Ipotizzare, elaborare e dimostrare con attività ludiche
Classe coinvolta: IV Elementare
Istituto Comprensivo di Assoro (En)
Scuola elementare S. Giorgio
ANALISI COMPARATIVA DEI TESTI
Testi analizzati:
•“L’uomo e il suo cammino” by Istituto Italiano Ed. Atlas, ultima stampa
Ed. 2000
•“Il sussidiario. Itinerari conoscitivi di base per la classe IV” Ed. Cetem, stampato nel 1992
•“Nel bosco della matematica e delle scienze” classe II, Ed. Petrini, stampa 2001
La preparazione della progettazione a-didattica è stata effettuata con il sussidio
dell’analisi comparativa dei testi sopracitati. Per quanto riguarda il primo testo, i
quadrati magici sono presentati con la citazione “capacità di indagine” all’interno
dell’addizione e della sottrazione; l’argomento in questione è solamente accennato
in parte e non più ripreso. In questo testo si dà la definizione di quadrato magico.
I quadrati magici sono presentati incompleti con due variabili diverse: i primi due
con la dicitura “la somma deve essere…….”, gli altri due sono presentati
rispettivamente uno con una diagonale di numeri completa e l’altro con una colonna
centrale; in ambedue i bambini dovrebbero trovare la somma e completare i
quadrati magici. Per quanto riguarda il secondo testo, i quadrati magici sono
presentati dopo le proprietà dell’addizione, con particolare riferimento alla
proprietà commutativa. E’ data la definizione di quadrato magico ma non vi sono
regole da seguire. Rispetto al primo testo c’è un quadrato magico già completo ed
altri tre da completare, con dei numeri inseriti in diagonale uniti da una linea
colorata che indica il procedimento da seguire per risolvere il quadrato magico e
trovare la chiave. Nel terzo testo il quadrato magico è inserito all’interno di giochi
matematici con le quattro operazioni. In questo testo, oltre il quadrato magico, vi
sono le cruci-operazioni e la stella numerica. I primi due testi sono molto vaghi ed
incompleti sul definire cosa sono, a cosa servono e, principalmente, quali regole
bisogna seguire per potere costruire i quadrati magici.
Facendo riferimento all’argomento scelto per l’analisi comparativa dei testi Proprietà Commutativa – si utilizzeranno una serie di combinazioni numeriche
all’interno di un quadrato magico di ordine 3 (l’ordine rappresenta il numero di
righe o di colonne verticali) in modo che, la somma di ciascuna riga, colonna o
diagonale risulti sempre la stessa: i bambini dovranno completare i quadrati
magici inserendo i numeri mancanti non dimenticando la regola principale e cioè
che, l’inserimento di ogni variabile numerica inciderà sul risultato finale.
L’attività prevede la conoscenza dei numeri naturali, l’operazione aritmetica di
somma, la conoscenza del rigo, della colonna e della diagonale, il concetto di
variabile, la proprietà commutativa. Infine, questa attività fornirà l’occasione per
l’elaborazione di molteplici strategie cognitive, utilizzando il metodo del “problem
solving” e dunque, avvalendosi del pensiero divergente e di quello convergente,
dell’intuizione e dell’utilizzo dell’errore come “ghiotta” occasione di negoziazione
delle idee e dei processi elaborati messi in atto dai bambini. Si tenterà di
stimolare la capacità di generalizzazione utilizzando la stella numerica, le cui
regole sono uguali a quelle del quadrato magico. Infine, si ipotizza l’uso delle
seguenti strategie di risoluzione: somma per approssimazione successiva, somma
per completamento, tentativi per prove ed errori, somma dei numeri in colonna,
somma dei numeri nelle righe, somma dei numeri in una diagonale o in entrambe.
Descrizione dell’attività
Il gioco si svolge in quattro fasi: ogni fase prevede una consegna diversa,
per evitare che i bambini memorizzino la posizione dei numeri all’interno del quadrato magico.
PRIMA FASE
Presentazione del quadrato magico ed illustrazione delle regole attraverso un esempio già
completo, costituito da un quadrato magico di ordine tre con numeri da uno a nove, affinchè
i bambini abbiano la possibilità di familiarizzare con il gioco.
4
15
3
8
9
5
1
2
7
6
15
15
15
SECONDA FASE
Consegna: metti il numero mancante affinchè l’addizione risulti 24. Si presenta il
quadrato con una diagonale completa ed una colonna incompleta. I bambini lavorano
individualmente.
7
8
5
9
TERZA FASE
Consegna: è uguale a quella della fase precedente, con la differenza che i bambini ora
lavorano in gruppo – gruppo giallo e gruppo rosso - . L’insegnante non interviene direttamente
ma monitora i gruppi assicurandosi che tutti i bambini partecipino attivamente congetturando
ed ipotizzando strategie di risoluzione ed annotando tali strategie per effettuare quindi
l’analisi quantitativa.
Dopo avere discusso all’interno di ogni gruppo le ipotesi, i processi di risoluzione è prevista la
socializzazione in “circle time” di tali diverse strategie individuate dai due gruppi (conflitto
cognitivo) con la negoziazione della migliore. Di seguito si presenta alla lavagna la STELLA
NUMERICA e, specificato che segue le stesse regole del quadrato magico si invita il gruppo
classe ad inserire i numeri mancanti fra quelli proposti dall’insegnante in modo da ottenere la
somma prevista.
7
8
9
15
16
12
11
SOMMA 27
SOMMA 48
QUARTA FASE
Consegna:sapete trovare una regola per la costruzione e la “validità” di tutti i possibili
quadrati magici? Dimostratene eventualmente il procedimento di applicazione.
?
?
?
?
?
?
Analisi qualitativa
La prima fase di presentazione ha lo scopo di “preparare” tutti i bambini offrendo loro i
requisiti di base per poter partecipare al gioco in condizioni paritarie eliminando, cioè, la
possibilità che alcuni di loro non siano a conoscenza delle regole da seguire e da rispettare.
Di seguito, passando alla seconda fase, si cercherà di creare
quanto più possibile una situazione di gioco affinché il
bambino (che nella 2° fase lavora individualmente) non avverta
nessun sentimento di ansia per dover subito dare la risposta:
è auspicabile che questa atmosfera serena crei le condizioni
ottimali affinché il bambino rifletta con calma seguendo le
regole del gioco e lo risolva.
Questa fase servirà alla successiva perché dovrebbe avere infuso nel bambino maggiore
fiducia e sicurezza nel proprio ragionamento. Ora, lavorando in gruppi è logico che la
tranquillità della fase precedente verrà smorzata dall’antagonismo e dalla competizione che
si verrà a creare inevitabilmente fra i gruppi: questo potrà incidere anche sui risultati
perché il desiderio di raggiungere prima la soluzione rispetto all’altro gruppo costringerà
a velocizzare i procedimenti e a “tentare” soluzioni affrettate. Tuttavia, la consegna di
dover socializzare anche all’altro gruppo le strategie messe in atto, gruppo che potrebbe e
dovrebbe chiedere chiarimenti e delucidazioni, dovrebbe servire da “responsabilizzazione”
ed impegno nel giungere non solo alla soluzione ma, soprattutto, nel come si è giunti alla
soluzione. Quest’ultima parte inoltre, servirà da “trampolino” di lancio per la quarta ed ultima
fase prevista in quanto si chiede ai bambini se esiste una regola generale per costruire un
quadrato magico e, nel caso che la risposta sia affermativa, deve essere suffragata da
argomentazioni e dimostrazioni a tutto il gruppo-classe.
ANALISI SPERIMENTALE DELLA
SITUAZIONE ADIDATTICA PROGETTATA
Lunedì 7 giugno alle ore 9,30 ci siamo recate presso la Scuola Elementare di S. Giorgio,
che fa parte dell’Istituto Comprensivo di Assoro (En). La docente accogliente, Testa Maria,
aveva già preparato i bambini al nostro arrivo introducendoli al lavoro sul quadrato magico.
La classe IV è composta da 7 bambini di cui quattro maschi e tre femmine; abbiamo proceduto
dividendo i bambini in due gruppi – gruppo giallo (seguito da Oriana e Irene) e gruppo rosso
(seguito da Carolina e Sandra) – e somministrando ad entrambi i gruppi una serie di quadrati
magici di seguito riportati con le relative procedure seguite dai bambini. Al gruppo rosso sono
stati proposti i seguenti:
4
5
6
Somma 15
4
7
4
4
7
4
5
5
5
5 5
5
6
3
6
6
6
Nunzio e Carmelo
GRUPPO ROSSO
3
Pietro e Federico
ANALISI QUANTITATIVA DEL GRUPPO ROSSO
I bambini hanno immediatamente risolto il quadrato magico trovando la “chiave” per la
soluzione; Nunzio e Carmelo hanno finito per primi ed hanno spiegato ai compagnetti
il procedimento utilizzato dicendo che “basta introdurre i numeri e sommare”. Tuttavia
hanno trasgredito ad una delle regole principali del quadrato magico che impedisce di
inserire lo stesso numero più di una volta. La stessa regola è stata disattesa da Pietro e
Federico.
Si passa adesso alla somministrazione del secondo quadrato magico. In questo caso i bambini
terminano immediatamente dimostrando intuito e velocità di calcolo soprattutto per
quanto riguarda Nunzio e Carmelo mentre, viste le difficoltà emerse per Pietro e Federico,
decidiamo di inserire un altro numero per facilitare la soluzione; dopo vari tentativi anche gli
altri due bambini riescono a risolvere il quadrato magico.
7
8
9
Somma 24
7
12
5
7
6
11
6
8
10
12
8
4
11
4
9
5
10
9
Nunzio e Carmelo
Pietro e Federico
Vengono ora di seguito riportati i quadrati magici proposti al GRUPPO GIALLO composto da:
Irene, Marilena e Marinella. Marilena e Marinella hanno lavorato in coppia. Irene doveva
risolvere quello con somma 24.
8
12
8
Somma 24
4
8
8
4
8
12
4
8
0
16
Irene
GRUPPO GIALLO
Marilena e Marinella dovevano risolvere quello con somma 15 ed hanno così proceduto:
4
5
6
Somma 15
4
8
3
5
5
5
5
4
6
Marilena e Marinella
ANALISI QUANTITATIVA DEL GRUPPO GIALLO
Irene ha iniziato a sommare i numeri presenti tra cui 8 e 12 per completare la somma ed
arrivare a 24. Tra i vari tentativi si è resa conto che, inserendo nella prima fila in alto il
numero 12 e sommandolo con il medesimo centrale, otteneva già 24 ma rimaneva una casella
vuota. Così sostituisce nella colonna centrale i numeri: 8, 12, 4 ottenendo così il risultato
richiesto dalla consegna. A questo punto, intervengono le altre due bambine suggerendo alla
compagna che, così facendo il risultato delle altre caselle “sballa”. Dopo ripetuti tentativi
Irene rinuncia a portare a termine la consegna.
Marilena e Marinella invece, inseriscono prima il numero 11 accanto al 4 in alto a sinistra ma si
accorgono anche loro che una casella rimane vuota. Così decidono di inserire al posto del
numero 11 il numero 8 ed il 3. Nella seconda riga inseriscono due 5. Procedono inserendo
i numeri solo in senso orizzontale; così facendo terminano nell’ultima riga inserendo i numeri
5 e 4. Resesi conto di non riuscire a risolvere il quadrato magico si avvicinano ad Irene ed
iniziano ad elaborare strategie e teorie di risoluzione.
Iniziano a cancellare tanti numeri all’interno del quadrato provando nuove possibilità in modo
da ottenere la somma 15 senza tuttavia riuscirvi. A questo punto decidiamo di introdurre una
variabile nella riga finale sotto il 5 e cioè il numero 7; le bambine, nonostante gli sforzi non
riescono a trovare la chiave. Quindi, viste le difficoltà delle compagne, si avvicina un bambino
del gruppo rosso e suggerisce la sequenza di numeri da inserire e cioè: nella riga centrale il 9
ed il numero 1; nella riga in alto il 3 ed il numero 8; nell’ultima riga il numero2 riuscendo così, ad
ottenere la somma richiesta dalla consegna.
Terminato il lavoro, verifichiamo la nostra
IV fase e chiediamo ai bambini dei due
gruppi se, secondo loro, esiste una regola
che ci permette di costruire tutti i
quadrati magici che vogliamo. Il gruppo rosso
risponde:”Sì, il quadrato magico si può costruire
con tutti i numeri, l’unico problema è quello di
saper fare i calcoli.”
Il gruppo giallo risponde:“ Però lo zero è un
numero neutro che non dovrebbe mai essere
inserito nel quadrato magico”.
Hanno realizzato questo lavoro con tanto entusiasmo ma,
purtroppo poco tempo, le studentesse del II anno di Scienze
della Formazione Primaria di Enna Carolina Di Pasqua,
G.M. Irene Guagliardo, Giusy Nicosia, Sandra Oliveri e
Oriana Timpanaro durante le ore del Laboratorio di
Didattica della Matematica, Professore
Filippo Spagnolo A.A. 2003/2004.