La Parabola
Presentazione fatta da
Bonazza & Peli
Storia della geometria analitica
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Nella geometria antica non sembrano esserci esempi in cui sia stabilito a priori un sistema di coordinate come sistema di riferimento per la
rappresentazione grafica di un'equazione o di una relazione.
Se vogliamo esaminare, anche superficialmente, l’origine della Geometria analitica ossia di quel ramo della matematica che è la fusione tra
la geometria e l’analisi algebrica, dobbiamo distinguere tra loro la nascita del concetto di coordinate e quella degli sviluppi che tale concetto
elementare ha reso possibili attraverso i secoli.
L’uso delle coordinate risale alla più remota antichità. Gli architetti egiziani, per riportare in più grande scala un disegno su una parete, lo
riferivano ad un reticolato a maglie quadrate. Gli agrimensori egizi o "tenditori di corde", dopo le periodiche inondazioni del Nilo,
ricostruivano sul terreno i limiti dei poderi usando mappe di tipo catastale. I primi astronomi determinavano la posizione di una stella sulla
sfera celeste, mediante due numeri (ascensione retta e declinazione); inoltre, l’astronomo greco Ipparco introdusse coordinate geografiche
per determinare la posizione di un punto sulla superficie terrestre. I romani, fondando una città, usavano segnare sul posto due solchi tra
loro perpendicolari, ai quali riferivano la posizione futura di case, piazze, strade. Lo stesso metodo era tenuto nella preparazione dei piani di
guerra. Inoltre furono i Romani ad usare per primi le ascisse curvilinee con l’uso delle pietre militari.
I geometri greci ricavarono sempre le equazioni dalle curve, attraverso lo studio delle loro proprietà, e mai le curve dalle equazioni. Le
equazioni stesse non avevano il significato algebrico astratto che noi oggi attribuiamo loro, ma erano sempre trasposizioni simboliche o
verbali di relazioni fra elementi della curva geometrica.
E’ necessario premettere che i matematici greci dividevano le curve in tre categorie:
- i luoghi piani, formati da tutte le rette e da tutti i cerchi;
- i luoghi solidi -, formati da tutte le sezioni solide;
- i luoghi lineari, che comprendevano indistintamente tutte le altre curve.
Il fatto stesso Apollonio, il più grande studioso di geometria dell’antichità, non sia giunto a sviluppare una geometria analitica, aveva
probabilmente dovuto più ad una povertà di curve che non ad una povertà di pensiero. Qualcosa di più vicino al concetto di coordinate nella
moderna accezione si trova in un disegno d'ignoto del X o XI secolo d.C. che studia le traiettorie dei pianeti riportandone latitudine e
longitudine rispettivamente come ordinata e ascissa.
La nascita della Geometria analitica (come risoluzione geometrica di problemi algebrici o, viceversa, come risoluzione algebrica di problemi
geometrici) ha principalmente dovuto ai matematici francesi René Descartes (1596-1650) e Pierre De Fermat (1601-1665).Grazie
soprattutto all’estero di questi due pensatori, la Francia diventa nel secondo trentennio del XVII secolo il centro indiscusso dell'attività
matematica. Si tratta di una matematica attiva che si sviluppa più per una sua logica interna, che per sollecitazioni di forze economiche,
sociali o tecnologiche, ma che non tarderà tuttavia ad alimentare poi un vastissimo campo d'applicazioni nei settori più svariati. Cartesio e
Fermat fondarono la geometria analitica contemporaneamente, ma separatamente, spinti entrambi, anche se per motivazioni diverse, da un
desiderio di ritorno al passato, all’età d’oro della geometria, ai problemi classici dei matematici greci. Cartesio prende le mosse dalla
constatazione della gran diversità dei procedimenti in uso nelle ricerche scientifiche. Ebbene, egli pensa che per porre fine a questo stato
caotico non vi è che un mezzo: scoprire un fondamento assoluto, superiore a qualsiasi dubbio, da cui siano derivabili tutte le verità della
scienza. La geometria analitica riuscirebbe, per l’appunto, a risolvere il problema ora accennato, per lo meno nell’ambito della matematica.
Generalità sulle coniche
Le curve algebriche del secondo ordine, dette CONICHE, note come luoghi geometrici agli antichi matematici greci, apollonio di Perga .
Egli dedicò a queste curve un tratto in otto libri, proprio con il titolo di CONICHE, in cui furono studiate non solo come sezioni ottenute da una
superficie conica illimitata mediante un piano in diverse posizioni, ma anche secondo proprietà, che, seppure in forma di proposizioni,
esprimevano le relazioni fra le coordinate dei loro punti, poi ricavate in geometrie analitica.
Si definisce CONO INDEFINITO la superficie che si ottiene dalla rotazione di una retta (generatrice) attorno ad un altra retta (asse); il punto di
intersezione delle due rette si chiama vertice e l’angolo a da loro formato semiapertura del cono. Considerata una superficie conica di
vertice V , generata dalla rotazione di 360° di una retta r (detta generatrice) intorno ad una retta reale secante a (detta asse) , sia a
l’angolo tra le due rette (e quindi l’angolo di semiapertura del cono).Sia p un piano secante la superficie conica a due falde e non
passante per V , e sia b l’angolo acuto che p forma con l’asse del cono. Al variare dell’angolo b ,formato dal piano con l’asse di rotazione
del cono , si ottiene una:.
CIRCONFERENZA SE b =90°
ELLISSE SE b > a
PARABOLA SE b = a
IPERBOLE SE b < a
Ad ogni conica corrisponde, nel piano cartesiano, un’equazione di secondo grado del tipo F(x, y)=0, che si ricava dalla definizione di luogo
geometrico di quella particolare curva..
Sezione conica
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Una parabola è una sezione conica, ovvero una figura che si ottiene come intersezione fra un cono circolare ed un piano. Il tipo di
sezione conica dipende dalla inclinazione del piano rispetto al cono. Una retta generatrice del cono è una retta contenuta nella superficie
del cono. Se il piano non è parallelo ad una retta generatrice, si ottengono altre sezioni coniche, quali ad esempio l'ellisse o l'iperbole
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La parabola è una sezione conica: si ottiene come intersezione
Luogo geometrico
Una parabola può anche essere definita come luogo geometrico nel modo seguente.
Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da una retta r (detta direttrice) e da un punto F (detto fuoco) non contenuto in r.
Una parabola è il luogo dei punti equidistanti tra il punto F e la retta L. Nel disegno, i segmenti FPi e PiQi hanno la stessa lunghezza (per i =
1,2,3).
In altre parole, una parabola è l'insieme dei punti P tali che, indicata con Q la proiezione ortogonale di P sulla retta r, sono uguali tra loro le
lunghezze dei segmenti
La retta passante per F e ortogonale alla direttrice costituisce l'asse di simmetria della curva.
L'intersezione dell'asse di simmetria con la parabola, punto medio tra il fuoco e la sua proiezione sulla direttrice, si dice vertice della parabola.
L’equazione
In geometria analitica, il piano è dotato di coordinate cartesiane ortogonali, e una parabola può essere descritta come luogo di punti che
soddisfa un'equazione di un certo tipo.
Una parabola è l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano che soddisfano una equazione quadratica del tipo
dove:
Equazioni quadratiche con condizioni diverse da h2 = ab descrivono altre coniche, quali ad esempio l'ellisse e l'iperbole.
Operando una rotazione che trasforma l'asse della parabola in una retta parallela all'asse delle ordinate si può ottenere una espressione più
semplice, del tipo:
con .
Se invece la rotazione trasforma l'asse in una retta parallela all'asse delle ascisse l'equazione diventa:
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La parabola
Una parabola è "il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta fissa detta direttrice". il punto P appartiene alla parabola
se, e solo se, la distanza PF, dove F è il fuoco della parabola, è uguale alla distanza PH dove H è la proiezione di P sulla direttrice.
La parabola è una curva simmetrica rispetto a una retta che prende il nome di "asse" e, contrariamente alla circonferenza e all'ellisse, non è una
curva chiusa; i suoi rami si estendono all'infinito. L'equazione canonica della parabola è:
y = ax2 + bx + c
se a è positivo allora la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, mentre se a è negativo la concavità è rivolta verso il basso. Nel caso di
una parabola con concavità rivolta verso l'alto, il punto di minimo, ovvero il punto della parabola che ha coordinata x più piccola prende il
nome di "vertice" della parabola; nel caso che la concavità della parabola sia rivolta verso il basso, il vertice è il punto di massimo, ovvero
il punto che ha coordinata x massima, della parabola.
@Parabole con concavità verso l'alto e verso il basso
@Variazione dell'apertura della parabola al variare di a
Dall'equazione canonica della parabola è possibile determinare le coordinate del vertice:
la coordinata x del vertice è -b/2a
la coordinata y del vertice è (4ac - b2)/4a.
Per quanto riguarda il fuoco della parabola abbiamo:
la coordinata x del fuoco è -b/2a (la stessa del vertice poiché il fuoco e il vertice stanno sull'asse che è una retta parallela all'asse Y)
la coordinata y del fuoco è (1 + 4ac - b2)/4a
l'equazione dell'asse è x = -b/2a mentre
l'equazione della direttrice è y = (-1 + 4ac - b2)/4a
Data una parabola e una retta possono avvenire i seguenti casi:
1. la retta non interseca mai la parabola
2. la retta interseca la parabola in due punti distinti A e B
3. la retta interseca la parabola in due punti coincidenti T, ovvero la retta è tangente alla parabola in T
4. la retta interseca la parabola in un punto P; allora la retta è parallela all'asse delle Y cioè parallela all'asse della parabola.
La parabola
Analogamente per quanto fatto nel caso della circonferenza, per trovare i punti di intersezione si deve mettere a sistema l'equazione della parabola con
l'equazione della retta e studiare il discriminante dell'equazione algebrica di secondo grado risultante
y= ax2 + bx + c
y = mx + q
risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo:
ax2 + bx + c -mx - q = 0
e raccogliendo i termini comuni abbiamo:
ax2 + (b-m)x +c -q = 0
Se il discriminante di questa equazione algebrica è positivo allora la retta è secante alla parabola in due punti distinti; se il discriminante è negativo la retta non
interseca la parabola, mentre se il discriminante è nullo la retta è tangente alla parabola. Se la retta è parallela all'asse delle y, cioè parallela all'asse
della parabola, l'equazione della retta è:
x=k
e quindi messa a sistema con l'equazione della parabola
y = ax2 + bx + c
e sostituendo k al posto di x si ottiene:
y = ak2 + bk + c
che è la coordinata y del punto di intersezione (la coordinata x del punto di intersezione e chiaramente k). Per determinare univocamente l'equazione di una
parabola sono necessari tre punti non allineati, altrimenti la parabola degenera in una retta; un punto e le coordinate del vertice; le coordinate del fuoco
e le coordinate del vertice; le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice.
La parabola è una curva molto importante per la fisica in quanto la traiettoria seguita da un proiettile sparato con una inclinazione rispetto al suolo diversa da
90° è una parabola.
Un esempio di parabola, detto parabola canonica, in quanto il vertice della conica corrisponde all'origine degli assi cartesiani .