Composizione delle forze nel piano
Composizione delle forze nel piano
Prima di affrontare questo argomento, assicurati di aver chiare le nozioni di: coppia, forza, retta impropria, risultante, sistemi di forze,
sistemi equivalenti di forze, vettore applicato.
Risultante di due forze concordi con stessa retta d'azione
Un sistema formato da due forze concordi F1 e F2 con stessa retta d'azione r1≡r2≡r (Fig. 1) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, con retta
d'azione r e concorde a F1 e F2, il cui modulo è pari alla somma F1 + F2 dei moduli di F1 e F2.
La forza R è la risultante di F1 e F2 e la sua retta d'azione, r, è l'asse centrale del sistema di forze (F1, F2).
Fig. 1
Risultante di due forze discordi con stessa retta d'azione
Un sistema formato da due forze discordi F1 e F2 con stessa retta d'azione r1≡r2≡r (Fig. 2) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, con retta
d'azione r e concorde alla forza a modulo maggiore, il cui modulo è pari al valore assoluto della differenza tra i moduli di F1 e F2, |F1 – F2|.
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La forza R è la risultante di F1 e F2 e la sua retta d'azione, r, è l'asse centrale del sistema di forze (F1, F2).
Fig. 2
Risultante di due forze incidenti
Un sistema formato da due forze F1 e F2 giacenti su rette d'azione incidenti, r1 e r2 (Fig. 3), è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, risultante
del sistema di forze (F1, F2).
Il modulo, la direzione e il verso di R sono forniti dalla somma vettoriale di F1 e F2 e la retta d'azione di R, rR, detta asse centrale, passa per il punto
d'intersezione delle rette r1 e r2. Infatti, poiché la direzione della risultante è fornita dal vettore somma, per determinare l'asse centrale è sufficiente trovare un punto
che gli appartenga e condurre per esso una retta parallela al vettore somma. Per il Teorema dell'asse centrale, è sufficiente trovare un punto del piano rispetto al
quale
è
nullo
il
momento
risultante
delle
due
forze
F1
e
F2.
Essendo
nullo
il
braccio
di entrambe le forze rispetto al punto d'intersezione delle rispettive rette d'azione, il momento del sistema di forze (F1, F2) rispetto al punto d'intersezione di r1 e r2
è sicuramente nullo. Ne segue che il punto d'intersezione di r1 e r2 appartiene all'asse centrale.
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O
Fig. 3
Poiché la forza opposta alla risultante di un sistema di forze è l'equilibrante del sistema di forze, il sistema (F1, F2, –R) è equivalente a zero. Se ne può
concludere che tre forze nel piano, per farsi equilibrio, devono concorrere in uno stesso punto. Abbiamo così ottenuto per altra via la condizione di equivalenza a
zero nota come Teorema N.
Risultante di n forze incidenti (n>2)
Un sistema formato da n forze con rette d'azione incidenti (Fig. 4a) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, di modulo, direzione e verso forniti
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dalla somma vettoriale delle n forze. La retta d'azione della risultante del sistema di forze, detta ancora asse centrale, può essere determinata utilizzando il poligono
delle successive risultanti.
In
Fig.
4
è
riportata
la
determinazione
dell'asse
centrale
per
il
caso
n
= 3. Stabilito l'ordine secondo cui sommare le tre forze, si costruisce il poligono delle successive risultanti. Il poligono delle successive risultanti in Fig. 4c) è stato
costruito sommando, in successione, le forze F1, F2 e F3.
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Fig. 4
Per il punto d'intersezione delle rette d'azione delle prime due forze, r1 e r2, si traccia la retta t, parallela alla somma vettoriale delle prime due forze, ricava
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poligono delle successive risultanti. Per il Teorema dell'asse centrale, applicabile anche ad ognuno dei sistemi di forze in cui può essere decomposto il siste
originario, la retta t è la retta d'azione della risultante R12 delle prime due forze. Sempre per il Teorema dell'asse centrale, la retta t e la retta r3 si intersecano in un
punto Q, appartenente alla retta d'azione rR della risultante del sistema di tre forze. Infatti, poiché R12 è la risultante di F1 e F2, la forza R, risultante di R12 e F3, è
anche risultante di F1, F2, F3, ovvero, è la risultante del sistema di tre forze. A questo punto, per tracciare l'asse centrale del sistema di tre forze è sufficiente
condurre per il punto Q una retta parallela alla somma vettoriale di R12 e F3, che è anche somma vettoriale di F1, F2, F3, ricavata dal poligono delle successive
risultanti.
Poiché la somma vettoriale è un'operazione commutativa, l'ordine secondo il quale vengono sommate le n forze non influisce sul risultato. A riprova di ciò, si
osservi la costruzione grafica riportata in Fig. 5, ove la risultante R è stata ricavata sommando, in successione, le forze F3, F2 e F1 del precedente sistema di tre
forze.
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Fig. 5
Il
procedimento
illustrato
equivale
a
decomporre
il
sistema
di
n
forze nella somma di più sistemi di forze, che prendono il nome di sotto-sistemi di forze, in modo che il primo sotto-sistema sia composto da due forze e
sotto-sistemi
siano
composti,
ognuno,
da
un'unica
forza.
Il
sistema
di
n
forze è sempre equivalente alla somma dei sotto-sistemi in cui è stato decomposto, indipendentemente dalla scelta delle forze che compongono il primo
sotto-sistema.
Dunque,
la
risultante
delle
n
forze può essere calcolata come risultante delle successive risultanti dei sotto-sistemi, sommati secondo un ordine prestabilito. Il tracciamento della retta t in Fig.
4b) corrisponde alla determinazione grafica dell'asse centrale per il primo sotto-sistema di forze, costruzione grafica nota, in quanto si ricade nel caso
precedentemente di ricerca della risultante per un sistema di sole due forze incidenti. Trasportando sulla retta t il vettore somma del primo sotto-sistema di forze, è
ora possibile determinare la risultante tra la risultante del primo sotto-sistema e l'unica forza che compone uno a piacere tra i sotto-sistemi rimasti, utilizzando
ancora la costruzione grafica per la ricerca della risultante di due forze incidenti. Se le forze sono solo tre, il procedimento, a questo punto, si interrompe. In
contrario, il procedimento viene reiterato per i restanti sotto-sistemi, sommati uno alla volta.
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Risultante di due forze parallele concordi
Fig. 6
Un sistema formato da due forze F1 e F2, concordi e giacenti su rette parallele e distinte (Fig. 6), è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R,
parallela ad entrambe le forze F1 e F2 e di modulo pari alla somma dei moduli di F1 e F2.
L'asse centrale rR, retta d'azione di R, può essere ottenuto sia per via grafica, sia per via analitica. Per via grafica, si utilizzano le due costruzioni equivalenti
riportate in Fig. 7, ottenute scambiando le posizioni di F1 e F2, invertendo il verso di una sola delle due forze e congiungendo tra loro i punti di applicazione e
estremi delle forze scambiate di posizione.
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Fig. 7
Per la similitudine tra i triangoli in Fig. 7a) e 7b), tra i moduli e i bracci delle forze F1 e F2 rispetto all'asse centrale sussiste la seguente relazione di similitudine:
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Ricordando che, in una relazione di similitudine, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si può scrivere:
da cui si ricava che le distanze d1 e d2 delle forze F1 e F2 dalla retta rR sono inversamente proporzionali ai moduli delle forze stesse:
Per via analitica, si fa uso del Teorema dell'asse centrale, ovvero, si ricerca la posizione dell'asse centrale imponendo che il momento risultante del sistema di
forze (F1, F2) sia nullo rispetto a tutti i punti che gli appartengono. In notazione simbolica:
(si legge: il momento risultante MP è uguale a zero per ogni polo P appartenente alla retta rR).
Affinché il momento risultante del sistema di due forze F1 e F2 sia uguale a zero per ogni punto P di rR scelto come polo, il momento di F1 rispetto al generico
punto
P
di
rR
deve
essere
uguale
e
contrario
al
momento
di
F2
rispetto allo stesso punto P. Il luogo dei punti che soddisfano questa condizione è una retta parallela alle forze F1 e F2, l'asse centrale cercato. Per ottenere l'asse
centrale, quindi, è sufficiente trovare un punto che soddisfi la condizione di annullamento del momento risultante e tracciare per esso una retta parallela a F1 e F2.
Fissiamo le distanze delle rette r1 e r2 da P per mezzo di due ascisse orientate, d1 e d2. Supponendo che l'asse centrale sia interno alle rette d'azione di F1 e F2 (v.
Fig. 8), l'ascissa d1 risulta orientata verso sinistra e l'ascissa d2 risulta orientata verso destra (il verso indica la posizione della retta rispetto al punto P).
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Fig. 8
In accordo con la convenzione di positività per i momenti, la condizione di annullamento del momento risultante si esplicita come segue:
da cui si ricava, nuovamente, la proporzionalità inversa tra i bracci d1 e d2 e i moduli delle forze F1 e F2:
Quella appena scritta è un'equazione nelle due incognite d1 e d2. Per ricavare d1 e d2, abbiamo bisogno di un'ulteriore equazione nelle stesse incognite.
Nell'ipotesi di conoscere la distanza b tra le rette d'azione di F1 e F2, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:
da cui si ricava:
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Avendo ottenuto d1 e d2 con segno positivo, si può concludere che l'ipotesi iniziale sulla posizione dell'asse centrale rispetto alle rette d'azione di F1 e F2 è
corretta. In caso contrario, l'asse centrale sarebbe stato esterno alle rette r1 e r2. Dunque, la risultante di due forze parallele e concordi è una forza la cui retta
d'azione
è
interna
alle
rette
d'azione
delle
forze
date.
D'altra
parte,
affinché
i
momenti
delle
forze
F1
e
F2
rispetto ai punti dell'asse centrale abbiano segno opposto, condizione necessaria affinché MP = 0 ∀P ∈ rR, l'asse centrale non può essere esterno alle rette d'azione
di F1 e F2.
Risultante di due forze parallele discordi
Fig. 9
Un sistema formato da due forze F1 e F2, discordi e giacenti su rette parallele e distinte (Fig. 9), è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R,
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parallela ad entrambe le forze F1 e F2, concorde alla forza di modulo maggiore e di modulo pari al valore assoluto della differenza F1 – F2.
L'asse centrale rR, retta d'azione di R, può essere ottenuto sia per via grafica, sia per via analitica. Per via grafica, si utilizzano le due costruzioni equivalenti
riportate in Fig. 10, ottenute, anche in questo caso, scambiando le posizioni di F1 e F2, invertendo il verso di una sola delle due forze e congiungendo tra loro i
punti di applicazione e gli estremi delle forze scambiate di posizione.
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Fig. 10
Come nel caso delle due forze parallele e concordi, per la similitudine tra i triangoli in Fig. 10a) e 10b), si può stabilire la seguente relazione di similitudine:
da cui:
Dunque, i bracci d1 e d2 delle forze F1 e F2 rispetto al generico punto P della retta rR sono ancora inversamente proporzionali ai moduli delle forze:
Per via analitica, si fa nuovamente uso del Teorema dell'asse centrale, ricercando l'asse centrale come luogo dei punti che annullano il momento risultante
sistema di due forze. In notazione simbolica:
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Per annullare il momento risultante MP per ogni punto dell'asse centrale scelto come polo, il momento polare di F1 deve ancora essere uguale e opposto al
momento polare di F2. Il luogo dei punti che soddisfano questa condizione è, anche in questo caso, una retta parallela alle forze F1 e F2. Affinché i due momenti
siano di segno opposto, però, questa volta l'asse centrale deve essere esterno alle due rette d'azione. Inoltre, affinché i due momenti polari siano uguali in val
assoluto, la forza con modulo maggiore deve avere braccio minore. In conclusione, ci aspettiamo che l'asse centrale sia una retta esterna alle due rette d'azione,
posta dalla parte della forza con modulo maggiore.
A verifica di quanto detto, proviamo ad imporre la condizione di annullamento del momento risultante rispetto ad un punto P interno alle rette d'azione di F1 e F2
(v. Fig. 11), fissando le due distanze orientate d1 e d2 con origine comune sulla retta rR in modo che d1 sia diretta verso sinistra e d2 sia diretta verso destra.
Fig. 11
Per la convenzione di positività per i momenti, la condizione MP = 0 si esplicita come segue:
da cui si ricava nuovamente, a meno del segno, la proporzionalità inversa tra i bracci d1 e d2 e i moduli delle forze F1 e F2:
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Il
segno
meno
che
compare
nella
relazione
trovata
indica
che
le
due
distanze
orientate
d1
e
d2
sono una concorde e l'altra discorde rispetto ai versi ipotizzati in Fig. 11. Dovendo invertire il verso di una delle due distanze orientate, il punto P non può esse
interno alle due rette d'azione, ma deve trovarsi o a sinistra di r1 o a destra di r2.
Per determinare la posizione di P, ricaviamo d1 e d2 per mezzo del seguente sistema risolvente:
da cui si ricava:
Dunque, nell'ipotesi F1 > F2, si ricava:
Ricordando
che
d1
e
d2
sono
distanze
orientate,
la
condizione
d1
<
0
implica
che
la
retta
r1
non si trova alla sinistra di P, come ipotizzato in Fig. 11, ma alla sua destra. Dunque, l'asse centrale è collocato esternamente alle due forze, dalla parte della forza
F1. Al contrario, nell'ipotesi F1 < F2, si ricava:
e l'asse centrale è ancora collocato esternamente alle due forze, ma dalla parte della forza F2. In conclusione, l'asse centrale di un sistema di due forze parallel
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discordi è esterno alle rette d'azione delle due forze e si trova dalla parte della forza a modulo maggiore.
I due casi F1 > F2 e F1 < F2 sono rappresentati in Fig. 12.
Fig. 12
Risultante di una forza e una coppia
Un sistema formato da una forza F con retta d'azione r e da una coppia di momento M (Fig. 13) è equivalente ad un sistema formato da un'unica forza R, di
modulo, direzione e verso pari a modulo direzione e verso di F e retta d'azione rR ottenuta traslando r della quantità d = M / F. La distanza d tra le rette r e rR
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prende il nome di distanza di trasporto.
Fig. 13
Per determinare la posizione della retta rR rispetto alla retta r, si possono seguire due diversi procedimenti, uno grafico e uno analitico. Il procedimento grafico
si
basa
sull'equivalenza
tra
le
due
rappresentazioni
grafiche
utilizzate per la coppia. Potendo rappresentare la coppia con un arco di circonferenza orientato o con un sistema di due forze discordi applicate su rette distinte,
adotti questa seconda rappresentazione per ricondurre il sistema in Fig. 13a) ad un sistema di soli vettori, in modo da poter procedere alla ricerca grafica del
risultante come visto in precedenza.
A questo punto, è fondamentale osservare che esistono infiniti sistemi di forze discordi equivalenti alla coppia oraria M in Fig. 13a). Infatti, qualsiasi sistema di
forze discordi di modulo e braccio tali che il loro prodotto sia uguale a M è equivalente alla coppia oraria M, se ad esso è associato un momento orario. A titolo
d'esempio, si riportano di seguito alcuni sistemi di forze discordi, tutti equivalenti alla coppia oraria M:
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Fig. 14
Tra gli infiniti sistemi di forze discordi equivalenti a M, si prenda in considerazione il seguente sistema, formato da due forze con modulo uguale al modulo d
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forza F applicata nel punto A di Fig. 13a): delle due forze costituenti la coppia, quella di verso opposto a F viene posta sulla stessa retta d'azione di F, con punto
d'applicazione B, mentre quella concorde a F viene posta sulla retta rR, tracciata a destra o a sinistra di r in modo che le due nuove forze costituiscano una coppia
concorde a M. Per il sistema in Fig. 13a), essendo M oraria e F diretta verso l'alto, rR va tracciata a sinistra di r (Fig. 15). Fissando la distanza d tra le due rette in
modo che si abbia d = M / F, il momento della coppia introdotta è concorde con M e vale M.
Fig. 15
Se la coppia M fosse stata antioraria, avremmo dovuto tracciare la retta rR a destra di r (Fig. 16). Infine, se la forza F del sistema originario fosse stata diretta
verso il basso, avremmo dovuto tracciare la retta rR a destra di r per ottenere una coppia oraria (Fig. 17) e a sinistra di r per ottenere una coppia antioraria (Fig. 18).
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Fig. 16
Fig. 17
Fig. 18
Tornando al sistema di tre forze in Fig. 15b), si considerino ora le due forze applicate in A e B. Tali forze sono direttamente opposte e costituiscono un sistema
equivalente a zero. Poiché un sistema equivalente a zero può essere aggiunto o tolto ad un sistema di vettori senza alterarne la risultante e il momento risultante (v.
operazioni invariantive), il sistema di tre forze in Fig. 15b) è equivalente alla sola forza F applicata sulla retta rR, che è l'asse centrale del sistema.
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Fig. 19
Il
procedimento
analitico
si basa sul Teorema dell'asse centrale. In base a tale Teorema, occorre trovare il luogo dei punti rispetto ai quali il momento del sistema in Fig. 13a) è nullo. Per
l'invarianza
del
momento
della
coppia
rispetto al punto del piano scelto come polo, il problema della determinazione analitica dell'asse centrale si riconduce al problema della determinazione del luogo
dei
punti
P
rispetto
ai
quali
il
momento
della
sola
forza
F
è antiorario e uguale a M. Ricordando che il momento di una forza rispetto ad un polo si ottiene dal prodotto tra il modulo della forza e la distanza della forza da
polo, si tratta, in ultima analisi, di trovare il luogo dei punti a distanza d=M/F dalla retta d'azione di F. Tale luogo è rappresentato da due rette parallele alla re
d'azione di F, poste una alla destra e una alla sinistra di F, a distanza d1 = d2 = d = M / F.
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Fig. 20
Il momento della forza F è antiorario rispetto ai punti della retta r1 e orario rispetto ai punti della retta r2. Pertanto, il luogo dei punti P per i quali si ha
con MP momento del sistema forza + coppia, è rappresentato dalla retta r1. Dunque, l'asse centrale è a sinistra di r, a distanza d = M / F. Ovviamente, saremmo
giunti a conclusioni opposte se F avesse avuto verso opposto o se M fosse stata antioraria. In conclusione, i casi che si possono presentare sono i quattro illustrati in
Fig. 21, 22, 23 e 24.
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Fig. 21
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Fig. 22
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Fig. 23
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Fig. 24
Infine, poiché la coppia è un sistema a risultante nulla, il modulo e il verso della risultante del sistema forza + coppia sono uguali al modulo e al verso della so
forza F.
Con riferimento alla Fig. 13, si considerino ora i seguenti due casi limite:
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M = 0, F ≠ 0;
F = 0, M ≠ 0.
Nel primo caso, essendo nullo il rapporto M / F, si annulla la distanza di trasporto, d:
Quindi, ritroviamo come caso limite il risultato, già noto, secondo il quale la risultante di un sistema formato da una sola forza F coincide con la forza stessa.
Nel secondo caso, il rapporto M / F va all'infinito:
Per comprendere il significato fisico associato ad una distanza di trasporto infinita, ricerchiamo la posizione dell'asse centrale facendo uso del Teorema dell'a
centrale. Rappresentata la coppia per mezzo di due vettori discordi applicati su rette distinte, si indichi ancora con b la distanza tra le rette d'azione delle due forze
costituenti la coppia. Inoltre, sia d la distanza dell'asse centrale dalla forza posta più a sinistra.
Fig. 25
Troviamo la distanza d imponendo che si abbia MP = 0 per tutti i punti P della retta rR. Affinché si annulli il momento del sistema di forze, occorre che le due
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forze forniscano momenti uguali e opposti rispetto ai punti dell'asse centrale. Essendo le due forze discordi, affinché i momenti siano di segno opposto l'asse
centrale deve essere esterno alla coppia. Inoltre, poiché le due forze hanno stesso modulo, occorre che si uguaglino le distanze delle due rette d'azione rispetto ai
punti dell'asse centrale:
Fino a quando i bracci delle due forze rispetto ai punti dell'asse centrale conservano valore finito, le due distanze non si uguagliano mai, perché differiscono per
la
quantità
finita
b.
Dunque,
il
valore
di
d
che
risolve
il
problema
è
d
=
±∞. Ne segue, allora, che la risultante di una coppia è una forza a modulo nullo applicata su una retta a distanza infinita (retta impropria). In conclusione, l'asse
centrale di una coppia è la retta impropria.
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