Laboratorio 2B
A.A. 2012/2013
6 – Ottica Fisica I




Interferenza
Coerenza
Diffrazione
Polarizzazione
Lab 2B – CdL Fisica
Fenomeni interferenziali
 Interferenza: combinazione di onde identiche provenienti da diverse
sorgenti che si sovrappongono in un punto dello spazio
costruttiva
Df=0, 2p , 4p,...
distruttiva
Df=p, 3p , 5p,..
 La differenza di fase è fondamentale e deve rimanere
costante nel tempo (coerenza)
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Esperimento di Young (doppia fenditura)
Nell’ipotesi di fenditure molto sottili la distribuzione dell’intensità
luminosa sullo schermo presenta una sequenza di max e min
(esperimento nel 1801).
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Esperimento di Young (doppia fenditura)
Le due onde che partono dalle fenditure S1 e S2 in fase, raggiungono il
punto P (centrale) ancora in fase, avendo percorso una distanza
eguale.
Le differenze di cammino determinano ancora l’arrivo in fase in Q
(punto luminoso) ovvero fuori fase in R (punto scuro).
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Esperimento di Young (calcolo)
Per avere un max in P la differenza di
cammino ottico deve essere multipla
della lunghezza d’onda
S1b = d sin  = m , m = 0, 1, 2,...
Analogamente, per un min in P
1

S1b = d sin  =  m    , m = 0, 1, 2,...
2

Sullo schermo, per distanze y << D
ym
m ym
sin   tan  =

=
da cui
D
d
D
D
ym = m
con m = 0, 1, 2,...
d
D
D D
la separazione Dy = ym 1  ym =  m  1
m
=
d
d
d
separazione indipendente da m e costante !
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Coerenza
Al fine di produrre una figura di interferenza,
è necessario che le differenze di fase nei
singoli punti dello schermo non cambino nel
tempo. In questo caso i raggi provenienti
dalle fenditure S1 ed S2 sono senz'altro
coerenti.
Sostituiamo S1 ed S2 con due sorgenti di luce indipendenti (due filamenti
incandescenti, situati fianco a fianco). Sullo schermo non si avranno frange di
interferenza, ma illuminazione uniforme. Le sorgenti sono incoerenti.
Interpretazione: la differenza di fase nei raggi in P
varia a caso nel tempo; si può realizzare solo per
intervalli brevissimi Dt~10−8s (treni d’onda corti) e
l’occhio percepisce una intensità uniforme.
La luce laser è invece una radiazione coerente (i treni d’onda hanno lunghezze
anche di km !)
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Diffrazione
Effetto di deviazione e sparpagliamento che
subiscono le onde quando incontrano un
oggetto. Diffrazione da una fenditura 
Criterio di Rayleigh
La distanza angolare delle due sorgenti è
tale che il massimo di diffrazione di una
coincide col primo minimo dell’altra.
1.22
 1.22 
 R = arcsin 

 R piccoli
d
 d 
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Esempio: limite di diffrazione in microscopia
Una lente convergente di 32 mm di diametro ha una lunghezza
focale f di 24 cm.
(a) Qual è la distanza angolare che devono avere due oggetti
puntiformi distanti, perché sia soddisfatto il criterio di Rayleigh?
Si supponga che sia =550 nm.
(b) Quanto distano nel piano focale della lente i massimi di
diffrazione?
(a) Dal criterio di Rayleigh:
9
1.22
550

10
m




5
 R = 1.22 =
=
2.1

10
rad = 4.3 secondi di arco
3
d
32 10 m
(b) La distanza lineare è:


Dx = f  R =  0.24m  2.1105 rad = 5.0 m
ovvero circa 9 volte la lunghezza d’onda della luce.
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Reticolo di diffrazione
Serie di fenditure o gradini che rinforzano
gli effetti interferenziali
Massimo principale quando la differenza di cammino tra raggi
provenienti da due fenditure adiacenti è pari ad un numero intero di
lunghezze d’onda: d sin  = m con m = 0, 1, 2,... m è detto numero
d’ordine.
La larghezza di un massimo, ovvero la
sua nitidezza, è pari a:

 =
con N = numero di fenditure
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Nd cos 
Reticolo di diffrazione
Reticolo a riflessione con angolo di blaze 
Effetto di dispersione della luce bianca, da
parte di un reticolo a riflessione
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Diffrazione di Fraunhofer
• Diffrazione di Fraunhofer: la sorgente e lo schermo su cui si osserva
l’effetto sono a distanza infinita (o equivalente) dall’apertura che
determina il fenomeno.
• Diffrazione di Fresnel: o la sorgente e/o lo schermo su cui si osserva
l’effetto sono a distanza finita.
Utilizzando delle appropriate lenti è possibile realizzare in maniera
semplice le condizioni di Fraunhofer.
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Diffrazione di Fraunhofer
Applicando il principio di Huygens per
un fronte d’onda parallelo incidente
sull’apertura b
a sin t  kx 
Il contributo di ciascun elemento
infinitesimo dell’apertura sarà:
a ds
a ds
dys =
sin t  k  x  D   =
sin t  kx  ks sin  
x
x
facendo variare s da b 2 a b 2 deve essere
dy = dy s  dy s =
a ds
=
sin t  kx  ks sin    sin t  kx  ks sin    =
x
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Diffrazione di Fraunhofer - 2
1
1
essendo sin   sin  = 2 cos     sin    
2
2
a ds
dy =
 2 cos  ks sin   sin t  kx  
x
integrando
b2
2a
y=
sin t  kx   cos  ks sin   ds =
0
x
 sin  ks sin   

 sin t  kx  =
 k sin   0
1

sin  kb sin  
ab
2
 sin t  kx
=


1
x
kb sin 
2
2a
=
x
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b2
Diffrazione di Fraunhofer - 3
In definitiva la soluzione per l’ampiezza dell’onda incidente sullo schermo è del tipo:
A = A0
sin 

1
con  = kb sin  = p b sin   
2
La distribuzione dell’intensità diffratta sullo schermo sarà quindi:
I = A2 = I 0
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sin 2 
2
Diffrazione di Fraunhofer - 4
I valori estremali di I si osservano
imponendo:
verificata per sin  = 0
2sin    cos   sin  
dI
= I0
=0
d

per  =  mp
 cos   sin  = 0  tan  = 
essendo  = p b sin   
In generale si osserverà intensità
nulla per
b sin  m = m con m = 1, 2,...
x  x0
Essendo sin  =
f
f è la lunghezza focale della lente di
collimazione, da cui
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b  xm  x0 
=
mf
valori minimi
per i valori massimi
Diffrazione di Fraunhofer - 5
Per una apertura circolare di diametro 2a
 2 J1  ka sin   
I = I0 

 ka sin  
2
i  m 2p i mv u cos v 
J m u  =
e
dv

0
2p
J1 funzione di Bessel ( I tipo)
I primi cinque zeri della funzione di Bessel, ricavati
con Mathematica@, sono:
In[1]:= N[BesselJZero[1,{1,2,3,4,5}],5]
Out[1] um= {3.8317,7.0156,10.173,13.324,16.471}
=
p 2a  xmin  x0 
umin
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f
Polarizzazione onde elettromagnetiche
Polarizzazione: orientazione nello spazio in tempi successivi del
vettore campo elettrico (o magnetico) di un’onda elettromagnetica
polarizzazione
lineare
non polarizzata
polarizzazione luce riflessa
lamine polarizzanti (polaroid) incrociate = “buio”
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Rotazione del piano di polarizzazione
I polarizzatori sono basati su quattro meccanismi fondamentali:
dicroismo (o assorbimento selettivo), riflessione, diffusione e
birifrangenza.
Pur essendo anche molto diversi questi meccanismi hanno in comune
la presenza di una qualche forma di asimmetria ad essi associata.
Attività ottica
Alcuni materiali sia solidi (quarzo) che liquidi (soluzioni di saccarosio)
determinano una rotazione del piano di polarizzazione di un’onda e.m.
che lo attraverso lungo l’asse ottico.
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Polarizzazione per riflessione
La luce riflessa dalla superficie di una lamina di vetro (o di altri materiali
trasparenti ed isotropi) risulta in generale polarizzata (parzialmente).
Quando l’angolo di incidenza assume un valore specifico (quello di
polarizzazione) si trova sperimentalmente che i fasci riflesso
(completamente polarizzato linearmente) e rifratto sono perpendicolari
tra loro, quindi:
 p   r = 90
p = angolo di Brewster
legge di Snell n1 sin  p = n2 sin  r
n1 sin  p = n2 sin  90   p  = n2 cos  p
ovvero tan  p =
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n2
= n2
1
=
n1 aria
Polarizzazione per birifrangenza
Un materiale si dice birifrangente se attraversato dalla luce lungo certe
direzioni, dà luogo contemporaneamente a due distinti raggi rifratti.
Questa birifrangenza indica che i due raggi rifratti hanno diversa velocità
di propagazione nel mezzo e risultano rettilineamente polarizzati in due
piani tra loro ortogonali.
I cristalli di quarzo e di calcite
presentano tale proprietà. Esiste un
particolare asse di simmetria (asse
ottico) lungo si può propagare la
luce senza mostrare birifrangenza.
I raggi rifratti, emergono lungo due diverse direzioni (raggio ordinario e
straordinario) e con un differente stato di polarizzazione.
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Dicroismo
Utilizzando come esempio una griglia di fili conduttori si determinerà
l’assorbimento selettivo della componente del campo e.m. parallela ai
fili (l’energia è assorbita dagli elettroni accelerati dal campo).
L’asse di trasmissione è ortogonale
alla direzione dei fili.
Esistono dei cristalli, detti dicroici, che presentano un forte
assorbimento della componente del campo elettrico incidente in
direzione perpendicolare all’asse principale (asse ottico).
I Polaroid sono costituiti da una lamina di alcol polivinilico riscaldato e
«stirato» lungo una data direzione, tale che le lunghe catene molecolari
polimeriche risultino allineate in quella direzione. Viene aggiunto dello
iodio che si lega con le catene e attiva il processo di conduzione.
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Legge di Malus
Utilizzando la combinazione polarizzatore/analizzatore (due
polarizzatori lineari) si osserva che l’intensità trasmessa dipende dalla
relativa orientazione dei due dispositivi.
Legge di Malus
I   = I 0 cos 
2
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 è l’angolo tra i due assi di trasmissione.
Polarimetria
Effettuando una serie di misure su lamine cristalline di diverso spessore,
si trova che l’angolo di cui ruota il piano di polarizzazione della luce è
proporzionale allo spessore della lamina secondo la relazione α=ρd.
ρ è caratteristico della sostanza ed è chiamato potere rotatorio.
Fisicamente rappresenta l’angolo di cui ruota il piano di polarizzazione
nell’attraversare una lamina di spessore unitario.
Per una data sostanza il potere rotatorio dipende dalla lunghezza d’onda
della luce che la attraversa e precisamente decresce, in generale, al
crescere di questa.
Il potere rotatorio è approssimativamente proporzionale all’inverso del
quadrato della lunghezza d’onda: ρ=B+A/λ2, essendo A e B due costanti
(caratteristiche del materiale).
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Polarimetria - 2
I liquidi o i vapori di sostanze otticamente attive devono
necessariamente essere posti in contenitori. Solitamente si utilizzano
tubi di qualche decimetro di lunghezza, chiusi alle estremità con due
finestre trasparenti, che sono chiamati tubi polarimetrici.
Il potere rotatorio specifico k,s è definito come la rotazione prodotta
da una colonna di soluzione di lunghezza unitaria l (1 dm) e
concentrazione unitaria (1 gdm-1).
In generale, essendo c la concentrazione del soluto
k ,s =
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
c
Polarimetria - 3
La relazione di Biot permette di calcolare il potere rotatorio di soluzioni
di sostanze, otticamente attive, attraverso la misura della rotazione αdel
piano di polarizzazione della luce che la attraversa, oppure di
determinarne la concentrazione, dato il potere rotatorio specifico.
Gli strumenti usati per la
determinazione degli angoli di
rotazione del piano di
polarizzazione della luce sono detti
polarimetri.
Polarimetro di Laurent
• La sorgente di luce monocromatica S, in genere una lampada a vapori di sodio,
invia un fascio di luce che, collimato dalle lenti L1 e L2 , attraversa il polarizzatore ed
esce polarizzato linearmente con la direzione di vibrazione parallela alla sezione
principale del prisma.
• Dopo il polarizzatore viene posta una lamina birifrangente L, tagliata
parallelamente all’asse ottico, per metà del campo visivo. E’ un dispositivo ottico,
ritardatore lineare, che consente di variare lo stato di polarizzazione della luce,
polarizzata linearmente, che la attraversa.
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Polarimetria - 4
• La lamina (mezz’onda) è di spessore tale che le due onde, ordinaria e straordinaria,
giungono all’uscita della lamina con una differenza di cammino pari a λ/2, quindi
con una differenza di fase di π.
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Polarimetria - 5
• Se fra il polarizzatore P e l’analizzatore A non è presente una sostanza otticamente
attiva, il fascio emergente dal sistema polarizzatore-lamina giunge all’analizzatore
suddiviso in due parti: una con direzione di vibrazione parallela alla sezione
principale di P, e l’altra con direzione di vibrazione ruotata di 2ε.
• Νell’oculare C, messo a fuoco sulla lamina, il campo visivo, diviso verticalmente
dallo spigolo della lamina, appare in genere diversamente illuminato.
• La componente trasmessa da A, ha ampiezza che dipende dall’angolo formato dal
piano di vibrazione dell’onda con la sua sezione principale (legge di Malus).
• Avendo i due semifasci incidenti direzioni di vibrazione differenti saranno diverse
anche le intensità trasmesse.
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Polarimetria - 6
• Sono due le posizioni di A in cui si verifica l’uguaglianza delle intensità. Ciascuna
potrebbe essere assunta come riferimento per la misura delle rotazioni, indotte
dalle sostanze otticamente attive, e costituire la posizione di zero dello strumento.
• La misura dell’angolo si ottiene semplicemente come differenza fra le posizioni
angolari, lette sulla scala goniometrica solidale con l’analizzatore, in assenza e in
presenza della sostanza otticamente attiva.
• L’utilizzo di un polarimetro sprovvisto della lamina mezz’onda, comporterebbe
un’incertezza sensibilmente maggiore nella determinazione della posizione di zero
dello strumento.
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Polarimetro
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Polarimetri
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