Potenziamento di matematica
Scoperta di un nuovo mondo
Probabilità
È la branca della matematica che studia
gli avvenimenti che sono legati al caso.
Nel calcolo delle probabilità con la parola
evento si intende ogni fatto che in seguito
ad una prova può accadere oppure no.
Tipologie di eventi
Insieme universo U
dei risultati cioè tutti i risultati
Con H si identifica l’insieme
casi favorevoli cioè i casi
che rispondono alla richiesta.
Se U=H allora si ha
un evento certo.
Se H=Ø allora si ha
un evento impossibile.
Gli eventi possibili,
che non sono certi
vengono detti aleatori
o casuali.
Analisi degli eventi
• La probabilità del verificarsi di
un evento = al rapporto tra il
numero dei casi favorevoli e il
numero dei casi possibili.
• La frequenza assoluta =
numeri di successi dell’evento.
• La frequenza relativa = al
rapporto tra il numero di
successi e il numero di prove
effettuate.
• Operazioni con gli
eventi:
H1= {2;4;6}
H2={3;6}
H1UH2={2;3;4;6}
H1∩H2= {6}
Frequenza in azione
Faccia
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
%
1
2
3
4
2
0
4
1
0.2
0
0.4
0.1
20
0
40
10
5
6
2
1
0.2
0.1
20
10
Statistica
È l’insieme delle metodologie,
per raccogliere, analizzare e
comunicare i dati per studiare
dei fenomeni.
Le fasi dell’indagine statistica
• Individuazione del fenomeno sul quale si
deve indagare. ( es. la moda)
• Determinazione dei singoli casi rispetto ai
quali il fenomeno si manifesta.( es. vista sotto
vari aspetti, analisi campione, quantitativa, qualitativa.)
• Determinazione delle unità statistiche sulle
quali viene eseguita l’indagine.(età dai 13-18;1825; 25- 30)
Svolgimento operativo
• Determinare le modalità di svolgimento
dell’indagine.
• Raccolta dei dati.
• Spoglio dei dati.
• Rappresentazione ed elaborazione dei
dati.
• Interpretazione dei dati.
Modalità svolgimento indagine
Il questionario
Aperti
Rigidamente Semistrutturati
strutturati
Le risposte le
Sono una
Gli intervistati
danno gli
rispondono con via di mezzo
intervistati
tra quelli
una crocetta su
con parole
aperti e
una delle
proprie.
quelli
risposte
rigidamente
previste.
strutturati.
L’intervista
Il questionario viene fatto da un
intervistatore, il quale porge le
domane e segna le risposte sul
modulo.
Raccolta dei dati
Spoglio dei dati
Che consiste nell’esaminare tutte le schede,
scartarle, contarle e riassumere i risultati
attraverso tabelle.
Interpretazione dei dati
• Analisi quantitativa: si possono ottenere
informazioni riguardanti la composizione del
campione in esame.
• Analisi qualitativa: si forniscono informazioni sui
rapporti di “forza” tra le varie componenti del
campione in esame.
• Altri rapporti Statistici: altri rapporti che trovano
applicazione in svariati campi di indagine
(rapporti di frequenza relativa,assoluta,…).
I valori medi
•
•
La media aritmetica cioè quel numero che, sostituito a
ciascuno degli elementi dell’insieme di partenza, ne
conserva inalterata la somma. M=x1+x2+…+xn/n
Le medie lasche cioè sono calcolate considerando
solo particolari modalità quantitative del carattere e si
dividono:
Moda
Mediana
È il dato
presente in
una maggiore
frequenza.
È il valore che
occupa il posto
centrale, in una
successione di dati.
Frequenza in azione
Faccia
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
%
1
2
3
4
2
0
4
1
0.2
0
0.4
0.1
20
0
40
10
5
6
2
1
0.2
0.1
20
10
Indici di Variabilità
• Varianza,si indica con il simbolo σ², si definisce
come la media aritmetica dei quadrati degli
scarti alla media. σ²=(x -M)²+ (x -M)²+…+(xn-M)²/n
• Scarto Quadratico Medio, si indica con il simbolo
σ, si definisce come la radice quadrata della
varianza. σ= √(x -M)²+ (x -M)²+…+(xn-M)²/n
1
1
2
2
Rappresentazione dei dati
La rappresentazione grafica dei dati raccolti
può essere effettuata utilizzando
principalmente:
• Diagrammi cartesiani:si usano generalmente
per fenomeni a carattere continuo.
• Istogrammi:servono per rappresentare delle
serie o delle seriazioni.
• Diagrammi a settori: vengono utilizzati
principalmente per eseguire confronti tra gruppi
e i dati vengono visualizzati come percentuali
dell'intero.
• Ideogrammi: con questo tipo di
rappresentazione grafica si da un’idea del
fenomeno mediante figure rappresentative della
natura del fenomeno stesso.
• Cartogramma: è una rappresentazione grafica
che esprime l’intensità di un fenomeno relativo a
zone territoriali mediante colorazioni diverse.
La probabilità e la statistica vengono
utilizzate in un altro ambito della
matematica
la ricerca operativa.
Ricerca operativa
Essa è un metodo scientifico che serve per
raccogliere informazioni sulla ricerca di problemi
legati al campo economico, finanziario,
aziendale,…, ed analizzarli e cioè il metodo per
risolvere i problemi di scelta.
Problemi di scelta
Vengono utilizzati nel campo economico
con lo scopo di individuare il migliore
impiego delle varie risorse a disposizione.
Esempi di problemi di scelta
• Problemi di gestione: riguardano la gestione
aziendale. (es. ottimizzare i costi in una fabbrica)
• Problemi di produzione:riguardano la scelta
dei prodotti da fabbricare per ottenere il
massimo profitto.(es. prodotti più funzionali rispetto ad
altri, che si presentano in modo più attraente)
• Problemi di traffico e trasporti: riguardano ad
esempio la programmazione dei viaggi e dei voli
di compagnie di navigazione e aeree.
• Problemi economico-finanziari: riguardano
la scelta degli investimenti finanziari e industriali.
Fasi per la risoluzione di un problema
di scelta
• Individuazione del problema:bisogna individuare
chiaramente i confini, il contenuto, le variabili, la funzione
da rendere massima o minima, i vincoli. Si può dire che il
problema deve essere scoperto.
• Campo di scelta:consiste nel mettere insieme tutte le
alternative fra le quali si deve scegliere la migliore.
• Definizione Funzione e Vincoli: è una funzione
matematica con una o più incognite che indica la scelta da
effettuare fra le possibili alternative, in genere è una
quantità che misura un ricavo, oppure un costo, un utile,
una produzione o qualsiasi altro ente che in qualche modo
possa favorire l’organizzazione del lavoro. I vincoli sono
costituiti da un certo numero di relazione che impongono i
limiti di variabilità alle incognite introdotte.
• Raccolta dei dati: vengono raccolti dati inerenti al
problema in base a vari aspetti che necessitano l’analisi.
• Costruzione di un modello: una volta raccolti i dati
bisogna costruire il modello matematico per studiarli
distinguendo gli elementi essenziali da quelli superflui ed
utilizzando elementi di algebra come equazioni,
disequazioni, risoluzione grafica della funzione..
• Determinazione della soluzione: cioè ha lo scopo di
determinare la soluzione ottimale e non una soluzione
soddisfacente risolvendo i contenuti algebrici del modello.
• Messa a punto e collaudo del modello e della
soluzione: cioè bisogna provare che il modello rispetti
tutti i parametri e che si ottengano gli obiettivi prefissati
altrimenti devo rivisitare il modello stesso.
• Interpretazione dei risultati: vengono rappresentati
con dei grafici ed analizzati analiticamente.
Es. Problema di scelta
Un imprenditore desidera costruire su una terra un campo da golf di forma
rettangolare. Stabilito che il perimetro deve essere di 120m vuole
determinare le misure dei lati in modo che l’area del campo da golf sia la
massima possibile.
Dati: x e y = misure dei lati
2x +2y = 120
x + y =60 (vincolo del perimetro)
x≥0
vincoli di positività
y≥0
z = x * y (Funzione obiettivo da massimizzare)
}
Risoluzione:
Il vincolo di uguaglianza x + y = 60 permette di eliminare un’ incognita. Infatti
y = 60 – x nel vincolo y ≥ 0 si ottiene: z = x * (60 – x)
z = x ² - 60 x con x ≥ 0 e x ≤ 60
Pa= (60;0) Pb =(0;0)
V = (30;900)
Risoluzione grafica
z
V
MAX
900
450
Pa
0
Pb
10
30
60
x
Infatti per x = 30 → y = 60 – 30 → y = 30 ====> Z = 900