Ottimo del consumatore
a.a. 2008/2009
Dott. Laura Vici
Esercitazioni: giovedì 9:00 - 11:00, Aula A, Via Berti Pichat, 6
Ricevimento: giovedì 13:00-15:00
Dipartimento di Scienze Economiche - Strada Maggiore, 45
Studio n. 31
E-mail: [email protected]
Home page: http://www2.dse.unibo.it/lvici
Esercitazione IV
Versione 22/10/2008
OBIETTIVI: dopo un breve ripasso dei concetti di curva di indifferenza, saggio marginale di sostituzione
(SMS) e vincolo di bilancio, in questa sezione vengono analizzati i metodi di massimizzazione dell’utilità
sotto il vincolo di bilancio, tecnica che consente di determinare il paniere ottimale di consumo.
La teoria del consumatore
La teoria del consumatore è quella branca dell’economica che si occupa di spiegare come i consumatori
allocano il proprio reddito per l’acquisto di beni e serivizi, in modo da massimizzare la propria utilità.
Il problema principale di un consumatore è quello di disporre di un reddito limitato da suddividere tra
l’acquisto di beni diversi, ossia per l’acquisto del paniere di beni1 che gli assicura il maggiore vantaggio.
Pertanto gli elementi da considerare per risolvere il problema del consumatore sono due:
- le preferenze del consumatore rispetto ai beni (la funzione di utilità da massimizzare).
- la disponibilità finanziaria e i prezzi dei beni (il vincolo di bilancio da rispettare).
Assunzioni
Il presupposto della teoria del consumatore è che gli individui siano razionali e coerenti. Inoltre, per semplificare lo studio, si suppone implicitamente che il consumatore disponga di completa informazione.
Inoltre, la teoria del consumatore si fonda su una serie di assunzioni:
Completezza: Le preferenze dei consumatori sono complete se i consumatori sono in grado di confrontare e classificare tutti i possibili panieri, indipendentemente dal prezzo. Ad esempio, dati due panieri A e B, il
consumatore può preferire A a B (e si indica con A B) oppure può preferire B ad A (e si indica con
A ≺ B), o essere indifferente tra i due panieri (e si indica con A ≈ B).
Transitività: Dati tre panieri A, B e C, se un consumatore preferisce A a B e B a C, allora preferisce A a C ( A B
e B C =⇒ A C).
Non sazietà: Il consumatore preferisce sempre una quantità maggiore a una quantità minore di un bene. Pertanto,
anche se di poco, "più" è sempre preferito a "meno".
Convessità: Le curve di indifferenza sono convesse. Ciò implica un saggio marginale di sostituzione decrescente
(questa ipotesi ci sarà più chiara tra qualche istante).
Utilità e funzione di utilità
In economia, per rappresentare il livello di soddisfazione di un consumatore si ricorre al concetto di utilità e
alla funzione di utilità.
Il termine utilità indica quel valore numerico che rappresenta la soddisfazione che il consumatore trae dal
consumo di un determinato paniere. Una funzione di utilità è quindi una funzione che assegna a ciascun
paniere (x1 , x2 , ..., xn ) un certo livello di utilità u = f (x1 , x2 , ..., xn ).
In generale, non esiste un metodo oggettivo per misurare la soddisfazione di un individuo o il livello di
benessere che egli trae dal consumo di panieri diversi. L’utilità ci consente di classificare i panieri ma non
1 Un
paniere di beni è una lista di quantità di uno o più beni.
2
di stimare di quanto uno sia preferito all’altro. Per questo motivo, una funzione di utilità che classifica i
panieri considerati in termini di soddisfazione decrescente è detta funzione di utilità ordinale.2
Ciò implica che i valori attribuiti all’utilità siano arbitrari e che sia possibile confrontare la soddisfazione
a livello individuale ma non interpersonale.
Curve di indifferenza e saggio marginale di sostituzione (SMS)
Ma come rappresentare graficamente le preferenze di un consumatore?
Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui sull’asse delle ascisse viene rappresentata la quantità di
un bene, x1 , mentre sull’asse delle ordinate un altro bene x2 . Ogni punto sul quadrante positivo rappresenta
un paniere dato dalla combinazione di quantità dei beni x1 e x2 .
Graficamente le preferenze sono rappresentate ricorrendo alle cosiddette curve di indifferenza. Una curva
di indifferenza è il luogo geometrico che rappresenta tutte le combinazioni di panieri di beni che offrono al
consumatore lo stesso livello di soddisfazione.
In tal senso, lungo una curva di indifferenza si individua la misura in cui un individuo è disposto a
sostituire un bene con un altro (si veda il saggio marginale di sostituzione), mantenendo costante il livello
di utilità.
Ogni paniere di mercato è attraversato da una curva di indifferenza a cui si associa un certo livello di
utilità.
Un insieme di curve di indifferenza è chiamato mappa di indifferenza (Figura 1) e individua i) combinazioni di beni che lungo la stessa curva garantiscono la stessa utilità e ii) combinazioni di beni che giacciono
su curve di indifferenza diverse e che garantiscono diversa utilità. Una mappa di indifferenza fornisce le stesse
informazioni di una funzione di utilità. Le curve di indifferenza quindi permettono di confrontare graficamente panieri diversi guardando a che curva appartiene ciascun paniere.
Si tenga presente che:
• le curve di indifferenza più esterne identificano livelli di utilità più elevati;
• le curve di indifferenza non si possono intersecare;
• le curve di indifferenza hanno pendenza negativa (se né x1 né x2 sono "mali");3
• le curve di indifferenza sono convesse e, quindi, il saggio marginale di sostituzione è decrescente spostandosi lungo la curva di indifferenza verso destra.4
2 Questa si contrappone alla funzione di utilità cardinale che misura di quanto sia effettivamente preferito un paniere rispetto
a un altro alternativo.
3 La pendenza negativa è giustificata dal fatto che se un maggior consumo di ciascun bene accresce l’utilità del consumatore,
il mantenimento di uno stesso livello di utilità richiede che all’aumento del consumo di un bene sia associata una riduzione del
consumo dell’altro bene.
4 Infatti, se l’ammontare del consumo di un bene, ad esempio x , è elevato, il consumatore è disposto a rinunciare a grandi
1
quantità dello stesso bene pur di incrementare anche di poco l’ammontare del bene x2 . Al contrario, quando il consumo del
bene x1 è ridotto, per incrementare il consumo di x2 si è disposti a sacrificare solo una piccola quantità di x1 .
3
x2
U=f(x1, x2)
U
U3
U2
U1
x1
Figura 1: Mappa di indifferenza
Il saggio marginale di sostituzione esprime il grado di sostituibilità tra il consumo di due beni sulla
base delle preferenze personali del consumatore. Più precisamente, il saggio marginale di sostituzione (SMS)
è la quantità di un bene a cui il consumatore è disposto a rinunciare per ottenere una unità aggiuntiva di un
altro bene.
Tra due beni, il saggio marginale non può che essere negativo poiché rappresenta la quantità di un bene
a cui si è disposti a rinunciare (∆x2 ) per avere un aumento di un’unità di un altro bene ∆x1 e rappresenta
la pendenza della curva di indifferenza nel punto in cui viene calcolato (−∆x2 /∆x1 ) .
Il SMS diminuisce a mano a mano che ci si sposta verso destra lungo la curva di indifferenza (data l’ipotesi
di convessità delle curve di indifferenza).
Curve di indifferenza speciali
Abbiamo visto che se due beni sono sostituti, allora quando aumenta il prezzo di un bene aumenta la quantità
domandata dell’altro bene. Se due beni sono sostituti perfetti, il loro saggio marginale di sostituzione è una
costante e le curve di indifferenza che descrivono il trade-off tra i due beni sono lineari (Figura 2).
4
x2
U4
U3
U2
U1
x1
Figura 2: Curve di indifferenza di beni sostituti
Inoltre abbiamo visto che due beni sono complementari se all’aumento del prezzo di un bene diminuisce la
quantità domandata dell’altro bene. Se due beni sono complementi perfetti, il saggio marginale di sostituzione
assume due possibili valori, ossia zero o infinito. Le relative curve di indifferenza formano un angolo retto
(Figura 3).
x2
4
U4
3
U3
2
U2
U1
1
0
1
2
3
4
x1
Figura 3: Curve di indifferenza di beni complementari
In economia esistono dei beni che producono effetti negativi e per i quali una quantità minore è meglio di
una quantità maggiore (i cosiddetti beni negativi o "mali"). Sono esempi di mali l’inquinamento, il rumore,
ecc. Le relative curve di indifferenza hanno pendenza positiva (Figura 4).
5
x2
x1
Figura 4: Curve di indifferenza di un bene (x2 ) e un "male" (x1 )
Il vincolo di bilancio
Come è già stato detto, per risolvere il problema di ottimo del consumatore è necessario considerare due
elementi fondamentali: le preferenze del consumatore (appena trattate) e il vincolo di bilancio.
Il vincolo di bilancio è il vincolo a cui è soggetto il consumatore dato il suo reddito limitato.
Consideriamo due beni, x1 e x2 , i rispettivi prezzi, p1 e p2 , e il reddito del consumatore, R. Il vincolo
di bilancio può essere rappresentato da una retta, la cosiddetta retta di bilancio. La retta di bilancio è
il luogo geometrico di tutte le combinazioni di x1 e x2 per cui la spesa totale è uguale al reddito. In altri
termini, lungo la retta di bilancio si individuano tutti i panieri di beni il cui acquisto esaurisce il reddito del
consumatore. Formalmente,
p1 x1 + p2 x2 = R
(1)
che possiamo riscrivere come quantità del bene x2 in funzione del bene x1 :
x2 =
R
p1
− x1
p2 p2
(2)
in questo modo, si può immediatamente notare che la pendenza della retta di bilancio è pari a
Scritto
p1
− p2 , ossia il prezzo relativo dei due beni. Esso indica il tasso a cui si può sostituire un bene con un altro,
lasciando invariata la spesa complessiva.
Si noti che se tutto il reddito è destinato al consumo del bene x1 (per cui x2 = 0) allora il consumatore
può acquistare R/p1 unità del bene (intercetta orizzontale della retta di bilancio); se tutto il reddito viene
speso per acquistare solamente il bene x2 (quindi x1 = 0), allora il consumatore può acquistare R/p2 unità
del bene (intercetta verticale della retta di bilancio). Ovviamente il consumatore può scegliere di consumare
qualsiasi combinazione intermedia dei beni x1 e x2 lungo la retta. Qualsiasi paniere sopra la retta di bilancio
6
del consumatore non è raggiungibile, mentre ogni paniere sotto la retta di bilancio garantisce un’utilità
minore di quella garantita dai panieri che rispettano il vincolo di bilancio (non è una scelta razionale).
Se si verifica una delle seguenti circostanze, la retta di bilancio si sposta:
• Un aumento del reddito R (Figura 5a) comporta uno spostamento parallelo verso l’esterno del vincolo
di bilancio (pertanto l’inclinazione del vincolo di bilancio rimane invariato, non essendo cambiati i
prezzi dei beni).
• Un aumento del prezzo di un bene, ad esempio del bene x2 (Figura 5c), a parità di reddito e del prezzo
dell’altro bene, causa una riduzione del consumo del bene x2 . In tal caso, l’intercetta orizzontale non si
modifica (caso in cui tutto il reddito è speso nell’acquisto del bene x1 ), mentre il vincolo di bilancio si
sposta, ruotando verso l’interno e facendo perno sul punto (x1 , 0). Viceversa, nel caso di una riduzione
del prezzo la retta di bilancio ruota verso l’esterno facendo perno sull’intercetta orizzontale.
• Analogamente, un aumento del prezzo del bene x1 (Figura 5b), a parità di reddito e del prezzo dell’altro
bene, causa una riduzione del consumo del bene x1 . In tal caso, l’intercetta verticale non si modifica
(caso in cui tutto il reddito è speso nell’acquisto del bene x2 ), mentre il vincolo di bilancio si sposta,
ruotando verso l’interno e facendo perno sul punto (0, x2 ). Viceversa, nel caso di una riduzione del
prezzo la retta di bilancio ruota verso l’esterno facendo perno sull’intercetta verticale.
x2
x2
x2
∆p2+
∆R+
∆p1∆p2-
∆p1+
∆Rx1
x1
Figura 5: Spostamenti della retta di bilancio dovuti alla variazione del reddito o dei prezzi dei beni
La scelta ottima del consumatore
Una volta compresi i due elementi che costituiscono il problema del consumatore (le preferenze e il vincolo
delle risorse), possiamo ora affrontare come il consumatore sceglie quanto acquistare di ciascun bene.
7
x1
L’obiettivo del consumatore è quello di massimizzare l’utilità (ossia la soddisfazione che si trae dal consumo di un paniere), dato il reddito di cui dispone.
La scelta ottimale deve soddisfare due condizioni:
i) il paniere scelto deve giacere sulla retta di bilancio. In altri termini, tutto il reddito disponibile deve
essere speso per l’acquisto dei beni che costituiscono il paniere ottimale;
ii) il consumatore sceglie quella combinazioni di beni che massimizza la propria utilità. Ciò significa che
il paniere scelto deve essere posizionato sulla curva di indifferenza più esterna possibile.
Mettendo insieme queste due condizioni, si ottiene la soluzione al problema di ottimizzazione del consumatore.
Graficamente, ciò corrisponde ad individuare quel punto in cui la curva di indifferenza più esterna tocca
la retta di bilancio.
In generale, i panieri bilanciati (costituiti da combinazioni di diversi beni) sono preferiti e corrispondono
alle cosiddette "soluzioni interne". In tal caso, la curva di indifferenza è tangente alla retta di bilancio, ossia
le due curve hanno la stessa pendenza e si toccano in un solo punto.
x2
U=f(x1, x2)
x*2
E*
U3
U2
U1
x1
x*1
Figura 6: Curve di indifferenza di un bene (x2 ) e un male (x1 )
Dato che la pendenza della retta di bilancio è data dal rapporto tra i prezzi dei due beni con segno
negativo (−p1 /p2 ), mentre la pendenza della curva di indifferenza è data dal saggio marginale di sostituzione
(SM S), la soddisfazione del consumatore è massima quando il saggio marginale di sostituzione tra x1 e x2
in valore assoluto (|SM Sx1 ,x2 |) è uguale al rapporta tra i prezzi dei due beni (p1 /p2 ):
|SM S| =
p1
p2
(3)
Ciò corrisponde ad affermare che il beneficio marginale (o utilità marginale) è uguale al costo marginale
(rapporto tra i prezzi) associato al consumo di una unità aggiuntiva di bene.
8
L’utilità marginale misura la maggior soddisfazione che si trae dal consumo di un’unità addizionale di
un bene.
Se la variazione della quantità del bene è infinitesimale, l’utilità marginale corrisponde alla derivata
dell’utilità complessiva del consumatore rispetto alla quantità del bene.
In generale, l’utilità marginale è decrescente poiché all’aumentare del consumo di un bene, l’ulteriore
soddisfazione che si trae dal consumo di unità aggiuntive diminuisce.
Si dimostra che il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto tra l’utilità marginale di x1 e
l’utilità marginale di x2 .
SM S = −
ux1
=−
ux2
∂u(x1 , x2 )/∂x1
∂u(x1 , x2 )/∂x2
(4)
Quindi, la soddisfazione del consumatore è massima quando
SM S = −
ux1
=−
ux2
p1
⇐⇒
p2
ux1
=
ux2
p1
p2
(5)
Fanno eccezione le cosiddette "soluzioni d’angolo" in cui la curva di indifferenza più esterna tocca il
vincolo di bilancio in una delle sue intercette (ma le due curve non sono tangenti) e il paniere ottimale è
costituito da un solo bene (x1 nel caso in cui la curva di indifferenza più esterna tocca il vincolo di bilancio
nel punto di intercetta orizzontale o x2 se la curva di indifferenza più esterna tocca il vincolo di bilancio nel
punto di intercetta verticale). In tal caso il SMS del consumatore non è uguale al rapporto tra i prezzi (si
veda l’esercizio 7).
Ottimizzazione vincolata
Formalmente, il problema del consumatore può essere scritto nel modo seguente:
max u(x1 , x2 )
x1 ,x2
s.t.
p1 x1 + p2 x2 = R
(6)
(7)
Per risolvere questo problema di ottimizzazione vincolata si può ricorrere a tre metodi alternativi: il
metodo della tangenza, il metodo di sostituzione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
A) Metodo della tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio
Abbiamo visto che, data la funzione di utilità u(x1 , x2 ), la pendenza di una sua generica curva di indifferenza
è data dal saggio marginale di sostituzione (SMS):
|SM S| =
ux1
=
ux2
9
∂u(x1 , x2 )/∂x1
∂u(x1 , x2 )/∂x2
(8)
La condizione di tangenza tra la retta di bilancio e la curva di indifferenza implica l’uguaglianza tra il
SMS e il rapporto tra i prezzi:
∂u(x1 , x2) /∂x1
p1
=
(9)
∂u(x1 , x2 )/∂x2
p2
Attraverso il metodo di tangenza, il problema di ottimo vincolato del consumatore si riduce alla
soluzione di un sistema di due equazioni (la (7) e la (9)) in due incognite, x1 e x2 .
Risolvendo il sistema di equazioni si individuano le scelte ottimali di consumo x∗1 e x∗2 .
B) Metodo di sostituzione
E’ possibile risolvere il problema di massimizzazione vincolata esplicitando il vincolo di bilancio rispetto
a uno dei due beni, ad esempio x2 , in funzione dell’altro bene (x1 ) e del reddito (R) e successivamente,
sostituendo l’espressione ottenuta nella funzione obiettivo:
x2 (x1 ) =
R
p1
− x1
p2 p2
(10)
R
p1
− x1 )
(11)
x1 ,x2
x1 ,x2
p2 p2
Attraverso la sostituzione nella funzione di utilità del vincolo scritto in forma esplicita x2 (x1 , R), si ottiene
max u(x1 , x2 ) =⇒ max u(x1 ;
un problema di massimizzazione non vincolata.
Pertanto, per risolvere tale problema, è sufficiente differenziare rispetto a x1 e porre il risultato uguale a
zero. Risolvendo l’equazione rispetto a x1 e combinandola al vincolo di bilancio si ottengono i valori ottimali
dei beni (x∗1 , x∗2 ).
C) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Dato il problema di ottimo vincolato descritto dalla (6), il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa
sulla costruzione di una funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata Lagrangiana:
L = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − R).
(12)
La nuova variabile λ è chiamata moltiplicatore di Lagrange e moltiplica il vincolo scritto in forma
implicita.5 Il teorema di Lagrange afferma che una scelta ottima (x∗1 , x∗2 ) deve soddisfare le seguenti condizioni
del primo ordine:

∂L
∂u (x∗1 , x∗2 )


=
− λp1 = 0



∂x1
 ∂x1
∗
∗
∂u (x1 , x2 )
∂L
=
− λp2 = 0

∂x
∂x2

2



 ∂L = p1 x∗1 + p2 x∗2 − R = 0
∂λ
5 Il moltiplicatore di Lagrange λ rappresenta la variazione dell’utilità che consegue da un allentamento del vincolo. In questo
contesto di massimizzazione dell’utilità del consumatore, il moltiplicatore di Lagrange corrisponde all’utilità marginale del
reddito.
10
Con questo metodo si ottiene un sistema formato da tre equazioni in tre incognite da cui si ricavano i
valori ottimali x∗1 e x∗2 .
Le curve prezzo-consumo, reddito-consumo e la curva di Engel
Una variazione del prezzo di un bene, a parità di reddito e del prezzo del’altro bene, spinge il consumatore a
scegliere un diverso paniere di mercato. Se si uniscono con una linea i panieri che massimizzano l’utilità del
consumatore in corrispondenza di diversi livelli di prezzo si ottiene la curva di prezzo-consumo, disegnata
nel piano cartesiano {x1 ,x2 }. Tale curva mostra come cambia il paniere che massimizza l’utilità al variare
del prezzo di uno dei due beni. Lo stesso comportamento, se riportato nel piano cartesiano {xi ,pi } dove i è
il bene il cui prezzo cambia, individua la curva di domanda di quel bene. Quindi, la curva di domanda
individuale esprime la relazione tra la quantità di un bene acquistata da un consumatore e il suo prezzo.
Una variazione del reddito, mantenendo costanti i prezzi, induce i consumatori a scegliere panieri di
mercato differenti. Se si uniscono con una linea tutti i panieri che massimizzano l’utilità del consumatore
al variare del reddito, si ottiene la curva di reddito-consumo, disegnata nel piano cartesiano {x1 ,x2 }.
Tale curva mostra come cambia il paniere che massimizza l’utilità al variare del reddito del consumatore.
Lo stesso comportamento, se riportato nel piano cartesiano {xi , R}, dove i è uno dei due beni considerati,
individua la curva di Engel. Pertanto, la curva di Engel esprime la relazione tra la quantità domandata di
un bene e il livello di reddito del consumatore.
Se la curva di Engel ha pendenza positiva, il bene è un bene normale (il consumatore aumenta il consumo
di quel bene all’aumentare del suo reddito). Se ha pendenza negativa è un bene inferiore (all’aumentare
del reddito, il consumatore riduce il consumo di quel bene).
Inoltre, se la curva di Engel cresce in maniera decrescente, il bene è di prima necessità; se cresce in
maniera crescente il bene è di lusso.6
6 Si
noti la correlazione tra la forma delle curve di Engel e il valore dell’elasticità della domanda al reddito.
11
x2
x2
prezzo-consumo
reddito-consumo
∆p1
p1
∆R
x1
R
Curva di domanda
x1
Curva di Engel
x1
x1
Figura 7: Curve di prezzo-consumo, di reddito-consumo, di Engel e di domanda
12
.
Esercizi proposti
ESERCIZIO 1. Si consideri un consumatore le cui preferenze tra due beni x1 e x2 sono rappresentate dalla funzione
1/4 3/4
di utilità u(x1 , x2) = x1 x2 . Il consumatore dispone di un reddito R = 800. I prezzi di mercato dei
due beni sono, rispettivamente, p1 = 2 e p2 = 4.
a) Si determini analiticamente la scelta ottima del consumatore.
b) Si rappresenti graficamente il problema.
SOLUZIONE:
(a) L’individuo sceglierà quella combinazione di beni che massimizza la propria utilità, rispettando il vincolo
di bilancio a cui è soggetto. In termini più generali, possiamo scrivere il problema del consumatore in
questo modo:
1/4 3/4
max u(x1 x2 ) = x1 x2
x1 x2
s.t.
800 = 2x1 + 4x2
Come abbiamo visto, il problema può essere risolto in tre modi:
(a1) Metodo di sostituzione
Possiamo esplicitare x2 dal vincolo di bilancio e sostituire l’espressione così ottenuta nella funzione obiettivo da massimizzare, in modo da trasformare il problema da ottimo vincolato a ottimo libero:
x2
=
1
2
· 800 − · x1
4
4
1/4
u(x1 , x2 ) = x1
3/4
· x2
1
x2 = 200 − x1
2
1
1/4
⇒ u(x1 ) = x1 · (200 − x1 )3/4
2
⇒
Otteniamo una funzione di utilità in una sola variabile x1 . Per trovare il valore di x1 che massimizza la
funzione di utilità dati i prezzi dei due beni e il reddito, dobbiamo calcolare la derivata prima e porla
uguale a zero:
du
1 −3/4
1
3
= · x1 (200 − x1 )3/4 +
dx1
4
2
4
1
1
1/4
−
x1 (200 − x1 )−1/4 = 0
2
2
Si ottiene x∗1 = 100.
Per determinare la quantità ottimale di x2 possiamo sostituire x1 nel vincolo di bilancio, dati i prezzi e
il reddito del consumatore. Da ciò si ricava x∗2 = 150.
13
Ne consegue che il paniere ottimale che massimizza l’utilità del consumatore contiene 100 unità del bene
x1 e 150 unità del bene x2 .7
(a2) Uguaglianza tra SMS e rapporto tra i prezzi
Per applicare questo metodo è necessario seguire tre fasi:
I) Determinare il SMS (pendenza della curva di indifferenza in valore assoluto). In valore assoluto, il
saggio marginale di sostituzione tra due beni è pari al rapporto tra le utilità marginali:8
|SM S| =
∂u(x1 , x2 )/∂x1
=
∂u(x1 , x2 )/∂x2
1 (−3/4) 3/4
x2
4 x1
3 1/4 (−1/4)
4 x1 x2
=
1 x2
3 x1
II) Determinare il rapporto tra i prezzi (pendenza del vincolo di bilancio in valore assoluto):
p1
2
=
p2
4
III) Uguagliare SMS e rapporto tra i prezzi (condizione di ottimo o di tangenza - questa uguaglianza
impone che nel punto di ottimo la curva d’indifferenza più esterna sia tangente al vincolo di bilancio,
ossia che le due curve abbiano la medesima pendenza):
|SM S| =
p1
1 x2
2
⇔
=
p2
3 x1
4
IV) Mettere a sistema il vincolo di bilancio con l’equazione che uguaglia il SMS e il rapporto tra i prezzi
e risolvere il sistema di due equazioni in due incognite. In questo modo si ottengono le quantità dei beni
che compongono il paniere ottimale.
1 x2
3 x1
= 24
⇒
800 = 2x1 + 4x2
(a3) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
x2 = 32 x1
⇒
800 = 2x1 + 4 32 x1
x∗1 = 100
x∗2 = 150
Questo metodo richiede che venga impostata una particolare funzione ausiliaria da massimizzare, chiamata
Lagrangiana. Questa funzione fonde in un’unica formula il vincolo di bilancio scritto in forma implicita
e la funzione da massimizzare (o minimizzare):
L = u(x1 x2 ) − λ [p1 x1 + p2 x2 − R]
1/4 3/4
L = x1 x2
− λ [2x1 + 4x2 − 800]
7 Per verificare che il paniere effettivamente massimizzi e non minimizzi l’utilità del consumatore è necessario
2
ricorrere alla derivata seconda della funzione di utilità rispetto a x1 . Se la derivata seconda ddxu2 ≤ 0 allora si ha un
1
massimo.
Nel caso in questione, la derivata seconda assume sempre segno negativo e quindi il paniere trovato è un massimo.
Verificatelo!
2
d u
3 −(7/4)
3 −(7/4)
3 1/4
= − 16
x1
(200 − 12 x1 )3/4 + 16
x1
(200 − 12 x1 )3/4 + 64
x1 (200 − 12 x1 )−5/4 < 0
dx2
1
8 Si ricordi che l’utilità marginale di un bene è data dalla derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla
quantità del bene considerato.
14
Per risolvere il problema è necessario determinare le cosiddette condizioni del primo ordine (note anche
come F.O.C. o C.P.O.), ossia calcolare le derivate parziali della Lagrangiana rispetto a x1 , x2 , λ e porle
uguale a zero:
∂L
∂x1
∂L
∂x2
∂L
∂λ
1 (−3/4) 3/4
x
x2 − 2λ = 0
4 1
3 1/4 (−1/4)
= 0 ⇒ x1 x2
− 4λ = 0
4
= 0⇒
= 0 ⇒ 2x1 + 4x2 − 800 = 0
Esplicitando λ dalle prime due condizioni del primo ordine e combinando le due equazioni, si ottiene
un’unica equazione in due incognite (x1 e x2 ).
∂L
∂x1
∂L
∂x2
−3/4 3/4
= 0 ⇒ λ = 18 x1 x2
1 −3/4 3/4
3 1/4 −1/4
3
⇒ x1 x2 =
x1 x2
⇒ x2 = x1
3 1/4 −1/4
8
16
2
= 0 ⇒ λ = 16 x1 x2
Successivamente, mettendo a sistema la relazione così ottenuta con il vincolo di bilancio, è possibile
determinare i valori ottimali di x∗1 e x∗2 .
x2 = 32 x1
⇒
800 = 2x1 + 4x2
x∗1 = 100
x∗2 = 150
(b) Graficamente, il problema può essere così raffigurato
x2
U=x11/4 x23/4
150
E*
U3
U2
SMS= 1/3 (x2/x1)
U1
100
1/2
x1
Figura ES1
ESERCIZIO 2. Un consumatore ha funzione di utilità u(x1 , x2) = x1 · x2 con vincolo di bilancio p1 x1 + p2 x2 = m. Si
chiede di determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni, sapendo che m = 10000
euro, p1 = 40 e p2 = 80. (A.M.)
15
Utilizzando le regole delle derivate parziali, otteniamo per prima cosa il SMS, dato da:
SM S = −
∂u(x1 , x2 )/∂x1
x2
=− .
∂u(x1 , x2 )/∂x2
x1
Dalla condizione di tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio troviamo:
x2
p1
x2
40
1
=
⇐⇒
=
=
x1
p2
x1
80
2
(13)
Possiamo quindi costruire un sistema tra (13) ed il vincolo di bilancio, che, sostituendo gli opportuni valori
numerici, diventa 40x1 + 80x2 = 10000:


1
x2
=
x1
2
 40x + 80x = 10000
1
2
x2 = 12 x1
80x1 = 10000
=⇒
1
x1
2
40x1 + 40x1 = 10000
=⇒
x∗2 = 62.5
x∗1 = 125
x2 =
La scelta ottimale del consumo dei due beni corrisponde quindi a x∗1 = 125 e x∗2 = 62.5.
ESERCIZIO 3. Data la funzione di utilità u(x1 , x2) = x21 x2 , calcolare la domanda ottimale dei due beni sapendo che
l’individuo dispone di un reddito monetario m = 3600 e che p1 = 30 e p2 = 60. (A.M.) - Soluzione:
x∗1 = 80, x∗2 = 20.
ESERCIZIO 4. Data la funzione di utilità u(x1 , x2 ) = 2x1 x2 , determinare le funzioni di domanda ottimale sapendo
che m = 80 euro, p1 = 20 e p2 = 10. (A.M.) - Soluzione: x∗1 = 2, x∗2 = 4.
1−α
ESERCIZIO 5. La funzione di utilità di un consumatore è data da u(x1 , x2 ) = xα
con vincolo di bilancio p1 x1 +
1 x2
p2 x2 = m. Determinare le funzioni di domanda ottimale per entrambi i beni. Quale proprietà delle
funzioni Cobb-Douglas possibile utilizzare? (A.M.)
In questo caso è possibile sfruttare le proprietà delle funzioni di utilità Cobb-Douglas con esponenti la
cui somma è uno. Il consumatore decide quindi di allocare una frazione fissa del suo reddito al consumo
dei due beni, e tale frazione è data proprio dagli esponenti della funzione di utilità. La soluzione è
quindi data da
x∗1 = a
m
m
e x∗2 = (1 − a)
p1
p2
ESERCIZIO 6. Curve di Engel
Le preferenze di Mario sono espresse dalla seguente funzione di utilità: u(x1 , x2 ) = x1 x2 . I prezzi dei
due beni ammontano rispettivamente a p1 = 5 e p2 = 10.
16
a) Si determinino le curve di Engel per i due beni.
b) x1 e x2 sono beni normali o inferiori?
SOLUZIONE:
Una curva di Engel è una funzione che mette in relazione il consumo di un singolo bene con il reddito a
disposizione del consumatore. In particolare, essa indica come varia la quantità domandata al variare del
reddito, dati i prezzi p1 e p2 :
x1
= f (R)
x2
= g(R)
In questo caso, le variabili da considerare non sono più quantità e prezzo ma quantità e reddito.
Per determinare e disegnare le curve di Engel è necessario imporre la condizione di ottimo del consumatore
(|SM S| = p1 /p2 ) e metterla a sistema con il vincolo di bilancio. L’unica differenza rispetto ai casi trattati
in precedenza è che, in questo contesto, il reddito rimane incognito (non è specificato numericamente, essendo
una variabile).


x2
5
=
x
10
 5x +1 10x = R
1
2
Dalla prima equazione si ricava il valore di x1 in funzione di x2 (o, alternativamente di x2 in funzione di x1 )
e lo si sostituisce nel vincolo di bilancio, in modo da ottenere un’equazione in cui compaiono unicamente x2 e
R (o alternativamente, i valori di x1 e R).

x2
1

x1 = 2x2
=
=⇒
x1
2
20x2 = R
 5x + 10x = R
1
2
Da questo sistema si possono ricavare le curve di Engel:
x1 =
x2 =
R
10
R
20
Poichè entrambe le funzioni sono lineari e crescenti in R, i beni sono normali: al crescere del reddito aumenta
la quantità domandata.
17
R
100
75
50
25
0
0
1.25
2.5
3.75
5
6.25
x
Figura ES6
ESERCIZIO 7. Funzione di utilità lineare e beni sostituti (L.V.)
Pino consuma i beni x1 e x2 e dispone di un reddito di R = 100. Le sue preferenze sono descritte
dalla seguente funzione di utilità: u(x1 , x2 ) = 2x1 + 8x2 . Il prezzo di mercato del bene x2 ammonta a
p2 = 8.
a) Si determini il SMS e si spieghi la relazione che intercorre tra i due beni.
b) Cosa succede se p1 = 4
c) Cosa succede se p1 = 2
d) Cosa succede se p1 = 1
SOLUZIONE:
a) Per conoscere la natura di x1 e x2 è necessario capire quale tipo di preferenze sia associato alla curva
d’indifferenza del consumatore. Esplicitando la funzione di utilità rispetto a x2 , si ricava la mappa delle curve
d’indifferenza: x2 =
1
8 u(x1 , x2 )
− 14 x1 .
In questo caso, l’insieme delle rette aventi inclinazione pari a − 14 rappresenta, in corrispondenza dei diversi
valori della funzione di utilità u(x1 , x2 ), la mappa delle curve d’indifferenza e i beni in questione sono beni
sostituti. Per definire la domanda di x1 e x2 bisogna fare attenzione perché, in generale, con funzioni di
utilità lineari e beni perfetti sostituti si presentano soluzioni d’angolo. Infatti, la condizione di tangenza è
generalmente violata poiché il SM S , ossia la pendenza della curva di indifferenza, è costante ed è raro che
coincida con la pendenza del vincolo di bilancio, −p1 /p2 . Il questo caso, il saggio marginale di sostituzione
18
ammonta a SM S = − 14 .9 Ciò significa che il nostro consumatore, quale che sia il livello di consumo, è disposto
a scambiare un’unità del bene x1 per un quarto unità di x2 . Detto in altri termini, il consumatore è indifferente
tra il consumo di 1 unità di x2 e il consumo 4 unità di x1 . Il rapporto tra i prezzi −p1 /p2 rappresenta la
pendenza del vincolo di bilancio.
Pertanto, se il vincolo di bilancio è più ripido delle curve di indifferenza (|p1 /p2 | > |SM S|), allora Pino
sceglierà di consumare solo x2 (l’intercetta verticale è il punto che appartiene al vincolo di bilancio che tocca
la curva di indifferenza più esterna e quindi garantisce l’utilità maggiore nel rispetto del vincolo di bilancio).
Se, invece, il vincolo di bilancio è meno ripido delle curve di indifferenza (|p1 /p2 | < |SM S|), allora il consumatore preferirà consumare solo x1 perché l’intercetta orizzontale è quel punto appartenente al vincolo di
bilancio che tocca la curva di indifferenza più esterna. In tal caso, Pino valuta più il bene x1 rispetto a quanto
viene valutato dal mercato e quindi acquisterà solo tal bene, nel rispetto del reddito disponibile.
Infine, se la pendenza della curva di indifferenza e del vincolo di bilancio sono identiche, le due rette coincidono.
In tal caso si sovrappongono ed esistono infiniti punti di ottimo (tutti i punti sulla retta di bilancio).
Pertanto, in presenza di funzioni di utilità lineari, la funzione di domanda dei beni si può desumere a seconda
della relazione tra SM S e p1 /p2 .
Se |p1 /p2 | < |SM S| ⇒ viene acquistato solo il bene x1 ;
Se |p1 /p2 | > |SM S| ⇒ viene acquistato solo il bene x2 ;
Se |p1 /p2 | = |SM S| ⇒ tutti i punti sulla retta di bilancio sono soluzioni di ottimo.
Nel caso specifico:
b) |p1 /p2 | =
4
8
> |SM S| =
1
4
⇒ x1 = 0; x2 = 12, 5
c) |p1 /p2 | =
2
8
= |SM S| =
1
4
⇒ tutte le combinazioni di x1 , x2 che giacciono sul vincolo di bilancio
d) |p1 /p2 | =
1
8
< |SM S| =
1
4
⇒ x1 = 100; x2 = 0
9 Potete calcolare il saggio marginale di sostituzione mettendo a rapporto l’utilità marginale di x e l’utilità mar1
ginale di x2 .
19
x2
u(x1,x2)=ax1+bx2
x1
Figura ES7
ESERCIZIO 8. Funzioni maxmin e beni complementari
Un individuo dispone della seguente funzione di utilità u(x1 , x2 ) = min{2x1 , x2 }.
a) Si disegni la mappa delle curve di indifferenza e si descrivano le caratteristiche di questa struttura
delle preferenze.
b) Si determini la scelta ottimale quando i prezzi e il reddito destinato all’acquisto di questi due beni
sono, rispettivamente, p1 = p2 = 5 e R = 100.
c) Come varia la scelta ottima se p2 = 5, a parità di tutto il resto?
d) Cosa succede se u(x1 , x2 ) = min{x1 , x2 }?
SOLUZIONE:
a) La funzione d’utilità assegnata dice che, data una qualunque combinazione dei due beni, ciò che è rilevante
è il rapporto 1:2 dei due beni: avere ad esempio x1 = 2 e x2 = 4 dà al consumatore la stessa utilità di avere
x1 = 2 e x2 = 10. Si tratta dunque di beni perfettamente complementari. Tipico esempio è la bicicletta (x1 )
e le ruote (x2 ).
Graficamente le curve d’indifferenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo
un qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indifferenza (più schiacciate verticalmente).
Un qualsiasi altro punto comporterebbe l’acquisto di unità del bene inutili (ad esempio non serve acquistare 4
ruote e 1 bicicletta!). Per il consumatore è quindi ottimale collocarsi lungo la retta x2 = 2x1 ; tutti gli altri
punti contengono quantità inutili di x1 o di x2 . Nel punto d’angolo la funzione di utilità non è derivabile e
non possiamo utilizzare la condizione usuale di ottimo data dalla tangenza tra curva di indifferenza e vincolo
di bilancio.
20
b) Per stabilire la scelta ottimale, accanto alla condizione di ottimo 2x1 = x2 dobbiamo considerare il vincolo
di bilancio che, dato il caso specifico, è pari a: 5x1 + 5x2 = 100. Ponendo a sistema le due equazioni si ricava
x∗1 =
20
3
e x∗2 =
40
3 .
c) Se il prezzo di x2 è pari a 2, a parità di struttura delle preferenze, il punto di ottimo dato da 2x1 = x2
rimarrà invariato ma il nuovo vincolo sarà: 5x1 + 2x2 = 100. Da ciò si ricava x∗1 =
100
9
e x∗2 =
200
9 .
Si noti
come una diminuzione del prezzo di x2 determini una maggiore domanda ottimale di entrambi i beni (perché
sono complementari).
d) La funzione d’utilità assegnata, u(x1 , x2 ) = min{x1 , x2 }, dice che, data una qualunque combinazione dei
due beni, ciò che è rilevante è la quantità minima tra i due: avere ad esempio x1 = x2 = 2 dà al consumatore
la stessa utilità di avere x1 = 2 e x2 = 50. Si tratta dunque di beni perfettamente complementari.
Graficamente le curve d’indifferenza saranno a forma di L. Per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un
qualsiasi punto della curva che passa per i vertici delle curve di indifferenza (della bisettrice del primo quadrante
nel caso specifico). Un qualsiasi altro punto comporterebbe l’acquisto di unità del bene inutili (ad esempio non
serve acquistare 12 scarpe sinistre e 2 destre!). I consumatori danno uguale peso ad entrambi i beni (es. scarpa
destra e scarpa sinistra).
x2
x2
x2=2x1
x2=x1
x1
x1
Figura ES8
ESERCIZIO 9 Effetti di una variazione di prezzo sulla domanda (A.M.)
La funzione di domanda di benzina di un consumatore è pari a xb = 1000 +
m
10 pb
con m = 15000. Il
prezzo iniziale è pari a pb = 1 al litro, ma, a fronte di un rincaro esso aumenta fino a pb = 1, 2 al
litro. Trovate la variazione complessiva della domanda dovuta all’aumento del prezzo. Che tipo di
bene stiamo considerando?
SOLUZIONE:
Per prima cosa possiamo calcolare il valore della domanda iniziale e quello della domanda finale:
xb = 1000 +
15000
= 2500 litri
10 · 1
21
(14)
xb = 1000 +
15000
= 2250 litri
10 · 1, 2
(15)
Dalla differenza tra (15) e (14) si ottiene la variazione complessiva della domanda causata dalla variazione di
prezzo:
∆xb = xb − xb = −250 litri
Il bene in questione è ordinario perché la domanda è calata a fronte di un aumento del prezzo.
ALTRI ESERCIZI Esercizi 1-4 e 13-16, capitolo V (C.L.).
22