SEZIONI
CONICHE
TIPI DI
CONICHE
CONTENUTI
STORIA
APPLICAZ.
CONICHE
Circonferenza
Ellisse
Parabola
Iperbole
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ESEMPI FISICI
Gli esempi in natura di sezioni coniche sono infiniti. Certamente quella più in
comune è la circonferenza, che dall’invenzione della ruota, detiene il primato
della sezione più diffusa. Citeremo quindi soltanto alcuni esempi di altre
sezioni coniche che trovano riscontro in natura.
Le
orbite
di
due
corpi
che
interagiscono secondo la legge di
gravitazione
universale sono sezioni
coniche rispetto al loro comune centro
di massa considerato a riposo. Se tra i
due corpi si esercita una attrazione
sufficiente,
entrambi
percorrono
un’ellisse; se invece l’attrazione è
insufficiente i due corpi si muovono
con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi
parabole od iperboli.
Alle stesse leggi obbediscono i satelliti
(per telecomunicazioni, militari, meteo,
Space Shuttle) che vengono lanciati dalla
Terra. A seconda del rapporto tra la loro
velocità
e
l’attrazione
gravitazionale
esercitata dal nostro pianeta, possono
percorrere
orbite
circolari,
ellittiche,
paraboliche od iperboliche.
In campo aeronautico l’ellisse od il suo
solido di rotazione (ellissoide) trovano vari
impieghi: un’ala a pianta ellittica riduce al
minimo
la
resistenza
indotta
dalla
portanza, mentre una fusoliera a forma di
ellissoide
pressione.
riduce
la
resistenza
di
La caratteristica della parabola, per la quale i raggi
paralleli al suo asse di simmetria sono riflessi nel suo
fuoco
e
viceversa,
porta
a
molte
interessanti
applicazioni. Una di queste è l’antenna satellitare,
detta anche antenna parabolica o più semplicemente
“parabola”. I segnali provenienti da un satellite
geostazionario, cioè fermo nello spazio rispetto alla
Terra,
e
quindi
paralleli
all’asse
di
simmetria
dell’antenna, sono concentrati da questa in un
ricevitore posto nel fuoco della parabola e inviati al
televisore.
Con lo stesso principio funzionano i radar
di terra, usati per esempio per il controllo
del traffico aereo. Il trasmettitore, che
ha anche funzione di ricevitore ed è
posizionato nel fuoco, emette un fascio di
radiazioni elettromagnetiche, che sono
riflesse
dalla
parabola
ed
inviate
parallelamente al suo asse verso il cielo.
Quando queste incontrano un oggetto,
vengono riflesse in tutte le direzioni e
quindi anche verso il radar. La parabola
dello stesso le riflette nel fuoco, cioè
verso il ricevitore che le invia ad un
computer il quale le trasforma in una
immagine su di uno schermo.
Un esempio in natura di iperbole è la forma che può assumere l’onda d’urto,
cioè la quasi istantanea ricompressione dell’aria, che si forma di fronte ad un
corpo di forma tozza a velocità supersonica, cioè oltre il muro del suono (1224
km/ora a bassa quota).
L’immagine in calce mostra l’onda d’urto attorno ad una velivolo militare
statunitense (US Navy F-18) in volo supersonico. L’onda d’urto è resa visibile
dalla condensazione del vapore acqueo presente nell’aria.
CIRCONFERENZA
La circonferenza si può considerare un caso particolare di ellisse. E’ il luogo
dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro della circonferenza. La
distanza “r” del centro “C” da un punto “P” sulla circonferenza è detta raggio
della circonferenza.
In formule la proprietà della circonferenza è:
(x-xc)2 + (y-yc)2 = r2
x2 + y2 + (-2xc)x + (-2yc)y + (xc2+yc2-r2) = 0
ponendo: a=-2xc; b=-2yc e c=(xc2+yc2-r2)
L’equazione canonica della circonferenza sarà:
x2 + y2 + ax +by + c = 0
Il centro ed il raggio della circonferenza sono:
xc = - a/2 ; yc = -b/2 e r = (a2 + b2 – 4c)1/2 /2
Gli assi di simmetria della circonferenza sono
infiniti.
PARABOLA
E’ il luogo dei punti (P) in un piano le cui distanze da un punto fisso, detto
fuoco (F), e da una retta, detta direttrice (d) sono uguali.
Il punto medio della distanza tra il fuoco e la
direttrice è detto vertice della parabola.
La parabola ha un asse di simmetria, che
coincide
con
la
retta
perpendicolare
alla
direttrice e passante per il fuoco.
Per
ricavare
scegliamo
un
l’equazione
sistema
di
della
assi
parabola
coordinati
opportuno, per il quale il vertice della parabola
coincida con l’origine e l’asse delle ordinate con
l’asse di simmetria della parabola.
distanze uguali
direttrice
Indicando con “p” la distanza tra il vertice ed il fuoco l’equazione della
direttrice sarà: y = -p. Per
un punto generico P(x;y), appartenente alla
parabola, scriviamo la proprietà caratteristica della stessa:
x2 + (y – p) 2 = (y + p)
2
Eseguendo alcuni passaggi algebrici, otteniamo:
x2 = 4py od anche y = (1/4p) x2
che rappresenta l’equazione di una parabola con concavità verso l’alto, con il
vertice nell’origine degli assi e simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.
Cambiando di segno il termine a destra dell’uguaglianza, otteniamo l’equazione
della stessa parabola ma con concavità verso il basso. Scambiando invece la
“x” con la “y” otteniamo l’equazione di una parabola con concavità verso
destra, con il vertice nell’origine degli assi e simmetrica rispetto all’asse delle
ascisse.
Se immaginiamo di traslare la parabola a sinistra/destra o verso l’alto/basso, in
modo tale che il suo vertice sia nel punto V(h;k), la sua equazione sarà:
(x - h)2 = 4p (y – k)
La parabola gode di una “proprietà di riflessione” molto importante per le sue
molteplici applicazioni. Da un punto P appartenente alla parabola facciamo partire un
segmento che lo congiunge al fuoco F ed una retta parallela all’asse della parabola. Il
segmento FP e la retta formeranno angoli uguali con la tangente alla parabola nel
punto P. Di conseguenza, in base alle leggi dell’ottica geometrica, ogni raggio avente
origine nel fuoco sarà riflesso verso l’esterno della parabola parallelamente al suo
asse. Questa proprietà è molto usata nella costruzione di luci spot, fari delle
autovetture, antenne, radar, ecc....
F
P
Al contrario ogni raggio proveniente dall’esterno della parabola e parallelo al
suo asse sarà riflesso nel suo fuoco. Questa proprietà è sfruttata nella
costruzione
di
antenne
riceventi
(antenne
satellitari,
dette
appunto
“parabole”).
La caratteristica di riflessione della parabola deriva dalla proprietà che le
tangenti alla parabola nei due punti estremi (“A” e “B”) di una sua corda si
intersecano sulla direttrice e formano un angolo retto.
La parabola è inoltre importante negli
studi di traiettorie balistiche,
trascurando la resistenza
aerodinamica, e nello studio del moto
di corpi soggetti alla attrazione di
gravità.
F
A
direttrice
B
ELLISSE
E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la somma delle distanze di ogni punto
da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
p
L’ellisse ha due assi di simmetria, il più lungo
dei quali viene definito come asse maggiore
ed il più corto asse minore. I due punti posti
all’estremità
dell’asse
maggiore
sono
F1
F2
i
vertici dell’ellisse. La lunghezza dell’asse
PF1 + PF2 = 2a (costante)
maggiore è pari a 2a.
Indicando con 2b la lunghezza dell’asse minore e con 2c la distanza tra i
fuochi, dal Teorema di Pitagora si ottiene: a2 = b2 + c2 (vedi figura nella
pagina seguente).
Se l’ellisse non è centrata nell’origine degli
assi, ma rispetto ad un punto P(h;k), la sua
equazione diventa:
(x-h)2 (y-k)2
------ + ------ = 1
a2
b2
Se a = b, i fuochi coincidono con il centro, e l’ ellisse diventa una
circonferenza di raggio “a”.
L’ellisse ha una particolarità, molto sfruttata nel
campo dell’ottica e del suono. Congiungendo un
qualsiasi punto P sull’ellisse con i due fuochi F1 e F2,
i due segmenti PF1 e PF2 formano angoli uguali con la
retta tangente all’ellisse nel punto P. In base alle
leggi dell’ottica geometrica questo implica che un
raggio generato in un fuoco viene riflesso nell’altro.
F1
F2
Scegliendo
gli
assi
cartesiani
in
modo
opportuno, vediamo che l’ellisse taglia l’asse
delle ascisse nei punti (vertici) di coordinate
(-a;0) e (a;0), e l’asse delle ordinate nei punti
(0;-b) e (0;b). Per
un punto generico P(x;y),
appartenente all’ellisse, scriviamo la proprietà
caratteristica dell’ellisse:
2a = PF1 + PF2 = [(x+c)2 + y2 ]1/2 + [(c-x)2 + y2]1/2
Ricavando “c” dal Teorema di Pitagora (c2 = a2 - b2) e svolgendo alcuni passaggi
matematici si ricava l’equazione dell’elisse centrata nell’origine degli assi:
x2
y2
---- + ---- = 1
a2
b2
Dove “a” e “b” sono le lunghezze dei semiassi maggiore e minore
rispettivamente.
IPERBOLE
E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la differenza delle distanze di ogni
punto (P) da due punti fissi, detti fuochi (F), è costante.
Seguendo il procedimento adottato per l’ellisse,
indichiamo con “2a” la differenza di tali distanze,
tale che: PF1 - PF2 = 2a. Chiameremo i due punti,
appartenenti all’iperbole e che stanno sulla retta
congiungente i due fuochi, vertici, che distano tra di
PF1 - PF2 = 2a (costante)
loro 2a. Indichiamo infine con “2c” la distanza tra i
fuochi e definiamo la costante b2 = c2 – a2
(ovviamente c > a).
Scegliendo un opportuno sistema di riferimento, tale
che l’asse delle ascisse coincida con la congiungente i
fuochi e l’asse delle ordinate con l’asse di simmetria,
si ottiene la figura a lato.
(-c;0)
(c;0)
Per un punto generico P(x;y), appartenente all’iperbole, scriviamo la proprietà
caratteristica della stessa:
2a = PF1 - PF2 = (x+c)2 + y2 - (c-x)2 + y2
Ricavando “c” dal Teorema di Pitagora (c2 = a2 + b2) e svolgendo alcuni passaggi
matematici si ricava l’equazione dell’iperbole centrata nell’origine degli assi:
x2
y2
---- - ---- = 1
a2
b2
Risolvendo l’equazione in y si ottiene:
b
y = +/- ---a
(x2 – a2)
Quando “x” diventa molto grande rispetto ad “a”, tende cioè all’infinito,
l’equazione di sui sopra tende a diventare:
b
y = +/- ---- x
a
La precedente è l’equazione degli asintoti dell’iperbole; significa che
l’iperbole, per grandi valori di “x”, tende a coincidere con le rette di
equazione y = +/- (b/a) x.
Se l’iperbole non è centrata nell’origine degli assi, ma rispetto ad un punto
P(h;k), la sua equazione diventa:
(x - h)2
(y - k)2
--------- - -------- = 1
a2
b2
Le proprietà di riflessione dell’iperbole sono molto
importanti nell’ottica. Prendiamo un punto P sull’iperbole.
Le congiungenti il punto P con i fuochi dell’iperbole
formano un angolo, la cui bisettrice è la tangente
all’iperbole nel punto P. Di conseguenza ogni raggio
diretto verso un fuoco, incontrando l’iperbole dalla
parte convessa viene riflesso nell’altro fuoco.
Storia delle Coniche
Le coniche sono curve studiate sin dall’ antichità da molti
matematici. Sembra che per primo Menecmo (375-325
a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro Magno,
si sia imbattuto nelle coniche mentre stava studiando
curve dotate di proprietà adatte a risolvere uno dei tre
famosi problemi della matematica greca: la duplicazione
del cubo. Il problema della duplicazione del cubo è stato
spesso associato a una leggenda secondo la quale, durante
una terribile peste, gli abitanti di Atene si recarono dall’
oracolo di Delo chiedendo di sapere cosa dovevano fare
affinché la peste fosse debellata. L’oracolo rispose che si
doveva raddoppiare l’ altare dedicato al dio Apollo, che
era di forma cubica. I cittadini pensarono che ciò
equivalesse a raddoppiare il lato dell’ altare, ma la peste
non cessò. Infatti questo procedimento fornisce un cubo
che è 23=8 volte il volume del cubo iniziale, mentre il cubo
da costruirsi doveva avere il lato 3√2 volte la misura
iniziale.
Il procedimento proposto da Menecmo risolve il
problema, anche se “non rispetta le regole” ovvero
utilizza strumenti diversi da quelli ammessi dalla
geometria greca tradizionale: la riga e il compasso.
Menecmo considerò l’ intersezione tra la parabola di
equazione y=x2 e l’iperbole equilatera di equazione
xy=2. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni
delle due curve si ottiene P( 3√2, 3√4 ) e dunque l’
ascissa del punto P fornisce il valore cercato.
Pur interessante dal punto di vista matematico, lo
studio delle coniche aveva scarsi interessi pratici e
dopo i matematici greci venne abbandonato per diversi
anni. Solo dopo circa 1800 anni lo studio di Apollonio
potè fare passi avanti. Questo fu dovuto
essenzialmente all'introduzione dei nuovi metodi
matematici basati sulle coordinate cartesiane, ma
anche al sorgere di un nuovo interesse scientifico per
le applicazioni fisiche delle proprietà delle coniche. Da
segnalare nell'ordine Galileo (moto di un proiettile)
Cartesio,Keplero, Pascal, ed infine Newton che
utilizzarono lo studio delle coniche applicato a
scoperte scientifiche .
Coniche e sezioni
Se accendiamo una torcia elettrica, la luce della lampadina,
uscendo dalla lente di forma circolare, formerà un cono di luce che
ha come vertice il filamento della lampadina, e come asse la retta
che passa per quest'ultimo e per il centro della lente. Supponiamo
ora di dirigere il raggio luminoso verso una parete; la parte
illuminata assumerà forme diverse, a seconda dell'inclinazione
dell'asse, e precisamente: se il muro viene illuminato
perpendicolarmente (ovvero se l'asse del cono di luce è
perpendicolare alla parete), la figura che si forma è un cerchio,
tanto più grande quanto maggiore è la distanza della lampadina
dalla parete. Se ora cominciamo a inclinare la torcia, il cerchio si
deforma assumendo una forma delimitata da una linea dapprima
quasi circolare, poi sempre più allungata: si tratta di un'ellisse che
diventa sempre più eccentrica, fin quando il raggio più esterno del
fascio di luce diventa parallelo alla parete. Abbiamo in questo
momento una parabola. ..... Basta girare ancora un po', e il raggio
più esterno ora diverge dalla parete, e abbiamo un'iperbole.
Queste quattro curve prendono il nome comune di sezioni coniche,
dato che esse appaiono come sezioni di un cono (il cono di luce) con
un piano (della parete). In realtà, almeno nel caso dell'iperbole,
l'esperimento della torcia elettrica ci dà solo metà della curva.
L'iperbole completa si ottiene considerando il cono completo,
formato cioè da due coni uniti per l'origine.
Doppio cono
Le sezioni coniche si possono osservare
variando con l’apposita manovella
l’inclinazione del doppio cono: in esso è
contenuto un liquido che determina una
circonferenza se l’asse del cono è
perpendicolare al suolo; se invece si
comincia ad inclinare il doppio cono, il pelo
libero del liquido determina un’ellisse e
successivamente, aumentando ancora
l’inclinazione, una parabola, allorché il piano
individuato dalla superficie che delimita il
liquido è parallela a una delle infinite rette
che delimitano il cono (generatrice).
Inclinando ulteriormente l’asse del doppio
cono si osservano i due rami di iperbole.
Tra i numerosissimi esempi di edifici a pianta circolare
possiamo citare il mausoleo di Cecilia Metella a Roma
(poco oltre il complesso di Massenzio). La tomba ha una
pianta circolare: sopra un basamento, alto blocco di
calcestruzzo privo ormai del suo rivestimento
marmoreo, poggia un tamburo rotondo realizzato in
blocchi di travertino quasi completamente conservati,
così come la merlatura con la quale termina la
costruzione. Nella parte alta del tamburo è visibile un
fregio di marmo in cui la presenza di teste di buoi fece
dare al monumento nel medioevo il nome di Capo di
Bove. Dal lato dell’edificio che si affaccia sull’Appia si
trova l’iscrizione dedicatoria a Cecilia Metella, qui
sepolta tra il 50 e il 40 a.C.
Nel campo dell’architettura anche la forma
ellittica è diffusa: basti pensare ai soffitti di
alcuni teatri od auditorium oppure alla forma
in pianta di diversi edifici, quale, ad esempio,
il Colosseo di Roma.
Colosseo, Roma.
G.L. Bernini,
Sant'Andrea al quirinale,
Roma.
Camera a volta ellittica
Le proprietà di riflessione
dell’ellisse descritte nelle
precedenti diapositive hanno
come conseguenza che un
raggio di luce (o un’onda
sonora) che parte da uno dei
fuochi e si riflette sull’ellisse,
passa necessariamente per
l’altro fuoco. L’utilizzo di
soffitti a volta ellittica
permette quindi di migliorare
le caratteristiche di
illuminazione ed acustiche di
un ambiente.
QUADRANTI SOLARI
Per rendere i quadranti solari più ricchi, e talvolta
meno comprensibili, alle linee orarie sono spesso
abbinate altre curve quali:
- le linee solstiziali: rami di iperbole percorse
dall'ombra della punta dello gnomone all'epoca del
solstizio estivo (concavità rivolta verso il basso) e
del solstizio invernale (concavità rivolta verso
l'alto). In questi giorni, in cui raggiunge la massima
declinazione positiva (circa 23° 27' il 21 o 22
giugno) e la massima declinazione negativa (circa –
23° 27' il 21 o 22 dicembre), la nostra stella
sembra quasi sostare, da cui il nome di solstizio,
prima di iniziare il cammino inverso.
-la linea equinoziale, retta percorsa dall'ombra
della punta dello gnomone all'epoca degli equinozi
di primavera e d'autunno. Il 21 marzo e il 23
settembre la declinazione del Sole assume il
valore zero; la durata del giorno è uguale a quella
della notte
-le linee diurne, rami di iperbole situati tra le
linee solstiziali e la linea equinoziale e che
indicano l'entrata del Sole nei vari segni
zodiacali.
- la linea meridiana o linea del mezzogiorno
solare vero o linea oraria delle ore 12 locali, su
cui cade l'ombra dello gnomone quando, per la
località dove è situato il quadrante, il Sole ha
raggiunto la massima altezza sull'orizzonte,
cioè transita sul meridiano del luogo, e lo stilo
proietta la minima ombra.
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