Elettrodinamica 4
9 novembre 2012
Equazione di continuita`
Limiti della legge di Ampère
Corrente di spostamento
Equazioni di Maxwell
Equazione di continuita`
• E` un’altro modo di esprimere la conservazione della
carica elettrica
• Consideriamo una superficie chiusa S attraverso cui
puo` transitare carica elettrica
• Al tempo t la carica contenuta entro
S sia Q(t) e al tempo successivo t+dt
sia Q(t+dt)
• Per la conservazione della carica elettrica
la variazione della carica entro S dev’essere dovuta a
corrente che attraversa S
Qt  dt   Qt   idt
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Equazione di continuita`
• Il segno negativo davanti a i e` dovuto alla relazione tra
carica e corrente: corrente entrante porta ad un aumento
di carica, corrente uscente ad una sua diminuzione
• Ma d’altronde, essendo
n
•

i   J  nˆ da
S

per correnti entranti J  nˆ  0
J
J
n
che quindi risultano negative

• per correnti uscenti J  nˆ  0
che quindi risultano positive
• Da qui la necessita` del segno negativo
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Equazione di continuita`
• Possiamo quindi scrivere l’equazione di continuita` in
dQ
forma integrale
dt
 i
• Riscriviamo carica e corrente in termini delle loro
 
d
definizioni integrali
dV    J  da

dt  
V S
S
• Possiamo invertire la derivata a primo membro con
l’integrale di volume e usare il teorema della divergenza
a secondo membro per passare ad un integrale di
volume
 

 JdV
  t dV    

V S
V S
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Equazione di continuita`
• Siccome la superficie S e` arbitraria, l’uguaglianza degli
integrali implica quella degli integrandi
• Si ottiene cosi’ l’eq. di continuita` in forma differenziale
 

J  
t
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Lemma
• La divergenza della rotazione
  diun campo vettoriale e`
identicamente nulla     A  0
• Per dimostrarlo poniamoci in un sistema cartesiano e
calcoliamo la divergenza










  
  
  
  
  A 
 A x 
 A y 
 A z
x
y
z
• Il primo termine e`
2
2



A

Ay

  Az
 Az
y 
  A x  

 

x
x  y z  xy xz


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Lemma
• Gli altri due termini si ottengono per permutazione ciclica
degli indici, avremo quindi
    2 Az  2 Ay  2 Ax  2 Az  2 Ay  2 Ax
  A 






xy xz yz yx zx zy


  Az  Az    Ay  Ay    2 Ax  2 Ax 
  
 

  



 xy yx   zx xz   yz zy 
2
2
2
2
• Siccome l’ordine di derivazione e` irrilevante, i termini si
elidono a due a due e il lemma rimane dimostrato
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Limiti della legge di Ampère
• Non è applicabile a correnti non
stazionarie (ad es. un
condensatore)
• Data una curva C, che contorna il
filo, la circuitazione del campo B è
 0i
• La corrente concatenata a C
risulterebbe
 
 B  dl  0i
C
S2
S1
– attraverso S1 : i
– attraverso S2 : zero
• Per cui la legge di Ampère dà due
risultati diversi a seconda che sia
applicata a S1 o a S2
C
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Maxwell
• Si può vedere anche in forma differenziale:
 

  B  0 J
• Se facciamo la divergenza di entrambi i membri
otteniamo che il primo membro si annulla, mentre il
secondo, per l’eq. di continuita`, in generale è diverso da
  
 
zero:



  B  0
 0  J    0
t
• Maxwell propose di aggiungere un termine alla legge di
Ampere, in modo da renderla sempre verificata
• L’obiettivo e` arrivare all’eq.


  
 

    B  0
  0  J
t
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Maxwell
• Usando la legge di Gauss, esprimiamo la densità di
carica in termini della divergenza del campo E:
  
 
  
    B   0 0
  E   0  J
t
• Invertendo le operazioni di derivata temporale e di
divergenza, e poi raccogliendo questo operatore:





  
 
E 
   0  J
     B  0 0


t


• L’equazione riformulata che Maxwell propose è dunque

 

E
  B  0 J  0 0
t
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Maxwell
 
d( E )
B

d
l


i



0
0 0
C
dt
• In forma integrale:
• Il nuovo termine è proporzionale alla derivata del
flusso del campo E rispetto al tempo
• Per il condensatore il nuovo termine dà:
– attraverso S1 : zero
dQint
d ( E )
 0
  0i
– attraverso S2 :  0 0
dt
dt
Esattamente quel che serve per
rendere uguali i conti su S1 e S2
S2
S1
C
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Corrente di spostamento
• Il termine
d ( E )
0
 is
dt
• vien detto corrente di spostamento
• L’equazione di Ampère-Maxwell
 
d( E )
C B  dl  0i  0 0 dt  0 i  is 
• è la 4a equazione dell’e.m. nella sua forma
completa
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Equazioni di Maxwell
• Legge di Gauss per il
campo E
• Assenza di monopoli
magnetici
• Legge di Faraday-Neumann
• Legge di Ampère-Maxwell
int
 Qtot
( E ) 
0

( B)  0

 
d ( B)
E

d
l


C
dt

 
d ( E )
C B  dl  0i  0 0 dt
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