GEOMETRIA A – FOGLIO DI ESERCIZI 5
Gli esercizi contrassegnati con (*) sono impegnativi.
Esercizio 1. Dati i seguenti spazi vettoriali V e sottoinsiemi B ⊂ V di vettori linearmente indipendenti, calcolare la dimensione di V e completare B ad una base di V .
   



−1  0 


 0  1/3

4
, 
V =R
B= 
 3   −1 


   




 2
0 
2 , 2 + t − t2 , 2t3 }
B = {1
− t + t

 

2
4 









 0  6


4




V = {(x, y, z, w) ∈ R |3x − 2y + 12z − w = 0}
B= 
,
 
−1/2

 0





0
0 
(
!
)
(
!)
2a + b + d 3b − c + 3d a − b + c − d
3 0 3
V =
∈ M2,3 (R) a, b, c, d ∈ R
B=
0
−b + 2c − d a + b + 2c + d
0 5 8
V = R[t]≤3
Esercizio 2. Estarre dai seguenti insiemi di vettori una base del sottospazio vettoriale da essi generato
in tutti i modi possibili.
• 
{t2 − 3t, t4 + 1, t2 − 1 − 5t4 , t − 2} ⊂
R[t]≤4 ;
    
  


3
0
3 
 1
    
  
•  0  , −6 , −3/4 ,  0  ⊂ R3 ;




−3
7
2
−9
(
!
!
!
!)
3 −1
0 2
−6 −2
9 −1
•
,
,
,
⊂ M2×2 (Q).
2 2
−7 1
10 −6
−1 7
Esercizio 3. Si consideri il seguente sottospazio di R4 :

 


x



 



 y 
4
 ∈ R 2x + y + z = z + t = 0 .
U := 
 z 




 





 t
(1) Si determini una base per U ;
(2) Si completi la base trovata ad una base di R4 ;
(3) Si dia una base di un sottospazio V ⊂ R4 tale che R4 = U ⊕ V .
Esercizio 4. Si consideri lo spazio vettoriale Mn (K) delle matrici quadrate n × n. Sia V ⊂ Mn (K)
il sottospazio delle matrici simmetriche e U ⊂ Mn (K) il sottospazio delle matrici antisimmetriche;
calcolare una base per V ed una per U . Dimostrare che U ⊕ V = Mn (K).
1
Esercizio 5. Si considerino i sottospazi vettoriali:
     
* 3   1   2 +
−1  1   0 
4
    
• A= 
 7 , 1 , 4  ⊆ R ;
     
0
−6
−3
     
* 1  0 1+
−1 0 1
4
    
• B= 
 3  , 0 , 1 ⊆ R ;
     
3
0
1
Si calcoli la dimensione di A, B, A ∩ B e A + B. Si stabilisca se la somma A + B è diretta.
Esercizio 6. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n; un sottospazio W ⊂ V è detto iperpiano se
la dimensione di W è uguale a n − 1. Dimostrare che l’intersezione di k iperpiani di V ha dimensione
almeno n − k.
Esercizio 7. Si determini, al variare del parametro

t+4

At =  2
4−t
t, il rango della matrice

2 t2 + 4

1
2 
2 4+t
In particolare si dica per quali valori di t la matrice At è invertibile.
Esercizio 8. Sia A ∈ M3 (K) una matrice antisimmetrica. Si dimostri che il suo rango è pari.
Esercizio 9. (*) Siano A1 , . . . , Ak ∈ Mm,n (K): si dimostri che r(A1 + · · · + Ak ) ≤ r(A1 ) + · · · + r(Ak ).
Esercizio 10. (*) Sia A ∈ Mm,n (K), e sia V un sottospazio vettoriale di Km .
Sia W ⊂ Kn il sottoinsieme degli elementi w tali che Aw ∈ V . Si dimostri che W è un sottospazio
vettoriale di Kn e che
n ≤ dim W + r(A) ≤ n + dim V
Esercizio 11. (*) Siano A, B ∈ Mn (K): si provi che r(AB) ≥ r(A) + r(B) − n.
2