Titoli Obbligazionari, Duration e
Immunizzazione
Laura Gardini
Indice
1 Indici Temporali
3
1.0.1 Scadenza Media Aritmetica (Average Term to Maturity) 4
1.0.2 Scadenza Media Finanziaria (o Scadenza Media) . . . .
4
1.0.3 Durata Media Finanziaria o Duration . . . . . . . . . .
6
1.0.4 Duration Piatta (Flat Yield Curve Duration) . . . . . .
8
1.0.5 Duration Modificata e Convexity (stima della variazione
del prezzo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Prestiti divisi
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) . . . .
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro, BOT)
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP) . . . . . . . . . . . . .
2.5 Prestiti Obbligazionari con estrazione a sorte . . . . . .
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari . . . . . . . .
2.7 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Elementi di gestione del portafoglio obbligazionario
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio) .
3.2 Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward . . . . . . .
3.3 Allungamento della struttura per scadenza ed “effetto cedola”
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti .
3.4.1 Interpolazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Interpolazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Struttura dei rendimenti e dei prezzi a pronti . . . . . . . . .
3.6 Valutazione dei titoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Struttura per scadenza su base diversa dall’anno . . . . . . .
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20
20
22
27
32
41
43
53
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55
55
61
65
68
68
69
73
76
77
2
3.8
3.9
Rendimento effettivo di un flusso finanziario . . . . . . . . . . .
Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Duration e immunizzazione
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione . . .
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
4.3 Metodi Empirici . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . .
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80
83
93
97
103
110
113
1
Indici Temporali
In questo paragrafo assumiamo che 0 sia l’istante in cui ci poniamo per valutare le caratteristiche future di un contratto, per effettuare valutazioni su
un’operazione finanziaria costituita da importi positivi, 0 alle epoche
future .
Sia 0 l’istante in cui vogliamo valutare l’operazione finanziaria, il tempo in
cui si ha l’ultima posta, la durata ( − 0 ) si chiama vita a scadenza, o vita
residua, dell’operazione finanziaria. È chiaro che per la traslabilità è sempre
possibile assumere 0 = 0 Vediamo ora alcuni indici atti a misurare la distribuzione nel tempo delle entrate future. Gli indicatori che si presentano nei
prossimi paragrafi esistono sempre (per ogni flusso), sono unici, e rappresentano un tempo t (non necessariamente una scadenza del flusso) compreso fra
la prima e l’ultima delle scadenze del flusso (1 ) Per ciascuno di
essi il significato applicativo può considerarsi il medesimo: rappresentano una
sorta di “baricentro” delle scadenze del flusso, opportunamente pesate, ossia
un fulcro in corrispondenza del quale si realizza una sorta di equilibrio.
Tali indicatori possono essere usati per scegliere fra diverse operazioni di investimento: se ci aspettiamo che i tassi di interesse diminuiscano sceglieremo
operazioni finanziarie con “indice temporale” maggiore (per far durare più a
lungo le operazioni intraprese); se ci aspettiamo che i tassi di interesse crescano
allora preferiamo operazioni con “indice temporale” minore (cosı̀ che alcune
poste si possano reinvestire ad un tasso più elevato). Per operazioni di finanziamento è l’opposto. Inoltre vedremo come per l’indicatore duration si avranno
anche altri significati finanziari, di notevole interesse applicativo.
1. Indici Temporali
4
1.0.1 Scadenza Media Aritmetica (Average Term to Maturity)
Si è già visto questo indice temporale a proposito della classificazione dei flussi,
ma lo ripresentiamo in questa sede per flussi di sole poste positive. La scadenza
media aritmetica, è una media pesata dei tempi (scadenze), ponderata con
pesi uguali alle poste relative, ossia alla posta normalizzata con la posta
totale (semplice saldo complessivo di cassa), per cui è dato da
P
X
( − 0 )
P
− 0 = =1
=
(1.1)
=1
=1
− 0 =
X
=1
( − 0 ) ;
=
Come sappiamo, nel definire la scadenza media aritmetica non si introduce
nessun elemento di reale valutazione finanziaria, è un indice che non dipende
da uno o più tassi usati per la valutazione, per cui una prima modifica porta
all’introduzione di coefficienti di capitalizzazione o attualizzazione.
1.0.2 Scadenza Media Finanziaria (o Scadenza Media)
Un secondo indice che si può usare nell’ipotesi che si consideri un fissato tasso
di valutazione 1 per attualizzare ogni posta ( ), è la scadenza media finanziaria (o semplicemente scadenza media dando per sottointeso finanziaria),
∗
definita
Pcome quel tempo in cui pensare concentrata l’unica posta , dove
= =1 è il semplice saldo complessivo di cassa, tale che il valore attuale dell’operazione costituita dal flusso elementare ( ∗ ) sia uguale al valore
attuale della rendita { }=1 .
Assumendo il regime composto, ∗ si ottiene esplicitandolo dall’equazione:
∗ − )
0
= (1 + )−(
(1.2)
dove è il valore attuale del flusso ed è la posta totale:
=
X
=1
(1 + )−( −0 ) =
X
=1
Si ottiene cosı̀
∗ − )
0
(1 + )(
1
=
ln () − ln ()
ln ()
⇒ ∗ − 0 =
=
ln (1 + )
ln (1 + )
Il tasso costante può essere il tasso di mercato, oppure si è nel caso di struttura per
scadenza piatta, come si dice in ambito finanziario, che vedremo nel capitolo 6.
1. Indici Temporali
5
Dalle proprità delle medie discende anche che la scadenza media in regime
composto è sempre inferiore alla scadenza media aritmetica:
∗
La scadenza media può essere anche riferita alla valutazione del montante in
della rendita ( ) con ≥ 1 Si può infatti definire scadenza media P
∗ quel
∗
tempo tale per cui il montante del flusso elementare ( ) con =
sia uguale al montante della rendita, fissato il tasso di valutazione. È chiaro
che se usiamo regimi scindibili non c’è differenza fra le due definizioni, infatti
dalla (12) abbiamo
∗ − )
0
dove è anche
(1 + )( −0 ) = (1 + )−(
|
{z
}
=
X
(1 + )( −0 )
(1 + ) −
e quindi da
∗)
= (1 + )( −
ricaviamo
− ∗ =
ln − ln
ln (1 + )
(1.3)
Le equazioni (1.2) e (1.3) hanno stessa soluzione ∗ .
Se invece usiamo un regime diverso, per esempio il , le due definizioni
temporali sono diverse:
• per la scadenza media calcolata col valore attuale si ha
=
− 0 )
1 + (∗
dove è la posta totale come sopra e
=
X
=1
1 + ( − 0 )
da cui
1 + (∗ − 0 ) =
∗ − 0 =
µ
¶
1
−1
(1.4)
1. Indici Temporali
6
• per la scadenza media calcolata col valore finale si ha
= (1 + ( − ∗ ) )
con
=
X
=1
da cui
(1 + ( − ) )
1 + ( − ∗ ) =
− ∗ =
µ
¶
1
−1
1.0.3 Durata Media Finanziaria o Duration
Un terzo indice, la duration, si ottiene migliorando la definizione di scadenza
media aritmetica dove, per tener conto dei tassi di valutazione relativi al
periodo (0 ), vengono utilizzati come pesi delle varie scadenze anziché le
singole poste ponderate con i pesi i valori attuali delle poste, rapportate
al valore attuale totale:
P
−( −0 )
=1 ( − 0 ) (1 + )
(0 ) =
0
P
(
−
)
0
(0 )
=1
=
0
con
X
X
−( −0 )
(1 + )
=
(0 )
0 =
=1
e ponendo =
(0 )
0
=1
abbiamo
(0 ) =
X
=1
( − 0 )
(1.5)
La duration, o durata media finanziaria, cosı̀ definita è stata introdotta da
Macaulay (nel 1938), e costituisce un indice sintetico molto usato.
Per esempio, consideriamo un progetto costituito da un portafoglio di titoli
senza cedole, ciascuno con scadenza in dal valore nominale per =
1 .
1. Indici Temporali
7
Sia (0 ) il valore attuale di 1 unità del titolo scadente in detto anche
1
prezzo a pronti, (0 ) =
( −0 ) quindi = · (0 ) è il prezzo
(1+∗ 0 )P
pagato in 0 per il titolo , e = =1 è il valore attuale del portafoglio
(prezzo pagato in 0 ).
La duration del progetto è
1
+ + ( − 0 )
= (1 − 0 ) 1 + + ( − 0 )
= (1 − 0 )
essendo = la frazione di unità di capitale investita (in 0 ) nel titolo .
Esempio . Si consideri un titolo con cedole
e sia il tasso da applicare nell’intervallo (0 ) per attualizzare la -esima
posta (tasso che può essere dedotto, per esempio, da una struttura per scadenza, come vedremo più avanti). Si ha
0 =
X
(1 + )−( −0 ) + (1 + )−( −0 )
=1
=
−1
X
=1
=
( − 0 )
X
=1
(1 + )−( −0 ) ( − 0 ) ( + ) (1 + )−( −0 )
+
0
0
( − 0 )
(1 + )−( −0 ) ( − 0 ) (1 + )−( −0 )
+
0
0
La duration di un progetto costituito da un’unica scadenza 1 coincide con la
vita a scadenza:
1 (0 1 )
= (1 − 0 )
= (1 − 0 )
1 (0 1 )
1. Indici Temporali
8
La duration di un progetto costituito da una rendita costante non dipende
dall’importo delle rate, ma solo dalla successione delle scadenze (oltre
che dai tassi)
P
( − 0 ) · (0 )
=1
P
=
· (0 )
P =1
( − 0 ) (0 )
=1
P
=
=1 (0 )
Più in generale, vale il seguente
Teorema 4.1: Due rendite con le stesse scadenze e poste proporzionali (con
la stessa costante di proporzionalità) hanno la stessa duration.
Infatti, consideriamo due rendite ) e ) con le stesse scadenze e poste con
costante di proporzionalità 0:
si ha:
() =
=
P
( − 0 ) (0 )
=1
P
=1 (0 )
P
( − 0 ) (0 )
=1
P
=1 (0 )
= ()
1.0.4 Duration Piatta (Flat Yield Curve Duration)
Un’espressione semplificata della duration si ottiene se il tasso di interesse da
applicare negli intervalli (0 ) è costante, sia ∗ , si ha :
∗
(0 ) =
0 =
P
=1 (
X
=1
− 0 ) (1 + ∗ )−( −0 )
0
(1 + ∗ )−( −0 )
(1.6)
(1.7)
1. Indici Temporali
9
In effetti la semplificazione introdotta è appropriata se il tasso ∗ utilizzato è
il tasso implicito (o TIR) di un progetto. Ad esempio, sia ∗ il tasso implicito,
che soddisfa l’uguaglianza
X
∗ −( −0 )
(1 + )
X
=
=1
(1 + )−( −0 )
=1
allora la duration piatta, calcolata con la formula (1.6) non è molto diversa
dalla duration di Macauley (1.5).
Se le scadenze sono equintervallate, per es. − 0 = , si ottiene la formula
P
P
(1 + ∗ )−
(0 ∗ ) = =1
= =1
0
0
dove
0 =
X
∗ −
(1 + )
=1
=
X
= (1 + ∗ )−1
=1
Le espressioni sono valide anche se il tempo è misurato in una unità diversa
dell’anno, purchè il tasso sia espresso sulla base dell’unità temporale utilizzata
(tasso periodale).
Senza perdita di generalità possiamo assumere 0 = 0 e la duration piatta
(anche in presenza di scadenze non equintervallate) si scrive
P
X
(1 + )−
con 0 () =
(1 + )−
() = =1
0
=1
dove si mette in evidenza che la duration, al pari del valore attuale in = 0
dipende dal tasso di valutazione
La duration piatta viene spesso utilizzata come misura della sensibilità del
valore attuale di un progetto (per es. prezzo di un titolo) in funzione del tasso
Osserviamo infatti che considerando la funzione valore a tasso costante :
0 () =
X
(1 + )−
=1
si ha, derivando rispetto al tasso:
X
0 () = 00 = −
(1 + )− −1
= −
=1
X
1
(1 + )
(1 + )−
=1
1
() 0 ()
= −
(1 + )
(1.8)
1. Indici Temporali
10
Valgono le seguenti proprietà:
Teorema 4.2 La duration valutata al tasso nullo coincide con la scadenza
media aritmetica:
(0) =
Infatti si ha immediatamente che per = 0 è
(0) =
P
=1
Teorema 4.3. La duration piatta (di un flusso con poste 0) è una
funzione decrescente del tasso:
() 0
Infatti, consideriamo la funzione
() =
X
(1.9)
=1
−
possono essere pensati come pesi della variabile aleatoria
dove = (1+)
0 ()
discreta “ tempi ” o “ scadenze ” che assume valori { } per = 1 ed
assumendo 0 = 0 Si ha:
X
() =
(1.10)
=1
ed essendo
0
− (1 + )− −1 · 0 − 0 (1 + )−
= 0 =
02
= − (1 + )−1
(1 + )−
0
− 02 (1 + )−
0
0
1. Indici Temporali
si ottiene:
X
() =
0
11
= − (1 + )−1
X
2
(1 + )−
0 X (1 + )−
− 0
0
0
0
X
= − (1 + )−1
2 + (1 + )−1 () · ()
⎡
Ã
!2 ⎤
X
X
= − (1 + )−1 ⎣
2 −
⎦
−1
= − (1 + )
X
2
( − ) 0
Dove si è tenuto conto dell’espressione (di immediata verifica) utilizzata usualmente per la varianza di una variabile aleatoria con realizzazioni e probabilità :
Ã
!2
X
X
X
( − )2 =
2 −
qui applicata alla variabile con pesi
1.0.5 Duration Modificata e Convexity (stima della variazione del
prezzo)
Come si è già detto, la duration viene spesso utilizzata come misura della
sensibilità del valore attuale di un progetto in funzione di variazioni del tasso
implicito di rendimento. Da
0 () =
X
(1 + )−
(1.11)
=1
1 X
0 () = −
(1 + )−
(1 + )
=1
1
() 0 ()
= −
(1 + )
si introduce il rapporto:
1
00 ()
=−
() = ()
0 ()
(1 + )
(1.12)
1. Indici Temporali
12
una sorta di variazione relativa, o semielasticità 2 , nota con nome di Duration
Modificata o anche VOL (volatilità del valore attuale 3 ). Per questo motivo,
misurando la volatilità del prezzo di un titolo, la duration viene utilizzata
come indicatore di rischio.
Per stimare l’effettiva variazione di prezzo dovuta ad una variazione ∆ del
tasso questo nuovo indice viene approssimato sostituendo la derivata della
funzione con il suo rapporto incrementale, o equivalentemente, considerando
lo sviluppo in serie di Taylor della funzione Valore
0 ( + ∆) = 0 () + 00 () ∆ +
approssimato ai termini del primo ordine (e trascurando quelli di ordine superiore )
0 ( + ∆) ' 0 () + 00 () ∆
0 ( + ∆) − 0 ()
0 ()
' 0
∆
0 ()
0 ()
e dalla (1.12) otteniamo
()
0 ( + ∆) − 0 ()
' −∆
0 ()
1+
∆0
' ∆ · ()
0
(1.13)
questa stima approssimata viene anche usata con la duration effettiva anzichè
la duration modificata, introducendo un’ulteriore semplificazione, assumendo
1 + ' 1, e calcolando
∆0
' −∆ · ()
0
(1.14)
Si nota che in ogni caso ad aumenti del tasso implicito, e quindi variazioni
∆ 0, corrisponde una diminuzione del prezzo, o valore attuale 0 (mentre
ad una diminuzione del tasso, ∆ 0, il prezzo aumenta).
Le considerazioni fin qui svolte sono state fatte considerando solo la derivata
prima della funzione valore, tuttavia le stime si possono migliorare se prendiamo in esame ulteriori elementi dello sviluppo di Taylor della funzione valore,
2
Data una funzione (), si chiama elasticità di () rispetto a il limite
→0
3
(+)− ()
()
=
0 ()
()
=
(log( ())
(log())
( =
)
0 ()
Talvolta si intende con volatilità il rapporto qui indicato, ma cambiato di segno : − 00 ()
1. Indici Temporali
13
senza fermarci all’approssimazione del primo ordine, ma considerando anche
quelli del secondo ordine. Da
1
0 ( + ∆) = 0 () + 00 () ∆ + 000 () ∆ 2 +
2
si deduce
0 ()
1 000 () 2
0 ( + ∆) − 0 ()
' 0
∆ +
∆
0 ()
0 ()
2 0 ()
in cui
(1.15)
00 ()
1
=−
()
0 ()
(1 + )
e, derivando ulteriormente 00 ():
000 ()
=
X
1
[−
(1 + )− ]
(1 + )
=1
=
=
=
1
(1 + )2
1
(1 + )2
1
(1 + )2
X
=1
X
−
(1 + )
1 X
−
(−2 ) (1 + )− −1
(1 + )
(1 + )− +
=1
=1
X
1
(1 + )2
X
( + 2 ) (1 + )−
2 (1 + )−
=1
=1
si ha
000 ()
0 ()
=
=
P
−
2
1
=1 ( + ) (1 + )
0 ()
(1 + )2
1
()
(1 + )2
in quanto si definisce ̀ di , o , il rapporto
() =
P
=1 (
+ 2 ) (1 + )−
0 ()
in tal modo l’espressione in (1.15) diviene:
∆
1
∆ 2
0 ( + ∆) − 0 ()
' − ()
+ ()
0 ()
(1 + ) 2
(1 + )2
1. Indici Temporali
14
e si può notare che la convessità è una quantità sempre positiva, per cui il
termine aggiuntivo dovuto ai termini di second’ordine è sempre positivo indipendentemente dal segno di ∆ e quindi ha sempre l’effetto di aumentare il
valore trovato con i soli termini del primo ordine. Si ha:
0 ( + ∆) ' 0 () + 0 () [ − ()
1
∆ 2
∆
+ ()
]
(1 + ) 2
(1 + )2
cosı̀ che per variazioni ∆ 0, cui corrisponde una diminuzione del prezzo,
o del valore attuale 0 la riduzione è inferiore a quella stimata con la sola
duration, mentre ad una diminuzione del tasso, ∆ 0, il prezzo aumenta di
più di quanto si stimi con la sola duration. Se ne deduce che il suo effetto è
sempre quello di migliorare le stime fatte con la sola duration.
Esempio. Confronto fra i due tipi di stime. Si consideri un titolo di puro
sconto, con scadenza in = 3, il prezzo in = 0 sia = 81465 :
Il tasso implicito si deduce dall’equazione
(1 + )3 =
100
81465
e si ha
= 707%
La duration di Macauley è quindi pari alla vita a scadenza, = 3 mentre la
duration modificata è
=
−3
−3
=
= −2802
1+
10707
Supponiamo ora che il tasso diminuisca di 10 p.b. (p.b.=punto base, 1 punto
base è un centesimo di punto percentuale, ossia 1 = 00001) passando da
= 00707 a = 00697 cosı̀ che ∆ = −0001. Si ha (usando la duration
modificata, ossia la formula (1.13)):
∆
∆0
= ∆ · () = (−0001) (−2802) = 0002802 ' 0003
=
0
stima che possiamo ottenere (anche se più rozza) con la duration (ossia usando
la (114)):
∆
= −∆ · () = − (−0001) 3 = 0003
1. Indici Temporali
15
In effetti, assumendo che il tasso reale sia = 00697 otteniamo
(00697) =
100
= 81698
(10697)3
per cui si ha che la variazione relativa del prezzo è
(00697) − (00707)
81698 − 81465
∆
=
=
= 000280
(00707)
81465
Esempio. Titolo con Cedole
Sia P il prezzo del titolo in = 0, e sia il tasso implicito per unità di tempo,
ossia il tasso per cui si ha
¢
¡
= (1 + )−1
= + 2 + + + ;
= · ¬ + (1 + )−
La duration del titolo è:
=
=
P
· (1 + )− + (1 + )−
P
=1 (1 + )− + (1 + )−
· ¬ + (1 + )−
=1
A parità di altre condizioni la duration di un tal titolo aumenta all’aumentare
del numero di scadenze, ossia con , mentre, come si è visto, la duration
diminuisce al crescere del tasso.
Mostriamo ora che se il regime utilizzato è il RIS anzichè il regime
composto, allora la duration coincide con la scadenza media finanziaria.
Consideriamo un flusso
e calcoliamo
scadenza media finanziaria, ossia quel tempo ∗ per cui si ha,
Pla
posto = =1 :
1. Indici Temporali
∗
(0 ) =
X
(0 )
16
(1.16)
=1
Fissato un tasso di valutazione (per esempio il tasso implicito se è noto in
0 = 0 il prezzo dell’operazione, o valore attuale), nel regime RIS otteniamo
0 =
X
=1
e l’equazione per
∗
1
1 +
è:
= 0
1 + ∗
ossia
1 + ∗ =
da cui
∗
=
=
=
=
=
0
µ
¶
1
−1
0
P
P
1 − (0 )
P
(0 )
³
´
P
1−(0 )
P
(0 )
P
(0 )
P
(0 )
Duration nel RIS
dove si è tenuto conto che, essendo
(0 ) =
1
1 +
si ha
1 − (0 ) =
e
(1.17)
1 +
1 − (0 )
=
= (0 )
1 +
(1.18)
1.1 Esercizi svolti
17
1.1 Esercizi svolti
Esercizio 1. Il signor Rossi ha diritto ad incassare le seguenti somme alle
rispettive scadenze
()
=
C
1
300
2
1· 000
5
1· 200
7
1· 800
9
2· 100
Determinare la scadenza media, la scadenza media aritmetica e la duration
dell’operazione al tempo 0 = 0, nel regime di capitalizzazione composta ad
un tasso annuo convertibile trimestralmente, (4) = 1025%
Risoluzione.
Calcolo del tasso effettivo annuo:
¸4
¸4
∙
∙
01025
(4)
+1 −1 =
+ 1 − 1 = 010651
=
4
4
Calcolo della scadenza media aritmetica:
P5
=1 ( − 0 )
=
P5
=1
=
1·300+2·1· 000+5·1· 200+7·1· 800+9·2· 100
300+1· 000+1· 200+1· 800+2· 100
=
39· 800
6· 400
= 62187
= 6 anni, 2 mesi e 19 giorni
Calcolo della scadenza media:
5
X
(1 + )−( −0 ) =
=1
à 5
X
=1
!
∗ − )
0
(1 + )−(
essendo 300 (1106)−1 + 1· 000 (1106)−2 + 1· 200 (1106)−5 + 1· 800 (1106)−7 +
2· 100 (1106)−9 = 3· 542167 si ha
5
X
(1 + )−( −0 ) = 3· 542167
=1
e
5
X
= 300 + 1· 000 + 1· 200 + 1· 800 + 2· 100 = 6· 400
=1
∗ − )
0
3· 542167 = 6· 400 (1065)−(
da cui
ln (6· 400) − ln (3· 542167)
= 58453
ln (11065)
= 5 anni, 10 mesi e 4 giorni
∗ =
1.1 Esercizi svolti
18
Calcolo della Duration:
P5
(1 + )−( −0 )
= P=1
5
−( −0 )
=1 (1 + )
=
=
1·300·(1106)−1 +2·1· 000·(1106)−2 +5·1· 200·(1106)−5 +7·1· 800·(1106)−7 +9·2· 100·(1106)−9
3· 5421672
·
3268795
19
3· 5421672
= 5456 = 5 anni, 5 mesi, 14 giorni
Esercizio 2. Un operatore finanziario possiede un portafoglio che dà diritto
alla riscossione di =
C 2· 500 tra 2 anni, 3· 000 tra 45 anni e 7· 000 tra 5 anni.
Sapendo che il tasso, attualmente pari a 006, subisce uno shift additivo del
4%:
1. determinare, utilizzando il concetto di duration, la variazione del valore
del portafoglio;
2. la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria del flusso;
3. la rata della rendita costante equivalente alla rendita data, avente le
stesse scadenze, considerando il tasso di valutazione pari a 006.
Risoluzione.
1. La duration risulta
=
=
(2)·2· 500·(106)−2 +(45)·3· 000·(1+006)−45 +(5)·7· 000·(1+006)−5
2· 500·(106)−2 +3· 000·(106)−45 +7· 000(106)−5
40· 990235
9· 763846 = 41982 ' 4 anni, 2 mesi e 11 giorni
e la variazione assoluta di tasso è
∆ = 006 · 004 = 00024
per cui si ottiene la variazione relativa del valore del portafoglio
∆
41982
= −∆ ·
= −00024 ·
= −00095
1+
1 + 006
2. Scadenza media aritmetica :
2 · 2· 500 + 45 · 3· 000 + 5 · 7· 000
=
2· 500 + 3· 000 + 7· 000
= 428 ' 4 anni, 3 mesi e 11 giorni
Scadenza media finanziaria e
:
9· 763846 · (1 + 006) = 12· 500
e
= 42397 ' 4 anni, 2 mesi e 26 giorni
1.1 Esercizi svolti
19
3. La rata cercata R deve soddisfare la relazione di uguaglianza tra i valori
attuali delle due rendite. Risulta quindi:
9· 763846 = · (106−2 + 106−45 + 106−5 )
= 4· 057106
Esercizio 3. Si consideri il flusso finanziario costituito da importi di =
C [180, 250, 340, 220]
alle scadenze [3, 5, 9, 12] in mesi, a partire da oggi.
Calcolare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria di
tale flusso.
Risoluzione.
1. La scadenza media aritmetica è:
P
7· 490
3 · 180 + 5 · 250 + 9 · 340 + 12 · 220
=
= P=1
=
180 + 250 + 340 + 220
990
=1
= 75657 (in mesi) = 7 mesi e 17 giorni
La scadenza media finanziaria ∗ risulta
X
∗
(1 + )− (1 + )
=1
=
X
=1
∗
9578087 · (1054)
∗
= 990
= 756566 (in mesi)
= 7 mesi e 17 giorni
2
Prestiti divisi
2.1 Introduzione
I prestiti visti fino ad ora sono detti più propriamente prestiti indivisi, per
evidenziare il fatto che in essi il creditore è un unico soggetto. Spesso accade
che l’entità del prestito sia cosı̀ elevata da non rendere possibile, o conveniente,
il ricorso ad un unico creditore. In questi casi si preferisce dividere il prestito
in più parti, di modo che più soggetti possano diventare creditori, per importi
a loro scelta, di un unico debitore (tipicamente lo Stato, le società). Si parla
in questi casi di prestito diviso in titoli. Questi sono speciali titoli di credito, usualmente al portatore (per facilitarne la compravendita) ed assumono
diverse denominazioni a seconda delle loro caratteristiche tecniche.
Riguardo al soggetto emittente possiamo distinguere fra
1. titoli di Stato, titoli emessi da Stati sovrani per il finanziamento del
debito pubblico;
2. obbligazioni societarie (corporate bonds);
3. obbligazioni emesse da organizzazioni sovranazionali.
All’interno dei prestiti obbligazionari possiamo distinguere le seguenti categorie di titoli:
obbligazioni a cedola fissa (straight bonds): titoli in cui l’emittente corrisponde al sottoscrittore gli interessi maturati, periodicamente, valutati ad un
tasso di interesse prefissato (tasso tecnico) e in cui il capitale da rimborsare
ed il termine di rimborso sono prefissati (ad eccezione dei casi in cui è prevista
la facoltà di rimborsare le obbligazioni prima della scadenza);
obbligazioni indicizzate (floating rate notes FRN): titoli che corrispondono
una cedola di ammontare variabile generalmente legata ad un indicatore specifico. Un esempio è rappresentato da alcuni tipi di Certificati di Credito del
Tesoro (CCT);
2.1 Introduzione
21
obbligazioni convertibili (convertible bonds): titoli convertibili in azioni,
generalmente della stessa società emittente, a un tasso di conversione e in un
periodo prefissati in sede di emissione del prestito;
obbligazioni senza cedola (zero coupon o discount bonds): obbligazioni
che non corrispondono cedole; l’interesse è rappresentato dalla differenza fra il
valore di rimborso (generalmente il valore nominale) ed il prezzo di emmissione.
Esempio tipico sono i Buoni Ordinari del Tesoro.
Consideriamo il caso in cui l’emittente del prestito (debitore) sia lo Stato
Italiano ed esaminiamo i tipi più comuni di titoli obbligazionari emessi:
Buoni Ordinari del Tesoro (BOT)
• titoli a capitalizzazione integrale, senza cedole (zero coupon bond);
• a breve scadenza: 3, 6, 12 mesi;
• emessi il 15 e 30 di ogni mese mediante asta competitiva sul mercato
primario.
Certificati del Tesoro Zero-Coupon (CTZ)
• titoli a capitalizzazione integrale;
• media scadenza, 2 anni;
• emessi con asta pubblica.
Buoni del Tesoro Poliennali (BTP)
• titoli con cedole fisse (generalmente semestrali o annuali);
• a medio e lungo termine: 3, 5, 7, 10 e 30 anni;
• emessi con decreto del Ministero del Tesoro col quale si determinano
l’importo, la durata, il prezzo base di partecipazione all’asta, il tasso
tecnico (considerato al lordo dell’aliquota fiscale prevista), il taglio
minimo ed ogni altra caratteristica.
Esempio di BTP con pagamento delle cedole semestrali:
che equivale a scrivere:
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità)
22
dove va inteso come tasso semestrale (2 oppure 1 ) nel caso in esame 2 = 5%
2
Certificati di Credito del Tesoro (CCT).
• titoli indicizzati, prevedono la corresponsione periodica degli interessi
maturati con cedola indicizzata (le cedole, semestrali o annuali, corrisposte in via posticipata, vengono calcolate ad un tasso adeguabile,
ottenuto sulla base del rendimento medio dei BOT a 6 mesi emessi nel
bimestre o trimestre precedente il mese antecedente il godimento della
cedola);
• a medio e lungo termine: 3, 4, 5, 6, 7 e 10 anni;
• emessi con cadenza mensile e regolamento ai primi giorni del mese; la
gestione del loro collocamento sul mercato è affidata alla Banca d’Italia.
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità)
Nel caso dei BOT, CTZ e CCT la data del rimborso del capitale è fissata
in partenza, al contrario nel caso di alcuni BTP e dei titoli obbligazionari
in generale, la data del rimborso del capitale non è nota in partenza. Questi
prestiti, ancora molto diffusi fra le aziende pubbliche e private, permettono
di ridurre nel tempo, con gradualità a certe scadenze, il debito inizialmente
contratto (rimborso parziale del capitale).
Nei casi più comuni l’estinzione graduale del debito avviene rimborsando integralmente il capitale rappresentato da un certo numero di titoli, che vengono
estratti a sorte a scadenze prefissate, fino ad esaurimento entro la scadenza
finale prevista. Ovviamente alle scadenze fissate vengono anche pagati gli interessi (cedole) di ogni titolo ancora vivente.
I titoli di stato vengono acquistati dagli operatori autorizzati a partecipare
all’asta presso la Banca d’Italia o Amministrazione Centrale. Gli operatori
autorizzati a negoziare in questo “mercato primario” sono Banche, Società Finanziarie, Aziende di Credito, Società di Assicurazioni e altri. Ogni successiva
negoziazione (compra-vendita) dei titoli avviene nel mercato secondario, e nel
mercato telematico di stato (MTS).
Le regole e le leggi sui titoli di stato e titoli pianificati (emessi per es. da
società) vengono stabiliti da decreti del Ministro del Tesoro.
I titoli sono generalmente al portatore, negoziabili (possono cioè essere venduti ed acquistati in qualisiasi momento, dando cosı̀ luogo ad un mercato di
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità)
23
continue negoziazioni: il mercato secondario). Esistono, inoltre, anche titoli
nominali.
Definiamo di seguito le principali caratteristiche dei titoli obbligazionari in
esame:
Valore Nominale o Valore Facciale, è la parte del debito rappresentata da
un’obbligazione o titolo, ossia è il capitale che verrà rimborsato a scadenza, e
viene solitamente indicato con il simbolo o, alternativamente, con i simboli
già usati: 100. In questo capitolo useremo prevalentemente o .
Valore (o Prezzo) di Emissione, è l’importo al quale un’obbligazione o
un titolo viene pagato all’emissione (sul mercato primario) ossia è l’importo
che il sottoscrittore paga. Il prezzo può o no coincidere con il valore nominale.
Se = si parla di emissione (o acquisto) alla pari;
Se emissione sotto la pari, e la differenza ( − ) viene detta premio
di emissione (o capital gain);
Se emissione sopra la pari, e la differenza ( − ) sovrapprezzo di
emisione.
Valore di Rimborso (o Capitale di rimborso), è il valore effettivo del rimborso a scadenza che può non coincidere con il valore nominale in alcuni casi
può essere incluso un premio cosı̀ che il capitale effettivamente rimborsato
è ( + )
Spese di emissione, di rimborso, di sottoscrizione. Sono le spese che deve
sostenere il possessore del titolo comprendenti spese notarili, di registrazione,
di commissioni bancarie, deposito custodito, oneri fiscali, spese di tesoreria.
Cedola (o coupon, dal francese tagliare-couper) è quella parte del titolo che
rappresenta l’interesse da pagarsi sul capitale (valore nominale del titolo),
generalmente a scadenze periodiche, e proporzionali al valore nominale del
titolo in ragione del tasso tecnico (detto anche tasso fisso, o tasso cedolare, o
tasso nominale).
Per i titoli con cedole periodiche, con periodi all’anno, se viene dato il tasso
tecnico annuo questo va inteso nominale convertibile volte, ossia =
e, quindi, l’importo delle cedole è pari a . Il giorno di pagamento delle
cedole viene detto giorno di godimento. Per esempio, se il tasso tecnico annuo è
dell’11% con cedole semestrali, allora significa che il tasso usato, tasso tecnico,
è il tasso semestrale 2 = 0055, per cui la cedola è 55% = 0055
Inoltre, una peculiarità di tali titoli è quella di assumere che gli interessi siano
pagati in regime semplice. Quindi si può equivalentemente dire che gli interessi
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità)
24
cedolari vengono computati in regime semplice, da un punto di vista formale
in effetti è la stessa cosa, in quanto la relazione fra tasso annuo e tasso
periodale nel RIS è = . Come vedremo, ciò ha particolare importanza
nella negoziazione di tali titoli a scedenze non corrispondenti al godimento di
cedola.
E’ bene notare che il tasso tecnico non è in genere il tasso di rendimento di un
titolo acquistato. Un titolo può essere considerato come un flusso che remunera
non il capitale (valore nominale) ma l’importo pagato al suo acquisto, per
cui il rendimento del titolo acquistato avviene ad un tasso effettivo, o tasso
implicito, che è il TIR dell’intera operazione, ed è generalmente diverso dal
tasso tecnico. Se la negoziazione del titolo avviene in coincidenza con la data
di godimento della cedola allora il tasso interno ed il tasso tecnico coincidono
solo nel caso in cui il titolo sia negoziato alla pari ( = ). Per esempio, se
il titolo riportato sopra è stato pagato = in = 0 il TIR dell’operazione
è 2 = 0055 tasso semestrale, e il tasso annuo equivalente in RIC è =
(1 + 2 )2 − 1 = 0113 mentre il TIR sarà diverso nel caso 6=
FIGURA 2.1. Rateo
Rateo (o dietimo) di interesse è la parte di interessi maturati in dall’ultimo
godimento di cedola (in −1 ) Il rateo è quindi la parte di interessi non ancora
esigibili, ma da considerare in caso di negoziazione del titolo ad un tempo
diverso da una scadenza cedolare. Il rateo viene calcolato in RIS. Per esempio,
se il titolo dato sopra viene negoziato dopo due mesi e 7 giorni dal distacco (o
godimento) della prima cedola, il rateo, ossia gli interessi maturati da = 100
nell’intervallo di 67 giorni, è dato da:
= (67) = Interessi per 67 giorni · valore nominale
dove il tasso denota il tasso periodale in RIS ed indicando con il tempo
trascorso dall’ultimo distacco di cedola, misurato in semestri, si ha:
= ( ) = 2 · = 0055 ·
67
= 002047
180
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità)
25
Pertanto, per = 100, il rateo è = 2047
In generale, per una cedola di importo () su un valore nominale , ( denota
il tasso periodale relativo alla durata ( − −1 )) il rateo al tempo maturato
dall’ultimo distacco di cedola, avvenuto in −1 è dato dagli interessi maturati
da nell’intervallo di tempo trascorso, calcolati in RIS:
= = · ( − −1 ) · = () · ( − −1 )
(2.1)
dove, ripetiamo, è il tasso cedolare e (−−1 ) è il tempo trascorso dall’ultimo
distacco di cedola (ovviamente il tasso ed il tempo devono essere espressi
rispetto alla medesima unità, annua o semestrale). Questa semplice espressione
per il calcolo del rateo viene spesso presentata come segue:
= · ( )
i cui termini vanno interpretati come si è detto sopra.
FIGURA 2.2.
Corso di Acquisto (o corso di un titolo), è il prezzo al quale un titolo o
obbligazione viene negoziato successivamente alla sua emissione (nel mercato
secondario, usualmente nelle Borse Valori o nel MTS).
Se un titolo è negoziato ad un tempo non coincidente con la data di godimento
della cedola, ossia −1 , il corso si distingue in corso secco e corso
tel-quel.
Il corso secco è il prezzo, o corso, che avrebbe il titolo valutato al tempo
dell’ultimo distacco di cedola, ossia in −1 (valore fissato dal mercato, o Borsa
Valori, o Istituti Finanziari, ecc. in cui gli operatori negoziano i titoli).
Il corso tel-quel è il prezzo del titolo in , ossia il corso secco più il rateo
(interessi maturati nell’intervallo (−1 )).
corso tel-quel = corso secco + rateo
Si noti che generalmente la negoziazione avviene al corso tel-quel. Tuttavia,
come vedremo, il prezzo di un titolo è molto inflenzato dalla vicinanza o meno
di una cedola, per cui generalmente le quotazioni vengono fatte al corso secco,
2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità)
26
proprio per evitare che il prezzo dei titoli, nelle valutazioni e confronti che si
fanno in Borsa, sia influenzato dalla maggior o minor prossimità al giorno di
godimento (ossia dalla maggior o minor vicinanza di a ).
Il corso ex-cedola, per negoziazioni che avvengono quando la scadenza è prossima
al distacco di cedola si usa anche valutare il prezzo con il “corso ex-cedola”,
che consiste nel negoziare il titolo senza la prossima cedola (da cui il nome),
ossia colui che vende si tiene la cedola in scadenza (ne resta in possesso), e la
valutazione comporta la riduzione sul prezzo dell’importo cedolare:
ex-cedola = tel-quel −
= + −
= − ( − )
= − ( )
= − [()( − −1 ) − ()( − −1 )]
da cui
ex-cedola = corso secco − ()( − )
Rischi. I titoli obbligazionari vengono solitamente assimilati ad investimenti
“a reddito fisso” in quanto sono investimenti in cui il rendimento a scadenza è
fissato al tempo iniziale 0 Sulla base di questa definizione non si tiene conto
di una serie di rischi che possono alterare il rendimento finanziario conseguente
al possesso di un titolo. Alcuni tipi di rischio sono:
Rischio di insolvenza. Si presenta quando l’ente emittente non è in grado di
far fronte agli impegni finanziari assunti all’emissione. In tal caso i possessori
del titolo non riceveranno l’intera somma pattuita e nel caso di fallimento
dell’ente o società i creditori ricevono solo il valore di liquidazione.
Rischi intrinseci. Sono generati dalla possibilità che si verifichino cambiamenti
nelle prestazioni finanziarie di un titolo in seguito alla sua struttura tecnica.
Per esempio, l’emittente può inserire una clausola che modifichi la data di rimborso del titolo anche ad un tempo antecedente la scadenza prefissata (rimborso anticipato). Oppure quando il rimborso del titolo non è a priori noto,
come nel caso delle obbligazioni con estrazione a sorte.
Rischi di mercato (o rischi di tasso o rischi di prezzo o rischi di realizzo).
Quando la scadenza del titolo non coincide con l’orizzonte temporale dell’investitore, per cui questi rischi sono direttamente connessi all’indeterminatezza
del valore dei tassi vigenti ad un certo tempo , tempo in cui si vuol vendere
un titolo acquistato in 0 , oppure quando si sono effettuate operazioni
integrative sui capitali liberatisi prima di una scadenza (come l’aver investito
le cedole), fino alla scadenza del titolo. Ricapitalizzare i ricavi intermedi in
altre operazioni, che dipendono quindi dai tassi vigenti al momento, comporta
l’introduzione dei rischi di mercato.
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro, BOT)
27
I soli titoli che vengono considerati esenti da rischi (a parte quello di insolvenza) sono i titoli a capitalizzazione integrale o titoli di puro sconto, per
esempio i BOT, ovviamente se portati a scadenza (operazioni di “acquista e
tieni, buy and hold ”), perché altrimenti si incorre sempre nel rischio di mercato.
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro,
BOT)
Consideriamo un titolo di puro sconto emesso al tempo = 0 di valore nominale scadente in . Il possessore del titolo incasserà la cifra al tempo .
Sia (0 ≤ ) il tempo in cui il titolo è stato acquistato, e sia il prezzo
a cui esso è stato pagato.
Dati e si può determinare il tasso interno di rendimento ∗ , (TIR, o tasso
spot, o tasso a pronti, o Yield to Maturity). Possiamo ragionare equivalentemente effettuando un’operazione di sconto su :
= ( )
(2.2)
o un’operazione di capitalizzazione
( ) =
dove ovviamente
1
( )
( ) rappresenta anche il rendimento effettivo nell’intervallo ( ):
( ) =
( ) = 1 + ( )
dove ( ) è il tasso effettivo di rendimento nell’intervallo ( ) o tasso periodale. Noti e si ha
e
( ) =
−1
( ) =
Il tasso spot ∗ è il tasso annuo equivalente al tasso periodale ( ). Assumendo che il tempo sia misurato in anni, ∗ si ottiene dall’equazione
(1 + ∗ ) − = 1 + ( )
=
(2.3)
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro, BOT)
28
ossia
∗
=
µ
¶
1
−
−1
(2.4)
Per esempio, assumendo = 8 mesi e = 40 giorni, si ha ∆ = − = 200
giorni, esprimendo il tempo in frazione di anno − = 200
365 e
∗
=
µ
¶ 365
200
−1
Se = 94 e = 100 otteniamo
¶ 365
µ
100 200
∗
=
− 1 = 01195
94
ossia 1195%
Ragionando in termini di fattore di sconto si ha
= ( )
1
( ) =
=
1 + ( )
1
=
(1 + ∗ ) −
(2.5)
quindi si può ragionare su 1 unità scadente in che viene pagata (scontata)
( ) al tempo . Dati e si deduce immediatamente il prezzo per unità
,
di capitale in , ossia il coefficiente di attualizzazione periodale ( ) =
che viene detto anche prezzo a pronti, ossia il prezzo in corrispondente ad 1
unità di capitale in . E di conseguenza il tasso a pronti ∗ :
¶ 1
µ
−
1
∗
=
−1
( )
1
= ( )− − − 1
µ ¶− 1
−
=
−1
µ ¶ 1
−
−1
=
(2.6)
Esempio. Sia dato un BOT a 6 mesi emesso al tempo = 0 al prezzo
0 = 943. Determinare il tasso a pronti:
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro, BOT)
1
(1 + ∗ ) 2
=
100
=
=
943
1
(1 + ∗ ) 2
Il tasso a pronti è
∗ =
µ
100
943
29
¶2
− 1 = 01245
Il tasso a pronti ∗ può considerarsi l’effettivo rendimento annuale dell’investimento di durata (0 ) se il titolo non viene negoziato prima della scadenza.
Supponiamo ora che il proprietario si trovi nella necessità di (o desideri)
vendere il titolo prima della sua scadenza. In generale, sia la data di acquisto
al prezzo , di un titolo scadente in , e sia ∗ ( ) il suo tasso effettivo di
rendimento annuo calcolato in base al valore nominale
∗
( ) =
µ
¶ 365
−
−1
supponiamo che il titolo sia venduto in al prezzo
La quotazione del titolo che viene fatta al tempo sul valore nominale
a scadenza ( scadente in ), dipende dal tasso periodale ( ) vigente a
quell’epoca, o dal corrispondente tasso annuale ∗ ( ) che in generale non coincide con ∗ . Il prezzo concordato in , può pensarsi come il valore scontato
di al tasso di mercato
Per il proprietario che rivende il titolo in l’operazione finanziaria ha durata
( − ) ed il tasso annuo di rendimento (per tale durata) è dato da (1 +
0∗ )(−) = da cui
µ ¶ 1
−
0∗
−1
=
che in generale è diverso dal tasso a pronti ∗ all’acquisto. Se il tasso di mercato
è rimasto invariato, per cui il prezzo concordato coincide con il valore attuale
allora il rendimento non è cambiato:
∗ =
∗ −
(1+ )
0∗ = ∗
se = ∗
dove
∗ =
(1 + ∗ ) −
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro, BOT)
30
Se, invece, al tempo il tasso a pronti ∗ ( ) è maggiore di ∗ (0 ), avremo
che il valore scontato di al tasso ∗ è
=
(1 + ∗ ) −
∗
(2.7)
e il proprietario del titolo vendendolo al tempo incassa meno di quanto
∗
avrebbe percepito al tasso ∗ , quindi, (essendo
) il rendimento effettivo
0∗
annuo realizzato sarà inferiore ad ∗
0∗ ∗
Viceversa, se il tasso a pronti, ∗ ( ) in è ∗ ∗ al proprietario conviene
vendere in quanto (ripetendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra)
incasserà di più,
∗
ed avrà un rendimento effettivo
0∗ ∗
Riprendiamo l’Esempio precedente, supponiamo che il titolo sia venduto dopo
120 giorni al prezzo = 965
0
120
(1 + ∗ ) 365 =
965
=
= 102333
943
e quindi applicando la (23)
365
0
∗ (0 ) = (10233) 120 − 1 = 00726
ed otteniamo
0∗ ∗ = 1245%
Il titolo è stato venduto ad un prezzo inferiore a quello che si avrebbe attualizzando al tasso ∗ Infatti il prezzo in = 120 del valore nominale ,
calcolato al tasso ∗ sarebbe
∗ =
100
(1 + ∗ ) −
100
=
60
= 98089
(11245) 365
Il prezzo di mercato = 965 implica che il tasso a pronti vigente in per un
titolo con scadenza 60 è
∗
(120 180) =
µ
100
965
¶ 365
60
− 1 = 0242
2.3 Titoli di puro sconto (Buoni Ordinari del Tesoro, BOT)
31
Per quanto riguarda la misura della variabilità del prezzo in funzione del tasso
di rendimento (ricordiamo anche quanto già visto a proposito della duration),
abbiamo
=
( − ) = tempo a scadenza
(1 + ∗ ) −
1
= − ( − ) (1 + ∗ )−( −)−1 = − ( − )
∗
1 + ∗
approssimando
∗
con
∆
∆∗
otteniamo
∆
∆∗
= − ( − ) ·
1 + ∗
oppure in termini di elasticità del prezzo relativa al tasso:
=
∗
∆
∆∗
∗
= − ( − ) ·
∗
1 + ∗
si vede che all’aumentare del tasso, il prezzo diminuisce ed in misura proporzionale al tempo a scadenza.
Per quanto riguarda il rendimento di un titolo di puro sconto, si fa qui riferimento solo al tasso spot (o TIR del titolo), senza tenere in considerazione
i costi che comunque sono associati alle operazioni di negoziazione dei titoli,
sia costi di gestione e simili, che di imposte sul reddito. A titolo di esempio,
consideriamo il flusso ( ) alle scadenze (0 1), con tasso spot ∗ che soddisfa
1 + ∗ =
se l’imposizione fiscale da pagare è del 12.5% sugli interessi maturati si ha un
importo pari a 0125( − ) Fa differenza pagare l’imporo all’inizio dell’operazione oppure alla scadenza. Vediamo infatti i due casi separatamente. Se la
tassa viene pagata alla scadenza si ha che il montante non sarà bensı̀ −
0125( − ) ed indicando con il reale tasso di rendimento dell’operazione
dopo il pagamento si ha:
1 + =
=
=
=
− 0125( − )
− 0125( ∗ )
∗
− 0125( 1+
∗)
∗
(1 − 0125
)
1 + ∗
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
32
se invece viene pagata anticipatamente allora l’esborso iniziale non è bensı̀
+ 0125( − ) ed il rendimento è dato da
1 + =
=
=
+ 0125( − )
+ 0125( ∗ )
1
(
)
1 + 0125∗
in entrambi i casi il rendimento è (ovviamente) inferiore ad ∗ e con semplici
passaggi algerici si dimostra che risulta sempre
∗
∗
∗
1
0125
infatti è ⇔ 1+0125
∗ 1 − 0125 1+∗ ⇔ 0125 1+∗ 1+0125∗ ⇔
∗
∗
1 + 0125 1 + che è sempre verificata. Ovviamente il risultato non
cambia se si considera un titolo con scadenza diversa (nel qual caso e
rappresentano i tassi periodali). Con ciò si giustifica il detto comune “più tardi
si paga meglio è”.
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
Sono titoli obbligazionari aventi le seguenti caratteristiche:
• Valore nominale ;
• Tasso nominale annuo (o tasso tecnico), ;
• Cedola = se annua, = 2 se semestrale, in generale =
1
− di anno.
se ogni
Senza perdita di generalità possiamo indicare con = 0 il tempo dell’ultimo
distacco di cedola, e si e indicato con il tasso tecnico annuo (tasso cedolare).
Indichiamo con il prezzo all’epoca in cui avviene la transazione del titolo,
si ha: ( tel-quel) = 0 ( ) se è una scadenza di cedola,
( tel-quel) = 0 ( ) + (), altrimenti.
Poiché le contrattazioni avvengono al corso secco, analizziamo le proprietà di
tali titoli nell’ipotesi che il tempo di negoziazione sia una scadenza di cedola.
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
33
Noto il prezzo = 0 corso secco, possiamo calcolare il tasso di mercato a
cui è avvenuta la transazione1 , ossia il tasso implicito del flusso finanziario,
soluzione della seguente equazione:
=
+
+
+ ··· +
2
1 + (1 + )
(1 + )
(2.8)
e da un punto di vista del calcolo numerico possiamo anche scrivere come:
= + 2 + + +
= k +
dove =
1
1+
ricorrendo in genere a qualche algoritmo risolutivo, e già sappiamo che in
questo caso il tasso implicito esiste ed è unico.
Nel caso di un titolo non a capitalizzazione integrale, come in questo caso, se
l’obiettivo è quello di massimizzare il valore del capitale alla scadenza = ,
il tasso implicito non deve considerarsi come il tasso effettivo di rendimento
dell’operazione finanziaria nell’arco di tempo (0 ), poichè le cedole che vengono ritirate alle scadenze vengono generalmente reinvestite al tasso vigente
in e quindi solo a posteriori, a consuntivo in , valutando tutti i montanti
ottenuti reinvestendo le cedole, si potrà fare una stima del rendimento effettivo
di tutta l’operazione finanziaria nell’intervallo di tempo (0 ).
Si ricorda che il significato del tasso implicito è quello di rendere equo il flusso
finanziario {− + }. Ossia è il solo tasso per cui è esattamente
la somma che investita al tasso produce le rate del flusso alle scadenze fissate.
A parità di cedole, considerando il prezzo come una funzione del tasso implicito , sappiamo già che minore è il prezzo pagato in = 0 più elevato
è il tasso implicito viceversa, maggiore è il prezzo pagato in = 0 più
basso è il tasso implicito :
= ⇐⇒ =
⇐⇒
⇐⇒
titolo alla pari
titolo sotto la pari
titolo sopra la pari
Il corso secco dipende anche dalla durata del titolo, o tempo a scadenza (cioè
dal numero di cedole). Vale il seguente
Teorema 5.1. Analizzando il corso secco () del titolo in funzione del numero delle rate, ed a parità di altre condizioni, ossia fissati , ed il
tasso implicito (tasso di mercato) , si vede che il prezzo () può aumentare
1
E, come vedremo nel prossimo capitolo, sarebbe il prezzo da utilizzare nella struttura
per scadenza.
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
34
o diminuire, a seconda delle condizioni di mercato. Posto ( + 1) il corso
secco del titolo avente ( + 1) scadenze otteniamo:
( + 1) () ( )
( + 1) = () = ( = )
( + 1) () ( )
Infatti abbiamo
() = + · · · + +
( + 1) = + · · · + + +1 + +1
(2.9)
ed esplicitando il secondo prezzo in funzione del primo:
( + 1) = () − + +1 + +1
= () + ( − 1) + +1
+ +1
= () − ·
1+
= () − +1 · + +1
= () + +1 ( − )
= () +
+1
( − )
[ = ]
(2.10)
da cui il risultato.Inoltre, essendo
FIGURA 2.3. Valore del prezzo in funzione del numero di rate, con andamenti che
dipendono dal confronto fra il tasso di mercato rispetto al tasso tecnico
= k +
(1 + )
(2.11)
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
35
esiste il limite del prezzo per → ∞ dai limiti
1
1
e
→0
∞ k =
(1 + )
si ha
lim = ∞ =
→∞
=
(2.12)
Si è cosı̀ ottenuto che per (rispettivamente ) al crescere del numero
di rate il prezzo diminuisce (rispettivamente cresce) e tende al valore limite
∞ = (si veda il grafico riportato in figura 5.3).
Esempio. Sul quotidiano finanziario Il Sole 24 Ore del 25 agosto 2009 possiamo rilevare i seguenti dati relativi al Buono Poliennale del Tesoro con cedole
semestrali individuato dal codice ISIN IT0003872923:
1
2
3
4
5
6
7
Data
Scadenza Cedola Rateo
Prezzo Rendim.
Duration
god.
ufficiale effet. lordo (Anni/giorni)
151209 15610 275
052595 101569 08
0292
dove il “Prezzo ufficiale” (del giorno 24/8/09) è il corso secco all’ultimo distacco di cedola e la “Cedola” indica il tasso annuo lordo cedolare (nell’esempio
sono due cedole semestrali). Dalla colonna (3) deduciamo il tasso lordo cedolare
per il titolo considerato, dal valore nominale = 100, la cedola viene corrisposta ogni 6 mesi ed è pari a = 2 = 275
2 = 1375 le date di godimento
delle cedole sono 1 = 15/12/09, 2 = 15/6/10, e l’ultimo distacco di cedola si
è avuto al tempo 0 = 15/6/09. Possiamo verificare che il rateo riportato in
colonna 4 sia giusto, e che il tasso di rendimento (TIR) di tale obbligazione
al tempo = 24/8/09, sia effettivamente pari ad ∗ = 078% come riportato
nella colonna 6.
Il rateo si ottiene applicando la formula (21)
= 2 · ( − 0 ) = 2 ·
70
(24809 15609)
= 1375 ·
= 052595
(15609 151209)
183
Dal valore del corso secco possiamo dedurre il tasso annuo di mercato
al quale è avvenuta la quotazione al tempo risolvendo in funzione di
l’equazione data in (28) che nel caso specifico diventa (equazione del tasso
implicito del flusso in (0 2 )):
2 +
2
1 −0 +
(1 + )
(1 + )2 −0
1375
101375
101569 =
05 + (1 + )
(1 + )
da cui = 00117
(117 % = 275 % )
=
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
36
Determiniamo ora il reale tasso di rendimento per l’operazione finanziaria (il
rendimento effettivo lordo riportato in colonna 6), in quanto la negoziazione
del titolo avviene al tempo al prezzo (corso tel-quel), dato da
= + = 101569 + 052595 = 10209
per cui il reale TIR è il tasso implicito lordo ∗ del flusso nell’intervallo ( 2 ),
e si determina risolvendo l’equazione
+ =
10209 =
2
2 +
1 − +
∗
(1 + )
(1 + ∗ )2 −
1375
113
365
101375
+
295
(1 + ∗ )
(1 + ∗ ) 365
da cui ∗ = 0008 (080% = 117%)
Nella colonna (7) è riportata la durata media finanziaria (Duration) del titolo,
espressa in anni e giorni, che nel caso in esame è pari a zero anni e 292 giorni.
La Duration è stata calcolata utilizzando un tasso di valutazione costante
(struttura dei tassi per scadenza piatta), e precisamente con il tasso implicito
lordo (∗ = 008):
113
365
(24809 0008) =
·
1375
113
(1008) 365
+
295
365
·
101375
295
(1008) 365
10209
= 0801
per cui si ha duration pari a 0801 · 365 = 292
Si può notare che il TIR ∗ = 08% del titolo acquistato è diverso dal tasso di
mercato = 117% con cui è stato determinato il corso secco, o prezzo d’asta.
Ciò non deve stupire. Dimostriamo infatti che questa è la regola: se un titolo
è venduto sopra (resp. sotto) la pari, allora il rendimento è sempre inferiore
(resp. superiore) al tasso di mercato, come dimostriamo nel prossimo teorema.
Inoltre si deve ricordare che il tasso effettivo netto è ancora inferiore al TIR qui
calcolato in quanto si deve tener conto della tassazione sugli interessi maturati.
In tal caso, considerando l’aliquota fiscale al 12.5% degli interessi maturati, ossia 0125(2 ) = 0125(1375) = 01719 si deve determinare il tasso implicito
(netto) che soddisfa la seguente equazione:
10209 =
10209 =
1375 − 01719
(1 + )
1203
113
365
113
(1 + ) 365
+
+
101375 − 01719
295
(1 + ) 365
101203
295
(1 + ) 365
da cui si ottine
= 000386
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
37
ossia un tasso annuo netto pari a 0386%.
Proseguiamo l’analisi del prezzo di un titolo, assumendo ora che sia negoziato
ad un tempo che non sia una scadenza di cedola, per cui sappiamo che il
prezzo è dato dalla somma del corso secco all’ultimo distacco di cedola, in
, e dal rateo maturato: = + Senza perdita di generalità possiamo
indicare = 0, e per semplicità indichiamo con il tasso tecnico cedolare, per
unità di periodo per cui si ha = + = + . Quindi il reale tasso
implicito della negoziazione è dato dal tasso ∗ che soddisfa l’equazione:
+ =
+
+
+ ··· +
2−
∗
1−
(1 + )
(1 + ∗ )−
(1 + ∗ )
(2.13)
Dimostriamo che vale il seguente
Teorema 5.2. Sia = la cedola, il corso secco e il tasso di mercato
soluzione dell’equazione in (28), sia 0 1 il tempo in cui avviene la
transazione e = il corrispondente rateo, ed indichiamo con ∗ il tasso
implicito a cui avviene la transazione (soluzione dell’equazione in (213)). Si
ha che:
a) se il corso secco è alla pari ( = ossia = ) allora è sempre ∗ ()
(= ) per ogni scadenza 0 1, con ∗ () prima decrescente poi crescente
in funzione di , con ∗ (0) = ∗ (1) = = ;
b) se il corso secco è sopra la pari ( ossia ) allora è sempre
∗ () ( ) per ogni scadenza 0 ≤ 1;
c) se il corso secco è sotto la pari ( ossia ) allora ∗ (0) =
∗ (1) , ed ∗ () può essere prima decrescente poi crescente in funzione di
oppure sempre crescente (nel qual caso è ∗ () per 0 1).
Per dimostrare il teorema consideriamo l’equazione che fornisce il TIR reale
∗ () per ogni valore fissato di , in (213) ed indichiamo la funzione fabbisogno
che compare a destra dell’uguaglianza con ( ) in cui denota il tasso e
il tempo in cui si valuta la funzione:
( ) =
+
+
+··· +
1−
2−
(1 + )
(1 + )
(1 + )−
e vediamo separatamente i tre casi.
a) Sia = (e quindi = ). Per = 0 è sempre ∗ (0) = e dall’equazione
in (28) (essendo = ) abbiamo:
(1 + ) = ( )
(2.14)
Per = 1 è ( 1) = + = + quindi la soluzione dell’equazione
in (213) è ∗ (1) = = D’altra parte, per 0 1 abbiamo ( ) =
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
38
(1 + ) = (1 + ) + (in quanto gli interessi maturati in RIC sono
inferiori a quelli maturati in RIS al medesimo tasso) quindi ne viene che ∗
non può essere uguale ad ma deve essere necessariamente ∗ () (= ) (Si
veda figura 5.4(a)).
b) Sia (e quindi ). Per = 0 è sempre ∗ (0) = e dall’equazione
(28) abbiamo:
(1 + ) = ( )
e ricordando la funzione fabbisogno vista nel capitolo 3, nel caso in esame
(titolo venduto sopra la pari, si veda la figura 3.2(c)), si è visto che gli interessi
maturati al tasso nel periodo unitario sono inferiori al valore della cedola,
cioè in questo caso risulta sempre:
=
(2.15)
Per 0 ≤ 1 è ( ) = (1 + ) + () = (1 +
) in quanto
(1 + ) rappresenta gli interessi maturati in RIC al tasso che sono inferiori
agli interessi maturati in RIS ad un tasso maggiore (
) (essendo ( ) per
la (215)). Quindi la soluzione dell’equazione in (213) necessariamente deve
avere ∗ () (Si veda figura 5.4(b)).
FIGURA 2.4.
c) Sia ora (e quindi ). Per = 0 è sempre ∗ (0) =
Dall’equazione (28) come prima abbiamo (1 + ) = ( ), e ricordando la
funzione fabbisogno vista nel capitolo 3, nel caso in esame (titolo venduto sotto
la pari, figura 3.2(b)), si è visto che gli interessi maturati nel periodo unitario
sono sempre superiori alla cedola, per cui in questo caso risulta sempre:
=
(2.16)
quindi per = 1 abbiamo ( 1) = (1 + ) = + + (per la (216))
da cui segue che la soluzione dell’equazione (213) deve essere necessariamente
con ∗ (1) .
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
39
Quindi per 0 1 la soluzione dell’equazione in (213) è una funzione
continua che congiunge il valore ∗ (0) = ( ) con il valore ∗ (1) ( ) ed
a seconda del valore del corso secco può avere diversi andamenti:
(c.1) può essere sempre crescente, ossia ∗ () per ogni (figura
5.5(a))
(c.2) oppure prima decrescente e poi crescente mantenendosi ∗ () per
ogni (figura 5.5(b))
(c.3) oppure vi sono due tempi, 1 e 2 , che soddisfano l’equazione
(1 +
) = (1 + )
(2.17)
tali che risulta ∗ () per 1 2 ed ∗ () altrimenti (ma ciò è
possibile solo per valori di vicinissimi a ) (figura 5.5(c)).
FIGURA 2.5.
Quindi il teorema 5.2 mostra che solo nel caso di vendita di un titolo sotto
la pari si possono avere differenze di comportamento, ed è facile vedere che
in genere non si verifica il caso (c.3), infatti nelle applicazioni realistiche, per
0 1 è soddisfatta la seguente disuguaglianza:
+ () (1 + )
da cui segue che è sempre ∗ () . Per esempio, una condizione grossolana ma
semplice da verificare quando il corso secco è basso è la seguente: se +
allora è sempre ∗ () E, come si è detto, solo per valori di vicinissimi
al valore nominale si può essere nel caso (c.3) elencato sopra, il caso (c.2)
2.4 Titoli con cedole costanti (BTP)
40
può aversi per valori di ancora molto prossimi a ma “normalmente” si è
nel caso c(1), come illustriamo con il seguente esempio.
Esempio. Consideriamo il semplice titolo dal flusso (10, 110) scadente in (1,2)
(in anni), in cui = 10%.
a) Se il titolo è venduto alla pari, il corso secco in = 0 è = 100 (per
cui = = 10%), allora il TIR ∗ () del titolo, per 0 ≤ ≤ 1 soluzione
dell’equazione
110
10
+
100 + 10 =
∗
1−
(1 + )
(1 + ∗ )2−
ha un grafico qualitativamente simile a quello riportato in figura 5.4(a), con
∗ () (= ) per 0 1.
b) Se il titolo è venduto sopra la pari, il corso secco in = 0 sia =
1005 (per cui = 9713% ) allora il TIR ∗ () del titolo per 0 ≤ ≤ 1
soluzione dell’equazione
1005 + 10 =
110
10
+
∗
1−
(1 + )
(1 + ∗ )2−
ha un grafico qualitativamente simile a quello riportato in figura 5.4(b), con
∗ () ( ) per 0 1.
c1) Se il titolo è venduto sotto la pari, con corso secco = 99 (per cui
= 1058% ) allora il TIR ∗ () del titolo per 0 ≤ ≤ 1 soluzione
dell’equazione
110
10
+
99 + 10 =
(1 + ∗ )1− (1 + ∗ )2−
ha un grafico qualitativamente simile a quello riportato in figura 5.5(a), con
∗ () ( ) per 0 1 (e tale comportamento si ha per qualunque valore
inferiore del corso secco = 99).
c2) Se il titolo è venduto sotto la pari, con corso secco = 995 (per cui
= 10289% ) allora il TIR ∗ () del titolo per 0 ≤ ≤ 1 soluzione
dell’equazione
110
10
+
995 + 10 =
(1 + ∗ )1− (1 + ∗ )2−
ha un grafico qualitativamente simile a quello riportato in figura 5.5(b), con
∗ () per 0 1.
c3) Se il titolo è venduto sotto la pari, con corso secco = 9989 (per cui
= 100634% di pochissimo) allora il TIR ∗ () soluzione dell’equazione
9989 + 10 =
10
110
+
(1 + ∗ )1− (1 + ∗ )2−
2.5 Prestiti Obbligazionari con estrazione a sorte
41
ha un grafico qualitativamente simile a quello riportato in figura 5.5(c). Esistono 1 = 03652 e 2 = 06417 soluzioni dell’equazione in (217) e per 1
2 si ha ∗ (e tale comportamento qualitativo (c.3) lo si ha per
valori del corso secco tali che 9989 100).
Un altro risultato (come conseguenza del teorema 5.2) è il seguente: poiché il
rateo è calcolato in regime semplice (al tasso ), indipendentemente dal valore
quotato come corso secco (al tasso ), il reale rendimento ∗ del titolo non può
quasi mai essere pari al tasso tecnico per nessun valore di , 0 1, ma
è sempre inferiore a ( ) se ≥ mentre è quasi sempre superiore ad
se interpretando con ciò la sensibilità del tasso rispetto al corso secco
illustrata nell’esempio qui sopra.
2.5 Prestiti Obbligazionari con estrazione a sorte
Supponiamo che al tempo = 0 vengano emessi titoli obbligazionari che verranno rimborsati in numero allo scadere di ogni anno , per = 1 2
con = 1 + + oltre ovviamente agli interessi maturati. Sia:
= valore totale del prestito (i.e. ammontare complessivo richiesto dall’emittente);
= numero totale di titoli che per semplicità supponiamo tutti con uguali
caratteristiche;
= valore nominale di un titolo pari a
;
= tasso tecnico di remunerazione del prestito;
= cedola annua (che l’emittente dovrà pagare a tutte le obbligazioni ancora
in vita);
= numero di obbligazioni rimborsate nell’anno , estratte a sorte fra quelle
ancora in vita.
I numeri delle obbligazioni da rimborsare dovranno soddisfare la condizione
di chiusura 1 + 2 + + = in quanto tutte devono essere rimborsate entro la scadenza finale prefissata dall’emittente, e questa condizione,
qualunque sia la modalità di rimborso, corrisponde alla condizione di chiusura
elementare del piano, in quanto · 1 + · 2 + + · = · =
valore totate del prestito.
L’età di un’obbligazione vivente è data dal numero di anni già trascorsi
dalla sua emissione. Se un’obbligazione ha oggi età significa che sono già
stati incassati gli interessi, o cedole, maturati negli anni 1 2 . Una tale
obbligazione (di età ) potrà quindi essere estratta nell’anno successivo, + 1,
con una data probabilità che indichiamo con ( + 1), o nell’anno + 2
con probabilità ( + 2) e cosı̀ via. Le probabilità ( + 1) e ( + 2)
possono essere diverse e vedremo come calcolarle.
2.5 Prestiti Obbligazionari con estrazione a sorte
42
Definiamo Vita residua di un’obbligazione di età la variabile casuale le
cui relizzazioni sono il numero di periodi futuri ai quali l’obbligazione può
essere estratta, misura quindi i periodi futuri durante i quali il titolo potrà
essere ancora in circolazione prima della sua estrazione. Tale variabile assume
le determinazioni :
= 1 2 ( − )
con probabilità ( + ).
Definiamo Vita media di un’obbligazione di età il valor medio o valore
atteso di questa variabile casuale 2 .
Supponiamo che siano trascorsi anni dall’emissione, 0 ≤ ≤ ( − 1)
e indichiamo con il numero di obbligazioni viventi dopo la -esima estrazione, per cui è
0 =
= +1 + + = − (1 + + )
(in particolare −1 = ).
La probabilità che un’obbligazione di età ha di essere estratta all’anno +
(ossia la probabilità di morte all’anno + ) è pari al rapporto fra il numero
di obbligazioni che verrà estratto all’epoca + ed il numero totale di
obbligazioni viventi di età :
( + ) =
+
;
= 1 ( − )
(2.18)
e soddisfa
−
X
=1
( + ) =
+1 + · · · +
=1
(2.19)
La sommatoria in (219) può anche essere definita partendo dall’indice = 0
ponendo ( ) = 0, in quanto l’obbligazione è viva al tempo , e quindi la
probabilità di essere viva ( ) = 1 − ( ) è uguale ad 1 per = ossia
2
Ricordiamo che se è una variabile
casuale che assume i valori con probabilità :
= {( )
= 1 · · · } ;
=1 = 1 Si definisce valor medio o valor atteso di la
quantità () = =1
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
43
( ) = 0. In generale per un’obbligazione di età la probabilità di essere
ancora in vita dopo l’estrazione al tempo + è pari a
( + ) = 1 −
X
( + ) =
=0
+
;
= 0 ( − − 1)
(2.20)
Riassumendo, la variabile casuale “vita residua di un’obbligazione di età ”
ha le seguenti determinazioni, , con relative probabilità ( + ) :
¶
µ
+
per = 1 2 ( − )
( ( + )) =
e la vita media per un’obbligazione di età , indicata con è :
=
−
X
=1
· ( + )
+2
+1
+2·
+ · · · + ( − ) ·
−
1 X
+
=1
= 1·
=
(2.21)
L’emissione di titoli obbligazionari va considerata come un comune prestito,
da rimborsare con una qualche tecnica, equa, mentre per colui che acquista
un’obbligazione non si tratta di un comune titolo, in quanto non è nota a priori
la data di rimborso, e si creano quindi problemi di valutazione. Nella pratica
spesso l’emittente si riserva di accelerare il programma di estrazione nel caso
ciò gli diventi più conveniente a causa di sopravvenute riduzioni del costo del
denaro.
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
Consideriamo il problema della valutazione di un prestito obbligazionario. Al
termine dell’anno l’emittente dovrà pagare:
1. l’importo = · (quota capitale) per rimborsare il capitale delle
obbligazioni estratte;
2. l’importo = () −1 (quota interessi), per pagare le cedole a ciascuna delle −1 obbligazioni viventi nel periodo precedente (che comprendono anche le ultime cedole delle obbligazioni estratte).
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
44
Complessivamente, al termine dell’anno l’emittente paga l’importo, o rata:
= + = + () −1
(2.22)
In generale, quindi, l’ammortamento può essere semplicemente organizzato
scegliendo direttamente il programma di rimborso determinato sulla base degli
interi fissati in modo da dare come somma . Una volta scelti questi numeri
si calcolano di conseguenza le quote capitale, le quote interesse, e le
rate .
In particolare, scegliendo =
∀ (assumendo che sia intero) il piano di
rimborso ha quote capitali costanti ed è quindi un piano di ammortamento di
tipo italiano con gli svantaggi di questo tipo di piano: si pagano quote interessi
alte all’inizio (quando si ha presumibilmente meno disponibilità) e basse alla
fine.
Conviene cercare di organizzare il rimborso del prestito obbligazionario, e
quindi fissare il numero di obbligazioni da rimborsare in ogni epoca
in modo tale che la successione delle rate sia costante. A tale fine procediamo come segue. Dato il debito iniziale pari a = e calcoliamo quanto
verrebbe la rata costante necessaria per ammortizzare il debito al tasso :
=
q
chiamiamo la “rata teorica” che dovremmo versare per il piano di rime1 = la quale
borso. Allo scadere del 1◦ anno la prima rata teorica sarà
deve includere certamente l’importo necessario per il pagamento degli interessi delle obbligazioni viventi: 1 = () e quello che resta, 1 = − 1
viene utilizzato per rimborsare alcune delle obbligazioni, in numero pari ad
1 e poiché le obbligazioni hanno tutte un medesimo valore nominale , il
numero di obbligazioni che si riesce a rimborsare con la prima rata si ottiene
considerando la frazione
e1 = − 1
(2.23)
j k
e1 Otteniamo cosı̀ che la
di cui consideriamo solo la parte intera 1 =
rata pratica per la prima scadenza è data da
1 = 1 + 1
con 1 = 1
(2.24)
e1 come solitamente accade, si ha un residuo 1 =
Nel caso in cui 1 6=
− 1 che fa parte del debito residuo alla fine della prima scadenza. Alla fine
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
45
del secondo anno assumiamo che la “rata teorica” all’anno 2 sia pari ad più
il montante del residuo 1 :
e2 = + 1 (1 + )
(2.25)
che gestiamo in modo analogo a quanto fatto per il primo anno.
e2 sono compresi sicuramente gli interessi sulle obbligazioni viventi
Nella rata
2 = () ( − 1 ) = () 1
e si potranno quindi rimborsare le obbligazioni in numero 2 dove
la rata pratica sarà
j k
e
e2
e2 = 2 − 2
2 =
2 = 2 + 2
con 2 = 2
e2 − 2 darà un montante 2 (1 + ) da sommare a
e l’eventuale residuo 2 =
per calcolare la rata teorica alla fine del terzo anno
e3 = + 2 (1 + )
e cosı̀ via, fino all’ultima scadenza.
In questo modo, con questa procedura detta di gestione dei residui, calcoliamo una successione di rate pratiche { } che sono all’incirca dello stesso
importo:
dove ogni rata è = + con
½
= () −1
=
Possiamo introdurre anche per i prestiti obbligazionari il calcolo del valore
attuale al tempo , dell’usufrutto e nuda proprietà. Per gli scopi pratici del
calcolo solitamente ci si riferisce a quote capitale, interesse e rate pratiche
anzichè teoriche. Sia il tempo in cui si vuol fare la valutazione, ad un tasso
1
il coefficiente di attualizzazione si ha
di valutazione fissato. Posto = 1+
=
−
X
=1
+ =
−
X
=1
+−1
(2.26)
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
=
−
X
+ =
=1
−
X
+
46
(2.27)
=1
e, quindi
= + =
−
X
[ +−1 + + ]
=1
=
−
X
[+−1 + + ]
(2.28)
=1
È anche possibile introdurre le anologhe grandezze riferite ad una singola obbligazione di età e calcolare il valor medio, o valor atteso, della variabile
casuale usufrutto, nuda proprietà e valor attuale, ad un tasso di valutazione
1
). La variabile casuale usufrutto, è rappresentata
fissato (e poniamo = 1+
dalla rendita formata dalle future cedole che il possessore dell’obbligazione incasserà fino all’estrazione del titolo, la variabile nuda proprietà, è rappresentata della rendita descritta dai capitali di rimborso pagati fino al momento
dell’estrazione dell’obbligazione.
Le uscite di ciascuna di tali variabili aleatorie e le relative probabilità, rispettivamente tra 1 2 ( − ) periodi, sono le seguenti:
;
1
|
2
|
..
.
−
+
|
+1
+
|
|
+1 +2
..
.
+1 =
+1 =
+1
¡
¢
+2 = + 2
+2 = 2
+2
..
.
|
|
|
+ 1
+
|
( + )
..
.
= − k
= −
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
47
da cui i valori attesi:
=
−
X
+ ( + )
=1
+1
+2
+ 2
+ · · · + −
−
X +
=
=1
=
=
−
X
+
=1
e si può notare che il valore atteso della nuda proprietà all’epoca è ottenibile
come
=
(2.29)
mentre il valore atteso per l’usufrutto è dato da :
=
−
X
+ ( + )
=1
+1
+
¢ +2
¡
+ +
+ 2
´
³
+ 2 + · · · + −
∙
¸
2 +1
− −1
=
+
+ ··· +
=
=
=
=
−
X
=1
−
X
+−1
+−1
=1
Il valore atteso per il valore attuale è quindi
= + =
(2.30)
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
48
Esempio. Calcolare la vita media di una obbligazione di età , per =
0 1 2 3 sapendo che saranno rimborsate in numero 1 = 1· 000, 2 = 2· 000
3 = 1· 000 4 = 3· 000 5 = 1· 000 rispettivamente fra = 1 2 3 4 5 anni
(ovviamente sarà 4 = 1) Si ha:
2· 000
1· 000
3· 000
1· 000
1· 000
)
+
2(
)
+
3(
)
+
4(
)
+
5(
)
8· 000
8· 000
8· 000
8· 000
8· 000
1 + 4 + 3 + 12 + 5
= 3125
8
2
1
3
1
2+2+9+4
1( ) + 2( ) + 3( ) + 4( ) =
= 2428
7
7
7
7
7
3
1
1+6+3
1
=2
1( ) + 2( ) + 3( ) =
5
5
5
5
1
3+2
3
= 125
1( ) + 2( ) =
4
4
4
0 = 1(
=
1 =
2 =
3 =
Esempio. Oggi vengono emesse obbligazioni che verranno rimborsate in 3
anni, con estrazione, in numero di 3 obbligazioni allo scadere di ogni anno:
∀
3
=
con probabilità, al tempo = 0, pari a
= (0 ) =
1
1
=
=
3
3
Supponiamo che il valore nominale sia = 100 con cedole = 9. Calcolare
il valore attuale atteso in = 0, al tasso di valutazione = 105%.
Le possibili uscite della variabile casuale valore attuale sono:
´ ¡
³
¢
(1 ; 1 ) = 109 (1105)−1 ; 13 = 98642; 13
´ ¡
³
¢
(2 ; 2 ) = 9 (1105)−1 + 109 (1105)−2 ; 13 = 97414; 13
³
´ ¡
¢
(3 ; 3 ) = 9 (1105)−1 + 9 (1105)−2 + 109 (1105)−3 ; 13 = 96302; 13
da cui il valore atteso è dato da:
( ) =
X
=
1X
= 97453
3
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
49
Sono pure variabili casuali, per un’obbligazione di età , il rendimento effettivo
ed il tasso effettivo di interesse una volta che sia noto il prezzo di acquisto,
, al tempo . Per valutare il rendimento assumiamo che le cedole intermedie
vengano capitalizzate al tasso . Le possibili uscite e le relative probabilità,
rispettivamente tra 1 2 ( − ) periodi sono quindi:
+1
( + 1) =
( + 2) =
+
|
+1
( + 1) = +
( + 1) = ( + 1) − 1
−− →
+
|
|
+1 +2
( + 2) = ++(1+)
( + 2) = ( + 2) − 1
|
+2
e in generale,
( ) =
|
− − −− −− −→
−− −→
+
|
|
|
+1
···
( ) =
−q +
( ) = ( ) − 1
In generale,
( + ) = q +
(2.31)
da cui
() =
−
X
( + ) ( + )
=1
=
=
=
P−
−
+
X
+ q + · =1
=1
−
X
+ q + ·
=1
−
X
+ q +
=1
(2.32)
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
() =
−
X
50
( + ) ( + )
=1
=
X
( + ) ( ( + ) − 1)
= () −
−
X
( + )
=1
= () − 1
Se vogliamo calcolare il valore atteso del tasso effettivo annuo consideriamo la
variabile casuale tasso annuo, le cui realizzazioni sono date da
∗(1)
= ( + 1) − 1
∗(2)
..
.
∗
()
..
.
= ( + 2) − 1
..
.
1
= ( + ) − 1
..
.
1
= ( ) − − 1
1
2
∗(−)
ed otteniamo il valore atteso
(∗ ) =
−
X
( + ) ∗()
=1
=
X +
1
( ( + ) − 1)
(2.33)
Esempio.
Viene emesso un prestito obbligazionario per un valore di 1· 500· 000, con ciascuna obbligazione di valore nominale 100 che paga cedole annue al 125% con
rimborso entro 10 anni. Si rediga il piano di ammortamento con il metodo
della gestione dei residui (al tasso annuo del 125%). Si calcoli inoltre la nuda
proprietà e l’usufrutto al termine del 7◦ anno per un’obbligazione ancora in circolazione dopo l’estrazione prevista per quel momento, al tasso di valutazione
del 10%
Risoluzione: Il numero di obbligazioni emesse è pari a
=
1· 500· 000
= 15· 000
100
che verranno rimborsate entro 10 anni con il metodo delle rate costanti. La
rata teorica è data da:
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
=
51
1· 500· 000
= 270· 93267289
10k0125
Possiamo quindi costruire il piano di ammortamento con il metodo della gestione dei residui e determiniamo la prima rata pratica, 1 sulla base dei
seguenti calcoli:
1 = 1 + 1
1 = 0125 · 1· 5000· 000 = 187· 500
− 1 = 83· 4326729
83· 4326729
c = 834
1 = b
100
1 = 1 · 100 = 83· 400
1 = 270· 900
1 = − 1 = 3267289
Il residuo 1 capitalizzato per un periodo, viene aggiunto alla rata teorica per il
e2 = + 1 · (1 + 0125).
secondo periodo ottenendo cosı̀ la nuova rata teorica
Si procede quindi, ragionando in modo analogo a quanto fatto per il primo
periodo, alla determinazione dei 10 numeri per = 1 10 (ricordando
che 9 = 10 ) e delle corrsipondenti rate pratiche. I risultati sono riportati in
tabella 1.
Tabella 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
270· 932673
270· 969430
271· 038902
271· 032693
271· 025702
270· 961588
271· 016022
270· 950697
270· 933457
271· 012500
187· 500
177· 075
165· 350
152· 150
137· 300
120· 5875
101· 800
80· 650
56· 8625
30· 1125
83· 432673
93· 894430
105· 688906
118· 882693
133· 725702
150· 374087
169· 216022
190· 300697
214· 070957
240· 900
834
938
1· 056
1· 188
1· 337
1· 503
1· 692
1· 903
2· 140
2· 409
32673
94430
88906
82693
25702
74088
16022
0697
70957
Alla fine del 7◦ anno sono state rimborsate
7
X
=1
= 8· 558 obbligazioni
15· 000
14· 166
13· 228
12· 172
10· 984
9· 647
8· 144
6· 452
4· 549
2· 409
0
2.6 Ammortamento dei prestiti obbligazionari
52
e ne sono ancora in vita
7 = 8 + 9 + 10 = 6· 452
Possiamo quindi calcolare l’usufrutto e la nuda proprietà di un’obbligazione
di età 7 che può essere rimborsata in ciascuno degli anni = 8 9 10 le cui
probabilità di essere in vita ai tempi, = 8 9 10 sono date da :
78 =
79 =
710 =
8
1903
= 02950
=
7
6452
9
2140
= 03317
=
7
6452
10
2409
= 03733
=
7
6452
Sulla base di tali probabilità è possibile calcolare il valore atteso delle variabili
aleatorie usufrutto all’epoca 7, 7 , le cui realizzazioni sono (125 · (110)−1 ;
125·((110)−1 +(110)−2 ); 125·((110)−1 +(110)−2 +(110)−3 ) con probabilità
date rispettivamente da (78 ; 79 ; 710 ) e nuda proprietà all’epoca 7, 7
le cui realizzazioni sono (100 · (110)−1 ; 100 · (110)−2 ; 100 · (110)−3 ) con
probabilità date rispettivamente da (78 ; 79 ; 710 ). Si ha cosı̀:
7 = 125 (110)−1 · (78 + 79 + 710 ) +
+ (110)−2 · (79 + 710 ) + (110)−3 · (710 )]
i
h
= 125 (110)−1 · 77 + (110)−2 · 78 + (110)−3 · 79
i
h
= 125 (110)−1 · 1 + (110)−2 · 0705 + (110)−3 · 03733
7
= 22154
h
i
= 100 (110)−1 · 02950 + (110)−2 · 03317 + (110)−3 · 03733
= 82277
La vita media residua di tale obbligazione è pari:
7 =
3
X
=1
· 77+ = 1 · 02950 + 2 · 03317 + 3 · 03733 = 2078
Osservazione. Supponiamo che nel medesimo esercizio il valore di rimborso
sia pari a 105 per ogni obbligazione (ossia il valore di rimborso è costituito
dal valore nominale più un premio di 5). Per redigere il piano nulla cambia
2.7 Esercizi svolti
53
rispetto a quanto si è già fatto, cosı̀ come per il calcolo dell’usufrutto all’epoca
7. Cambia solo la nuda propietà, il cui valore atteso diventa :
h
i
7 = 105 (110)−1 · 02950 + (110)−2 · 03317 + (110)−3 · 03733
= 86420
2.7 Esercizi svolti
Esercizio 1. La società XY emette 300 obbligazioni che rimborserà progressivamente nei prossimi tre anni. Le caratteristiche delle singole obbligazioni
sono le seguenti:
valore nominale
= 100
C
cedola semestrale
(2) = 10%
valore di rimborso
= 102
C
Si ipotizzi che la società decida di rimborsare 150 obbligazioni il primo anno
e 75 obbligazioni ognuno dei due anni successivi.
1. Calcolare l’età media di un’obbligazione in vita alla fine del primo anno
e la nuda proprietà, ipotizzando il tasso di mercato annuo sia = 007.
2. Si calcoli la duration di un’obbligazione al momento dell’emissione, date
le caratteristiche riportate nello schema, assumendo che verrà rimborsata
alla fine del terzo anno, al tasso annuo = 007
Risoluzione.
La probabilità che un’obbligazione di età 1 venga rimborsata al tempo 2 o 3 è
data da
+ =
12 =
+
75
= 05 = 13
150
1. La vita media al tempo 1 è data da:
1 = 1 · 05 + 2 · 05 = 15
La nuda proprietà è data da
(1) = 102 (107)−1 · 05 + 102 (107)−2 · 05
= 9221
2.7 Esercizi svolti
54
2. La duration di un’obbligazione che sarà estratta alla fine è data da
(0; 007) =
05(5) (107)−05 + 1(5) (107)−1 + · · · + 3(107) (107)−3
5·
= 268
1−(1034)−6
0034
+ 102 (1034)−6
Esercizio 2. Mauro possiede un titolo dal valore nominale di =
C 1· 500, acquistato il 1/3/2005 e scadente il 28/2/2015, che paga cedole semestrali valutate
al tasso nominale convertibile semestralmente (2) = 8%.
1. Assumendo che gli interessi cedolari vengano messi in conto corrente e
remunerati ad un tasso pari al 7% annuo si determini di quanto si dispone
a scadenza, in regime composto.
2. Determinare il prezzo del titolo nell’ipotesi che venga venduto il giorno
1/9/2007 subito dopo il ritiro della cedola, assumendo un tasso di valutazione annuo pari al 6 5%.
3. Si ipotizzi di avere pagato il titolo all’emissione C
= 1· 495 e di rivenderlo
il giorno 1/3/2007 a =
C 1· 502. Si determini il TIR dell’operazione.
Risoluzione.
1. La cedola semestrale è
008 ·
(2)
=
1 500 = 60
2
2
Calcoliamo il montante delle cedole versate sul conto corrente fino al
28/2/2015:
· 2 = 1· 500
1
2 = (1 + 007) 2 − 1 = 00344
= 60 ·
(1 + 00344)20 − 1
+ 1· 500 = 3· 18636
00344
2. Il prezzo del titolo nell’ipotesi venga venduto il giorno 1/9/2007 è
1
02 = (1 + 0065) 2 − 1 = 003199
1 − (1 + 003199)−15
+ 1· 500 (1 + 003199)−15 = 1· 64139
= 60 ·
003199
3. Il TIR dell’operazione si ottiene come soluzione dell’equazione
1 − (1 + ∗ )−4
+ 1· 502 (1 + ∗ )−4 = 0
∗
ed applicando un metodo iterativo si trova ∗ = 4123%.
−1· 495 + 60
3
Elementi di gestione del portafoglio
obbligazionario
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di
Arbitraggio)
Supponiamo che un operatore debba scegliere fra due investimenti con orizzonti temporali diversi,
(1) investire in una attività finanziaria per l’intero periodo (0 2 ) con rendimento effettivo
(0 2 ) = 1 + (0 2 )
(3.1)
(2) oppure investire in una operazione a breve da 0 a 1 con 1 2 e, quindi,
reinvestire il ricavato fino al tempo 2 (operazione chiamata di roll-over), cosı̀
che 1 unità in 0 fornirà, in 2 , l’ammontare
(0 1 ) (1 2 )
È chiaro che l’operatore decide per la strategia (1) se
(0 1 ) (1 2 ) (0 2 )
(3.2)
(0 1 ) (1 2 ) (0 2 )
(3.3)
decide per la (2) se
è indifferente fra le due opzioni se
(0 1 ) (1 2 ) = (0 2 )
(3.4)
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio)
56
Sia nel caso che valga la (32) che nel caso della (33) si possono verificare
condizioni di “arbitraggio”, dove per arbitraggio si intende la possibilità di realizzare profitti senza sostenere alcun rischio. Infatti, ciò si verifica in entrambi
i casi, utilizzando l’impiego con il minor rendimento per “indebitarsi” ed avere
del capitale da investire nell’operazione di maggior rendimento.
Per esempio, nel caso che valga la (33), potremmo acquistare allo scoperto
(come si usa dire) il titolo scadente in 2 , disponendo cosı̀ al tempo 0 della
= una sorta di prestito che chiediamo in 0 con l’impegno di
cifra (
0 2 )
restituire al tempo 2 . Quindi investiamo la somma nell’operazione a
breve, ed incassiamo in 1 la somma (0 1 ) che reinvestiamo nel secondo
periodo ritirando, al tempo 2 , la somma
(0 1 ) (1 2 )
pagando in 2 la somma = (0 2 ) resta la somma
[ (0 1 ) (1 2 ) − (0 2 )] 0
guadagnata senza alcun rischio.
Ad un simile risultato si arriva anche nel caso valga la disuguaglianza opposta
(32) Se (0 1 ) (1 2 ) (0 2 ) conviene stipulare, al tempo 0 un contratto forward con cui ci impegnamo a restituire al tempo 2 , ottenendo in
prestito al tempo 1 la somma anticipata 1 = (
(equivalente alla somma
1 2 )
disponibile in 2 scontata secondo il fattore di sconto (1 2 ) = (112 ) )
Contemporaneamente, con un diverso contratto, ci impegnamo a restituire
1 al tempo 1 e chiediamo che ci venga anticipata al tempo 0 la somma
di importo = (0 1 1 ) . Ottenuto decidiamo di investire per l’intero periodo (0 2 ) per ottenere, al tempo 2 la somma = (0 2 ) Al tempo
1 usiamo il prestito 1 chiesto per restituire l’importo 1 come previsto
nell’operazione a breve. L’operazione effettuata prevede quindi un’entrata
al tempo 2 con cui paghiamo l’importo previsto dall’esecuzione del contratto forward, con = 1 (1 2 ) Il flusso di pagamento al tempo 2 è:
− = (0 2 ) − = (0 2 ) − 1 (1 2 )
ma 1 = (0 1 ) e quindi
− = (0 2 ) − (0 1 )(1 2 )
= [(0 2 ) − (0 1 )(1 2 )] 0
e si realizza cosı̀ un profitto a fronte di rischio nullo.
Dal momento che tutti gli operatori hanno a disposizione le stesse informazioni,
è chiaro che nel caso (32) tutti sceglierebbero la strategia 1 e nel caso opposto
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio)
57
sceglierebbero la strategia 2. Ma il mercato è in evoluzione dinamica, con aggiustamenti continui dei prezzi, e si assume che gli effetti della domanda-offerta
si equilibrino in modo tale che vi sia assenza di arbitraggio (o meglio condizioni
di arbitraggio possono verificarsi solo per periodi molto brevi). Quindi si assume che le forze di mercato operino in modo tale da riportare la situazione
dei prezzi ad una condizione di non arbitraggio descritta dalla relazione (34).
Si può notare che l’ipotesi di coerenza del mercato descritta dalla (3.4) corrisponde all’ipotesi che la legge finanziaria sottostante sia scindibile. Supponiamo che in 0 siano noti i rendimenti effettivi di operazioni scadenti in 1 ed
in 2 :
(0 1 ) = 1 + (0 1 )
(0 2 ) = 1 + (0 2 )
ed i tassi annui ad essi equivalenti ∗0 1 e ∗0 2 ottenuti dalle relazioni (tempo
in anni)
¢ −
¡
1 + ∗0 1 1 0 = 1 + (0 1 ) = (0 1 )
¢ −
¡
1 + ∗0 2 2 0 = 1 + (0 2 ) = (0 2 )
Fare l’ipotesi di coerenza del mercato significa che al tempo 0 si può valutare
quale sarà il tasso vigente in 1 per l’orizzonte temporale (1 2 ). Utilizzando
la (3.4) si può scrivere:
(1 2 ) =
(0 2 )
(0 1 )
(3.5)
ossia
1 + (0 2 )
1 + e (1 2 ) =
1 + (0 1 )
e in termini di tasso annuale
¢ −
¡
´2 −1
³
1 + ∗0 2 2 0
∗
=¡
1 + e1 2
¢ −
1 + ∗0 1 1 0
da cui si esplicita
1 + e∗1 2
¢ 2 −0
¡
1 + ∗0 2 2 −1
=
¡
¢ 1 −0
1 + ∗0 1 2 −1
o anche, usando 2 − 0 = (2 − 1 ) + (1 − 0 )
1 + e∗1 2
(3.6)
1 −0
Ã
! 2 −1
¢ (2 −1 )+(1 −0 )
¡
∗
(2 −1 )
¡
¢
1
+
1 + ∗0 2
0 2
=
= 1 + ∗0 2 ·
∗
¡
¢ 1 −0
1
+
∗
0 1
(3.7)
1 + 0 1 2 −1
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio)
58
La stima effettuata in 0 del tasso che sarà vigente in (1 2 ), ossia e∗1 2 (denotato anche con 0 ∗1 2 oppure ∗ (0 ; 1 2 ) per mettere in evidenza il tempo
0 in cui si fa la stima) si chiama tasso forward, o tasso implicito 1 di proseguimento o, brevemente, tasso di proseguimento o tasso a termine. L’uso di
questi tassi annui relativi ad operazioni di diverse durate è indispensabile per
poter effettuare confronti fra operazioni finanziarie aventi scadenze diverse e
poste intermedie.
Esempio. Sia 1 il prezzo oggi, in 0 = 0, di un titolo scadente fra 90 giorni
dal valore nominale = 100. Sia 2 il prezzo di un titolo scadente fra 160
giorni sempre dal valore nominale pari a 100:
Calcoliamo i tassi spot ∗02 e ∗01 associati ai due titoli
¡
¡
1 + ∗01
1 + ∗02
¢ 90
365
¢ 160
365
100
=
;
1
1 + ∗01
100
=
;
1
1 + ∗02
=
=
µ
µ
100
1
100
2
¶ 365
90
¶ 365
160
Il tasso forward e∗1 2 = ∗ (0; 1 2 ) (che stimiamo oggi) vigente nell’intervallo
(1 2 ) si ottiene (in questo caso in cui si ha un medesimo valore nominale)
dalla relazione seguente, che fa intervenire il semplice rapporto dei prezzi:
⎡
⎤ 365
³ ´ 365
70
160
¡
¢
100 70
µ ¶ 365
∗
365
1
+
2
1 70
⎢
⎥
0
2
∗
=
=
1 + 1 2 = ⎣ ³
⎦
90
365
´
³ ´
2
365
100 70
1 + ∗01
1
Per il calcolo dei tassi forward si può procedere equivalentemente anche in
termini di sconto. Infatti dall’ipotesi di coerenza di mercato in termini di
rendimenti effettivi
(0 1 ) (1 2 ) = (0 2 )
passando ai reciproci si ottiene la relazione equivalente in termini di valori
attuali, ossia in termini dei prezzi a pronti:
(0 1 ) (1 2 ) = (0 2 )
1
Implicito all’ipotesi di coerenza del mercato.
(3.8)
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio)
59
Quindi supposto noto in 0 il prezzo (0 1 ) di 1 unità scadente in 1 , e noto
il prezzo (0 2 ) di 1 unità scadente in 2 , possiamo stimare, in 0 , quale sarà
al tempo 1 il prezzo di 1 unità scadente in 2 :
(1 2 ) =
(0 2 )
(0 1 )
(3.9)
Nel caso dei titoli di puro sconto si dirà che dati i prezzi a pronti, si possono
dedurre i prezzi a termine, e da questi i rispettivi tassi a pronti e tassi a
termine.
Si può osservare che l’investitore che deve scegliere al tempo 0 se investire
nel titolo scadente in 1 o nel titolo scadente in 2 effettua spesso diverse
considerazioni. Per esempio può basarsi su due diversi criteri:
• criterio del TIR: scegliendo fra i due titoli quello che ha tasso spot (o a
pronti) maggiore;
• criterio delle aspettative: al tempo 0 cerca di farsi un’idea di come
saranno i tassi nell’intervallo (1 2 ) e
1. se prevede che i tassi aumentino allora opta per il titolo a breve
scadenza (in quanto pensa che gli convenga usufruire del maggior
tasso futuro);
2. se prevede che i tassi diminuiscano allora opta per il titolo a lunga
scadenza (preferisce non rischiare e garantirsi un certo rendimento
per tutta la durata).
è chiaro che se l’ipotesi di coerenza del mercato fosse vera allora non vi sarebbe
differenza fra queste ultime due alternative, ossia effettuare l’operazione a
lunga scadenza oppure l’operazione a breve e un’operazione di reinvestimento
per il periodo residuo (roll-over o rolling over) porterebbe al medesimo risultato. Ma l’operatore si basa sul fatto che i tassi effettivi, ∗1 2 potranno essere
diversi da quelli attesi (forward), e∗1 2 . Potrebbero essere più alti di quanto
previsto (e quindi sarebbe incentivato nell’effettuare l’operazione a breve ed il
roll-over) ma potrebbero anche essere inferiori a quanto ci si aspettava (ed in
questi casi l’operazione a lunga scadenza sarebbe preferita). Si può pensare che
in questi casi la maggior/minore propensione al rischio influenzi le decisioni.
Esempio. Dati i seguenti titoli
3.1 Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio)
60
vediamo che i due criteri sopra riportati, il criterio del tasso implicito e quello
che si basa sulle aspettative dei tassi, portano a scelte diverse. I tassi spot
sono:
¶ 365
µ
100 90
∗
− 1 = 01081
01 =
975
¶ 365
µ
100 180
∗02 =
− 1 = 01259
9432
Quindi in base al criterio del TIR l’investitore sceglierebbe il titolo a lunga
scadenza.
Calcoliamo il tasso forward e∗1 2 :
180
¶ 365
µ
(11259) 90
975 90
∗
e
1 + 1 2 =
90 = 11439 =
9432
(11081) 90
otteniamo
e∗ = 01439 ∗01
1 2
quindi in base al secondo criterio l’investitore si aspetta che i tassi crescano
ed opta per il titolo a breve scadenza.
È chiaro che se l’ipotesi di coerenza del mercato è verificata, allora è indifferente scegliere l’uno o l’altro degli investimenti, essendo
180
1 = (11259) 365 = 10602
90
90
2 = (11081) 365 (11439) 365 = 10602
Al tempo 1 i tassi potrebbero essere diversi da quelli stimati. In particolare,
∗
se il tasso
³ in 1 fosse ´ (1 2 ) = 14 45% maggiore quindi del tasso forward
stimato e∗ = 1439% , l’operatore che ha effettuato la scelta di lungo periodo
si troverebbe svantaggiato, al contrario se il tasso fosse invece passato ad ∗ =
14 1% si troverebbe svantaggato l’operatore che ha effettuato la scelta di
breve periodo. É chiaro che il secondo criterio di scelta è associato a maggiori
rischi. Si può pensare che un operatore avverso al rischio si basi di più su un
criterio del tipo tasso implicito mentre un operatore propenso al rischio basi
le sue scelte sul criterio delle aspettative (nel caso in cui vi siano aspettative
di rendimenti maggiori).
3.2 Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward
61
3.2 Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward
Consideriamo il mercato dei titoli di puro sconto o a cedola nulla. Ipotizziamo che in ogni istante, che assumiamo come iniziale, i.e. = 0 (oggi), siano
disponibili sul mercato titoli con scadenze diverse e siano noti in = 0 i loro
prezzi. Le informazioni contenute nei prezzi vengono espresse in termini di
tassi d’interesse e quindi passiamo dai prezzi di tali titoli ai loro tassi spot
o tassi a pronti. Solitamente titoli in scadenza a epoche diverse presentano
tassi di rendimento diversi fra loro, ciò si può constatare ad esempio, riportando su un piano cartesiano l’insieme delle coppie ordinate [ ∗ (0 )] per
= 1 2 di scadenza e rendimento riferiti a ciascun titolo considerato.
Otteniamo cosı̀ una rappresentazione del tipo riportato in figura 6.1.
Si chiama struttura a termine o struttura per scadenza dei tassi d’interesse
la curva continua (curva dei tassi ∗0 ) che si ottiene interpolando i valori
osservati dei tassi spot ∗0 , = 1 2 .
FIGURA 3.1. Esempio di struttura per scadenza.
Si parla di struttura piatta dei tassi spot quando la curva dei tassi è una
retta orizzontale, ossia tutti i tassi spot sono uguali. In generale la curva dei
tassi spot può avere un andamento crescente, decrescente o oscillante (di tipo
humped).
Nota la struttura a termine odierna (0 = 0), possiamo determinare i tassi
forward, o tassi a termine, relativi ad intervalli di tempo ( ) futuri:
noti ∗0 ed ∗0 determiniamo il tasso e∗ ipotizzando valga l’ipotesi di coerenza del mercato, e lo deduciamo quindi dall’equazione:
´ −0 ³
´ − ¡
³
¢ −0
1 + e∗
1 + ∗0
= 1 + ∗0
3.2 Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward
62
ossia
1 + e∗
=
=
¡
1 + ∗0
¢ −0
−
³
´ −0
−
∗
1 + 0
¡
¢
1 + ∗0 ·
Ã
1 + ∗0
1 + ∗0
−0
! −
(3.10)
Si noti che per ogni coppia di tassi spot possiamo sempre predire il “trend” del
tasso forward, in quanto se i due tassi sono in crescita allora il tasso forward
è maggiore di entrambi, se viceversa sono decrescenti allora il tasso forward è
inferiore ad entrambi, ossia, vale il seguente
Teorema. Dati , e considerati i relativi tassi spot ed il tasso forward,
se ∗0 ∗0 alora ∗0 ∗0 e∗
se ∗0 ∗0 alora ∗0 ∗0 e∗
Infatti, se ∗0 ∗0 allora anche (1 + ∗0 ) (1 + ∗0 ) quindi il rapporto che
compare a fattore in (310) è maggiore di 1, e tale resta anche con la potenza,
quindi (1 + e∗ ) (prodotto dei due fattori) risulta maggiore del solo fattore
¢
¡
1 + ∗0 da cui il risultato Ragionando in modo analogo, se ∗0 ∗0 allora
anche (1 + ∗0 ) (1 + ∗0 ) quindi il rapporto che compare a fattore in (310)
è minore di 1, e tale resta anche con la potenza, quindi (1 + e∗ ) (prodotto
¡
¢
dei due fattori) risulta minore del solo fattore 1 + ∗0 da cui il risultato.
In particolare, se le scadenze sono periodiche (per esempio annue) posto =
(e quindi unitario l’intervallo tra la scadenza e +1 ) otteniamo che i tassi
forward, stimati in 0 = 0 relativi all’intervallo ( +1 ) sono dati da
1 + e∗+1
´+1
³
1 + ∗0+1
=
³
´
1 + ∗0
Ã
!
∗
1
+
¢
¡
0+1
= 1 + ∗0+1 ·
1 + ∗0
(3.11)
Quindi, se i tassi spot sono crescenti allora i tassi impliciti e∗+1 sono sempre
maggiori dei tassi spot, per ogni vale
´
¢ ¡
¢ ³
¡
1 + ∗0 1 + ∗0+1 1 + e∗+1
3.2 Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward
63
e ciò implica che la curva costruita con i tassi impliciti uniperiodali si trova
sempre al di sopra della curva dei tassi spot. Viceversa, se sono decrescenti
allora i tassi impliciti e∗+1 sono inferiori ad entrambi i tassi spot, e la curva
dei tassi impliciti sta sotto la curva dei tassi spot. Se la curva dei tassi spot è
prima crescente poi decrescente (o viceversa), allora la curva dei tassi impliciti
è pure di tipo humped, ed interseca la curva dei tassi spot.
FIGURA 3.2. Tassi a pronti e tassi forward (tassi crescenti).
FIGURA 3.3. Tassi a pronti e tassi forward (tassi decrescenti).
Un primo uso immediato della struttura per scadenza lo vediamo nel prezzamento di un titolo. Per esempio, dovendo valutare in = 0 il prezzo di un
titolo con cedole costanti con scadenze ai tempi :
3.2 Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward
64
FIGURA 3.4. Tassi a pronti e tassi forward (curva di tipo humped).
supponendo noti i tassi spot ∗0 , consideriamo il titolo con cedole come la
somma di titoli di puro sconto alle scadenze
la cui valutazione va effettuata ai tassi spot. Calcoliamo quindi il prezzo 0
del titolo con cedole come somma dei valori attuali delle poste del flusso in cui
ogni posta viene attualizzata con il relativo tasso spot:
0 =
+
¡
¢1 + ¡
¢2 + · · · + ¡
¢
∗
∗
1 + 01
1 + 02
1 + ∗0
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
2
1
Poichè il prezzo 0 è stato calcolato con tassi diversi nei vari periodi possiamo
anche determinare il TIR del flusso {−0 + } che si ottiene
risolvendo nell’incognita o nell’incognita = (1 + )−1 l’equazione
0 = 1 + 2 + + ( + )
3.3 Allungamento della struttura per scadenza ed “effetto cedola”
65
Possiamo anche fare oggi, in = 0 valutazioni del titolo con cedole ad un
tempo 0 ( ), facendo uso dei tassi forward ∗ per , ed attualizzando le poste successive a con i tassi forward stimati:
+
( ) = ³
´+1 − + ³
´+2 − + · · · + ³
´ −
1 + e∗ +1
1 + e∗ +2
1 + e∗
o
n
In generale, per stimare il prezzo di un flusso generico ( )=1 si
attualizzano le singole poste con i relativi tassi spot ∗0 :
0 =
1
2
+
+ ··· +
(1 + ∗01 )1
(1 + ∗02 )2
(1 + ∗0 )
il valore 0 viene anche denominato “valore attuale netto generalizzato”, VANG,
oppure “generalized net present value”, GNPV. Ovviamente si può stimare il
valore di un flusso ad una scadenza futura 0 utilizzando i tassi forward:
=
+1
∗
(1 + +1 )+1 −
+
+2
∗
(1 + +2 )+2 −
+ ··· +
(1
∗
+ ) −
3.3 Allungamento della struttura per scadenza ed “effetto
cedola”
Una diretta misurazione della struttura per scadenza non è sempre di facile realizzazione in quanto sui mercati considerati solitamente non vengono negoziati
titoli a cedola nulla che coprano un ampio spettro di scadenze. Ad esempio,
sul mercato italiano non esistono titoli a cedola nulla con vita a scadenza
(maturity) superiore ai due anni (i BOT hanno come scadenza massima 12
mesi, mentre i CTZ hanno una vita a scadenza pari a 2 anni). Al contrario
per i titoli con cedola, BTP, si hanno a disposizione un più ampio spettro di
scadenze con titoli che hanno vita a scadenza fino a 30 anni e, quindi, per
ottenere una struttura per scadenza più rappresentativa del mercato oggetto
di studio è possibile utilizzare le informazioni contenute nei prezzi dei titoli
con cedola.
Per stimare i tassi associati a scadenze più lunghe di quelle che si potrebbero
ottenere considerando solo i titoli di puro sconto, si utilizza una procedura
di tipo iterativo che fa uso di titoli con cedole, di cui si conoscono i prezzi di
mercato. Consideriamo un titolo dal valore nominale scadente all’epoca +1
con cedole ai tempi 1 2 per i quali si conoscono i tassi a pronti nella
struttura per scadenza, e sia dato il prezzo (0 ) del medesimo titolo al tempo
3.3 Allungamento della struttura per scadenza ed “effetto cedola”
66
0 Possiamo allora stimare il tasso relativo alla scadenza +1 utilizzando la
seguente relazione
(0 ) =
X
+
³
´ −0 +
∗
+1 −0
(1
+
0+1 )
=1 1 + ∗
0
(3.12)
nella (312) l’unica incognita è il tasso spot ∗0+1 che può essere agevolmente
determinato e permettere cosı̀ di stimare un tasso di rendimento relativo a una
scadenza superiore a Si procede, in modo iterativo utilizzando di volta in
volta titoli con cedole con vita a scadenza superiore a + per = 1 2
Osservazione sull’effetto cedola.
Risulta evidente che il tasso a pronti ∗0 per = 1 di un titolo di puro
sconto coincide con il suo tasso interno di rendimento, oTIR, mentre quando
calcoliamo il tasso a pronti per allungare la struttura, utilizzando obbligazioni
che pagano cedole, ad esempio ∗0+1 mediante la (312) otteniamo un valore
di ∗0+1 diverso dal tasso interno di rendimento di un’obbligazione con cedole
con vita a scadenza pari a +1 In particolare, nel caso di struttura per scadenza monotona (crescente o decrescente) è noto il cosiddetto effetto cedola.
Nella tavola 1 è riportato un esempio della relazione esistente fra la struttura
per scadenza dei tassi ed i corrispondenti tassi interni di rendimento (TIR).
La principale caratteristica è rappresentata dal fatto che la curva dei tassi
spot giace interamente al di sopra della curva rappresentata dai tassi interni
di rendimento, ad eccezione dei periodi per cui sono disponibili titoli a cedola
nulla per il calcolo del tasso spot e tasso di rendimento (per tali periodi il
tasso coincide). Nella tavola 1 ciò si verifica per il solo tasso a pronti a 6 mesi
che al momento della rilevazione era l’unico tasso calcolato sulla base di un
certificato del tesoro a 6 mesi.
Tavola 1. Confronto fra tassi a pronti e tassi interni di rendimento
Scadenza
TIR (annuo) Tassi a Pronti Effetto Cedola
(semestrale)
(0 )
∗ (0 )
punti base
1
0090
0090
0
2
0094
00941
1
3
0097
00972
2
4
0099
00993
3
5
0100
01004
4
6
01005
01009
4
7
01010
01014
4
8
01015
01020
5
9
01020
01031
11
10
01025
01037
12
11
01030
01042
12
3.3 Allungamento della struttura per scadenza ed “effetto cedola”
67
In generale per curve dei tassi a pronti crescenti l’effetto cedola è positivo ed
aumenta all’aumentare della vita a scadenza, al contrario nel caso di curve
dei tassi spot decrescenti l’effetto cedola è negativo. Mostriamo infatti che
assumendo la struttura dei tassi spot strettamente crescente (rispettivamente
strettamente decrescente), il TIR del titolo calcolato all’epoca , (0 ),
risulta minore (rispettivamente maggiore) del tasso a pronti ∗ (0 ).
Consideriamo il prezzo di un’obbligazione con vita a scadenza al tempo che
paga cedole annuali al tasso , di ammontare Il prezzo in 0 = 0 di un tale
titolo è dato da
(0 ) =
X
³
´ −0 +
∗ ) −0
(1
+
0
=1 1 + ∗
0
(3.13)
dove ∗0 è il tasso spot annuale per operazioni di durata (0 ) Noto il prezzo
(0 ) l’equazione che fornisce il tasso interno di rendimento è:
(0 ) =
X
−0 + (1 + ) −0
(1 + )
=1
(3.14)
sottraendo la (314) dalla (313) otteniamo
X
³
´ −0 +
∗ ) −0
(1
+
0
=1 1 + ∗
0
#
"
X
−
−0 + (1 + ) −0
(1
+
)
=1
⎡
⎤
X ⎢
1
1
⎥
=
⎣ ³
´ −0 −
−0 ⎦
(1
+
)
1 + ∗0
=1
"
#
1
1
−
+
(1 + ∗0 ) −0
(1 + ) −0
=
(3.15)
(3.16)
con = 0
Se la struttura per scadenza è strettamente monotona, per esempio crescente,
allora abbiamo che ∗01 ∗02 ∗0 Ipotizzando che il tasso interno di
¡
¢−( −0 )
rendimento che soddisfa la (314) sia ∗0 si avrebbe 1 + ∗0
−( −0 )
e per l’ipotesi sui tassi sarebbe, ∀ ,
(1 + )
¡
1 + ∗0
¢−( −0 )
− (1 + )−( −0 ) 0
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti
68
che porterebbe a 0 Un discorso analogo varrebbe anche ipotizzando di
avere un tasso interno di rendimento ∗01 Si avrebbe
¢−( −0 )
¡
1 + ∗0
(1 + )−( −0 )
∀
ed 0 contro l’ipotesi. Ne viene che il tasso interno deve soddisfare la
relazione ∗01 ≤ ≤ ∗0 , ma anche i casi estremi vanno esclusi. Infatti, se
¡
¢−( −0 )
fosse ad esempio ∗01 = si avrebbe per ogni 1 1 + ∗0
(1 + )−( −0 ) e quindi 0 (che non può essere). Allo stesso modo scegliendo
¡
¢−( −0 )
(1 + )−( −0 ) per ogni e
= ∗0 si avrebbe 1 + ∗0
quindi 0 (che non può essere). Abbiamo cosı̀ che il tasso interno che
soddisfa la (314) è tale da soddisfare anche la seguente disuguaglianza:
∗01 ∗0
(3.17)
Considerazioni analoghe vanno fatte nel caso di curva dei rendimenti strettamente decrescenti, ed in tal caso i tassi impliciti verranno maggiori dei tassi
spot. Infatti, se abbiamo ∗01 ∗02 ∗0 , ragionando come sopra si
prova che il tasso interno non può essere inferiore a ∗0 e neppure maggiore di
∗01 ed anche gli estremi vanno esclusi, quindi vale la seguente disuguagliana:
∗0 ∗01
da cui segue, in particolare, che se confrontiamo il tasso interno con l’ultimo
tasso spot ∗0 abbiamo sempre ∗0 . Da ciò si ha ora l’effetto cedola in
cui la curva dei TIR (0 ) risulta sopra a quella dei tassi spot ∗ (0 ).
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a
pronti
3.4.1 Interpolazione lineare
¡
¢
Una volta ottenuto nel piano cartesiano l’insieme delle coppie ordinate ∗0
per un determinato numero di scadenze, si utilizzano diversi metodi di interpolazione per ottenere una curva continua che fornisca la migliore approssimazione (best fit) dei tassi osservati sulla base di un criterio prescelto.
Vi sono metodi più o meno sofisticati per ottenere il grado di approssimazione
desiderato. Nel caso più semplice si assume l’interpolazione lineare, ossia i
dati relativi ai tassi spot calcolati vengono interpolati mediante una retta.
In questo caso, se vogliamo stimare oggi un tasso spot, ∗0 relativo ad una
scadenza in cui non si ha il dato disponibile sul tasso, si può ottenere una
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti
69
stima di ∗0 calcolando il valore corrispondente sul segmento di retta ottenuto
considerando i due dati più prossimi a per difetto e per eccesso. Sia per
esempio +1 e ∗0 , ∗0+1 i tassi spot noti. Per stimare ∗0 usiamo
la relazione
∗0+1 − ∗0
∗0 − ∗0
=
−
+1 −
(3.18)
da cui
∗0
=
∗0
+
µ
∗0+1 − ∗0
+1 −
¶
( − )
(3.19)
Si può notare che risulta ∗0 ∗0 (risp. ) se è ∗0+1 ∗0 (risp. )
Ovviamente si possono utilizzare tecniche di interpolazione più raffinate di
quella lineare.
3.4.2 Interpolazione non lineare
Un metodo più sofisticato della semplice interpolazione lineare è quello proposto dal Bradley e Crane nel 1973 che interpolano i dati osservati nel piano con
una curva del tipo
¢
¡
(3.20)
ln 1 + ∗0 = + 1 () + 2 (ln )
dove ∗0 è il tasso interno di rendimento di titoli di puro sconto con vita a
scadenza e 1 e 2 sono i parametri del modello che vengono stimati con
il metodo dei minimi quadrati. Questo modello si basa prevalentemente sulla
disponibilità di titoli di puro sconto con un ampio spettro di scadenze, cosa che
come evidenziato non accade spesso. Una variante da utilizzare in presenza di
titoli obbligazionari di vario tipo è stata proposta da Echols e Elliot (1976),
ed è basata sulla stima del seguente modello:
µ ¶
¢
¡
1
∗
+ 2 () + 3
(3.21)
ln 1 + 0 = + 1
dove ∗0 è il rendimento interno di una obbligazione che scade al tempo con
cedola di valore . Anche in questo caso la stima dei parametri 1 2 3 viene
effettuata con il metodo dei minimi quadrati.
Metodi più sofisticati di interpolazione dei tassi a pronti sono stati proposti
da McCulloch (1971, 1975), Carlton e Cooper (1976) ed Houglet (1989), e si
rimanda a tali lavori per una trattazione più esauriente dell’argomento 2 .
2
McCulloch J.H., 1975, The tax adjusted yield curve, in Journal of Finance, 30, 811-830.
Bierwag, G.O., 1987, Duration Analysis, Cambridge, Ballinger Publisher Co.
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti
70
Gli approcci brevemente descritti per stimare la struttura per scadenza esistente in uno specifico mercato si basano prevalentemente sulla disponibilità
di titoli a cedola nulla con un ampio spettro di scadenze e su dei metodi per
approssimare i tassi a pronti utilizzzando titoli obbligazionari con cedole.
In presenza di titoli obbligazionari di vario tipo, con cedole e non, negoziati su
uno stesso mercato si può utilizzare un metodo di misurazione più accurato.
Ipotizziamo di avere, al tempo titoli obbligazionari negoziati sul mercato
ognuno caratterizzato da uno scadenzario specifico = 1 Classifichiamo i vari titoli secondo le singole scadenze e definiamo l’insieme delle
scadenze con
= {1 2 }
Denotiamo con R il flusso dei pagamenti generati dal − titolo, per
ciascun titolo avremo quindi
= {1 2 }
∀ = 1
Siano dati i prezzi, = 1 2 degli titoli rilevati sul mercato al
tempo Ogni prezzo deve soddisfare la relazione
=
X
= 1 2
=1
sulla base di opportuni fattori di sconto o prezzi = (1+10 ) da determinare.
Dati gli titoli rilevati sul mercato e le scadenze, è possibile impostare un
problema di algebra lineare in equazioni, relative al prezzo di ciascuno degli
titoli, ed incognite (una per ogni scadenza). Il problema può essere
presentato in forma matriciale
=
(3.22)
dove:
è la matrice di dimensioni × composta dagli flussi di pagamento
previsti da ciascun titolo per le scadenze in cui assumiamo ≤ ed
il rango della matrice pari ad . Qualora il titolo − non presenti alcune delle scadenze previste dallo scadenzario prefissato vengono
aggiunte poste nulle sulle date mancanti.
è il vettore di dimensioni × 1 dei fattori di sconto.
è il vettore di dimensioni × 1 rappresentato dai prezzi rilevati dei vari
titoli al tempo
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti
71
Dati ed il problema è quello di determinare gli fattori di sconto che
soddisfano la (322) e si riconduce alla soluzione di un sistema di equazioni
lineari ed ammette un’unica soluzione solo nel caso in cui il numero dei titoli
osservati sia uguale al numero delle scadenze considerate = (essendo la
matrice a rango pieno). Se
il numero delle scadenze è maggiore di allora il sistema definito dalla
(322) non è univocamente determinato. In questo caso esistono ∞− strutture per scadenza diverse compatibili con il sistema di prezzi rilevato al tempo
( in quanto è sempre possibile scegliere arbitrariamente − fattori di
sconto, e determinare in modo unico i rimanenti )
Esempio. Al tempo = 0 sono negoziati sul mercato italiano i seguenti titoli
obbligazionari
1. Bot a 6 mesi negoziato al prezzo 0 = 9854;
2. BTP a 12 mesi che paga cedole semestrali ad un tasso annuale del 6% e
prezzo 0 = 9800;
3. BTP a 18 mesi che paga cedole semestrali ad un tasso annuale del 7.50%
e prezzo 0 = 9763
I flussi dei tre titoli sono quindi rappresentati da:
1 = {100 0 0}
2 = {3 103 0}
3 = {375 375 10375}
alle scadenze, in termini di anno:
= {05 1 15}
La matrice R è data da
⎡
⎤
100
0
0
⎦
103
0
=⎣ 3
375 375 10375
ed il sistema da risolvere è il seguente:
⎧
⎨ 1001 + 02 + 03 = 9854
3 + 1032 + 03 = 980
⎩ 1
3751 + 3752 + 103753 = 9763
3.4 Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti
72
il sistema ammette soluzione unica poichè per il teorma di Rouchè-Capelli il
rango di è uguale a 3 essendo il determinante || = 106· 825 6= 0 Applicando
la regola di Cramer troviamo la soluzione unica del sistema:
¯
¯
¯ 9854
¯
0
0
¯
¯
¯ 98
¯
103
0
¯
¯
¯ 9763 375 10375 ¯
= 09854
1 =
||
¯
¯
¯ 100 9854
¯
0
¯
¯
¯ 3
¯
98
0
¯
¯
¯ 375 9763 10375 ¯
2 =
= 09514
||
¯
¯
¯ 100
0
9854 ¯¯
¯
¯ 3
103
98 ¯¯
¯
¯ 375 375 9763 ¯
= 09410
3 =
||
da cui otteniamo i corrispondenti tassi periodali e tassi a pronti annuali (o
tassi spot):
005 =
01 =
015 =
1
− 1 = 00148 → (1 + 005 ) = (1 + ∗005 )05 → ∗005 = 00298
1
1
− 1 = 005108 = ∗01
2
1
− 1 = 006269 → (1 + 015 ) = (1 + ∗015 )15 → ∗015 = 00414
3
che evidenzia una struttura per scadenza di tipo humped. I corrispondenti
tassi impliciti periodali sono:
105108
− 1 = 00358
(1 + 005 )(1 + e051 ) = (1 + 01 ) → e051 =
10148
106269
(1 + 01 )(1 + e115 ) = (1 + 015 ) → e115 =
− 1 = 0011
105108
(10414)15
o anche = (1 + ∗015 )15 → e115 =
− 1 = 0011
105108
ed i tassi forward
´2
³
1 + e051 − 1 = 007288
´2
³
= 1 + e115 − 1 = 002212
∗051 =
∗115
3.5 Struttura dei rendimenti e dei prezzi a pronti
73
Molto spesso non è di facile realizzazione trovare sul mercato titoli obbligazionari con flussi di pagamento aventi scadenze in comune e quindi questo metodo si
presenta di difficile uso per la stima dei tassi a pronti. In questi casi si procede
introducendo un’approssimazione dei fattori di sconto ed in particolare del
vettore Si utilizzano tecniche di interpolazione per stimare una funzione di
sconto che soddisfi una serie di proprietà. In particolare, si assume che la
funzione di sconto abbia una specifica forma funzionale che denotiamo formalmente con
( )
dove è un vettore di parametri (1 ) da definire per individuare
la specifica funzione di sconto, che viene assunta non negativa ovunque. I
parametri del vettore vengono determinati risolvendo un problema di minimizzazione della somma dei quadrati degli scarti tra i prezzi teorici ed i prezzi
di mercato e il problema diventa, quindi,
min
∈
X
=1
[ () − ]2
dove è lo spazio su cui sono definiti i parametri Una volta definita la
funzione ( ) è possibile calcolare i prezzi teorici dei vari titoli in funzione
dei parametri
La scelta della forma funzionale per la funzione di sconto è arbitraria, alcune
fra le più comuni funzioni di sconto adottate sono le funzioni di tipo spline
cubiche (ottenute componendo più tratti di curve definite da polinomi di 3◦
grado raccordati fra loro con continuità). Per una trattazione più accurata si
rimanda ai lavori di McCulloch e Litzenberger 3 .
3.5 Struttura dei rendimenti e dei prezzi a pronti
Oltre alla curva dei tassi spot, possiamo costruire anche la curva dei rendimenti
(0 ) (rendimenti effettivi nell’intervallo (0 )) da cui si possono estrarre
le stesse informazioni della curva dei tassi.
Supposti noti al tempo 0 = 0 i prezzi di titoli (di puro sconto) scadenti in
dal valore nominale , allora da
(0 ) =
3
McCulloch J.H., 1990, US Term structure data 1946-1987. Handbook of Monetary
Economics, Vol. 1, 672-715, Amsterdam, North Holland.
Litzenberger R.H. e Rolfo J., 1984, An International study of tax effects on Government
Bonds, Journal of Finance 34, 1-22.
3.5 Struttura dei rendimenti e dei prezzi a pronti
74
ricaviamo
e conseguentemente la struttura dei rendimenti.
Anche la struttura dei rendimenti effettivi in intervalli di tempo futuri, ( )
è nota, dovendo valere, in assenza di arbitraggi
(0 ) =
(0 ) ( ) = (0 )
da cui
( ) =
(0 )
(0 )
(3.23)
Per esempio, volendo investire una certa somma oggi, diversificando il capitale
nell’acquisto di più titoli, potremmo stabilire di acquistare l’importo 1 del
titolo scadente in 1 2 nel titolo
P scadente in 2 · · · nel titolo scadente in
. Con un capitale di = =1 in 0 , ci assicuriamo cosı̀ la rendita
e possiamo stimare il tasso implicito (TIR), , di questa operazione finanziaria.
Potremmo anche impostare un problema di ottimo: determinare la quantità
FIGURA 3.5. Struttura per scadenza dei rendimenti (0 ) oppure dei prezzi a pronti
(0 )
da investire 1 (fissato il totale disponibile oggi) in modo tale da
massimizzare il TIR dell’operazione, oppure con qualche altro obiettivo, per
esempio in modo da minimizzare la duration, o la volatilità (elasticità, variabilità).
Anzichè ragionare sui rendimenti (0 ) potremmo equivalentemente ragionare
1
Supposti
sui prezzi a pronti (0 ) utilizzando la relazione (0 ) = (0
)
3.5 Struttura dei rendimenti e dei prezzi a pronti
75
noti in 0 = 0 i prezzi di titoli scadenti in dal valore nominale , dalla
relazione
= (0 )
otteniamo
(0 ) =
(3.24)
e la corrispondente struttura dei prezzi a pronti, secondo cui una unità scadente
in viene pagata oggi (0 ) ed è chiaro che anche la struttura dei prezzi
forward è implicitamente determinata dalla relazione:
(0 ) = (0 ) ( )
(3.25)
dove e
( ) =
(0 )
(0 )
(3.26)
Le informazioni contenute nella struttura dei prezzi a pronti sono immediatamente utilizzabili per stimare il valore oggi, o in tempo futuro, di un flusso
assegnato. Per esempio, per valutare il prezzo di un titolo con cedole rappresentato dal flusso ( + ) con scadenze in (1 2 ) otteniamo
0 = (0 1 ) + (0 2 ) + + ( + ) (0 )
(3.27)
oppure per stimare il prezzo ad una scadenza 0:
( ) = ( +1 ) + + ( + ) ( )
in cui intervengono i prezzi forward ( ) per k= + 1n
o
In generale, per stimare il prezzo di un flusso assegnato ( )=12
quando sono noti i prezzi a pronti (0 ) si ha direttamente
0 =
X
(0 )
=1
come si è detto a proposito dei tassi spot, il valore 0 viene anche denominato
“valore attuale netto generalizzato”, VANG, oppure “generalized net present
value”, GNPV (e tale valore è il medesimo sia che venga calcolato con i tassi
spot, sia che venga calcolato con i prezzi a pronti). Ovviamente si può anche
stimare il valore di un flusso ad una scadenza futura, 0 utilizzando i
prezzi forward:
X
( )
=
=+1
3.6 Valutazione dei titoli
76
3.6 Valutazione dei titoli
Come si è detto, la struttura per scadenza stabilisce la natura del mercato
oggi, e una volta calcolata essa viene a sua volta utilizzata, sia in termini di
tassi a pronti che di prezzi a pronti:
• per determinare oggi, in = 0 il valore di flussi aventi poste future,
usando i tassi spot (o equivalentemente i prezzi a pronti), oppure
• per stimare oggi il valore in un tempo futuro di un flusso avente
poste successive a usando i tassi forward (o equivalentemente i prezzi
forward).
o
n
In generale, dato il flusso ( )=12 e supposti noti i tassi spot
∗ (0 ) (se qualche dato manca viene stimato), o i prezzi a pronti, si calcola il valore in = 0 usando la struttura nota:
X
0 =
(1 + ∗ (0 ))−
=1
=
X
(0 )
(3.28)
=1
oppure il valore ad una scadenza 0 attualizzando a le poste successive
ed usando i tassi forward:
X
( ) =
(1 + ∗ ( ))−( − )
(3.29)
=
=+1
X
( )
(3.30)
=+1
Noto ci possiamo calcolare il TIR del flusso {−0 1 } ossia il tasso
1
o = 1+
che soddisfa
0 −
X
(1 + )−
0 −
e la duration
0 =
=
= 0
=1
P
X
= 0
=1
(1 + ∗ (0 ))−
0
P
=1
0
=1
3.7 Struttura per scadenza su base diversa dall’anno
77
oppure la duration piatta
0 =
P
=1
(1 + )−
0
e, quindi, effettuare delle stime sulla variazione del prezzo.
∆0
∆
0
'−
0
1+
Qualora la struttura dei tassi spot non fosse disponibile, noto il prezzo di
contrattazione 0 possiamo determinare il TIR di un flusso, per esempio di
un titolo con cedole {−0 + } o stimare la variabilità del prezzo
0 in corrispondenza a variazioni del tasso implicito. Il TIR, si determina
risolvendo l’equazione (in = (1 + )−1 ):
0 = 1 + 2 + + ( + )
(3.31)
Possiamo calcolare la duration piatta, al tasso costante:
1 1 + 2 2 + + ( + )
0
e si può stimare la variazione relativa di prezzo con
() =
∆0
∆
()
'−
0
1+
(3.32)
(3.33)
oppure l’elasticità del prezzo
0
=
∆0
0
∆
'−
()
1+
(3.34)
3.7 Struttura per scadenza su base diversa dall’anno
Anche se generalmente la struttura dei tassi a pronti si riferisce ai tassi spot
annui, è sempre possibile determinare una struttura dei tassi a pronti su una
diversa base periodale, calcolando ovviamente i tassi equivalenti a quelli annui.
Per esempio, lo scadenziario (con tassi annui)
− ()
05
1
15
2
25
3
tasso spot(%)
(∗ annuo)
857
90
941
983
1025
1046
3.7 Struttura per scadenza su base diversa dall’anno
78
è equivalente allo scadenziario (con tassi semestrali)
()
05
1
15
2
25
3
()
1
2
3
4
5
6
tasso spot (%)
( ∗2 semestrale)
42
44
46
48
5
51
legati dalla relazione
1 + ∗ = (1 + ∗2 )2
Esempio. Nella Tabella seguente sono rappresentate tre strutture per scadenza dei tassi di interesse a pronti e forward ∗ ( +1 ), relative ad un
ipotetico mercato strutturato su 20 semestri (l’esempio è tratto da [De Felice, Moriconi 1991]). I tassi, in forma percentuale, sono su base semestrale.
scadenza
05
10
15
20
25
3
35
4
45
5
55
6
65
7
75
8
85
9
95
10
Tassi (1 )
a pronti forward
420
440
460
460
500
480
540
500
580
510
560
515
545
520
555
525
565
530
575
533
563
536
569
539
575
542
581
545
587
548
593
551
599
555
623
558
612
561
618
Tassi (2 )
a pronti forward
572
562
552
552
531
542
512
532
492
526
496
520
484
514
472
508
460
502
448
498
458
495
462
492
456
489
450
486
444
483
438
480
432
478
444
476
440
474
436
Tassi (3 )
a pronti forward
460
460
470
480
480
500
485
500
495
535
498
513
496
484
491
456
487
455
484
457
481
451
478
445
475
439
473
447
471
443
469
439
468
452
467
450
466
448
465
446
3.7 Struttura per scadenza su base diversa dall’anno
79
Usando i tassi semestrali, volendo valutare un titolo con cedole annue, per
esempio:
si ha
=
10
110
10
2 +
4 +
(1044)
(1048)
(1051)6
Anche i tassi forward possono esprimersi su base semestrale e le formule sono le
stesse di quelle riportate nella (311) purchè ora si faccia riferimento ai periodi
(semestri) numerati con l’intero :
1 + e∗+1
´+1
³
1 + ∗0+1
=
³
´
1 + ∗0
!
Ã
1 + ∗0+1
¡
¢
∗
= 1 + 0+1 ·
1 + ∗0
Per esempio,
1 + e∗12 =
1 + e∗23 =
1 + e∗34 =
(1044)2
= 1046 ⇒ e∗12 = 46%
1042
(1046)3
= 105 ⇒ e∗23 = 5%
(1044)2
(1048)4
= 1054 ⇒ e∗34 = 54%
(1046)3
Quando oltre alla struttura per scadenza dei tassi è nota anche quella dei
prezzi, in = 0, per un flusso di importi alle scadenze , possiamo calcolare
il valore attuale e la duration in = 0 sia con le formule che utilizzano i tassi
a pronti ∗(0 ) che con le formule che utilizzano i prezzi a pronti (0 ).
3.8 Rendimento effettivo di un flusso finanziario
80
Esempio. In base alla struttura per scadenza definita dalla tabella seguente:
()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(0 )
09071
082696
075768
069768
064565
060050
056130
052729
049783
047237
(0 )
(%)
102411
99659
96913
94174
91442
88717
85999
83287
80582
77884
( − 1 )
(%)
102411
96913
91442
85999
80582
75193
69830
64494
59185
53903
a) si calcoli il prezzo di un titolo scadente fra 10 anni con cedole costanti al
tasso tecnico pari all’8%: si ha
(0) = 8
à 10
X
=1
!
+ 10010
= 8(649436) + 47237
= 9919188
b) si calcoli la duration, in = 0, del titolo scadente fra 5 anni con cedole
costanti al tasso tecnico del 12%: si ha
(0) = 12 (1 + 2 + 3 + 4 ) + 1125 = 11058
(0) =
12 (1 + 22 + 33 + 44 ) + 5 · 1125
= 4096
11058
3.8 Rendimento effettivo di un flusso finanziario
Possiamo fare alcune osservazioni sul rendimento effettivo di un flusso finanziario del tipo {( ) = 1 2 } Consideriamo un titolo con cedole
annue costanti (l’estensione ad un flusso generico è immediata) :
3.8 Rendimento effettivo di un flusso finanziario
81
Assegnata la struttura per scadenza, possiamo utilizzare i tassi a pronti ∗ =
∗0 , supposto che esistano, per valutare il prezzo del titolo in 0 = 0:
0 =
+
´
+³
´2 + · · · + ³
1 + ∗01
∗
∗
1
+
1 + 02
0
(3.35)
Possiamo quindi calcolare il TIR di questa operazione finanziaria che, come si è
detto, è semplicemente il tasso che rende equo il flusso {−0 · · · + },
soluzione dell’equazione
0 =
+
+
+··· +
2
1 + (1 + )
(1 + )
(3.36)
dove 0 è stato calcolato con la (335) Ma non è detto che sia il tasso
effettivo di rendimento dell’operazione finanziaria di investimento in quanto
questa operazione non è semplice, per la presenza delle cedole. Colui che investe
0 in = 0 quando incassa le cedole potrà reinvestirle. Per fare una valutazione
di quanto rende un investimento dobbiamo ricondurci alla struttura semplice:
investo 0 in = 0, incasso in = , e quindi posso valutare il tasso effettivo
di rendimento, ∗ :
(0 ) =
1 + (0 ) =
(1 + ∗ ) =
0
0
0
(3.37)
Ma chi è ? Per valutare il montante in = potremmo pensare che sia
una buona stima ed usare il TIR per calcolare il montante di 0 , ossia
0 = 0 (1 + )
in cui si è implicitamente assunto che le cedole () percepite al tempo
vengano tutte reinvestite al tasso . Infatti, il tasso soddisfa la (336) per cui
moltiplicando per (1 + ) da ambo le parti si ha:
0 (1 + ) = () (1 + )−1 + () (1 + )−2 + · · · + ( + )
3.8 Rendimento effettivo di un flusso finanziario
82
Ma per la cedole () è ragionevole supporre, dovendo fare una valutazione
oggi, ed ipotizzando vi sia coerenza nel mercato, che rendano in ragione del
tasso forward vigente per i vari periodi ( ) per cui possiamo stimare:
¡
¢−1
¢−2
¡
+ () 1 + ∗2
+ · · · + ( + )
= () 1 + ∗1
(3.38)
Se il prezzo 0 soddisfa la (335) allora fare questa ipotesi equivale ad assumere
che il TIR del flusso considerato sia il tasso spot ∗0 Mostriamo infatti che il
valore nella (338) è uguale a
¡
¢
0 1 + ∗0
dove 0 è il prezzo calcolato secondo la (335) Si ha infatti:
¡
¢
0 1 + ∗0
=
¢
¡
¢
() ¡
()
∗
³
´ 1 + ∗0 + ³
´2 1 + 0 +
1 + ∗01
1 + ∗02
¢
( + ) ¡
´ 1 + ∗0
··· + ³
1 + ∗0
¡
¡
¢−1
¢−2
= () 1 + ∗1
+ () 1 + ∗2
+ · · · + ( + )
=
(3.39)
Ma se 0 nella (335) ed nella (338) sono calcolati basandosi su diverse
strutture per scadenza (come avviene nei casi pratici) allora l’uguaglianza
nella (339) non è più verificata. In tal caso, noti il prezzo 0 ed il montante
stimato, il TIR ∗ del flusso {0 } si ottiene applicando la formula (337)
E’ chiaro che queste stime a priori della resa dell’investimento, sia ∗0 ∗
sono solo indicative, il “vero” risultato lo si avrà solo a consuntivo, quando gli
investimenti saranno stati realmente effettuati ed incassato il vero montante
. Si capisce cosı̀ perché i titoli con cedole non siano titoli esenti da rischi.
Esempio. Si consideri il seguente titolo:
0 =
112
12
+
= 986215
110 (113)2
3.9 Esercizi svolti
Il TIR si ottiene da
986215 =
posto =
1
1+
83
112
12
+
1 + (1 + )2
risolviamo l’equazione
112 2 + 12 − 986215 = 0
√
−6 + 36 + 112 · 986215
=
= 0886
112
da cui = 1 − 1 = 01282 = 1282%
Volendo valutare il montante in = 2 in base al tasso avremmo:
0 = 0 (1 + )2 = 12553
Calcolando invece il tasso di proseguimento ∗12 :
¢
¡
(1 10) 1 + ∗12 = (113)2
ricaviamo ∗12 = 16 08% ed in base a questo tasso stimiamo
= 12 (11608) + 112 = 12593 0
Da
(1 + ∗ )2 =
= 12769
0
ricaviamo ∗ = ∗02 = 13% ( ), come si poteva dedurre immediatamente
dall’ipotesi di coerenza del mercato, ossia
¡
¢2
=
0 1 + ∗02
986215 (1 + 013)2 = 12593
3.9 Esercizi svolti
Esercizio 1. Un’obbligazione dal valore nominale di C
= 1· 000 paga cedole
annue al 65%. Le probabilità di rimborso dell’obbligazione sono pari a 0.3 per
il primo, 0.3 per il secondo e 0.4 per il terzo (e ultimo) anno.
a) Determinare il prezzo atteso dell’obbligazione usando la seguente struttura
dei tassi spot: i(0;1)=0.055, i(0;2)= 0.065 , i(0;3)=0.07
b) Nell’ipotesi che l’obbligazione venga rimborsata al terzo anno si determini
3.9 Esercizi svolti
84
1. la duration di Macauley utilizzando la struttura dei tassi data;
2. la duration piatta nel caso in cui si abbia un tasso interno di rendimento pari a = 0068;
c) Si ipotizzi che il tasso d’interesse subisca una variazione del 10% in aumento, di quanto varia il prezzo dell’obbligazione?
Risoluzione.
a) Calcoliamo il prezzo dell’obbligazione nel caso venga rimborsata dopo un
anno:
1 = 1· 065 (1055)−1 = 1· 00947
dopo due anni:
2 = 1· 065 (1065)−2 + 65 (1055)−1 = 1· 00058
e dopo tre anni:
3 = 1· 065 (107)−3 + 65 (1065)−2 + 65 (1055)−1 = 98828
Per calcolare il prezzo atteso di tale obbligazione si deve tener conto
delle rispettive probabilità d’estrazione e calcolare il valore medio della
variabile casuale:
= 100947 · 03 + 100058 · 03 + 98828 · 04 = 99833
b) 1)La Duration di Macauley è pari a :
3 · 1· 065 (107)−3 + 2 · 65 (1065)−2 + 1 · 65 (1055)−1
98833
= 28137
=
= 2 anni, 9 mesi e 24 giorni
2) La Duration, ipotizzando una curva dei rendimenti piatta con =
0068 è:
3 · 1· 065 (1068)−3 + 2 · 65 (1068)−2 + 1 · 65 (1068)−1
1· 065 (1068)−3 + 65 (1068)−2 + 65 (1068)−1
= 28199 = 2 anni, 9 mesi e 25 giorni
=
3.9 Esercizi svolti
85
c) Calcoliamo la variazione del prezzo in corrispondenza di una variazione del
tasso pari al 10% ricorrendo alla duration modificata:
= −
1
= −264
1068
∆ = 01 · 0068 = 00068
∆
= · ∆ = −00179
Esercizio 2. Acquisto oggi spendendo =
C 95 un titolo dal valore nominale di
= 100 che prevede una cedola di C
C
= 11 fra un anno e un’altra di C
= 11 dopo 2
anni assieme ad un premio di rimborso pari a R:
1. Come dev’essere R affinchè io realizzi un rendimento del 15% annuo?
2. Se il titolo è rimborsato senza premio, a quale tasso annuo impiego i miei
soldi?
Risoluzione.
1. Il premio di rimborso pari a che garantisce un rendimento del 15%
annuo è determinato stabilendo la condizione di equità dell’operazione
finanziaria:
+ 111
11
+
→ = 1987
95 =
115
(115)2
2. Se il premio fosse nullo ed il valore di rimborso pari a 100 il rendimento
risulta essere quel tasso che rende equa l’operazione finanziraia:
95 =
pongo =
1
1+
111
11
+
1 + (1 + )2
e risolvo la seguente equazione nell’incognita :
11 + 111 2 − 95 = 0
√
−11 ± 112 + 4 · 111 · 95
=
2 · 111
−11 ± 205672
= 08769
= 1
=
2 0
222
In corrispondenza dell’unico valore accettabile, 1 abbiamo un tasso :
= 01404
3.9 Esercizi svolti
86
Esercizio 3. Un operatore acquista oggi un portafoglio di titoli di puro sconto
costituito da:
• titolo A: valore nominale =
C 1· 000 scadenza =2 mesi;
• titolo B: valore nominale =
C 1· 500, scadenza =4 mesi;
• titolo C: valore nominale C
= 2· 500 scadenza =6 mesi.
1. Determinarne il prezzo del portafoglio oggi in base alla seguente struttura
di tassi spot
∗ (0 2) = 6% ∗ (0 4) = 65% ∗ (0 6) = 56%
2. Allo scadere del terzo mese l’operatore necessita di liquidità e vende i
titoli ancora in portafoglio ad un tasso di valutazione dell’ 8% annuo.
Sapendo che il primo titolo incassato era stato investito con un contratto
forward ad un tasso fissato pari al tasso forward fra il secondo ed il quarto
mese, e (2 4) calcolare di quanto dispone alla fine del terzo mese.
3. Determinare il TIR dell’operazione complessiva di durata 3 mesi.
Risoluzione.
1. Il prezzo del portafoglio costituito al tempo = 0 è dato dalla somma
dei prezzi dei tre titoli inclusi nel portafoglio:
=
=
1· 500
2· 500
1· 000
+
+
³
´2
³
´4
³
´6
12
12
12
1 + ∗02
1 + ∗04
1 + ∗06
1· 000
(1 + 006)
= 4· 891985
2
12
+
1· 500
(1 + 0065)
4
12
+
2· 500
6
(1 + 0056) 12
2. Dopo tre mesi il valore del portafoglio si calcola scontando i due titoli
scadenti dopo 4 e 6 mesi al nuovo tasso = 007 e capitalizzando il titolo
∗ :
A, scaduto al secondo mese, al tasso forward f
24
⎡
⎤ 12
2
4
¡
¢
∗
12
1
+
⎢
⎥
04
∗ =
f
⎣³
24
´ 2 ⎦ − 1 = 007
12
∗
1 + 02
3.9 Esercizi svolti
87
Al terzo mese l’investitore riesce ad avere la somma
1
1· 500
2· 500
= 1· 000 (107) 12 +
1 +
3
(1 + 008) 12
(1 + 008) 12
= 4· 948429
3. Il TIR dell’operazione di durata tre mesi è dato dal tasso ∗ che risolve
la seguente equazione
3
0 (1 + ∗ ) 12
·
∗
=
3
12
4 891985 (1 + )
= 4· 948429
µ ·
¶
4 48429 4
∗
=
− 1 = 004696
4· 891985
Esercizio 4. Si acquista un portafoglio di titoli di puro sconto costituito dal
titolo di valore nominale C
= 3· 000 scadente fra 3 mesi, dal titolo di valore
·
nominale di C
= 4 000 scadente tra 5 mesi e dal titolo C di valore nominale 2
milioni scadente tra 6 mesi, come schematizzato nella seguente tabella:
Titolo A
Titolo B
Titolo C
3 mesi
3· 000
5 mesi
6 mesi
4· 000
2· 000
Oggi la struttura dei tassi è
∗ (0 3) = 008
∗ (3 5) = 010
∗ (5 6) = 015
1. Determinare il TIR dell’operazione nel caso in cui al tempo zero vengano
sostenute spese pari a =
C 25.
2. Determinare la disponibilità dell’operatore finanziario al tempo 4 sapendo
che l’incasso realtivo al titolo viene investito al tasso pari a ∗ (3 5) e
che i titoli non ancora scaduti vengono venduti con valutazione effettuata
al tasso ∗ (0 3)
Risoluzione.
Il prezzo del portafoglio al tempo zero è:
3
2
3
= 3· 000(108)− 12 + 4· 000(110)− 12 (108)− 12 +
1
2
3
+2· 000(115)− 12 (110)− 12 (108)− 12
= 8· 713378
3.9 Esercizi svolti
88
1. Il tasso interno di rendimento dell’operazione è il tasso ∗ che annulla la
funzione:
3
( ∗ ) = −8· 738378 − 25 + 3· 000(1 + ∗ )− 12 +
5
6
+4· 000(1 + ∗ )− 12 + 2· 000(1 + ∗ )− 12
= 0
Si determina un intervallo all’interno del quale si trova la soluzione cercata:
(0080) = 27202
(00809) = −0038
la soluzione di ( ∗ ) = 0 si trova nell’intervallo 008 ≤ ∗ ≤ 00809 e
con procedimento iterativo (metodo di bisezione) si ha ∗ = 0080857
2. Il valore al tempo 4 del portafoglio è:
1
1
2
4 = 3· 000(1 + 010) 12 + 4· 000(1 + 008)− 12 + 2· 000(1 + 008)− 12
= 8· 972861
Esercizio 5. Siano dati vari titoli di puro sconto caratterizzati dalle seguenti
scadenze temporali e prezzi a pronti:
titolo
t (trimestri)
(0 )
Bot1
1
0991
Bot2
2
0976
Bot3
3
0967
Bot4
4
0954
Bot5
5
0949
a) determinare i corrispondenti tassi spot;
b) determinare i tassi forward al terzo trimestre;
c) utilizzando la struttura per scadenza data, determinare il prezzo di un
titolo dal valore nominale di =
C 500 scadente fra un anno ed avente cedole
semestrali calcolate al tasso tecnico annuo, o tasso nominale convertibile
2 volte l’anno, (2) = 8%.
Risoluzione.
3.9 Esercizi svolti
89
a) Calcoliamo i tassi spot
¶
∙ µ
¶¸− 12
µ
3
12
3
3
∗
= 0
− 1 = 0991− 3 − 1 = 00347
0
12
12
µ
¶
∙ µ
¶¸− 12
6
12
6
6
∗
− 1 = 0976− 6 − 1 = 00506
0
= 0
12
12
¶
∙ µ
¶¸− 12
µ
9
12
9
9
∗
= 0
− 1 = 0967− 9 − 1 = 004561
0
12
12
∗ (0 1) = (0 1)−1 − 1
= 0954−1 − 1 = 004778
¶
∙ µ
¶¸ 12
µ
12
15 − 15
15
∗
= 0
0
− 1 = 0949− 15 − 1 = 004197
12
12
b) Al terzo trimestre i tassi forward sono
12
⎛¡
¡ 15 ¢¢ 15 ⎞ 6
¶
µ
12
1
+
0
9 15
12
⎠ − 1 = 00365
= ⎝¡
∗
¡ 9 ¢¢ 9
12 12
12
1 + 0
⎛
12
⎞ 12
3
¶
1
+
(0
1)
9
∗
⎠ − 1 = 00543
= ⎝¡
1
¡ 9 ¢¢ 9
12
12
1 + 0 12
12
⎛¡
¡ 15 ¢¢ 15 ⎞ 3
¶
µ
12
1 + 0 12
15
⎠ − 1 = 00191
∗ 1
= ⎝
12
1 + (0 1)
µ
c) Calcoliamo il prezzo del titolo, il tasso semestrale è 2 = (2)
2 = 004, le
cedole sono pari a = 500 · 2 = 20:
20
20
20 + 500
520
= ¡
=
+
¡ 6 ¢¢05 +
∗ (0 1))
05
∗
(1
+
1050646
10477787
1 + 0
12
= 51580
Il titolo è venduto sopra la pari visto che il tasso delle cedole è molto più
alto del tasso di mercato.
Esercizio 6. Siano dati i seguenti titoli di puro sconto
titolo
BOT1
BOT2
CTZ2
CTZ3
CTZ4
t(scadenza in mesi)
6
12
18
20
24
0
9856
9800
9754
9723
9650
3.9 Esercizi svolti
90
determinare la struttura per scadenza dei prezzi a pronti.
Sulla base della struttura per scadenza:
a) Determinare il prezzo di un BTP scadente fra 2 anni che paga cedole ad
un tasso (2) = 6% (nominale convertibile semestralmente).
b) Determinare i prezzi forward prevalenti al tempo 18 mesi.
Risoluzione.
I fattori di sconto (prezzi a pronti) risultano:
(0
9856
100
9800
100
9754
100
9723
100
9650
100
6
) =
12
(0 1) =
18
) =
12
20
(0 ) =
12
(0
(0 2) =
a) Il tasso semestrale è 1 =
2
(2)
2 ,
= 09856
= 09800
= 09754
= 09723
= 09650
la cedola semestrale è data da
· 1 =
2
006
(2)
= 100
=3
2
2
Il prezzo del BTP risulta:
= 3 · 09856 + 3 · 098 + 3 · 09754 + 103 · 0965 = 1082180
b) I prezzi forward prevalenti dopo
¶
µ
18 20
=
12 12
µ
¶
18 24
=
12 12
µ
¶
20 24
=
12 12
18 mesi risultano:
(0 20
09723
12 )
18 = 09754 = 09968
(0 12 )
(0 24
0965
12 )
18 = 09754 = 09893
(0 12 )
(0 24
0965
12 )
20 = 09723 = 09925
(0 12 )
Esercizio 7. Un titolo di puro sconto A dal valore nominale di C
= 10· 000
scadente tra 3 mesi viene pagato oggi =
C 9· 770 ed un titolo di puro sconto B
·
C 4· 750.
dal valore nominale di =
C 5 000 scadente fra 12 mesi viene pagato =
Determinare i tassi spot.
3.9 Esercizi svolti
91
1. Dati i titoli A e B quanti tassi forward posso determinare? Quali sono?
2. Volendo stipulare un contratto per un’operazione che scade fra 6 mesi
quale tasso applico?
Risoluzione.
I tassi spot risultano:
¶ 12
10· 000 3
− 1 = 00975
9· 770
¶
µ ·
5 000
∗
− 1 = 00526
(0 1) =
4· 750
3
(0 ) =
12
∗
µ
1. L’unico tasso forward che si può determinare è il tasso a 9 mesi che varrà
fra 3 mesi
⎡
⎤ 12
9
∗ (0 1)
1
+
3
∗
⎦ −1
( 1) = ⎣ ¡
¢3
12
1 + ∗ (0 3 ) 12
=
"
12
# 12
9
1 + 00526
3
(1 + 00975) 12
− 1 = 00380
2. In un contratto
¡ 6 ¢ per un’operazione che scade fra 6 mesi si può
¡ stimare
¢
3
∗
∗
ed
il tasso 0 12 con l’interpolazione lineare fra i tassi noti 0 12
∗ (0 1) :
3
1 − 12
00975 − 00526
¡ 6¢
=
6
∗ 0 12 − 00526
1 − 12
da cui
¶
µ
6
= 0082533
∗ 0
12
3
) per i primi tre mesi
In alternativa si potrebbe applicare il tasso ∗ (0 12
3
∗
ed il tasso ( 12 1) per la successiva frazione di anno, e quindi stimare
il tasso annuo in base alla condizione del tasso implicito:
¶3 µ
¶3
µ
12
12
3
∗
∗ 3
1 + ( 1)
(1 + (0 6)) = 1 + (0 )
12
12
1
2
da cui
(0 6) = 006733
3.9 Esercizi svolti
92
Esercizio 8. Si consideri un BTP con vita residua 18 mesi che paga cedole
semestrali al tasso nominale (2) = 75%
a) Utilizzando la struttura per scadenza dell’esercizio 6.5, e ipotizzando che
il tasso ∗ (0 18) = 00439 determinare il prezzo del BTP.
b) Calcolare la duration del BTP sia con la struttura per scadenza dell’esercizio
6.5 che con la struttura piatta al tasso = 45%.
Risoluzione.
a) Ciascuna cedola del BTP è pari a
titolo risulta
=
0075
2
· 100 = 375, per cui il prezzo del
10375
375
375
+
+
= 10451
1050605 10477 1043915
La Duration del BTP, utilizzando la struttura per scadenza dell’esercizio
6.5, è:
=
=
− 12
1
2 375 (10506)
+ 375 (1047)−1 +
10451
− 18
18
12
12 10375 (10439)
171835
= 1644
10451
b) La Duration del BTP ipotizzando una curva dei rendimenti piatta con
= 0045 è:
=
=
− 12
− 18
1
12
+ 375 (1045)−1 + 18
2 375 (1045)
12 10375 (1045)
− 12
−1
− 18
12
375 (1045) + 375 (1045)
172082
= 1649
104378
+ 10375 (1045)
4
Duration e immunizzazione
Dato un flusso finanziario costituito dalle poste positive alle scadenze ;
= 1
fissato un tasso di valutazione, nei capitoli precedenti abbiamo esaminato
i problemi della valutazione ed il calcolo della duration o durata media finanziaria, riferiti al tempo = 0:
(0) =
X
(1 + ∗ )−
(4.1)
=1
(0) =
P
(1 + ∗ )−
(0)
=1
(4.2)
e si è visto che la duration (0) (che si può pensare rappresenti un tempo)
è sempre un valore compreso fra 1 e (0) ∈ [1 ] ((0) è una media
ponderata delle scadenze con pesi che sommano ad 1, ossia è una combinazione
convessa delle scadenze ):
(0) =
X
=1
; con
X
= 1
=1
Le grandezze Valore del flusso e Duration sono definite, ed hanno significato
finanziario, per qualunque istante di valutazione. Si ha infatti, sempre supponendo il tasso di valutazione ∗ fissato e costante per tutto l’orizzonte temporale del flusso (per esempio nel caso di struttura piatta dei tassi, o utilizzando
il tasso implicito):
4. Duration e immunizzazione
() =
X
(1 + ∗ )(− )
94
(4.3)
=1
nella valutazione, le poste scadenti in hanno esponente positivo e,
quindi, vengono capitalizzate fino a , mentre le poste che hanno scadenza
in hanno esponente negativo e vengono scontate, o attualizzate, in .
Inoltre, considerando il tasso di valutazione ∗ fissato, si può osservare che è
sempre possibile ottenere () noto (0), essendo
(0) (1 + ∗ ) =
X
(1 + ∗ )− (1 + ∗ ) = ()
=1
Per la duration valutata in , come si è già definito, è
P
( − ) (1 + ∗ )−( −)
() = =1
()
(4.4)
Notiamo che più rigorosamente dovremmo scrivere ( ∗ ) e ( ∗ ) per mettere in evidenza che il tasso di valutazione è ∗ , fissato, ma lo riteniamo sottointeso. Osserviamo che mentre è nota la relazione fra () e (0) non è stata
messa in evidenza la relazione fra () e (0). Con alcuni passaggi algebrici
ricaviamo la seguente relazione:
() = (0) −
(4.5)
Infatti,
() =
=
=
P
∗ −( −)
=1 ( − ) (1 + )
P
∗ −( −)
=1 (1 + )
P
P
(1 + ∗ ) =1 (1 + ∗ )− − (1 + ∗ ) =1
(1 + ∗ ) (0)
(1 + ∗ )
P
£P
=1
(1 + ∗ )−
¤
(1 + ∗ )− − (0) (1 + ∗ )
(1 + ∗ ) (0)
(1 + ∗ )−
−
(0)
= (0) −
=
=1
Inoltre, il significato della duration () è analogo a quello di (0): fornisce
una stima della sensibilità del valore () rispetto a variazioni del tasso di
4. Duration e immunizzazione
95
valutazione ∗ . Infatti, come già si è visto per (0), calcolando la derivata
rispetto a del valore ( ) otteniamo:
( )
= −
1 X
( − ) (1 + )−( −)
(1 + )
=1
1
( ) ( )
= −
(1 + )
e, quindi, la variazione relativa è
0 ( )
( )
1
()
(duration in modificata).
(1 + )
1
( (0) − )
= −
(1 + )
= −
(4.6)
(4.7)
Analizzando il segno di 0 ( ) possiamo vedere che ∀ fissato, (0)
( ) è una funzione decrescente di (essendo 0 e ( ) 0 si ha
0 0) mentre per ogni fissato, (0), si ha ( ) 0 e quindi 0 0,
per cui ( ) è una funzione crescente di .
FIGURA 4.1. ( ) in funzione di per (0)
Inoltre, osservando che con un’ulteriore derivazione si ha:
00
( ) =
X
1
( − ) (1 + )−( −)
2
(1 + ) =1
X
1
+
( − )2 (1 + )−( −)
(1 + )2 =1
=
X
¢
¡
1
1
( − )2 (1 + )−( −)
− 0 ( ) +
(1 + )
(1 + )2 =1
4. Duration e immunizzazione
96
Si vede che, fissato ≤ (0), la funzione ( ) è, rispetto a , strettamente
decrescente e convessa ( 00 0 ∀), come illustrato in figura 7.1.
Dato che la valutazione in (), ha sensitività al tasso ∗ che dipende dalla
duration in , se c’è un tempo in cui ( ) = 0 allora quello è un tempo
particolare, la valutazione a quel tempo non può peggiorare, qualunque sia
la variazione del tasso, in aumento o in diminuzione.
FIGURA 4.2. Minimo per ( )
Infatti, al tempo in cui ( ∗ ) = 0 la funzione valore ( ), pensata
in funzione di , ha un minimo globale, in quanto ( ∗ ) = 0 = 0 ed
è
2
2
( ∗ ) = 00 ( ∗ ) 0, che sono condizioni sufficienti per la locale
stretta convessità, ed essendo ( ) ≶ 0 per ≶ ∗ ( ) è decrescente
per ∗ e crescente per ∗ Quindi ( ) ha un minimo globale in ∗
(figura 7.2).
Si ha, quindi,
( ∗ ) ≤ ( ∗ + ∆)
0
qualunque sia la variazione ∆ non solo locale ma globale.
Il tempo in cui questo succede è esattamente la duration (0) del flusso,
essendo
( ) = 0 ⇐⇒ = (0)
(4.8)
Quindi l’istante in cui la duration () si annulla è sempre unico (quando le
poste ed il tasso sono fissati), qualunque sia il flusso assegnato, in quanto è
unico lo zero di () = (0) − = 0, e questo tempo ∈ [1 ] è esattamente la duration (0). Per esempio, nel caso che il flusso assegnato sia un
portafoglio di titoli di puro sconto,
importi scadenti in (acquistati, per
Pdi
esempio, in = 0 al prezzo = =1 , ed avente un TIR ∗ , che possiamo
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
97
calcolare) allora il valore in = 0 del portafoglio è
(0) = =
X
(1 + ∗ )−
e possiamo
dire che il portafoglio è immunizzato al tempo = (0) (dove
(1+ ∗ )−
) in quanto il valore del portafoglio in , ( ), non
(0) =
può peggiorare per effetto di variazioni del tasso ∗ di valutazione.
Questa proprietà della duration può quindi essere sfruttata dagli operatori
per garantirsi investimenti aventi un portafoglio con questa caratteristica di
immunizzazione (ossia la cui valutazione sia al riparo da oscillazioni dei tassi
vigenti nel mercato).
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
Supponiamo che un operatore sappia, in = 0, di dover pagare in futuro, al
tempo , una certa somma di denaro, e desideri munirsi di un portafoglio
di titoli che gli consenta di disporre della somma in . È chiaro che se fosse
possibile acquistare solo titoli di puro sconto scadenti in non ci sarebbero
problemi. I titoli di puro sconto sono soggetti a cambiamenti di valutazione se
siamo interessati a venderli prima delle loro scadenze, ma se portati a termine
danno sicuramente un ammontare pari al loro valore nominale, qualunque sia
stato l’andamento dei tassi nel frattempo. Tuttavia questo tipo di investimento
è generalmente non attuabile, o perché non sono disponibili titoli scadenti in
o non sono sufficienti ad assicurare la somma voluta. Si decide quindi di
mettere in portafoglio anche altri titoli (di puro sconto con altre scadenze o
titoli con cedole fisse).
Si calcola, quindi, la quantità di denaro da investire in ciascuno di essi in modo
tale che la situazione del flusso risultante dia un valore in che sia pari a .
Ovviamente per i titoli che liberano denaro (a scadenza o cedole) prima del
tempo si suppone che gli importi resi disponibili vengano capitalizzati fino
a , mentre per i titoli ancora in portafoglio non scaduti si suppone che in
vengano venduti. Il tutto, per semplicità, ad un tasso fissato di valutazione, .
Se indichiamo con { } il flusso di cassa generato dal portafoglio risultante
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
98
dovremo imporre la condizione che
( ) =
ossia
X
(1 + )−( − ) =
(4.9)
Tuttavia, anche se questa condizione è verificata, l’acquisto di un tale portafoglio
non garantisce l’operatore (l’operazione non è esente da rischio), in quanto egli
sa che di fatto, il valore che il portafoglio gli consentirà di incassare al tempo
dipenderà dalle condizioni reali in base alle quali egli avrà investito le somme
liberatesi prima di e delle valutazioni che il mercato farà dei titoli ancora
in portafoglio. Se i tassi di queste operazioni non coincidono tutti con il tasso
utilizzato in (4.9), l’operatore si trova a disporre, al tempo , di una somma
diversa da . Tuttavia potremmo fare almeno in modo tale che il tempo sia
una scadenza particolare, ossia quella scadenza (unica) in cui il portafoglio è
immunizzato rispetto a variazioni del tasso. Che questo sia possibile (oltre che
per le proprietà della duration vista sopra) lo si intuisce anche dal seguente
ragionamento. Si potrebbe essere al riparo da oscillazioni nel caso in cui gli
effetti sul portafoglio di una variazione del tasso si compensano: se il tasso
cresce i titoli già incassati rendono di più anche se i titoli ancora in portafoglio
vengono svalutati, mentre se i tassi calano gli incassi rendono di meno, ma
sono rivalutati i titoli in portafoglio non ancora scaduti. Si può, quindi, essere
nel caso in cui:
( ) ≤ ( + ∆)
∀ ∆ ≶ 0
(4.10)
se e solo se il tempo è la duration (0), o, equivalentemente, se la duration
in è zero, o ancora, equivalentemente, se la derivata di ( ) rispetto a
è nulla.
Cioè, nell’ipotesi che sia ( ) = (ossia che valga la (4.9))
la (410) vale
⇐⇒ ( ) = 0
⇐⇒ (0) =
( ) = 0
⇐⇒
Quindi, un operatore ha garanzia che in potrà disporre almeno della somma
se il portafoglio è tale da soddisfare le due condizioni (4.9) e (4.10), dove
la condizione (4.10) può essere espressa in uno qualunque dei 3 modi indicati
sopra.
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
99
Ossia, come si usa dire, “un portafoglio è immunizzato nell’istante T corrispondente alla sua durata media finanziaria D(0)” ed un portafoglio immunizzato
garantisce all’operatore un esito in non peggiore del valore ( ) eventualmente preventivato (ossia assumendo che valga la (4.9)). Questo risultato in
ambito economico è anche noto come “Teorema di Fisher-Weil” e la sua estensione al caso di più uscite, che faremo nal prossimo paragrafo, è noto come
“Teorema di Redington”.
Esempio. Si consideri un investitore che in = 0 vuol garantirsi un pagamento
di importo 100 dopo 5 anni, supponendo che il tasso di mercato sia = 0075
e che siano disponibili in = 0 solo titoli di puro sconto scadenti in = 2 ( in
anni) e = 8
Indichiamo con 1 e 2 le quote di titoli da acquistare. Le due incognite le
determiniamo imponendo le due condizioni, al tasso = 0075 (tasso annuo):
½
(5) = 100
(5) = 0
½
1 (1075)3 + 2 (1075)−3 = 100
31 (1075)2 − 32 (1075)−4 = 0
Da cui segue, risolvendo il sistema algebrico lineare,
1 = 402478
2 = 621148
(La seconda condizione può essere sostitutita, equivalentemente, con la condizione (5) = 0, oppure con (0) = 5).
Si può notare che, come già mostrato, la funzione valore
(5 ) = 402478 (1 + )3 + 621148 (1 + )−3
è una funzione che ha un minimo globale nell’unico punto critico = 0075
Infatti
(5 ) = 0
si verifica solo per = 0075
0
0
ed è ( ) 0, per 0075 V ( ) 0 per 0075, quindi è l’unico
minimo globale.
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
100
Questo risultato è vero in generale, non solo quando si hanno due sole poste,
una a scadenza minore della duration ed una a scadenza maggiore. Infatti
qualunque sia il numero di titoli in portafoglio, l’equazione
( ) = 0
dopo aver semplificato e scomponendo in due sommatorie, una che include le
scadenze inferiori a e l’altra quelle superiori, si ha:
FIGURA 4.3. Grafico di e
FIGURA 4.4. Grafico della funzione valore ( )
X
( − ) (1 + )( − ) −
X
( − ) (1 + )−( − ) = 0
che è del tipo () − () = 0 con () funzione strettamente crescente e ()
funzione strettamente decrescente. Quindi () = () ha un’unica soluzione,
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
101
ossia le due funzioni () () si intersecano in un solo punto, che è minimo
globale della funzione valore ( )
Esempio. Vogliamo garantirci la disponibilità di 350 in = 25 (anni). Essendo disponibili titoli di puro sconto dal valore nominale pari a 100 in = 1
e 100 in = 4. Il tasso annuo di valutazione sia = 0125.
½
(25) = 35
0
(25) = 0
½
119321 + 08382 = 35
106061 − 074492 = 0
½
1 (1125)15 + 2 (1125)−15 = 35
151 (1125)05 − 152 (1125)−25 = 0
Si ottiene
1 = 1466
2 = 2088
Esempio. Si vuol disporre della quantità 150 in = 3 (anni) avendo già in
portafoglio un titolo di puro sconto dal valore nominale 40 scadente in = 15
e 50 in = 4, acquistando due altri titoli disponibili a scadenza = 05 e = 5;
= 01
4.1 Cenni sulle tecniche d’immunizzazione
½
(3) = 150
0
(3) = 0
½
(11)25 1 + (11)−2 2 = 58398
25 (11)15 1 − 2 (11)−3 2 + 21606 = 0
½
½
102
(110)25 1 + 40 (110)15 + 50 (110)−1 + (110)−2 2 = 150
25 (110)15 1 + 15 · 40 (110)05 − 1 · 50 (110)−2 − 2 · (110)−3 2 = 0
12691 + 082642 = 58398
288421 − 15022 = −21606
risolvendo il sistema abbiamo:
1 = 16284 2 = 4566
Come si è già osservato, questo risultato va comunque interpretato con cautela.
Quanto detto è vero solo se il tasso di mercato a cui si investono le poste
per e con cui si vendono i titoli scadenti in è lo stesso. Infatti,
se il portafoglio è immunizzato, allora il valore in sarà ≥ purchè i valori
vengano tutti calcolati (capitalizzazioni ed attualizzazioni) al medesimo tasso
. Ma è proprio questa la condizione molto forte, poichè quando il tasso di
mercato cambia, anche se si effettuano operazioni di disinvestimento e reinvestimento al momento più opportuno, sono alterate le condizioni di immunità
e non c’è più la garanzia del risultato.
Esempio. Consideriamo l’esempio visto sopra
al tasso ∗ = 0125 si è trovato 1 = 1466 2 = 2088
Ora supponiamo che il tasso aumenti e passi a = 0195. Se il cambiamento
avviene prima del ritiro di 1 in = 1 non fa differenza. Il nostro portafoglio
è immunizzato, quindi, se in = 25 il tasso è = 0195 otteniamo un valore
(25 0195) = 1 (1195)15 + 2 (1195)−15 = 3533 35
Mentre se il cambio di tasso avviene ad un tempo successivo al ritiro di 1 ,
che è stato reinvestito, per esempio in = 12 allora cambiano le condizioni.
Se anche ritiro
1 (1125)02 in = 12
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
103
e lo reinvesto al nuovo tasso, il valore in = 25 diviene
(25 0195) = 1 (1125)02 (1195)13 + 2 (1195)−15 = 34967 35
Per cautelarsi da questi inconvenienti si dovrebbe intervenire sulla composizione del portafoglio ogni volta che cambia il tasso (operazione di ricalibrazione). Nell’esempio, se a = 12 riconsideriamo il problema di immunizzazione, al nuovo tasso = 0195 e troviamo la nuova composizione
e1 al
tempo = 12 ed
e2 al tempo = 4,
la nuova soluzione ottima è data da:
e1 = 14873
e2 = 2122 Quindi, disponendo di 1 = 1466 in = 1 al tempo = 12 avremmo:
(1466) · (1125)02 = 15009
quantità maggiore di quanto occorre in base alla nuova stima di
e1 = 1487
Possiamo, quindi, vendere l’eccedenza (15009 − 1487) = 00136 che può essere investita nell’altro titolo il che fornisce in = 4 l’ammontare
(00136) · (1195)28 = 0022395
che sommiamo a quanto avevamo, ricavando
2088 + 0022395 = 2110395
ed è quasi la quantità ottima da investire,
e2 .
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
Se negli esempi di prima isoliamo il flusso delle poste del portafoglio dal
flusso del denaro che si intende realizzare a scadenza prefissata, ponendo
= { } flusso delle entrate e = { } flusso delle uscite
si vede che la condizione di portafoglio immunizzato si traduce nelle due
seguenti, fissato il tasso ∗ ,
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
104
1. i flussi ed hanno lo stesso valore (in = 0 e quindi ∀);
2. i flussi ed hanno la stessa duration (in = 0 e quindi ∀)
Queste condizioni le possiamo generalizzare anche al caso in cui le uscite da
realizzare siano diverse, ossia ci vogliamo garantire la disponibilità di importi
in per = 1 e quindi consideriamo = { } come flusso
delle uscite
È chiaro che potremmo assumere ogni singola necessità { } a se stante
e determinare portafogli (generalmente diversi) immunizzati alle scadenze
volute (e nel caso di una ricalibrazione si deve intervenire su tutti). Oppure,
assumendo che il tasso di immunizzazione sia lo stesso, possia-mo ragionare in
modo complessivo, con un unico flusso per le Entrate ed un unico flusso per le
Uscite.
Supponiamo che il tasso ∗ sia fissato, allora una condizione che assicura che
gli importi necessari saranno disponibili è che il valore attuale di sia uguale
al valore attuale di e possiamo scrivere la condizione per = 0 o per un
generico indifferentemente, per esempio:
∗
(0 ) =
(0 ∗ ) =
X
=1
X
(1 + ∗ )−
(4.11)
(1 + ∗ )−
(4.12)
=1
l’uguaglianza
FIGURA 4.5. e in funzione di
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
(0 ∗ ) = (0 ∗ )
105
(4.13)
garantisce che la cifra investita in = 0, valore attuale, genera, al tasso ∗ ,
le quote alle scadenze volute. Inoltre, come abbiamo fatto precedentemente, potremmo cercare di garantirci dalle variazioni del tasso. Se consideriamo la funzione Valore del flusso totale
= − = { } ∪ {− }
la condizione (4.13) equivale a
( ∗ ) = 0
(4.14)
Valore del flusso in = 0 (e quindi ∀) nullo.
Definiamo il flusso totale immunizzato se si verifica che
( ∗ + ∆) ≥ 0
∀∆
per cui
( ∗ + ∆) ≥ ( ∗ + ∆)
∀∆
cosı̀ che le quantità volute, alle scadenze desiderate, siano garantite.
FIGURA 4.6. Valore del Flusso in funzione di
Condizioni sufficienti affinchè il flusso che soddisfa la (414) (ossia la 4.13)
sia immunizzato (in ) sono:
( ∗ ) = 0
(4.15)
2
( ∗ ) 0
2
(4.16)
e
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
106
Le condizioni (4.15) e (4.16) sono sufficienti ad assicurare che ( ) abbia
un minimo locale in ∗ .
La condizione (4.15) diventa:
( ( ∗ ) − ( ∗ )) = 0
− = 0
1
possiamo scrivere, ricordando che 0 ( ) = − 1+
( )( )
−
1
1
= −
1+
1+
(4.17)
ed assumendo che sia valida la (4.13), = , si ottiene la condizione
( ∗ ) = ( ∗ )
(4.18)
quindi per un flusso totale che soddisfi ( ∗ ) = 0 la condizione 0 ( ∗ )
= 0 è soddisfatta se e solo se i due flussi ed hanno la stessa duration.
Se la (4.18) è soddisfatta per esempio a = 0, allora è soddisfatta ∀ essendo
( ∗ ) = (0 ∗ ) −
( ∗ ) = (0 ∗ ) −
la condizione (4.18) può quindi semplificarsi in
(0 ∗ ) = (0 ∗ )
(4.19)
Consideriamo, infine, la terza condizione, la (416) che va aggiunta alle (413)
e (415) (con la (415), che può ridursi alle (418) o (419)):
00 =
2
( ) 0
2
ricordando che risulta
00
= 00 − 00
"
#
X
¢
1 ¡ 0
1
2
−( −)
=
( − ) (1 + )
−
− ( ) +
(1 + )
(1 + )2
#
"
X
¢
1 ¡ 0
1
− ( ) +
( − )2 (1 + )−( −)
(1 + )
(1 + )2
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
107
nell’ipotesi che valgano le (413) e (415) si ha
00 =
X
X
1
2
−( −)
[
(
−
)
(1
+
)
−
( − )2 (1 + )−( −) ]
2
(1 + )
e la condizione (4.16) è soddisfatta se:
X
X
( − )2 (1 + )−( −)
( − )2 (1 + )−( −)
(4.20)
Inoltre, si può osservare che il segno di 00 non dipende da . Infatti, denotando i due membri della (420) con
X
X
(2)
(2)
( − )2 (1 + )−( −) =
( − )2 (1 + )−( −)
=
e calcolandone la derivata rispetto a abbiamo:
X
(2)
= −2
( − ) (1 + )−( −) +
X
+
( − )2 (1 + )−( −) ln(1 + )
(2)
= −2 ( ) ( ) + ln (1 + )
(2)
ed analogamente per , per cui la derivata rispetto a di 00 diventa:
∙ ³
´ ³
´¸
¡ 00 ¢
1
(2)
(2)
−
=
(1 + )2
´
i
h
³
1
(2)
(2)
= −2 + 2 + − ln (1 + )
(1 + )2
¡
¢
= 00 ln (1 + )
(in quanto −2 + 2 = 0) Si è cosı̀ trovato che la funzione 00 si
comporta, rispetto al tempo , come una funzione esponenziale ed ha quindi
sempre lo stesso segno.
La condizione (4.20) può essere riscritta per = 0 :
X
X
2 (1 + )−
2 (1 + )−
(4.21)
La condizione ora trovata, in (4.21), viene spesso riscritta utilizando la convexity del flusso o introducendo il momento del 2◦ ordine. Infatti si introduce,
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
108
oltre alla duration, o momento del 1◦ ordine (1) ( ) = ( ) anche il
momento del secondo ordine, definito come segue:
Dato un flusso { } con 0 definiamo momento del 2◦ ordine la quantità
P
−
2
(2)
=1 ( − ) (1 + )
( ) =
( )
(2)
(0 ) =
P
(1 + )−
(0 )
=1
2
(4.22)
che è una parte della convessità, o convexity, definita nel capitolo 4 (la convexity è data da C ( ) = ( ) + (2) ( )) cosı̀ la condizione (4.21) può
essere riscritta facendo intervenire i momenti del secondo ordine.
Essendo = si ha che la (4.21) è soddisfatta se e solo se
(2)
(2)
(0 ) (0 )
(4.23)
o anche, essendo (0 ) = (0 ) se e solo se
CE (0 ) CU (0 )
Riassumendo, si è provato che se un portafoglio è immunizzato in = 0 allora
lo è ∀. Condizioni sufficienti affinchè sia immunizzato sono:
1. (0 ) = 0 ⇐⇒ (0 ) = (0 ) ;
2. 0 (0 ) = 0 ⇐⇒ (0 ) = (0 ) ; (supposta vera la 1)
(2)
(2)
3. 00 (0 ) 0 ⇐⇒ (0 ) (0 ) (supposte vere le 1. e 2.)
oppure, scritte ad un generico tempo di valutazione:
1. ( ) = 0 ⇐⇒ ( ) = ( ) ;
2. 0 ( ) = 0 ⇐⇒ ( ) = ( ) ; (supposta vera la 1)
(2)
(2)
3. 00 ( ) 0 ⇐⇒ ( ) ( ) (supposte vere le 1. e 2.)
Infine, la condizione in 3. può anche essere riscritta in termini di :
(30 ) : 00 (0 ) 0 ⇐⇒ CE (0 ) CU (0 ) (supposte vere le 1. e 2.),
oppure ad un generico tempo di valutazione,
(300 ) : 00 ( ) 0 ⇐⇒ CE ( ) CU ( ) (supposte vere le 1. e 2.).
Nel caso che il flusso contenga 1 sola uscita ( ), le condizioni 1. e 2.
coincidono con quelle già viste:
4.2 Immunizzazione per un flusso con più uscite
109
1. (0 ) = (0 ) ⇐⇒ ( ) = ;
2. (0 ) = (0 ) ⇐⇒ (0 ) =
e la (3) è sempre soddisfatta. Infatti, dalla condizione scritta in (4.20) segue,
per = , dopo aver semplificato per il coefficiente positivo (1 + )
X
=1
( − )2 (1 + )− 0
(a)
o, equivalentemente, dalla (4.21)
X
2 (1 + )− 2 (1 + )−
(b)
=1
Anche se non immediatamente evidente, le due condizioni sono equivalenti:
X
=1
2
−
( − ) (1 + )
=
X
=1
=
X
=1
=
X
=1
=
X
=1
=
X
=1
2 (1 + )− + 2
X
|
() −2
{z }
(0 )
X
()
|
{z
}
(0) (0)
2 (1 + )− + 2 (0 ) − 2 (0) (0)
2 (1 + )− + 2 (0 ) − 2 2 (0)
2 (1 + )− − 2 (0 )
2 (1 + )− − 2 (1 + )−
quindi:
() è soddisfatta
⇐⇒ () è soddisfatta
Esempio. Portafoglio immunizzato con 2 uscite. Un’impresa deve determinare
le quantità 1 ed 2 da investire al tempo 1 = 05 e 4 = 25 in modo da
garantire al tasso = 01 una disponibilità di fondi pari a 500 in 2 = 1 e
3 = 2:
4.3 Metodi Empirici
Il sistema
diventa
½
½
110
(0 01) = (0 01)
(0 01) = (0 01)
(11)−05 1 + (11)−25 2 = 500 (11)−1 + 500 (11)−2
−051 (11)−05 − 252 (11)−25 = −500 (11)−1 − 1· 000 (11)−2
dove nella seconda equazione si è già semplificato per il fattore comune (11)−1
½
0953461 + 0787982 = 8677685
0476731 + 1969952 = 1· 2809916
otteniamo cosı̀ la soluzione
1 = 4658977
2 = 5375183
Al tempo = 1 ritiriamo da 1 l’importo 4658977 (11)05 = 4886373;
l’ammontare che manca a 500 è 113623 allora vendiamo un pò del titolo
2 in modo tale che sia
(11)−15 = 113623
da cui
= 1310856
del titolo 2 resta in portafoglio l’importo nominale
e2 = 5375183−1310856 =
5244097
In = 2 si ha
e2 (11)−05 = 500005
4.3 Metodi Empirici
Il criterio di immunizzazione che abbiamo visto si basa sulla conoscenza di
un tasso (di valutazione o di immunizzazione) ∗ che non è noto a priori.
In pratica, ciò di cui l’operatore dispone è la struttura a termine, i tassi a
pronti o i prezzi a pronti vigenti oggi sul mercato. Può quindi avvalersi di
queste informazioni ed usare un criterio empirico, ad esempio, imporre le due
condizioni:
1. uguaglianza dei valori;
2. uguaglianza delle duration;
4.3 Metodi Empirici
111
per i due flussi ed , usando, per le valutazioni, i valori della struttura
dei prezzi a pronti. Per esempio, siano (0 ) i valori noti della struttura
dei prezzi a pronti (allo stesso modo si possono usare i tassi a pronti con
ovvie modifiche). Se si vuol costituire il capitale in acquistando oggi un
portafoglio di titoli, che rappresentiamo in un flusso { }
sceglieremo le quantità da investire in ciascun titolo in modo tale da soddisfare le due equazioni:
⎧
⎨ (0) = (0)
⎩
(0) =
⎧ P
⎪
⎨ (0 ) = (0 )
⎪
⎩
(0 )
(0)
=
⎧ P
⎨ (0 ) = (0 )
⎩ P
(0 )
= (0 )
Avendo due soli gradi di libertà dovremo fissare le quantità di ( − 2) titoli e
ricavare di conseguenza le composizioni dei due titoli restanti. Oppure si può
decidere di investire tutto in due soli titoli e determinarne la composizione, si
può eventualemente risolvere un problema di ottimo: selezionare i due titoli da
usare per immunizzare il portafoglio, che abbiano minor costo (per l’operatore)
in = 0.
I titoli non sono necessariamente solo di puro sconto, possono essere anche
titoli con cedole.
Esempio. Riprendiamo il caso dell’esempio precedente, il problema di costituire = 350 in = 25 investendo in due titoli di puro sconto scadenti in
=1e=4
4.3 Metodi Empirici
112
Consideriamo la seguente struttura dei prezzi a pronti:
(0 1)
= 0893 → (0 1)
= 012
(0 25) = 07286 → (0 25) = 0135
(0 4)
= 06469 → (0 4)
= 0115
Scegliamo le quantità 1 ed 2 da investire risolvendo il sistema
½
1 (0 1) + 2 (0 4) = · (0 25)
(0 ) = 25
(
0893 · 1 + 06469 · 2 = 350 · (07286)
08931 +4(064699)2
= 25
350·(07286)
e si trova
1 = 14285
2 = 19714
Esempio. Supponiamo di dover costituire = 250 in = 25 avendo
la possibilità di investire in un titolo di puro sconto scadente tra un anno,
(100 1) ed un titolo obbligazionario con cedole semestrali e scadenza 3 anni
( = 6; = 100; = 3):
La struttura dei prezzi è
(0 05)
(0 1)
(0 15)
(0 2)
(0 25)
(0 3)
= 0945
= 0896
= 0854
= 0819
= 0765
= 0693
I valori attuali dei due titoli, indicando () = (0 ) sono:
0 () = 6 (05) + 6 (1) + 6 (15) + 6 (2) + 6 (25) + 106 (3) = 99137
0 () = 100 (1) = 896
4.4 Esercizi svolti
113
Determiniamo ora le quantità 1 ed 2 da investire nei due titoli (nel senso
indicato sotto con il valore del flusso) utilizzando le condizioni 1 e 2 dette
sopra (ossia uguaglianza delle funzioni valore e delle duration) Imponiamo
quindi le due condizioni:
1. uguaglianza fra il valore attuale del flusso delle entrate con quello delle
uscite;
2. uguaglianza fra la duration in = 0 del flusso delle entrate e quella delle
uscite (che corrisponde alla scadenza ):
⎧
1 0 () + 2 0 () = 250 (25)
⎪
⎨
⎪
⎩
1 [ 62 (05)+6(1)+6·15(15)+2·6(2)+25·6(25)+3·106(3)]+2 100(01)
1 0 ()+2 0 ()
= 25
Si ottiene il sistema
½
la cui soluzione è
991371 + 8962 = 19124
257591 +8962
= 25
19124
½
1 = 18109
2 = 01313
4.4 Esercizi svolti
Esercizio 1. Si vuole costituire la somma di C
= 1· 500 fra 10 mesi acquistando
tre titoli di puro sconto. Un titolo A dal valore nominale di =
C 600 scadente
fra un anno, un titolo B scadente fra 6 mesi ed un titolo C scadente fra 15
mesi. Determinare quanto investire in B e C in modo da avere un portafoglio
immunizzato al tasso del 4.5% annuo.
Risoluzione.
Affinchè il flusso sia immunizzato imponiamo le seguenti condizioni:
½
(10) = 1· 500
(10)
=0
(10) = 0 o
(
−2
4
5
(1045) 12 + 600 (1045) 12 + (1045)− 12 = 1· 500
8
14
17
− 12
4
2
5
− 12
600 (1045)− 12 − 12
(1045)− 12 = 0
12 (1045)
½
101478 + 098182 = 904386
03237 − 949943 − 03915 = 0
½
= 625549
= 27458
4.4 Esercizi svolti
114
Esercizio 2. Sono dati due titoli A e B che generano i seguenti flussi di cassa
Anni
Flusso (Fiat)
Flusso (Olivetti)
1
20
30
25
50
130
45
150
6
70
100
Si ipotizzi che il gestore di portafoglio della Banca debba garantirsi una disponibilità finanziaria al 4◦ anno di C
= 300
Determinare quanto deve investire nei due titoli al fine di garantire tale disponibilità finanziaria rispetto a variazioni del tasso di interesse assumendo un tasso
di valutazione = 65%
Risoluzione.
Posto = 0 () e = 0 () con
= 20 · 1065−1 + 50 · 1065−25 + 150 · 1065−45 + 70 · 1065−6 = 222453
= 30 · 1065−1 + 130 · 1065−25 + 100 · 1065−6 = 207765
affinchè il flusso finanziario sia immunizzato al tasso = 65% si devono considerare le condizioni
½
+ = 300 (1065)−4
(0) = 4
dove (0) è la duration di tutto il flusso delle entrate, costituito dai flussi A
e B. Posto
µ
¶
1 · 20 · 1065−1 + 25 · 50 · 1065−25
1
= 921839
=
−45 + 6 · 70 · 1065−6
+45
·
150
·
1065
µ
¶
−1
−25
1 · 30 · 1065 + 25 · 130 · 1065
= 207765
= 1
+6 · 100 · 1065−6
abbiamo che la duration di tutto il flusso delle entrate ha al numeratore la
quantità + ed al denominatore il valore totale del flusso,
che deve essere pari a 300 (1065)−4 ossia a 2331969 quindi abbiamo il sistema
½
222453 + 207765 = 2331969
921839+ 717027
=4
233197
da cui ricaviamo
= 08304
= 02332
Esercizio 3. Si vuole costituire la somma di =
C 5· 000 fra un anno acquistando
tre titoli di puro sconto. Un titolo A scadente fra 11 mesi, un titolo B scadente
4.4 Esercizi svolti
115
fra 18 mesi di valore nominale pari a =
C 100, ed includendovi un titolo C dal
valore nominale di C
= 2· 000 scadente fra 9 mesi. Determinare quanto investire
in A e B in modo da avere un portafoglio immunizzato al tasso del 6% annuo.
Risoluzione.
Calcoliamo il valore attuale delle entrate ed uscite
(0; 006) =
1001
(106)
11
12
+
1002
(106)
18
12
2· 000
+
9
(106) 12
(0; 006) = 5· 000 (106)−1 = 4· 71698
e la duration
(0; 006) =
11
12 947991
+
18
12 91632
+
9 ·
12 1 91448
(0; 006) = 1
Affinchè il flusso sia immunizzato devono essere soddisfatte le seguenti relazioni
½
=
=
(
947991 + 91632 + 1· 91448 = 4· 71698
11
9 ·
947991 + 18
91632 + 12
1 91448
12
12
=1
in cui si è tenuto conto, nella condizione sulla duration, che deve essere =
Si risolve quindi il sistema:
½
947991 + 91632 = 2· 8025
868991 + 1374552 + 1· 43586 = 4· 71698
½
947991 + 91632 = 2· 8025
868991 + 1374552 = 3· 28112
da cui si ottiene la soluzione
1 = 1668
2 = 1332
Esercizio 4. Si vuole costituire la somma di C
= 2· 500 fra 18 mesi acquistando
due titoli di puro sconto. Un titolo A dal valore nominale di C
= 800 scadente
fra un anno, un titolo B scadente fra 24 mesi dal valore nominale di =
C 1· 000.
Determinare quanto investire in B e C in modo da avere un portafoglio immunizzato al tasso del 5.5% annuo.
Risoluzione.
4.4 Esercizi svolti
116
Per costituire un portafoglio immunizzato, le quote · 800 e · 1· 000 da
investire nei due titoli devono verificare:
½
(0) = (0)
(0) = (0)
(
18
· 800 · 1055−1 + · 1· 000 · 1055−2 = 2· 500 · 1055− 12
1· ·800·1055−1 +2· ·1· 000·1055−2
= 18
18
12
2· 500·1055− 12
½
7582938 · + 8984524 · = 2· 3070729
7582938 · + 17969048 · = 3· 4606094
da cui si ottiene
= 15212
= 12839
Esercizio 5. L’azienda Y ha appena redatto il piano finanziario per il prossimo
triennio. Le uscite alla chiusura del bilancio di ogni anno sono collegate alle
vendite effettuate secondo lo schema seguente :
Anno
1
033 · 1
2
045 · 2
3
055 · 3
l’ufficio finanziario vuole mettere a punto un piano di gestione delle attività
che risulti immunizzato da spostamenti paralleli della curva dei rendimenti.
L’azienda ha già in portafoglio un titolo obbligazionario che scade dopo 18
mesi e che paga cedole semestrali ad un tasso nominale del 7.5% ed ha un
valore di rimborso pari a =
C 100. Oltre a tale titolo l’azienda può investire
nei seguenti due titoli:
Titolo
CTZ
BTP
scadenza
24 mesi
4 anni
cedola
Valore di rimborso
==
C 100
==
C 100
6.50%(semestrale)
Si ipotizzi che le vendite effettuate nel triennio siano
Anno
V
1
1· 000
2
1· 500
3
3· 000
e la curva dei rendimenti sia piatta con un tasso di mercato pari ad = 7%
Risoluzione.
Il tasso di mercato semestrale risulta
1
1
2 = (1 + ) 2 − 1 = (1 + 007) 2 − 1 = 00344
4.4 Esercizi svolti
117
Indicate con 1 ed 2 le quote investite rispettivamente nel CTZ e nel BTP, i
valori attuali delle entrate e delle uscite risultano:
h
i
18
= 375 · 3e00344 + 100 (107)− 12 + 1 100 (107)−2
h
i
+2 658e00344 + 100 (107)−4
= 1008674 + 8734391 + 12108202
= 330 (107)−1 + 675 (107)−2 + 1650 (107)−3
= 2244874
La duration delle entrate è
⎡
1
3
1
· 375 · (107)− 2 + 1 · 375 · (107)−1 + 32 · 375 · (107)− 2
2
⎢ 18
18
⎢ + · 100 · (107)− 12 + 1 2 · 100 (107)−2
⎢ 12 ⎡
⎤
− 12
−1
1
1 ⎢
·
65
·
(107)
+
1
·
65
·
(107)
+
⎢
=
⎢ 23
⎥
⎢
− 32
−2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ +2 ⎢ 2 · 65 · (107) 5 + 2 · 65 · (107) +
⎢ 5
⎥
⎢
−2
−3
·
65
·
(107)
+
3
·
65
·
(107)
+
⎣ 2
⎦
⎣
7
+ 72 · 65 · (107)− 2 + 4 · (65 + 100) · (107)−4
1
=
(1459232 + 17468771 + 40196592 )
la duration delle uscite:
i
1 h
330 (107)−1 + 2 · 675 (107)−2 + 3 · 1650 (107)−3
=
5· 528228
= 2463
=
2· 244874
Risolvendo il sistema
½
=
=
½
1008674 + 8734391 + 1210822 = 2· 244874
1459232+1746871 +4019662
= 2463
2· 244874
½
8734391 + 1210822 = 2· 1440066
00778161 + 0179062 = 2398
si ottengono i valori delle due incognite
1 = 15046
2 = 6853
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
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