M.GUIDA, S.ROLANDO, 2015
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RETTE E CIRCONFERENZE NEL PIANO /
ESERCIZI PROPOSTI
L’asterisco contrassegna gli esercizi meno basilari (perché più difficili o di approfondimento).
È sottinteso che si è fissato un riferimento cartesiano R = (O; x, y).
ESERCIZIO 1. Determinare la retta passante per A = (−3, 2) e parallela a r :
x=1+t
.
y =1−t
ESERCIZIO 2. Calcolare gli angoli formati dalle rette r1 : x + 2y = 0 ed r2 : 3x + y = 1.
ESERCIZIO
3. Tra le rette passanti per il punto di intersezione di r1 : x + 2y − 3 = 0 ed
x=1+t
, scrivere l’equazione cartesiana di quella:
r2 :
y = 3 − 2t
(i) passante per il punto Q = (2, 1)
(ii) ortogonale alla retta r3 : x − y − 7 = 0.
ESERCIZIO 4. Determinare le rette passanti per A = (0, 3) e formanti un angolo di π/6 con
la retta 3x − y + 2 = 0.
ESERCIZIO 5. Determinare:
(i) la proiezione ortogonale Pr del punto P0 = (1, 1) sulla retta r : x − y − 1 = 0 e calcolare la
distanza di P0 dalla retta
(ii) il simmetrico P1 del punto P1 = (3, 1) rispetto al punto Q = (1, −1)
(iii) il simmetrico P2 del punto P2 = (2, −1) rispetto alla retta x − 3y + 4 = 0
(iv)* la retta simmetrica r della retta r : 2x + y + 3 = 0 rispetto alla retta 2x + y − 1 = 0
(v)* la retta simmetrica s della retta s : 3x − 2y + 7 = 0 rispetto alla retta 5x + y − 3 = 0.
ESERCIZIO 6. Determinare le bisettrici b1 e b2 degli angoli individuati dalle rette r1 : 4x −
3y + 1 = 0 ed r2 : 2x − 1 = 0.
ESERCIZIO 7. Determinare la retta che biseca la striscia formata dalle rette x − y = −5 e
x − y = 2.
ESERCIZIO 8. Scrivere l’equazione della circonferenza γ di centro C = (1, 1) e raggio R = 3.
Stabilire poi le posizioni del punto A = (2, 3) e della retta r : 3x + 4y + 8 = 0 rispetto a γ.
ESERCIZIO 9. Determinare i valori di k ∈ R per cui γ : x2 + y2 + 2x + 3 − k = 0 è una
circonferenza.
––––––––––
Risultati esercizio 1. x + y + 1 = 0.
Risultati esercizio 2. ϕ1 = π/4, ϕ2 = 3π/4.
Risultati esercizio 3. (i) 2x + y − 5 = 0. (ii) 3x + 3y − 8 = 0.
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√ √ Risultati esercizio 4. r1 : 6 + 5 3 x + 3y − 9 = 0, r2 : 6 − 5 3 x + 3y − 9 = 0.
√ √ Nota: la soluzione r1,2 : −13x + 6 ± 5 3 y − 3 6 ± 5 3 = 0 coincide con la precedente, che
√ 1
si trova moltiplicando l’ultima equazione per − 13
6∓5 3 .
Risultati esercizio 5. Ricordiamo i seguenti fatti teorici:
La proiezione ortogonale di un punto P0 su una retta r è, per definizione, l’unico punto Pr ∈ r
tale che d (P0 , Pr ) = min d (P0 , P ).
P ∈r
Essendo nel piano, risulta Pr = r ∩ s con s retta perpendicolare ad r passante per P0 .
La distanza d (P0 , r) del punto P0 = (x0 , y0 ) dalla retta r : ax + by + c = 0 è data da
d (P0 , r) = d (P0 , Pr )
con Pr proiezione ortogonale di P0 su r
ovvero, equivalentemente, dalla formula
d (P0 , r) =
|ax0 + by0 + c|
.
(a, b)
−→ −−→
• Il simmetrico di un punto P rispetto ad un punto Q è l’unico punto P tale che P Q = QP
(cioè Q è punto medio del segmento P P ).
• Il simmetrico di un punto P rispetto ad una retta r è il simmetrico di P rispetto alla sua
proiezione ortogonale su r.
• La figura simmetrica di una figura F rispetto ad un punto Q (o ad una retta r) è il luogo
dei simmetrici rispetto a Q (o ad r) dei punti di F.
In particolare, si dimostra che simmetrizzando una retta si ottiene ancora una retta.
√
Nel caso dell’esercizio, risulta: (i) Pr = (3/2, 1/2) e d (P0 , r) = 2/2. (ii) P1 = (−1, −3).(iii)
P2 = (1/5, 22/5). (iv) r : 2x + y − 5 = 0. (v) s : 2x + 3y − 10 = 0.
Risultati esercizio 6. Si può ragionare in due modi: da un lato, b1 e b2 passano per r1 ∩ r2 e
sono parallele ai vettori u1 ± u2 , con ui versore direttore di ri ; dall’altro, b1 ∪ b2 è il luogo dei
punti equidistanti dalle rette r1 ed r2 . Si trova b1 : 2x + 6y − 7 = 0 e b2 : 6x − 2y − 1 = 0.
Risultati esercizio 7. 2x − 2y + 3 = 0.
Risultati esercizio 8. Ricordiamo i seguenti fatti teorici:
La circonferenza di centro C = (x0 , y0 ) e raggio R > 0 ha equazione (x − x0 )2 +(y − y0 )2 = R2 ;
svolgendo i quadrati, essa assume la forma x2 + y 2 + ax + by + c = 0.
2
Viceversa, una tale equazione rappresenta una circonferenza se e solo se a4 +
t
2
2
in tal caso, C = − a2 , − 2b e R = a4 + b4 − c ne sono il centro ed il raggio.
b2
4
− c > 0;
Una retta r ed una circonferenza γ di centro C e raggio R sono:
• secanti (in due punti) ⇐⇒ d (C, r) < R
• tangenti ⇐⇒ d (C, r) = R
• una esterna all’altra ⇐⇒ d (C, r) > R.
Nel caso dell’esercizio, risulta che: γ : x2 + y 2 − 2x − 2y − 7 = 0; il punto A è interno a γ (perché
√
√
= 3 = R).
d (A, C) = 5 < R); la retta r è tangente a γ (perché d (r, C) = |3+4+8|
9+16
Risultati esercizio 9. γ è una circonferenza per k > 2 (per k = 2, γ si riduce al solo punto
(−1, 0); per k < 2, γ è l’insieme vuoto).