Cinetica Chimica
¾ La Cinetica Chimica descrive l’andamento nel tempo della reazione
che partendo dai reagenti forma i prodotti
Reagenti → Prodotti
¾ Il rateo di reazione (r) è definito come la velocità di trasformazione di
ciascun componente per unità di volume
d [x ]
r=
⇒
dt
E.Giusti: Cinetica Batterica
R =V ×r
con
[x] = concentrazione
pag. 1
Ordine della cinetica
¾ E’ data dalla somma degli esponenti di reazione (determinati
sperimentalmente)
¾ Ordine zero: velocità di reazione costante, indipendente dalla
concentrazione
dA
del reagente
[A] → Prodotti
= − ko
dt
¾ Ordine uno: velocità di reazione proporzionale alla concentrazione
[A] → Prodotti
dA
= − ko A
dt
¾ Ordine due: velocità proporzionale al quadrato della concentrazione o al
prodotto di due concentrazioni
dA
2
2 [A] → Prodotti
[A] + [B] → Prodotti
E.Giusti: Cinetica Batterica
dt
= − ko A
dA dB
=
= − k o A⋅ B
dt
dt
pag. 2
Cinetica del primo ordine
1
0.9
C( t ) = e
0.8
− k ⋅t
La tangente alla curva per
t=0 intercetta l’asse dei
tempi per un valore pari a
1/k
0.7
0.6
C(t)
0.3679
−k
0.5
Al quell’istante, la
concentrazione si è ridotta
a 1/e della concentrazione
iniziale
0.4
0.3
0.2
1
k
0.1
0
0
1
E.Giusti: Cinetica Batterica
2
3
4
5
6
7
8
9
10
pag. 3
Cinetica Enzimatica
La trasformazione da reagenti a prodotti è mediata da un enzima che ha la
funzione di combinarsi temporaneamente con il reagente (substrato) formando
un complesso attivato instabile (ES*), che poi forma il prodotto finale (P).
Il meccanismo di attivazione dell'enzima (E) consiste spesso nel collocarsi in
una particolare posizione del substrato (in genere costituito da complesse
catene proteiche) in modo da catalizzare la trasformazione del substrato (S) in
Prodotto (P).
SUBSTRATO
COMPLESSO ATTIVATO
E + S → ES* → E + P
ENZIMA LIBERO
Riutilizzo dell’enzima
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 4
Cinetica di Michaelis-Menten
μ (S ) =
μ max
Ks + S
S
La cinetica dipende in modo
nonlineare dalla
concentrazione del substrato S
Inoltre essa dipende da due
parametri:
• µmax rappresenta la
massima velocità di
reazione
• Ks esprime la
dipendenza dall’enzima
E.Giusti: Cinetica Batterica
per alti valori del substrato
la cinetica approssima l’ordine zero
μ( S ) ( 1 / h )
μ max
0.5
K s = 5 mg/l
0.45
0.4
μ max
0.35
K s = 25 mg/l
K s = 50 mg/l
Ks
K s = 100 mg/l
0.3
1
μ max
2
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
05
per bassi valori del
substrato
la cinetica tende al
primo ordine con
velocità
25
50
S (mg/l)
100
150
Ks è detta costante di mezza velocità
perché quando S = Ks la velocità
di reazione è la metà del massimo
pag. 5
Cinetica a più substrati limitanti
¾ La cinetica può dipendere dalla disponibilità contemporanea
di più substrati
¾ Ciascuno dei substrati è detto limitante, perché la sua
concentrazione modula la cinetica
LEGGE DI LIEBIG:
Il substrato più scarso determina la velocità della cinetica
S1
S2
Sn
μ (S1 ,S2 ,...,Sn ) = μ max ×
×
×...×
K1 + S1 K2 + S2
Kn + Sn
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 6
Legge di Liebig
.
μ(S1 ,S2 ) = μmax
Limitazione del
primo substrato
S1
S2
⋅
Ks1 +S1 Ks2 +S2
Limitazione del
secondo substrato
0.35
0.3
Cinetica (1/h)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
50
40
50
30
Substrato 2 (mg/l)
Ks2 = 25 mg/ l
E.Giusti: Cinetica Batterica
40
30
20
20
10
10
0
0
Substrato 1 (mg/l)
Ks1 = 5 mg/ l
pag. 7
Effetto di un limitatore esterno
μ ( S1 , S 2 ) = μ max
In altri casi, si può avere un
elemento, diverso dal substrato,
che limita la cinetica
inversamente alla sua
concentrazione.
K s2
S1
⋅
K s1 + S1 K s2 + S 2
Rateo cinetico (1/h)
0.5
Non è propriamente un
inibitore, perché non blocca la
complessazione dell’enzima,
ma rallenta la cinetica con
legge iperbolica.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
60
S1
40
20
Substrato limitante (mg/l)
Ks1 = 1 5 mg/ l
E.Giusti: Cinetica Batterica
0
10
8
6
4
2
S2
0
La cinetica rimane monotona,
con µmax che varia con legge
iperbolica rispetto a questo
elemento
Limitatore esterno
Ks2 = 1 mg/l
pag. 8
Cinetica di Monod
¾ Negli anni ‘30 - ‘40 Monod iniziò a studiare la cinetica dei batteri
¾ Cercò di determinare un legame fra concentrazione di substrato limitante
e velocità di crescita
¾ Per i suoi esperimenti usò un batterio estremamente diffuso e conosciuto:
l’ Escherichia coli
¾ Come substrato usò Acido lattico
¾ Osservò sperimentalmente che la velocità di accrescimento seguiva un
andamento analogo a quello che Michaelis-Menten avevano trovato per
le reazioni enzimatiche
¾ Perciò concluse che l’accrescimento batterico avveniva
attraverso reazioni enzimatiche
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 9
Evoluzione di una popolazione batterica in un batch
Si insemina il batch con una quantità iniziale ¾ Si osservano quattro fasi:
di biomassa (inoculo) e si fornisce una
¾ Incubazione: la biomassa si deve
quantità iniziale di substrato.
acclimatare al nutriente presente e la
sua crescita è quasi nulla
Non si aggiunge altro durante l’esperimento
¾ Crescita esponenziale: una volta
Si osserva come variano le concentrazioni di
adattata al substrato, la biomassa
substrato e di biomassa
cresce con ritmo proporzionale alla
sua concentrazione
Substrato
¾ Stasi: la crescita raggiunge un
livello per il quale il substrato
rimasto non è sufficiente a sostenere
la crescita
Biomassa
¾ Decadimento: mancando il
substrato, nella biomassa prevale il
metabolismo endogeno, con
tempo
consumo di sostanza ossidabile
crescita
decadimento
incubazione
esponenziale
stasi
all’interno della biomassa, fino alla
sua estinzione
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 10
Cinetica di Monod
¾ Crescita batterica basata sulle seguenti ipotesi
¾
¾
¾
¾
L’enzima è proporzionale alla biomassa
La sintesi batterica è proporzionale al consumo di substrato
Si modella anche il metabolismo endogeno, proporzionale alla biomassa
Si introduce il fattore di resa Y = biomassa prodotta/substrato consumato
Dinamica del substrato
Dinamica della biomassa
dS
1 μ max S
=−
X
dt
Y Ks + S
μ max S
dX
=
X − bH X
dt
Ks + S
Enzima proporzionale alla biomassa
μ max X
Decadimento proporzionale alla biomassa
−bH X
Fattore di resa (Yield factor)
E.Giusti: Cinetica Batterica
Y=
ΔX sintetizzata
ΔS utilizzato
pag. 11
Varianti metaboliche
Growth-decay: Il
metabolismo endogeno
produce solamente massa
inerte Xi, che però il
modello non descrive
(approccio classico e
ASM1)
Death-regeneration: Il
metabolismo endogeno produce
in parte (fP) massa inerte Xi ed
in parte (1-fP) nuovo substrato in
conseguenza della lisi cellulare.
Il modello genera la parte nonbiodegradabile del substrato SI
(approccio ASM3)
E.Giusti: Cinetica Batterica
XH
growth
bH X H
XI
decay
SS
Substrato esterno
f P bH X H
Frazione mineralizzata della
biomassa decaduta
XH
XI
death
SS
regeneration
hydrolysis
XS
(1 − f P )bH X H
Frazione biodegradabile della
biomassa decaduta
Substrato esterno
pag. 12
Modelli di metabolismo endogeno
¾ Modello Growth-decay (classico): La biomassa decade producendo solamente
sostanze inerti (mineralizzazione)
Ss
dS s
1
XH
= − μ max
dt
Y
K s + Ss
Ss
dX H
X H − bH X H
= μ max
dt
K s + Ss
¾ Modello Death- regeneration (ASM3): Il decadimento della biomassa produce
nuovo substrato per la parte non mineralizzata (1 − f P )
Ss
dS s
1
X H + (1 − f P )bH X H
= − μ max
dt
Y
K s + Ss
Ss
dX H
X H − bH X H
= μ max
dt
K s + Ss
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 13
L’approccio ASM3 tiene conto della mineralizzazione
20
Substrato
18
14
mgCOD L-1
Si ha la scomparsa totale del substrato.
Ciò significa che esso è supposto
completamente biodegradabile e non viene
prodotto alcun residuo mineralizzato
(non biodegradabile)
Modello classico
Growth - decay
16
12
10
Biomassa
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
20
30
35
40
45
50
Substrato
18
Modello ASM3
Death - regeneration
16
14
mgCOD L-1
25
tempo
12
10
dS s
Ss
1
X H + (1 − f P )bH X H → 0
= − μ max
dt
Y
K s + Ss
Biomassa
8
6
4
S I = 0.4616
2
0
0
5
10
15
E.Giusti: Cinetica Batterica
20
25
tempo
30
Solamente la frazione (1 - fP) di substrato viene
metabolizzata, mentre la rimanente parte si converte
in substrato NON biodegradabile (mineralizzazione).
Il suo valore (SI) si ricava azzerando la derivata del
substrato.
35
40
45
50
SI =
K s (1 − f P )bH
μ max
Y
− (1 − f P )bH
pag. 14
Passaggio da sintesi a endogeno
S* =
SI
K s bH
μ max − bH
S
Evoluzione nel tempo
8
X = X max
Evoluzione nel
piano di fase S, X
7
X = X max
X
-1
Biomassa (mg COD L)
6
5
S = S*
S = SI
4
3
2
S o( 1 ) = 5
1
Biomassa
iniziale Xo
0
0
2
E.Giusti: Cinetica Batterica
4
S o( 2 ) = 10
6
8
10
12
-1
Substrato (mg COD L)
S o( 3 ) = 15
14
16
S o( 4 ) = 20
18
20
Il massimo valore
raggiunto dalla biomassa
Xmax dipende dalle
condizioni iniziali.
In ogni caso esso
corrisponde al valore di
substrato S*.
Tutte le traiettorie hanno
SI per valore asintitotico
pag. 15
Cinetiche più utilizzate nei modelli
Cinetica di Monod
rM = μmax
Assimilazione diretta di substrato solubile e
trasformazione in biomassa
Ss
rM
XH
Cinetica endogena
Perdita di biomassa e trasformazione parziale (1-fp) in nuovo
substrato per lisi cellulare. La rimanente quota fp viene
mineralizzata
(1 − f p )
XH
fp
X s ,Ss
Trasformazione di materiale organico particolato in
solubile, ad opera di batteri eterotrofi
Xs
E.Giusti: Cinetica Batterica
Ss
re = −bH X H
death
re = 1 − f p bH X H
regeneration
(
)
XI
Cinetica di idrolisi
rh
Ss
XH
K s + Ss
X s /X H
rh = k h
XH
K X + X s /X H
Il rateo dipende dal rapporto
fra particolato (Xs) e biomassa (XH)
pag. 16
Modelli cinetici complessi
¾ La biomassa eterotrofa può svolgere molti processi contemporaneamente ed
operare su substrati con diverse caratteristiche di degradabilità.
¾ La catena di processi più completa è contenuta nei modelli ASM
¾ Idrolisi del substrato particolato
¾ Fermentazione con produzione di acetato
¾ Crescita aerobica su substrato fermentabile
¾ Crescita aerobica su substrato fermentato (acetato)
¾ Denitrificazione su substrato fermentabile
¾ Denitrificazione su substrato fermentato (acetato)
¾ Lisi cellulare (decadimento)
¾ Ogni rateo cinetico è del tipo Monod a substrato multiplo, eventualmente con
termini modulanti (limitatore esterno)
r = μ max
S
Ko
×
× ....... × X
biomassa
K s + S K o + So
substrato
lim i tan te
E.Giusti: Cinetica Batterica
lim itatore
esterno
pag. 17
Rappresentazione matriciale: eq. di rateo
¾ I fattori che compongono il modello sono:
¾
¾
¾
¾
Componenti del processo i
Processi di trasformazione j
Coefficienti stechiometrici (equivalenze in peso) νji
Cinetiche (strutturazione delle reazioni chimiche) ρj
¾ Il rateo di produzione della componente i, ri, si ottiene come somma di tutti i
processi paralleli ρj che comprendono la variabile i, attraverso i coefficienti
stechiometrici νji
ri = ∑ v ji ρ j
j
¾ Dei vari coefficienti stechiometrici νji uno può essere posto adimensionalmente
pari a ± 1, mentre per tutti gli altri devono essere definite delle equazioni
algebriche che tengono conto della conservazione della massa
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 18
Rappresentazione matriciale: eq. di continuità
¾ Rendono conto del principio che nelle reazioni chimiche gli elementi, elettroni
(o COD) e cariche elettriche non vengono né formate né distrutte, ma solo
trasformate
¾ La stechiometria del modello è basata su tre principi di continuità per
¾
¾
¾
¾
COD
cariche elettriche
Azoto
Fosforo
¾ L’equazione generica di continuità, valida per tutti i processi j e per tutte i
materiali c soggetti a continuità è
0 = ∑ vij ici
∀i
j
¾ I fattori ici convertono le unità del componente i nelle unità del materiale c, al
quale deve essere applicata l’eq. di continuità.
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 19
Rappresentazione matriciale
Componente
Processo
Cinetica
S1
S2
r1
v11
v12
ρ1
r2
v21
v22
ρ2
ri = ∑ vij ρ j
j
E.Giusti: Cinetica Batterica
dS1
= r1 = v11 ρ 1 + v21 ρ 2
dt
dS 2
= r2 = v12 ρ 1 + v22 ρ 2
dt
pag. 20
Rappresentazione matriciale
Assimilazione di un substrato biodegradabile da parte di biomassa eterotrofa
(senza metabolismo endogeno)
Ss
substrato
XH
Processo
Crescita
eterotrofa
Substrato (SS)
−
Biomassa (XH)
1
YH
dS S
SS
1
=−
μ max
XH
dt
YH
K s + SS
SS
dX H
= μ max
XH
dt
K s + SS
E.Giusti: Cinetica Batterica
biomassa
1
Cinetica
μ max
SS
XH
K s + SS
La dinamica di ciascun
componente si ottiene
moltiplicando la
cinetica per il
corrispondente fattore
1
di resa
o 1
YH
pag. 21
Rappresentazione matriciale (2)
Assimilazione di un substrato biodegradabile da parte di biomassa eterotrofa
(con metabolismo endogeno)
Ss
substrato
XH
Processo
Crescita
eterotrofa
Metabolismo
endogeno
Substrato (SS)
−
1
YH
0
(1 − f P )
biomassa
Biomassa (XH)
1
−1
Cinetica
μ max
SS
XH
K s + SS
bH X H
dS S
SS
1
=−
X H + (1 − f P )bH X H
μ max
dt
YH
K s + SS
SS
dX H
= μ max
X H − bH X H
dt
K s + SS
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 22
Rappresentazione matriciale del modello ASM1
j↓ i→
Biomassa
XB
Growth
1
Decay
−1
ri =
Ratei
Unità
Substrato
SS
1
−
Y
mgCOD/L
Ossigeno
So
1−Y
−
Y
Processi
ρ
Ss
ˆμ
XB
K s + Ss
−1
bH X B
∑j vij ⋅ ρ j
mgCOD/L
mgCOD/L
Ss
dS s
1
= − μˆ
XB
dt
Y K s + Ss
Ss
dX B
X B − bH X B
= μˆ
dt
K s + Ss
dS o
Ss
1−Y
μˆ
X B − bH X B
=−
dt
Y
K s + Ss
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 23
Bibliografia
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1986.
Marsili-Libelli, S. “Modelling, Identification and Control of the Activated Sludge
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Walas, S.M. Modelling with Differential Equations in Chemical Engineering,
Butterworth, 1991.
Orhon D., Artan N., Modelling of Activated Sludge Systems, Technomic Publ. Co.,
1994.
E.Giusti: Cinetica Batterica
pag. 24