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Considerazioni relative alla flessione del supporto
dei magneti a causa del campo magnetico.
A. Zucchini
(1($±&5(]LR&OHPHQWHO9LD0DUWLULGL0RQWH6ROH±%RORJQD,WDO\
La geometria del problema è schematicamente descritta in Fig.1: i magneti, inseriti in due travi
O
U
Fig. 1
affiancate, generano una forza di attrazione per unità di superficie [1] pari a
)
S
.2
(1)
2
O
dove ) 1. O P. Si ricava :
p=133800 Pa
Fig. 2
Nel caso di trave appoggiata agli estremi le formule classiche della teoria delle travi forniscono la
freccia della deformata :
5 S O4
G
(2)
384 (dove, se b0 è la larghezza dei magneti, pl è la forza per unità di lunghezza :
S
SE0
(3)
Per una trave a sezione rettangolare come quella considerata si ha inoltre .
EU 3
(4)
12
dove b è la larghezza della trave.
Combinando le relazioni precedenti si ha :
60 ). 2 E0 O 4
G
(5)
384 (O2 EU 3
Consideriamo il caso con O PE E P U P.
La forza lineare risulta :
pl=6690 Pa·m
e il carico totale su ogni trave è :
Pt=pll= 14718 N = 1502 Kgp
(6)
Se supponiamo la trave di acciaio, con un modulo di Young ( *3D e una densità U NJP , otteniamo infine :
G=157 Pm
(7)
Questo valore è ben superiore al valore limite che è indicato in [1] attorno a 5 Pm.
Risultati decisamente migliori si possono ottenere con la trave di Fig.3, appoggiata in due punti
intermedi e libera alle estremità.
c
a/2
c
Fig. 3
Le teoria delle travi [2] fornisce lo spostamento alle estremità :
G
SE0 OF
(3F 3 D 3 6F 2 D)
24 (-O
SE0 F
(3F 3 D 3 6F 2 D)
3
2 (EU
(8)
Consideriamo il caso con O PE P ( *3DD P
Possiamo allora calcolare lo spostamento agli estremi in funzione delle dimensioni della sezione,
cioè della rigidezza flessionale della trave, per esempio:
b=0.05m , r=0.25m
b=0.10m , r=0.25m
b=0.05m , r=0.30m
G= 4.8 Pm
G= 2.4 Pm
G= 2.8 Pm
(9)
Questi valori sono lo spostamento alle estremità libere. La massa delle travi (M=Ulbr) è,
rispettivamente, di 220 kg, 440 kg e 264 kg.
Si noti però che la (2) e la (8) assumono che i vincoli siano applicati all'asse della trave, cosa non
vera nel nostro caso dove sono eccentrici. Inoltre la validità delle formule citate è ristretta alla teoria
delle travi di St. Venant ed in particolare alle travi Eulero-Bernoulli, in cui si trascura la
deformazione dovuta al taglio. In linea di massima ciò è vero se le dimensioni della sezione sono
inferiori ~1/15 della distanza fra gli appoggi.
Per verifica dei risultati precedenti sono state eseguite analisi FEM con differenti modelli.
L'impiego di elementi finiti "beam" (monodimensionali) di Eulero-Bernoulli, nelle stesse condizioni
di vincolo, ha confermato pienamente i precedenti risultati, come ovvio. Elementi "beam" del tipo
Tymoshenko (con deformazione dovuta al taglio) possono estendere la validità degli elementi
monodimensionali fino a dimensioni della sezione inferiori a ~1/8 della distanza fra gli appoggi.
Nel nostro caso questo rapporto è 0.25/1.2~1/5, valore per il quale anche la validità della teoria di
Timoshenko che non è più garantita e buona parte della struttura non soddisfa più nemmeno le
condizioni dello stesso principio del St. Venant. Si è allora preferito passare direttamente ad una più
sicura analisi FEM con elementi bidimensionali in "plane stress".
Nel caso corrispondente al risultato (7) l'analisi FEM (Fig.4) fornisce ora, grazie alla corretta
applicazione dei vincoli eccentrici ed al maggiore dettaglio del mesh bidimensionale :
G=84 Pm
Fig. 4
Sono stati simulati anche i casi descritti nella (9) con differenti condizioni di vincolo:
a) cerniera in un singolo nodo (Fig.5)
b) doppia cerniera in due nodi adiacenti (Fig.6)
Fig. 5
Fig. 6
I risultati sono i seguenti :
Appoggio (a)
b=0.05m , r=0.25m
b=0.10m , r=0.25m
b=0.05m , r=0.30m
G= 6.7 Pm
G= 3.4 Pm
G= 4.8 Pm
Appoggio (b)
b=0.05m , r=0.25m
b=0.10m , r=0.25m
b=0.05m , r=0.30m
G= 5.2 Pm
G= 2.6 Pm
G= 3.8 Pm
Si noti che mentre i risultati (9) forniscono lo spostamento alle estremità, quelli FEM forniscono il
valore massimo, che può essere sia alle estremità che al centro. I risultati FEM confermano
comunque l'
ordine di grandezza ottenuto con le formule analitiche teoriche pur al di fuori del loro
campo di applicazione (errori fino al 50%). L'
analisi FEM eseguita è solo preliminare e non sono
stati eseguiti studi di convergenza od altro sui modelli utilizzati. Il carico applicato (6) è quello
nominale dovuto solo al campo magnetico, senza il peso proprio della trave, ma gli effetti di questo
carico aggiuntivo, così come di eventuali margini di sicurezza, possono facilmente essere valutati
come un fattore di proporzionalità degli spostamenti, data la linearità del problema strutturale, pur
di approssimarli con una pressione aggiuntiva sulla trave.
Un'
ultima importante considerazione riguarda il problema delle condizioni al contorno della trave.
Data la sua estrema rigidità non è possibile ipotizzare che i suoi vincoli possano essere considerati
perfettamente rigidi ed è quindi opportuno per lo meno verificare l'
interazione della trave con la
struttura esterna considerata deformabile. A solo titolo di esempio, si sono calcolate le deformazioni
della struttura in Fig.7, basata su uno schema di supporto simile a quello dell'
U50 in Germania
(Fig.8), nel caso b=b0=0.05m , r=0.25m.
0.60
Fig. 7
0.10
0.10
0.25
0.10
0.40
0.10
$
%
&
Fig. 8
'
Fig. 9
Per questa analisi FEM preliminare si sono usati semplici elementi "beam" di Eulero-Bernoulli e la
deformazione risultante è mostrata in fig.9. Come si vede, essendo la trave dei magneti molto più
rigida della trave di supporto, il carico provoca una deformazione molto maggiore in quest'
ultima.
Se esiste un sistema di regolazione micrometrica del gap fra le due travi simmetriche dei magneti,
questo potrebbe non essere un problema. Tuttavia anche la deformazione propria della trave dei
magneti risulta modificata. Si ottengono infatti le seguenti deformazioni:
G = -239 Pm
G = -205 Pm
GC= -206 Pm
GD= -221 Pm
G GC= +1.3Pm
GDGC= -14.3Pm
Il valore del massimo spostamento relativo risulta quindi di 15.6 Pm, invece dei 6.7 o 5.2 Pm (a
secondo dei vincoli) trovati precedentemente per la stessa trave, ma con vincoli rigidi, ed anche la
forma della deformata sembra significativamente diversa.
[1] Memorandum, 8QGXODWRU0DJQHWLF)LHOGRQ$[LV9DULDWLRQGXHWRWKH'HIOHFWLRQRIWKH6XSSRUW
6WUXFWXUH, F. Ciocci , G. Dattoli and L. Mezi.
[2] C. Colombo, ³0DQXDOHGHOO¶,QJHJQHUH´ Ulrico Hoepli, Milano (1971).