Dodicesima Lezione
Le Equazioni di Maxwell
Riassunto della lezione precedente







Alcune note sulle trasformazioni relativistiche
responsabili di B
Quando la legge di Faraday restituisce risultati
prevedibili con la forza di Lorentz
Natura e conseguenze della legge di Lenz:
autoinduzione, “inerzia” ed “attrito viscoso”
prodotti da B; effetto Meissner
Mutua ed autoinduttanza
Induttore
Trasformatore
Generatore fem alternata
Legge di Ampère rivista: la legge di
Ampère-Maxwell
•
•
James Clerk Maxwell (1831-1879) diede
una trattazione unitaria e sistematica dei
risultati di Faraday, Ampère e Gauss. Le
forme differenziali che abbiamo visto
sono sue….
Si accorse che la legge di Ampère, così
come scritta, aveva una limitazione
gravissima: contraddiceva il principio di
conservazione della carica!!
Legge di Ampère rivista: la legge di Ampère-Maxwell
• Infatti: calcoliamo la divergenza della legge di Ampère (la
scriviamo per H)
 


 H  J  H  0   J
• Visto che la divergenza di un rotore è sempre nulla:
quindi la divergenza di J sembra nulla, mentre deve
essere (lezione 7)

d
J  
dt
• Che è il principio di conservazione della carica in forma
differenziale!!
• Manca qualcosa…...
Legge di Ampère rivista: la legge di Ampère-Maxwell
• Maxwell postulò che dovesse esistere un altro termine
nella legge di Ampère che sparisce in assenza di
variazioni temporali, ovvero
   
H  J  D
t
• Il termine aggiuntivo si definisce corrente di spostamento
• Se ora calcoliamo la divergenza della legge così
modificata, ricordando la legge di Gauss,

 

 
  H  0    J    D    J 
t
t
• Cioè proprio il principio di conservazione (o di continuità) di
carica
Leggi di Maxwell
 
  
 E  d l   t S B  nds

 
E   B
t

D  
 

 
 D   ds D  n  Q
S
   
H  J  D
t
 
  
 H  d l  I  t S D  nds


 
 B   ds B  n  0
S


B  0
+

  
F  q E  vB

Tutto sui campi EM
ed i loro effetti!
Quanto è importante il termine di
corrente di spostamento??


Supponiamo di avere un pallone carico elettricamente
con carica Q
Lo gonfiamo e sgonfiamo ciclicamente tra due raggi rmin
ed rmax, per esempio secondo la legge
r (t ) 


rmax  rmin rmax  rmin

cos t
2
2
Produce un campo elettromagnetico? O produce
almeno un campo magnetico?
Saremmo indotti, dalla legge di Ampère, a pensare che
un campo magnetico c’è ma…..
Quanto è importante il termine di corrente di
spostamento??

Sembrerebbe esserci infatti una corrente (anzi, c’è) in
ogni superficie intermedia attraversata dal pallone: del
resto la continuità della carica (forma integrale):
Q(r )
 4r 2 j (r )
t



Cioè ogni superficie intermedia misura una j(r)
Su una di queste superfici prendiamoci
una curva G: c’è una corrente attraverso
essa e ci aspetteremmo un campo che
circola come indicato….
Strano: B sembra avere una direzione
speciale, che nulla ha a che fare con la
simmetria sferica, e che dipende dalla
scelta di G
j
E
B?
Q
G
Quanto è importante il termine di corrente di
spostamento??



Del resto se esistesse tale B, risulterebbe anche variabile nel
tempo e, per la legge di Faraday, produrrebbe ovunque un
campo elettrico tempo-variante
Mentre, se ci mettiamo ad r>rmax, sappiamo che il campo
elettrico generato da una sfera carica dipende solo dalla
distanza tra il punto di misura ed il suo centro (Q/4er2)
Non variando Q, non avremmo un campo elettrico che
varia nel tempo! Un ulteriore riprova che qualcosa non va
Quanto è importante il termine di corrente di
spostamento??
Ci salva il termine della corrente di spostamento: il campo
magnetico non dipende solo da j ma anche dalla corrente di
spostamento, ovvero dalla variazione per unità di tempo del
flusso elettrico! Calcoliamolo

Dove abbiamo
Q

E
1

Q
E
 e0

j
confrontato con
2
4e 0 r 2
t 4r t
l’espressione ottenuta dal
  
principio di conservazione
  H  j  j  0
di carica


La corrente di spostamento compensa completamente la
corrente di “conduzione”!
Quanto è importante il termine di corrente di
spostamento??
Consideriamo un altro caso: un filo è attraversato da una corrente che
carica un condensatore




La corrente i è proprio pari a dQ/dt, variazione della
carica sul condensatore
Se non ci fosse il termine di corrente di spostamento
saremmo costretti a immaginare che il campo
magnetico sparisce in corrispondenza delle armature
La legge di Ampère/Maxwell da, in corrispondenza
del filo 2rB   I
0

La legge di Ampère/Maxwell da, in corrispondenza
del condensatore
2rB   0
 D
dQ
 0
t
dt
 0 I
Quindi: in generale
Un campo elettrico è prodotto:
 o da cariche elettriche
 o da un campo magnetico che varia nel tempo
Un campo magnetico è prodotto:
 o da correnti elettriche
 o da un campo elettrico che varia nel tempo
Possiamo avere un campo elettrico dove non
ci sono cariche ed un campo magnetico dove
non ci sono correnti
Qualitativamente...
Un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo
magnetico che varia nel tempo, che produce un campo
elettrico che varia nel tempo….
Ma cos’è c che compare nelle equazioni? (nascosto da noi in
o) Nelle equazioni di Maxwell era una costante da
determinare sperimentalmente (come eo) che appariva essere


Quantitativamente uguale alla velocità della luce nel vuoto
Pari alla velocità con cui si propaga l’interazione
elettromagnetica (lo vedremo)
“….sarebbe difficile evitare la conclusione che la luce
consiste di oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che è
la causa dei fenomeni elettrici e magnetici” J.C. Maxwell
Implicazioni in equazioni



Poniamoci in una regione (magari nel vuoto) in cui non ci
sono né correnti né cariche, ma c’è un campo
elettromagnetico


 
 
E   B  H  D
t
t
Prendiamo il rotore della prima



    E  0   H
t
Applichiamo la solita identità a sinistra e sostituiamo la
seconda a destra


2


 E
  D 
2


  E   E    0 
   0e 0 2

t  t 
t
Non ci sono cariche
Equazione d’onda


Quindi, nel vuoto
c 2 t 2
Equazione di Helmholtz o d’onda
Vediamo cosa rappresenta in un caso semplice:
immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che
dipende solo dalla coordinata z


x
E( z, t )  Ex ( z, t )u x
2
2
 Ex
z


 E
2

1  E
2
2

1  Ex
c 2 t 2
z
Provando a sostituire verifichiamo che le soluzioni hanno
l’aspetto di
 z   Non avendo parlato di condizioni al
Ex  f  t  
contorno non possiamo dire nulla
 c
per ora sul dettaglio di f
Equazione d’onda

Prendiamo per esempio la soluzione con il segno negativo:
 z
Ex  f  t  
 c


All’aumentare del tempo, subisce una traslazione sull’asse z:
mettiamoci a guardare f ad un certo istante, e vediamo una
forma per f. Se aumenta t, devo aumentare z per continuare
a vedere la stessa forma
Di quanto devo aumentare z? se passa Dt, devo spostarmi di
Dz tale che
Dz
Dz
c

 Dt 
Dt
c
Cioè: mi devo spostare verso z crescenti alla velocità della
luce. La soluzione descrive un campo che si propaga alla
velocità c in direzione di z
Equazione d’onda


Viceversa, dovremo viaggiare a -c nell’altra soluzione
Le soluzioni delle equazioni di Maxwell sono onde
'light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an
electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through
the electromagnetic field’ J.C. Maxwell


Immaginiamo che a dare il via a quest’onda, da qualche parte
lontano nello spazio dal nostro punto attuale di osservazione,
sia stata una corrente alternata i  i0 sint
Ci aspettiamo campi anch’essi sinusoidali: in effetti
 z  Soddisfa
E x  E0 sin  t  
 c  l’equazione d’onda
Equazione d’onda

Se E ha tale forma, il campo H riusciamo a ricavarlo

 
dall’equazione di Faraday
E   B
t

 
1
1    E x  
  u y  
 H
E  
 
t
0
0 
 z  



u


 z 
u
y
 H
cos   t   H   y sin  t  z   cost
t
c 0
 c
c 0
 c

Tutto diretto lungo y: sia H che E sono ortogonali alla
direzione di propagazione (ed ortogonali tra loro) ed uniformi
nel piano xy: onda piana
Equazione d’onda

Notate Ex ed Hy sono in un rapporto costante:
0
Ex
  c 0  
e0
Hy
 377  Impedenza d’onda
Il segno dipende dalla direzione di propagazione (quale sia l’effettiva
direzione di propagazione dipenderà dalle condizioni al contorno)