro con sferette assemblate a gruppi diversi
.
Riflessioni matematiche
La struttura può essere utilizzata per introdurre i numeri triangolari.
Si può visualizzare ogni unità che forma un numero con una sferetta e pensare a quali saranno i
primi numeri che possono essere rappresentati in forma di triangolo equilatero o isoscele
rettangolo.
Proprietà dei triangolari.
Il metodo del giovane Gauss per il calcolo della somma dei primi 100, 200...n numeri naturali.
Il numero di strette di mano tra più persone.
Il numero di diagonali di un poligono
Come calcolare velocemente il numero di sfere che compongono la piramide.
2
Numeri triangolari
Un numero triangolare è un numero naturale rappresentabile in forma di triangolo; è possibile
disporre le sue unità-punto su una griglia in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un
triangolo equilatero.
3
Per costruire numeri triangolari si può anche procedere come segue:
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
e così via ...
Per determinare, ad esempio, il quinto numero triangolare si sommano i primi cinque numeri
naturali a partire da 1; così il sesto numero triangolare sarà uguale alla somma dei primi sei numeri
naturali e così via.
Il valore della somma dei naturali da 1 a n è pari all’n-esimo numero triangolare.
I primi numeri triangolari sono:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300,
325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990,
1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830,
1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926,
3003, 3081, 3160, 3240.
Il calcolo della somma dei primi n naturali fu affrontato dal matematico tedesco Gauss già nei primi
anni della scuola elementare. Un giorno, il maestro chiese alla classe nella quale si trovava anche il
piccolo Gauss di calcolare il risultato della somma dei primi 100 numeri consecutivi. Dettato il
problema si aggiustò sulla sedia pensando di dover aspettare molto, ma subito gli si avvicinò Gauss
con il foglio della soluzione. Era incredibilmente corretto!
L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula individuata da Gauss:
nn 1
Tn
2
La si può facilmente verificare scrivendo per esempio la somma dei primi 10 naturali:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
Se sommo a coppie 1+10 , 2+9 , 3+8 , 4+7 , 5+6 , ottengo cinque volte 11.
n
Il numero coppie che si ottengono è , la somma di ogni coppia è
n 1
2
4
È possibile dare anche una giustificazione geometrica della formula:
avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati n e n + 1, che è
formato da n n 1 punti, il doppio di quelli del triangolo.
Particolari proprietà dei numeri triangolari
 Un numero triangolare è dato dalla somma di una sequenza di numeri consecutivi a partire
da 1.
 Osservando la loro successione, si incontrano due numeri dispari seguiti da due numeri pari.
Pensiamo alla successione dei naturali, il primo termine è dispari ed è anche il primo
triangolare. Per ottenere il secondo triangolare sommiamo un pari e si ottiene quindi un
dispari. Per ottenere il terzo triangolare si somma un dispari, D+D=P, e così via.
 Il doppio di un numero triangolare di posto n corrisponde al prodotto di n e del suo
consecutivo.
 La somma di due numeri triangolari successivi dà un quadrato.
nn 1
2
nn 1
2
n2
n n2
2
n
2n 2
2
n2
 Ogni numero naturale, se non è esso stesso triangolare, si può sempre ottenere come somma
di due o tre numeri triangolari.
 Tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro divisori propri) sono numeri
triangolari.
es. 6, 28, 456
5
 Il quadrato di un qualsiasi numero triangolare di posto n è uguale alla somma dei primi n
numeri naturali al cubo
es. 6 2 13 23 33
Lo si può visualizzare utilizzando costruzioni con i regoli, come nelle immagini:
Dimostrazione per induzione
Verifichiamo che questa affermazione sia vera per il primo numero triangolare:
12 13 .
nn 1
Supponiamo che sia vero per l’n-esimo numero triangolare
2
dimostriamolo per l’(n+1)-esimo
3
1
2
3
3
3
... n
n 1 2 n 2 4n 4
4
3
n 1
3
nn 1
2
n 1 n 2
2
2
n 1
3
n2 n 1 2
2
13
23 ... n3 e
4 n 13
4
2
 Ogni quadrato dispari si può scrivere come differenza di due triangolari non consecutivi.
es. 9 = 10-1
25 = 28-3
6
 L'ottuplo di un numero triangolare aumentato di 1 è sempre un numero quadrato (teorema di
Diofanto).
es. 8·6 + 1= 49
Da questa proprietà si deduce che per riconoscere se un numero è triangolare lo si moltiplica per 8,
si aggiunge 1 al prodotto; se si ottiene un quadrato il numero era un triangolare.
 C'è una relazione tra i numeri triangolari ed il numero di diagonali di un poligono
N° diagonali + 1=
Nome Poligono
N°diagonali
N° triangolare
Triangolo
0
1
Quadrilatero
2
3
Pentagono
5
6
Esagono
9
10
Ettagono
14
15
Ottagono
20
21
Ennagono
27
28
Decagono
35
36
7
Consideriamo un poligono di n lati e i segmenti distinti che possiamo individuare
collegando ciascun vertice con gli altri.
Ciascuno degli n vertici è collegato con altri (n-1) vertici, non dovendo contare 2 volte ogni
collegamento, si individua che:
nn 1
n punti nel piano individuano
segmenti.
2
Per calcolare quante sono le diagonali d dobbiamo sottrarre il numero dei n lati
nn 1
d
n
2
Se al numero delle diagonali aggiungiamo 1, otteniamo il numero triangolare di posto n-2 nella
successione:
nn 1
2
n 1
nn 1
2
n 1
n 1 n 2
2
nn 1
2
n , numero triangolare
Dunque
n lati, numero diagonali d
n 1 n 2
2
Le strette di mano
Pensiamo alle strette di mano che si possono scambiare tra le persone. Se la persona è una sola, non
ci sono strette, se le persone sono due, la stretta è una, se le persone sono tre, le strette sono tre, se le
persone sono quattro, le strette sono sei, etc.
1, 3, 6, …. Sono ancora i numeri triangolari!
Proviamo a “vedere” questa situazione in forma geometrica.
Se i punti sono due, il segmento che li unisce è uno solo; se i punti sono tre, i segmenti che li
congiungono sono tre; se i punti sono quattro i segmenti sono sei, etc. Ogni segmento corrisponde a
una stretta di mano.
a) due punti, un segmento:
8
b) tre punti, tre segmenti:
c) quattro punti, sei segmenti:
d) n punti,
nn 1
segmenti :
2
Ogni persona stringe la mano alle (n-1) rimanenti persone, abbiamo così n(n-1) strette di mano, ma
in questo modo ogni stretta di mano viene contata due volte, perciò il numero esatto di strette di
nn 1
mano è
che corrisponde al nostro n-esimo numero triangolare.
2
9
Pylos
E' uno dei più strani e affascinanti giochi astratti,
premiato in tutto il mondo e anche in Italia come
" Gioco dell' anno " (1994).
Fu ideato nel 1964 dell’ingegnere britannico
David G. Royffe mentre giocava con alcune palle
da biliardo.
N° giocatori: 2
Si compone di una scacchiera 4x4 e una serie di sfere (bianche e nere) da impilare, in modo da
formare una piramide di sfere.
Vince il giocatore che pone la sfera del proprio colore in cima alla piramide.
Due le regole da rispettare: un giocatore può spostare una delle sfere già sul tavolo, anziché
inserirne una nuova, facendola salire su altre; quando un giocatore fa quadrato di quattro sfere del
proprio colore, può togliere dal tavolo fino a due sfere qualsiasi e ciò permette di risparmiare sfere
che potranno essere posizionate successivamente.
Riflessioni matematiche
La piramide che si forma è composta da strati di sfere disposte a formare quadrati decrescenti per
numero di sfere sul lato, dal basso verso l’alto.
La struttura può essere utilizzata per introdurre i numeri quadrati e loro proprietà.
Da questi agli altri numeri poligonali ed in particolare alle loro progressioni.
Si può mostrare come qualunque numero poligonale è riconducibile alla somma di triangolari e
fare un accenno al relativo teorema di Fermat.
Il pylos ed il puzzle tetraedrico costituiscono anche esempi di numeri piramidali, ottenuti dalla
sovrapposizione dei poligonali piani.
10
Numeri quadrati
I numeri quadrati sono numeri le cui unità-punto si dispongono a formare un quadrato,
corrispondono alle seconde potenze dei numeri naturali e si ottengono anche sommando in ordine
crescente i numeri dispari:
11
Costruzione dei numeri poligonali
Nei paragrafi precedenti abbiamo costruito, intuitivamente, numeri triangolari e quadrati.
Vediamo ora una regola che consente di rappresentare un qualsiasi numero poligonale.
Il primo numero poligonale è sempre il punto unità, il secondo è formato da tanti punti quanti sono i
vertici del poligono considerato di lato unitario.
Gli altri numeri poligonali successivi al secondo si costruiscono scegliendo un vertice e
prolungando i lati che escono da questo vertice.
Si considera un punto su questi prolungamenti a distanza un’unità.
Si disegna ancora sui prolungamenti un poligono regolare con lato di una unità maggiore del
precedente.
Su ciascun lato si disegnano punti a distanza unitaria.
In figura la costruzione dei numeri pentagonali:
e dei numeri esagonali:
12
Progressioni dei numeri poligonali
Osserviamo le progressioni dei numeri triangolari, quadrati, pentagonali ed esagonali.
Numero
Formula
n=1 2 3 4 5 6 ...
Triangolare
n(n+1)
2
1 3 6 10 15 21 ...
Quadrato
n(2n-0)
2
1 4 9 16 25 36 ...
Pentagonale
n(3n-1)
2
1 5 12 22 35 51 ...
Esagonale
n(4n-2)
2
1 6 15 28 45 66 ...
Eptagonale
n(5n-3)
2
.
.
.
1 7 18 34 55 81 ...
.
.
.
.
.
.
13
Notiamo che ogni numero poligonale si può ottenere dai triangolari e vediamo questo primo modo.
9=3+3+3
Q3
T2
16=6+6+4
T2
3
12=3+3+3+3
P3 T2 T2 T2
Q4
T2
T2
T2
T3
4
Q5
22=6+6+6+4
P4 T3 T3 T3
3
15=3+3+3+3+3
E3
T3
25=10+10+5
3
E4
T3
T3
T3
T4
5
35=10+10+10+5
P5 T4 T4 T4
4
28=6+6+6+6+4
T2
T4
5
45=10+10+10+10+5
T3
4
E5
T4
T4
T4
T4
5
14
Quale formula lega l’n-esimo numero poligonale di r lati, Pol nr , con i triangolari (n-1)-esimi?
Osservando gli esempi precedenti, si scopre che se il poligonale ha r lati i triangolari che occorrono
sono r-2. Si conclude che
Pol nr
r 2 Tn 1 n
Proponiamo ora un secondo modo visualizzato nella foto:
15
Analizziamo le seguenti tabelle:
Dai triangolari ai quadrati
n
Tn
aggiungo
Qn
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
6
10
15
21
28
36
1
3
6
10
15
21
28
4
9
16
25
36
49
64
1
Qn
Tn 1 Tn
1
Dai triangolari ai pentagonali
n
Tn
aggiungo
Pn
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
6
10
15
21
28
36
2·1
2·3
2·6
2·10
2·15
2·21
2·28
5
12
22
35
51
70
92
1
Pn
Dai triangolari agli esagonali
n
1
2
Tn
aggiungo
En
1
1
Tn
2 Tn
1
3
4
5
6
7
8
3
6
10
15
21
28
36
3·1
3·3
3·6
3·10
3·15
3·21
3·28
6
15
28
45
66
91
120
En
Tn
3 Tn
1
L’ennesimo numero poligonale si ottiene aggiungendo all’ennesimo numero triangolare l’(n-1)esimo numero triangolare ripetuto tante volte quanti sono i lati del poligono meno 3.
In generale
Polnr
Tn
r 3 Tn
1
16
I numeri poligonali: un po’ di storia
“Lo giuro su colui che ha dato alla nostra anima la tetractys, sorgente e radice della natura
immortale”
Pitagora, Verso d’Oro, 47
Su questo numero triangolare giuravano i Pitagorici, nel sesto secolo a. C., primi ad analizzare le
proprietà dei numeri poligonali, rappresentandoli con punti sulla sabbia o mediante ciottoli.
La definizione di numero poligonale è stata data da Diofanto nell’Aritmetica intorno al 250 d.C.
L’autore sembra presupporre che ogni numero possa essere espresso come somma di quattro
quadrati. L’opera di Diofanto affascinò Pierre de Fermat, che si lanciò nella sfida, e scrisse:
“Sono stato il primo a scoprire un teorema credo assai più prezioso della grande maggioranza;
ogni numero è un quadrato o la somma di due, tre o quattro quadrati; ogni numero è un numero
pentagonale o la somma di due, tre, quattro o cinque numeri pentagonali; e così via all’infinito, per
esagoni, ettagoni o qualsiasi altro poligono, variando l’enunciato di questo teorema generale e
meraviglioso in accordo con il numero degli angoli … Non posso dare qui la dimostrazione di
questo, che dipende da vari e complessi misteri dei numeri, dato che ho deciso di dedicare un
lavoro specifico e completo a quest’argomento …”
Purtroppo questo lavoro non è mai stato trovato.
Il teorema di Fermat sui numeri poligonali afferma che qualunque numero può essere scritto
come somma di al più n numeri poligonali di n lati.
Ad esempio ogni intero può essere espresso come somma di 3 numeri triangolari, 4 quadrati, 5
pentagonali e così via. Il primo caso ad essere dimostrato è stato nel 1772 quello dei quadrati con il
teorema dei quattro quadrati di Joseph-Louis Lagrange. Gauss provò il caso dei triangolari,
annotando sul proprio diario il 10 luglio 1796
“Εύρηκα! num
”
Cauchy dimostrò il teorema nella sua interezza nel 1813.
C’erano voluti circa 150 anni per risolvere una annotazione sul margine fatta da Fermat.
17
Numeri tetraedrici
Nello spazio a tre dimensioni se sovrapponiamo ordinatamente i numeri triangolari otteniamo i
numeri tetraedrici (ovvero i numeri piramidali a base triangolare).
Nella figura seguente sono rappresentati i primi quattro numeri tetraedrici.
1
4
10
20
Qual è l’n-esimo numero tetraedrico?
L’n-esimo numero tetraedrico è dato dalla formula:
1
nn 1 n 2
6
Dimostrazione per induzione
Verifichiamo che questa affermazione sia vera per il primo numero tetraedrico:
1
1
1 2 3.
6
1
Supponiamo che sia vero per l’n-esimo numero tetraedrico
n n 1 n 2 e dimostriamolo per
6
l’(n+1)-esimo che si ottiene sovrapponendo l’n-esimo al (n+1)-esimo numero triangolare
1
n 1 n 2 1
nn 1 n 2
n 1 n 2 n 3.
6
2
6
18
Numeri piramidali quadrati
Se sovrapponiamo ordinatamente i numeri quadrati otteniamo i numeri piramidali a base quadrata.
Nella figura seguente sono rappresentati i primi quattro numeri piramidali quadrati.
1
5
14
30
Qual è l’n-esimo numero piramidale quadrato?
L’n-esimo numero piramidale quadrato è dato dalla formula:
1
n n 1 2n 1
6
Dimostrazione
Abbiamo visto che la somma di due numeri triangolari consecutivi è un quadrato, quindi la somma
di due numeri tetraedrici consecutivi è un numero piramidale quadrato:
1
n 1n n 1
6
1
nn 1 n 2
6
1
n n 1 2n 1 .
6
19
Proviamo a dare una visualizzazione di come si giunge a questa formula.
Consideriamo tre piramidi quadrate n-esime:
Stendiamo i livelli delle tre piramidi e impacchettiamoli, mantenendo i livelli di due piramidi intatti
e combinando quelli della terza piramide per riempire lo spazio che resta
20
Otteniamo così una scatola rettangolare bassa, di larghezza 2n+1 e lunghezza l’n-esimo numero
triangolare.
Quindi l’n-esimo numero piramidale quadrato è
1
nn 1
(2n 1)
3
2
Proviamo a visualizzare, sempre con i regoli, come i livelli quadrati della terza piramide riescano a
riempiere lo spazio. Ricordiamo che ogni quadrato può essere visto come somma di numeri dispari
in successione, come mostra la figura seguente per i primi cinque quadrati.
=
=
=
=
=
Contiamo quante volte compare ognuno dei primi cinque numeri dispari.
L’uno compare 5 volte, il tre 4 volte, il cinque 3 volte, il sette 2 volte ed il nove 1 sola volta.
21
Disponendo i regoli, che rappresentano i numeri dispari, in ordine crescente si ottiene una specie di
triangolo che si inserisce nel rettangolo di base 2x5+1 e altezza 15, la cui area è il triplo della
somma dei primi cinque numeri quadrati, cioè del quinto numero piramidale.
La somma dei primi n numeri quadrati è allora:
12
22
32
42
... n 2
(2 • n 1) •
(n 1) • n 1
•
2
3
(2 • n 1) • (n 1) • n
6
22
Abalone
Il gioco è stato inventato dai francesi Michel Lalet e
Laurent Lévi nel 1987. Il nome deriva da quello di
un grosso mollusco, conosciuto anche come
"orecchia di mare", che in italiano si chiama
aliotide, ma è anche una specie di mostro semantico
tra il prefisso latino "ab" e il vocabolo inglese
"alone" (che significa "solo").
N° giocatori: 2
Abalone si gioca su un particolare tavoliere esagonale di plastica formato da sessantuno posizioni
cave.
Ogni giocatore dispone di quattordici biglie di vetro, bianche per un giocatore, nere per l'altro, su due
lati contrapposti del tavoliere.
Il giocatore di turno può spostare con una unica mossa 1, 2, o 3 delle proprie biglie, a scelta, di una
posizione, in qualsiasi direzione.
La condizione è che tali biglie siano adiacenti tra di loro e che formino una linea.
Nello spostamento è possibile spingere le biglie avversarie (ma non le proprie).
Ciò è possibile quando il numero delle biglie avversarie è inferiore a quello delle biglie che
spingono.
Dato che il numero massimo di biglie che si possono spostare è tre, è ovvio che non si possono mai
spostare più di due biglie avversarie. Le tre combinazioni possibili per poter spostare le biglie
dell’avversario sono: 3 contro 2, 3 contro 1 e 2 contro 1.
Lo scopo del gioco è quello di spingere fuori dal tavoliere sei biglie avversarie.
Riflessioni matematiche
Il gioco fornisce l’occasione per una riflessione particolari numeri poligonali, gli esagonali centrati.
Interessante confrontare le progressioni dei vari poligonali a partire dai triangolari fino agli
esagonali e mostrare come qualunque numero poligonale è riconducibile alla somma di triangolari.
Accenno al teorema di Fermat sui numeri poligonali (Ogni numero naturale è somma di al più n
numeri poligonali di lato n).
23
Numeri esagonali centrati
Nei paragrafi precedenti abbiamo considerato alcune categorie di numeri figurati, numeri, cioè, che
possono essere rappresentati mediante uno schema geometrico regolare nel piano o nello spazio.
Tra le varie categorie dei numeri figurati c’è quella dei numeri poligonali centrati. I poligonali
centrati si differenziano dai poligonali per essere generati a partire dal centro di un poligono
regolare anziché da un vertice.
In questo paragrafo ci occuperemo dei numeri esagonali centrati
I numeri esagonali centrati sono numeri che possono essere rappresentati disponendo dei punti
attorno a un punto centrale in modo da formare un esagono
Quale sarà il prossimo numero esagonale?
Per rispondere immaginiamo di ottenere ciascun numero esagonale disponendo attorno al punto
centrale tre parallelogrammi, ognuno di lati n e n-1
La formula per ottenere l’ n-esimo numero esagonale centrato (d’ora in poi hexn) è
hexn =
24
Osserviamo che un numero esagonale centrato si può ottenere anche disponendo attorno al punto
centrale sei triangoli equilateri
hexn =
La procedura ricorrente che permette di ottenere il successivo numero esagonale centrato (a partire
dal terzo in poi) è:
La somma dei primi
numeri esagonali è sorprendentemente semplice
:
Di questa formula è possibile dare una curiosa verifica:
Costruiamo un cubo con 4X4X4 cubetti di lato unitario. Da un vertice del cubo togliamo un cubetto
(il primo hex). Rimane un buco cubico di volume 1 X 1 X 1. Confinanti con lo spazio vuoto lasciato
dal primo cubetto vi sono sette cubetti (il secondo hex). Tolti questi sette cubetti otteniamo un buco
cubico 2 X 2 X 2. Intorno a questo nuovo buco cubico vi sono 19 cubetti (il terzo hex).Tolti i 19
cubetti rimane un buco cubico 3 X 3 X 3. I cubetti che rimangono adesso sono 37 (il quarto hex)
Abbiamo verificato che il cubo 4 X 4 X 4 iniziale è formato dalla somma dei primi quattro hex.
25
Da ciò si intuisce che ogni esagonale centrato è la differenza di due cubi aventi lati interi
consecutivi
…
Il quinto numero esagonale centrato
=61 rappresenta il numero di fori del tavoliere per giocare
a Abalone.
Il sesto numero esagonale centrato
=91 corrisponde al numero di fori del tavoliere del gioco
Agon o Guardia reale.
26
Dama cinese
Nonostante il nome, la dama cinese
non è stata inventata in Cina: la sua
origine è tedesca, pubblicata nel
1982 come il nome di “stern-halma
(la dama cinese è una chiara
variante
del
gioco
Halma).
Successivamente, negli Stati Uniti,
prese il nome di Chinese checkers,
in quanto le confezioni erano
prodotte dalla comunità cinese, da
cui poi si diffuse in tutto il mondo.
N° giocatori: da 2 a 6
L'obiettivo del gioco è di spostare le proprie pedine da una punta a quella opposta.
Le pedine possono muoversi come nella dama tradizionale: una mossa in diagonale o più mosse
"saltando le pedine altrui", le pedine che vengono saltate non si eliminano.
Un giocatore può saltare anche le proprie pedine, e può muoversi sempre sia avanti che indietro,
ma sempre diagonalmente.
Una pedina, come nella dama tradizionale, non può saltare in un colpo solo due pedine
consecutive.
In un’altra versione si può utilizzare il salto multiplo, si possono cioè saltare anche file di pedine.
Riflessioni matematiche
Dall’osservazione della scacchiera a parlare dei numeri stellari, quali saranno i più piccoli stellari a
sei punte?
Si può trovare una relazione con i numeri triangolari?
Utilizzando geopiani con poligoni stellari e collegando in modo opportuno con elastici si nota la
relazione, verificabile anche componendo pezzi triangolari in plastica.
27
Numeri stellari
I numeri stellari sono numeri che possono essere rappresentati disponendo dei punti in
modo da formare una stella a sei punte
Osserviamo la figura e chiediamoci quale sarà il prossimo numero stellare?
Per rispondere immaginiamo di ottenere ciascuna stella disponendo attorno al punto centrale sei
parallelogrammi, ognuno di lati n per n-1
28
La formula per ottenere l’n-esimo numero stellare, Sn, è:
Ciascun numero stellare si ottiene dal precedente sommando
:
Per verificare la formula basta pensare a come si ottiene il nuovo stellare
precedente
a partire dal suo
: basta aggiungere su ciascuno dei 12 lati che formano le “punte” n +1 punti:
29
Osserviamo inoltre che i 12 punti dei vertici sono contati 2 volte, quindi:
La somma dei primi n numeri stellari è
:
Questa formula si può dimostrare osservando che uno stellare si ottiene da un esagonale centrato
aggiungendo altri sei triangoli per formare le punte, e siccome ogni esagonale centrato è formato da
sei triangoli, ogni stellare si ottiene raddoppiando un esagonale e togliendogli uno :
Perciò:
Osservando la successione degli stellari si nota che la cifra finale è sempre 1, 3 oppure 7
e che la somma delle cifre di ogni numero stellare è sempre uguale a 1 oppure a 4.
Un numero che sia contemporaneamente stellare e quadrato (stella quadrata) fornisce l’algoritmo
per ottenere ogni numero che possa essere espresso come somma di due quadrati consecutivi o
come somma di tre quadrati consecutivi: basta considerare una stella quadrata maggiore di 1,
triplicarla e sommarle 2
Il più piccolo di questi numeri è =121
30
Il quinto numero stellare
=121 rappresenta il numero di fori del tavoliere per giocare a dama
cinese
31
Giochi con strategia risolutiva legata a temi della matematica
Torre di Hanoi
N° giocatori: 1
La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi
di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti.
Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare
un cono.
Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull'ultimo paletto, potendo spostare solo un disco alla
volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.
Riflessioni matematiche
Con quale numero minimo di mosse si può completare lo spostamento?
Si propone la costruzione di una tabella in cui confrontare il numero di dischi con il numero di
mosse, partendo da un disco e aumentando via via, per arrivare attraverso un processo induttivo
all’individuazione della relazione.
Calcolo del numero di mosse in sistema decimale e binario.
E’ interessante confrontare l’algoritmo della Torre di Hanoi classica con la sua versione
modificata, in cui si chiede di spostare la torre di dischi rispettando anche la condizione di spostare
i dischi sempre su pioli adiacenti.
32
Provando a spostare le torri con un numero di dischi crescente e registrando il numero minimo di
mosse necessarie, si ottiene la seguente tabella:
N° dischi
1
2
3
4
5
6
7
N° minimo
mosse
1
3
3+3+1=7
7+7+1=15
15+15+1=31
63
127
Notiamo anche la corrispondenza tra il numero di mosse espresso nel sistema decimale e in quello
binario:
Dischi
1
2
3
4
5
6
7
Base 10
1
3
7
15
31
63
127
Base 2
1
11
111
1111
11111
111111
1111111
n
-1
La soluzione base del gioco della torre di Hanoi si può formulare in modo ricorsivo.
Siano i paletti etichettati con A, B e C, e i dischi numerati da 1 (il più piccolo) a n (il più grande).
L'algoritmo si esprime come segue:
1. Sposta i primi n-1 dischi da A a B. (Questo lascia il disco n da solo sul paletto A)
2. Sposta il disco n da A a C
3. Sposta n-1 dischi da B a C
Per spostare n dischi si richiede di compiere un'operazione elementare (spostamento di un singolo
disco) ed una complessa, ossia lo spostamento di n-1 dischi.
33
Tuttavia anche questa operazione si risolve nello stesso modo, richiedendo come operazione
complessa lo spostamento di n-2 dischi.
Iterando questo ragionamento si riduce il processo complesso ad uno elementare, ovvero lo
spostamento di n-(n-1)=1 disco.
Narra una leggenda...
“Nel grande tempio di Benares, in India, sotto la cupola che indica il centro del mondo, si trova
una lastra di bronzo con tre pioli di diamante.
Su uno di questi pioli, al momento della creazione Dio infilò sessantaquattro dischi d’oro dal più
grande al più piccolo. Notte e giorno, senza sosta, i monaci trasferiscono i dischi da un piolo
all’altro rispettando due regole: non si deve spostare più di un disco alla volta e bisogna infilarlo
nell’altro piolo in modo tale che nessun altro disco più piccolo si trovi al di sotto. Quando la torre
sarà ricostruita su un altro piolo, arriverà la fine del mondo.”
Se la leggenda dicesse il vero non sarebbe comunque un problema, si può calcolare che sarebbe
necessario un numero minimo di 18.446.744.073.709.551.615 mosse.
Alla media di una mossa al secondo, trascorrerebbero seimila milioni di secoli.
Ci si potrebbe anche chiedere:
Quante volte viene spostato ciascun disco prima di raggiungere la posizione vincente finale, con il
minor numero di mosse possibili?
In una torre composta da 19 dischi il più grande viene spostato 1 volta, il successivo 2 volte, quello
ancora dopo 4 volte, e l'ultimo - il più piccolo - 512 volte. Come si nota ciascuno viene mosso il
doppio del precedente, come da tabella che segue.
Diametro
1
disco
N°
512
spostamenti
2
3
4
5
6
7
8
9
10
256
128
64
32
16
8
4
2
1
E’ interessante confrontare l’algoritmo della Torre di Hanoi classica, con la sua versione
modificata: si chiede di spostare la torre di dischi da A a C con la condizione di non spostare i
dischi da A a C e viceversa, ma è obbligo spostarsi sul piolo adiacente B.
In questo caso si nota che man mano che aumenta il numero di dischi, il numero di mosse risulta il
triplo delle mosse per spostare il precedente numero di dischi, aumentato di 2
Dischi
1
2
3
4
5
N° min.
mosse
2
8
26
80
242
3x2+2
3x8+2
3x26+2
3x80+2
n
34
Questi numeri corrispondono anche alle potenze di 3 diminuite di una unità.
Lo si può comprendere in modo ricorsivo:
Se abbiamo un solo disco, questo deve passare da A a B a C con due mosse,
Per spostare due dischi ne occorrono 8: con due mosse sposto il primo su C, con una il disco grande
su B, con altre due mosse il disco piccolo torna su A, il grande passa su C, infine il disco piccolo
con altre due mosse torna su C,
In generale per n dischi occorrono il triplo degli spostamenti necessari a n-1 dischi per andare su C
e due mosse per spostare il disco più grande da A a B e poi a C.
35
Rane e rospi
N° giocatori: 1
Un ugual numero di rane e di rospi sono posizionati su sassi allineati in uno stagno.
I due gruppi sono separati da un unico sasso libero.
Il gioco consiste nel far saltare gli animali da un sasso all’altro in modo da scambiare di posto le
rane e i rospi .
Le regole del gioco
I rospi possono muoversi solo verso destra, senza tornare indietro.
Le rane possono muoversi solo verso sinistra, senza tornare indietro.
Ogni casella può essere occupata da un solo animale.
Le mosse consentite sono il passo e il salto
Il passo è il passaggio da una casella a quella immediatamente successiva, naturalmente solo se è
quella vuota.
Il salto è il passaggio alla casella vuota saltando una casella occupata da un animale di genere
differente. Un rospo può saltare una rana e viceversa.
Riflessioni matematiche
Ricerca con induzione della relazione tra il numero di animali ed il numero di mosse necessario ad
effettuare lo scambi di posto.
36
I passaggi necessari ad una rana e ad un rospo per scambiarsi di posto:
I passaggi necessari a tre coppie di rane e rospi per scambiarsi di posto:
Dopo aver fatto gli opportuni tentativi, si possono raccogliere i risultati in una tabella:
numero coppie di rane e rospi
1
2
3
4
5
n
Numero di mosse necessarie
allo scambio
3
8
15
24
35
relazione
=3
(n+1)²- 1= n(n+2)
37
Nel caso generale di m rane e n rospi, il gioco può essere risolto in mn+m+n mosse: mn salti e m+n
passi.
Se m=n può essere risolto in n(n+2) mosse, salti e 2n passi.
Ciascuno dei n rospi deve muoversi di m+1 posti verso destra.
Ciascuna delle m rane devono muoversi di n+1 posti verso sinistra.
In tutto i passi sarebbero quindi n(m+1) + m(n+1).
Tuttavia in un salto, una pedina si sposta di 2 posizioni e ciascuna pedina deve scavalcare (o essere
scavalcata da) esattamente una volta una pedina di tipo diverso. I salti sono dunque mn.
Possiamo anche vedere un salto come uno scambio di orientamento: rana-rospo -> rospo-rana.
Quindi le mosse, in tutto sono:
n(m+1) + m(n+1) - mn
mn+m+n
Il gioco ha due soluzioni, perché si può cominciare da destra o da sinistra.
Se costruiamo la stringa delle mosse come una sequenza di S (salti) e P (passi) si ha che:
a) se m=n, le stringhe corrispondenti alle due soluzioni sono uguali
Ad ogni mossa del gioco, per la mossa successiva, ci possono essere quattro possibilità:
SS oppure PP oppure SP oppure PS.
Ecco alcuni consigli per risolvere il gioco:
1. Salto-salto è una configurazione da evitare: qualsiasi dei due salti scegliete, alla mossa seguente
sarete bloccati.
2. Se dovete scegliere fra un salto e un passo, scegliete sempre il salto.
Altrimenti sarete bloccati dopo il Passo.
3. Se dovete scegliere fra due passi scegliete quello dei due che non vi porta alla configurazione
salto-salto.
38
Il venti vince
N° giocatori:2
Venti tappi sul tavolo, ognuno dei due giocatori può prendere uno o due tappi ad ogni turno.
Vince chi prende l’ultimo tappo.
Riflessioni matematiche
Ricerca della strategia vincente (in questo caso si incontrano i multipli di 3)
Generalizzazione della strategia nel caso di n elementi.
Dopo aver fatto un po’ di pratica ci si accorge che il giocatore che riesce a lasciare tre tappi sul
tavolo vincerà al turno successivo.
Ma come si fa per lasciare tre tappi?
Procedendo a ritroso ci accorgiamo che anche se si lasciano 6 tappi si riuscirà a vincere … e anche
se si lasciano 9 tappi … e 12 … e 15 …
Il primo giocatore potrà vincere togliendo 2 tappi al primo turno e poi lasciando sul tavolo un
numero di tappi pari a un multiplo di tre.
Si può ancora chiedere:
E se sul tavolo ci fossero 50 tappi? 2012 tappi? n tappi?
Dato che la strategia vincente consiste nel lasciare sul tavolo un multiplo di tre, per sapere cosa
accade basta effettuare la divisione del numero iniziale di tappi per tre e osservare quanto sia il
resto. Se è 2, il primo giocatore vince togliendo dal tavolo due tappi e lasciando successivamente
multipli di tre. Se il resto è 1, il primo giocatore vince, togliendo un tappo e lasciando come sopra
multipli di tre. Infine, se il resto è zero, allora vince il secondo giocatore, che è il solo a poter
lasciare sul tavolo multipli di tre.
E se ad ogni turno il giocatore può togliere da uno a tre tappi? Da uno a cinque tappi? Da uno a n
tappi?
Se il giocatore può togliere da uno a tre tappi, per capire la strategia vincente occorre dividere il
numero iniziale per 4, ossia 3+1. Se il resto è diverso da zero vince il primo giocatore togliendo un
numero di tappi pari al resto e lasciando sul tavolo un multiplo di quattro. Se il resto è zero vince il
secondo giocatore.
Si può ovviamente generalizzare il gioco variando ancora il numero di tappi che si possono
prendere ad ogni turno.
39
Il cento perde
N° giocatori: 2
Il primo giocatore sceglie un numero da 1 a 10, il secondo sceglie un numero da 1 a 10 e lo
aggiunge a quello scelto dal primo giocatore.
Ad ogni turno ciascun giocatore somma un numero da 1 a 10 all’ultimo risultato.
Perde il giocatore che per primo ottiene come somma un numero di tre cifre (cioè ottiene 100 o un
numero maggiore di 100)
Riflessioni matematiche
Ricerca della strategia vincente (in questo caso si incontrano i multipli di 11)
Generalizzazione della strategia nel caso di un numero n da raggiungere.
Dopo aver fatto qualche partita, ci si accorge che il giocatore che riesce ad avere somma 99 vincerà
al turno successivo.
Ma come si fa per totalizzare 99?
Basterà totalizzare 88. E per raggiungere 88 basterà riuscire a scrivere 77, prima ancora 66 e così
via.
Dato che il primo giocatore non può scegliere 11, il secondo potrà vincere sommando ad ogni turno
il numero che gli permette di ottenere un multiplo di 11.
E se il numero da raggiungere fosse 121?
Basterà totalizzare 120. E per raggiungere 120 basterà riuscire a scrivere 109, prima ancora 98,
prima ancora 87 e così via. In questo caso il primo vince se sceglie 10 e poi lascia il gioco
all’avversario che non può totalizzare 21.
E 2012? E n?
Si capisce, procedendo a ritroso, che, per vincere, è necessario ottenere il precedente del numero
perdente, così il nostro avversario è costretto a sommare almeno 1 e perde. Quindi esiste una
strategia vincente per il primo giocatore se il resto della divisione tra n-1 e 11 è diverso da zero
(caso del 121), se al contrario il resto è zero vince il secondo giocatore (caso del 100).
Se ad ogni turno il giocatore potesse scegliere un numero da uno a cinque, la strategia vincente
sarebbe legata al resto della divisione tra il precedente del numero perdente e 6.
Si può ovviamente generalizzare ancora pensando un numero da uno a venti, da uno a m.
40
Il Nim
Il Nim è considerato uno dei più antichi giochi
matematici, probabilmente di origine cinese.
L’origine del nome è incerta, alcuni sostengono
che esso derivi dalla parola tedesca nehmen, il cui
imperativo è nimm, che significa “prendere” ,
“togliere”. Nel 1902 Charles Leonard Bouton,
docente di matematica alla Harvard University pubblicò la prima analisi matematica della strategia
vincente del gioco.
Il gioco è conosciuto anche con il nome di “gioco di Marienbad” con riferimento alla film del regista
francese Alain Resnais “L’anno scorso a Marienbad” in cui i protagonisti sono alle prese con una
delle tante versioni di questo gioco.
N° giocatori: 2
A turno i due giocatori scelgono un piatto e mangiano almeno una fragola da questo piatto.
Perde chi rimane a bocca asciutta!
Per giocare al Nim va bene qualsiasi oggetto (purché ...in numero sufficiente).
Si dispongono questi oggetti in piccoli mucchi e i due giocatori, a turno, tolgono tanti oggetti quanti
ne vogliono ma da un solo mucchio (almeno un oggetto e , al massimo, tutto il mucchio).
Il giocatore che non riesce più a giocare, cioè non ha più oggetti da prendere, perde; quello che ha
fatto l'ultima mossa vince.
Riflessioni matematiche
Individuare la strategia vincente.
Relazione con il sistema binario.
Dopo aver giocato un po’ ci si accorge che per ciascuno dei due giocatori sono da evitare le
seguenti giocate:
 Lasciare due piatti con lo stesso numero di fragole.
 Mangiare tutte le fragole di un piatto.
Vincerà il giocatore che costringerà l’avversario a fare una mossa sconsigliata.
Il primo giocatore può vincere se mangia 3 fragole dal piatto che ne contiene 5 obbligando così
l’avversario a una delle due mosse perdenti.
Prima di generalizzare variando il numero di fragole e il numero di piatti occorre analizzare alcuni
casi semplici. Diminuiamo il numero di piatti e consideriamo un Nim a due piatti (il caso a un solo
piatto è banale: il primo giocatore, con una gran abbuffata, mangia tutte le fragole e vince!)
41
Nel caso del Nim a due piatti la strategia vincente dipende dal numero di fragole contenute in
ciascun piatto:
se i due piatti contengono lo stesso numero di fragole il primo giocatore ha chiaramente perso
poiché ad ogni sua mossa l’avversario risponderà astutamente con una mossa “simmetrica”, cioè,
mangiando lo stesso numero di fragole che il primo giocatore ha appena mangiato;
se, invece, i due piatti contengono un numero diverso di fragole, allora sarà il primo giocatore a
possedere la strategia vincente, basterà che egli mangi dal primo piatto tante fragole quante ne
bastano per lasciare all’avversario i due piatti con lo stesso numero di fragole.
Si può passare adesso ad affrontare un Nim a tre piatti.
Partiamo con un caso semplice, un Nim dove almeno due piatti contengano lo stesso numero di
fragole. Anche in questo caso esiste una strategia vincente ed è a favore del primo giocatore: basterà
che egli mangi tutte le fragole da un piatto in modo tale da lasciare all’avversario due piatti con lo
stesso numero di fragole.
Se invece non rientriamo in nessuno di questi casi semplici la ricerca della strategia vincente si fa
un pochino più complessa. Si può dimostrare che essa esiste ed è necessario ricorrere alla notazione
binaria per applicarla nella pratica.
Occorre esprimere la quantità di fragole contenuta in ciascun piatto in base 2, poi si dispongono i
numeri così ottenuti in modo tale da incolonnare le unità corrispondenti e si sommano le unità di
ciascuna colonna scrivendo 0 se otteniamo un numero pari e 1 se otteniamo un numero dispari
(somma-nim). La configurazione dei piatti è così descritta dalla somma-nim.
Se la somma-nim è costituita da una sequenza di soli 0 la configurazione si dice sicura altrimenti è
insicura.
Si può dimostrare che è sempre possibile raggiungere una configurazione sicura a partire da una
insicura (e viceversa), mentre è impossibile ottenere una configurazione sicura partendo da una
configurazione sicura.
Quindi se la somma-nim della configurazione iniziale è una configurazione sicura esiste una
strategia vincente per il secondo giocatore altrimenti esiste una strategia vincente per il primo
giocatore.
Operativamente la mossa vincente è sempre quella di lasciare, dopo ogni “mangiata” una
configurazione sicura all’avversario.
Vediamo la strategia applicata al nostro caso iniziale:
1° piatto: 5 fragole
2° piatto: 3 fragole
3° piatto: 1 fragola
5 in base 2 =
3 in base 2 =
1 in base 2 =
La somma-nim è
101
011
001
-------111
configurazione insicura
Significa che esiste una strategia vincente per il primo giocatore, egli deve giocare in modo da
lasciare all’avversario una configurazione con “somma” 0 0 0
Ad esempio, se mangia tre fragole dal primo piatto si avrà:
1° piatto: 2 fragole
2 in base 2 =
010
2° piatto: 3 fragole
3 in base 2 =
011
3° piatto: 1 fragola
1 in base 2 =
001
-------La somma-nim è
000
configurazione sicura
42
Il Chomp
Questo gioco è stato inventato da
David Gale, un matematico della
University of California di Berkeley.
Il nome Chomp fu coniato da Martin
Gardner quando presentò il gioco su
Scientific American nel 1973.
N° giocatori: 2
Questa ghiotta tavoletta di cioccolato ha un difetto … l’ultimo quadratino in basso a sinistra è
avvelenato!
Il gioco del Chomp è una gara tra due golosi giocatori che si sfidano mangiando a turno almeno un
quadratino di cioccolato.
L’unica regola da rispettare è che il “morso” è valido solo quando stacca un rettangolo il cui
vertice in alto a destra coincide con il vertice del rettangolo.
…alcuni morsi validi:
… alcuni morsi NON validi:
Riflessioni matematiche
Ricerca strategia vincente
Problemi tutt’ora aperti
43
Per capire la dinamica del gioco iniziamo con l’esaminare un Chomp piccolo, ad esempio 2X3, e
proviamo a scrivere tutte le possibili situazioni di gioco:
partiamo dalla configurazione perdente cioè quella formata dal solo quadratino avvelenato: chi è
costretto a doverlo mangiare ha perso! Contrassegniamo poi tutte le configurazioni possibili con
una (V) vincente o con una (P) perdente se chi trova il gioco in quella configurazione e deve
mangiare ha una strategia per vincere oppure no.
Osservando lo schema si capisce che il primo giocatore potrà vincere mangiando il primo
quadratino in alto a destra.
Dopo aver affrontato questo primo esempio ci si potrebbe porre una serie di domande ( ad esempio:
se la tavoletta fosse formata da 2 x 5 quadretti? E da 2 x n quadretti? Da 6 x 6 quadretti? Da n x m
quadretti?) per introdurre l’aspetto più generale del problema: l’esistenza di un’eventuale strategia
vincente per il gioco del Chomp giocato su una qualsiasi tavoletta.
È bene far osservare che l’idea di disegnare uno schema con tutte le configurazioni possibili
funziona bene con piccole tavolette di cioccolato.
Si può, infatti, dimostrare che il numero di configurazioni possibili di un Chomp con n righe e m
colonne è
.
44
E’ sempre possibile rappresentare lo schema di tutte le possibili configurazioni, così com’è sempre
possibile (ma questo andrebbe dimostrato rigorosamente) etichettare ciascuna configurazione con
una (V) o con una (P), s’intuisce così che uno dei due giocatori ha a disposizione una strategia
vincente, infatti se la configurazione iniziale ha una (V) allora vince il primo giocatore, se ha una
(P) allora vince il secondo.
Si può proporre la ricerca della strategia vincente per due casi particolari:
1) Il Chomp 2 x n
2) Il Chomp n x n.
Si può dimostrare, ovviamente dopo aver giocato un po’, che:
1) Per il Chomp 2 x n il primo giocatore riesce sempre a vincere: basterà che alla prima mossa
mangi il quadratino in alto a destra e che a ogni mossa dell’avversario (che riporterà
inevitabilmente la tavoletta a un Chomp più piccolo) risponda mangiando sempre il
quadratino in alto a destra. In questo modo dopo un certo numero di “morsi” il primo
giocatore riuscirà a presentare all’avversario la configurazione perdente:
2) Anche per il Chomp n x n il primo giocatore possiede la strategia vincente, essa consiste nel
mangiare al primo morso il quadrato (n-1) x (n-1) in alto a destra e poi rispondere a ogni
mossa dell’avversario con una mossa “simmetrica”.
Dagli esempi precedenti nasce il sospetto che nel Chomp sia il primo giocatore a possedere la
strategia vincente, ma dall’avere un sospetto all’avere la certezza la strada è lunga e faticosa.
In effetti, si può dimostrare, con argomentazioni un pochino più complesse, che in un qualsiasi
Chomp n x m è il primo giocatore ad avere la strategia vincente.
Tuttavia resta un problema tutt’ora aperto: stabilire se tale strategia è unica e specificare
concretamente qual è la sequenza di mosse che il primo giocatore deve seguire per giungere alla
vittoria.
45
Aggiungi un posto in scatola!
N° giocatori: 1
Sul fondo di questa scatola sono posizionati 40 tappi cilindrici, disposti in 8 file da 5 tappi ciascuna.
La scatola sembra non poter contenere altri tappi e invece … è possibile inserirne un altro.
La sfida è scoprire come.
Riflessioni matematiche
Problemi di packaging
Vediamo il gioco dal punto di vista geometrico.
Quanti cerchi di raggio unitario possono essere contenuti in un rettangolo di date dimensioni ?
Per sistemare i cerchi nel rettangolo esistono due arrangiamenti regolari:
A maglie quadrate
A maglie esagonali
Indichiamo con a e b le dimensioni del rettangolo e supponiamo che a b
 Nel primo caso (maglie quadrate ) possiamo disporre nel rettangolo
Quindi un totale di
cerchi.
Esempio:
se a=13 unità e b=18 unità
se a=11,3 unità e b=22,3 unità
1
file di
cerchi.
potremo sistemare 54 cerchi unitari
potremo sistemare 55 cerchi unitari
1
46
 Nel secondo caso (maglie esagonali) il calcolo è un po’ più articolato.
Innanzitutto, chiediamoci quante file riusciamo a disporre.
Per far questo basta osservare che, esclusa la prima fila che occupa uno spazio pari a 2 unità di
lunghezza, tutte le altre a partire dalla seconda occupano uno spazio pari a
unità di lunghezza
Quindi, riusciremo a sistemare
file.
Adesso chiediamoci quanti cerchi è possibile sistemare in ogni fila. Questo dipende, ovviamente
dalla dimensione a.
Nella prima fila potremo sistemare
cerchi
Il numero di cerchi che riusciremo a sistemare nella seconda fila dipende dallo scarto
47
Caso 1: Se
allora riusciremo a sistemare
cerchi
Caso 2: Se
allora riusciremo a sistemare esattamente
cerchi
Si prosegue, poi, alternando le file che a seconda dei casi saranno composte alternativamente da
e da
cerchi unitari (caso 1) oppure tutte da
cerchi unitari (caso 2)
Adesso, per completare il nostro calcolo bisogna controllare se il numero
di file che
possiamo disporre è pari o dispari, e, ovviamente, tener conto della casistica precedente.
Indichiamo, per comodità n=
.
48
Caso 1:
Se
e n è pari sistemeremo
Se
e n è dispari sistemeremo
Caso 2:
Se
cerchi unitari
sia che n sia pari sia che n sia dispari sistemeremo
cerchi unitari
cerchi unitari.
49
dimensioni
rettangolo
a
b
6
7
7
8
10
11
10
10
16
17
20
7
7
8
8
11
11
14
16
16
19
22
Numero di cerchi unitari
con disposizione a maglie
quadrate
Numero di cerchi unitari
con disposizione a maglie
esagonali
9
9
12
16
25
25
35
40
64
72
110
8
9
12
14
27
30
32
41
68
80
114
Ci si accorge che per valori di a e b abbastanza grandi la disposizione a maglie esagonali permette
un miglior utilizzo dello spazio interno al rettangolo.
Ancora qualche osservazione .…
Consideriamo le due possibili disposizioni regolari di cerchi unitari nel piano:
quella a maglie quadrate e quella a maglie esagonali, e chiediamoci, in entrambe i casi,
quali sono le dimensioni del più piccolo rettangolo che contiene k file di h cerchi di raggio
unitario?
 Nel primo caso (maglie quadrate) il rettangolo avrà dimensioni
.
In questo caso il rapporto tra l’area complessiva dei cerchi e l’area del rettangolo è
indipendente da h e da k
50
osserviamo che tale rapporto è uguale al rapporto fra l'area di un singolo cerchio e quella del
quadrato ad esso circoscritto
 Nel
secondo
caso
(maglie
esagonali)
il
rettangolo
avrà
dimensioni
In questo caso il rapporto tra l’area complessiva dei cerchi e l’area del rettangolo è dipendente da h
e da k
Ciò si può giustificare osservando che vicino ai bordi del rettangolo rimangono degli spazi
inutilizzati (addirittura tali spazi potrebbero contenere dei semicerchi); al crescere di h e k l’influsso
di questi spazi decresce e, si può dimostrare, che al limite il rapporto fra l'area complessiva dei
cerchi e quella del rettangolo è uguale al rapporto fra l'area di un cerchio e quella dell'esagono ad
esso circoscritto
51
In conclusione:
per h e k abbastanza grandi, la disposizione a maglie esagonali consente un migliore utilizzo dello
spazio interno al rettangolo; non è così per valori piccoli di h ed k.
Adottando la disposizione esagonale nella nostra scatola riusciamo ad inserire un tappo in più.
52
Tagliare il rettangolo
N° giocatori: 2
In un rettangolo il quadretto situato al vertice inferiore destro è colorato di nero.
A turno, ciascuno dei due giocatori taglia il rettangolo in due parti, tracciando una linea verticale o
orizzontale, che segua quelle dei quadretti ed elimina la parte che non contiene il quadretto nero.
Il giocatore che non può più dividere il rettangolo e che rimane con il quadretto nero perde.
Riflessioni matematiche
Ricerca strategia risolutiva
Dopo aver giocato o provato ad analizzare il problema in un caso semplice, ad esempio un
rettangolo 2 x 3, costruito lo schema di tutte le configurazioni possibili, ci si accorge che la strategia
vincente consiste nel tagliare in modo tale da presentare all’avversario un quadrato. Qualunque
mossa egli faccia ripresenterà un rettangolo e si risponderà tagliando in modo da riproporgli un
quadrato. Dopo qualche passo si arriverà a presentare all’avversario il quadratino 2 x 2
Adesso qualunque taglio egli scelga finirà per presentare il rettangolino 2 x 1
A questa configurazione segue la vittoria con l’unico taglio possibile, che lascerà all’avversario il
quadratino nero.
In generale la strategia appena illustrata porta alla vittoria sicura il primo giocatore.
Se invece la figura di partenza non è un rettangolo ma un quadrato la stessa strategia si rivela
vincente per il secondo giocatore.
53
Incrociare il cerchio
N° giocatori: 2
Su una circonferenza si segnano otto punti a caso.
A turno, ciascuno dei due giocatori unisce due di essi tracciando un segmento.
Può unire i punti che vuole, sempre che non siano già uniti, ma tracciando il segmento non può
tagliare nessuno dei segmenti già disegnati.
Il giocatore che non può più disegnare alcun segmento perde.
Riflessioni matematiche
Ricerca strategia vincente
Proviamo ad analizzare i casi più semplici.
Con due soli punti è banalmente avvantaggiato il primo giocatore perché c’è un solo segmento che
può essere tracciato.
Con tre punti i segmenti possibili sono tre: i lati del triangolo che ha come vertici i tre punti.
E’ quindi il primo giocatore che può tracciare l’ultimo segmento.
Con quattro punti i segmenti possibili sono cinque: i quattro lati e una diagonale del quadrilatero
che ha come vertici i quattro punti (perché l’altra diagonale interseca la prima tracciata).
E’ ancora il primo giocatore a vincere.
Con cinque punti i segmenti possibili sono sette: i cinque lati e le due diagonali uscenti da un
vertice.
Numero punti
Numero segmenti
2
1
3
3
54
4
5
5
7
6
9
7
11
8
13
•
•
•
n
•
•
•
•
•
•
2n-3
Come si può osservare anche nella tabella precedente, in ogni caso, i segmenti possibili, che non si
intersecano, sono in numero dispari (nel caso di n punti sono 2n-3), quindi il primo giocatore vince
sempre.
55
Chiudere un triangolo
N° giocatori: 2
Su una circonferenza si segnano sei punti a caso.
A turno, due giocatori, usando colori diversi,uniscono due di essi tracciando un segmento.
Ciascuno può unire i punti che desidera sempre che non siano già uniti.
Vince chi riesce a disegnare un triangolo con i lati tutti del proprio colore.
Riflessioni matematiche
Ricerca strategia vincente
Anche per questo gioco cominciamo con analizzare i casi più semplici.
E’ facile capire che con tre punti nessuno dei due giocatori può chiudere un triangolo.
Con quattro punti nonostante i segmenti possibili da tracciare siano 6, il primo giocatore, che è
l’unico a poter tracciare tre segmenti, non riesce a chiudere il triangolo, se il secondo lo ostacola.
Se proviamo a fare alcune partite con cinque punti, ci accorgiamo presto che la strategia vincente è
tracciare tre segmenti uscenti dallo stesso punto. In questo modo l’avversario non potrà bloccarci su
tutte e tre le nostre possibilità.
Nelle figure seguenti sono rappresentate alcune partite giocate. I segmenti sono numerati secondo
l’ordine in cui vengono disegnati ed in rosso c’è il triangolo che si riesce a chiudere
Osservando le partite precedenti, si può concludere che il primo giocatore, conoscendo la strategia,
è avvantaggiato. Così succede anche nel caso proposto di sei punti, e nel caso generale di n punti.
56
BIBLIOGRAFIA
Numeri figurati: Dispensa della sezione di Mathesis Pesaro
Il libro dei Numeri ( John H. Conway, Richard K. Guy)
n.14 Febbraio 2007 della rivista Focus-Giochi
I numeri figurati e le loro proprietà, M. Gardner, Le Scienze quaderni n.45, Dicembre 1988
Dilemma del prigioniero e strategie dominanti- La teoria dei giochi (Mondo Matematico)
La Matematica per chi non è portato per la Matematica ... (Giorgio Dendi)
Gardner M., “I numeri figurati e le loro insolite proprietà”, Le Scienze quaderni n. 45, Dicembre
1988, pp.86-90
Deulofeu J., “Dilemma del prigioniero e strategie dominanti: La teoria dei giochi. Mondo
matematico”; RBA Italia, 2011.
SITOGRAFIA
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/papers/giochi.pdf
http://mathworld.wolfram.com/StarNumber.html
www.polito.it/polymath/htmlS/probegio/.../Hanoi/Hanoi.htm
http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Agon/Agon.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Dama_cinese
57
INDICE
Premessa
pag.
1
Puzzle tetraedrico
pag.
2
Numeri triangolari
pag.
3
Pylos
pag.
10
Numeri quadrati
pag.
11
Costruzione dei numeri poligonali
pag.
12
Progressione dei numeri poligonali
pag.
13
I numeri poligonali: un po’ di storia
pag.
17
Numeri tetraedrici
pag.
18
Numeri piramidali quadrati
pag.
19
Abalon
pag.
23
Numeri esagonali centrati
pag.
24
Dama cinese
pag.
27
Numeri stellari
pag.
28
Giochi con strategia risolutiva legata a temi di matematica
Torre di Hanoi
Rane e rospi
Il venti vince
Il cento perde
Il Nim
Il Chomp
pag.
32
pag.
pag.
pag.
pag.
pag.
36
39
40
41
43
Aggiungi un posto in tavola!
Tagliare il rettangolo
Incrociare il cerchio
Chiudere il triangolo
pag.
pag.
pag.
pag.
46
53
54
56
Bibliografia – Sitografia
pag.
57
Indice
pag.
58
58
“La più alta categoria dell’intelletto immaginativo è sempre eminentemente matematica”
E.A. Poe
“... La matematica, forse più di qualsiasi attività, si presta al gioco, richiedendo strategia, astuzia,
immaginazione. Una punta di malizia, un tocco di logica e un pizzico di perseveranza costituiscono
la migliore ricetta per affrontare un gioco matematico. …”
Dal libro “Giocare con Pitagora” di Bernardo Recamán Santos
“ Il motore dell’invenzione matematica non è la ragione, ma l’immaginazione.”
A. De Morgan
“Il passatempo matematico, può presentarsi sotto varie forme: un indovinello, un gioco
competitivo, un trucco. In un certo senso la matematica ricreativa è matematica pura, in un altro è
matematica applicata, che soddisfa l’universale bisogno di giocare”
Martin Gardner
59
60