EQUAZIONI DI MAXWELL
Leggi fondamentali dell’elettromagnetismo
Giocano lo stesso ruolo delle leggi di Newton in
meccanica
Il campo elettrico e il campo magnetico devono in
ogni istante di tempo ubbidire a queste equazioni
1. Teorema di Gauss
2. Analogo del teorema di Gauss per il campo
magnetico
3. Legge di Faraday-Lenz
4. Teorema di Ampère
1. Teorema di Gauss
ΦE = ΣE ·n ΔS =
ΣQint
ε0
2. Analogo del teorema di Gauss per il campo magnetico
ΦB = ΣB ·n ΔS = 0
Nel caso del campo magnetico, il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è
sempre uguale a zero. Questo esprime il fatto che non esiste la carica magnetica.
3. Legge di Faraday-Lenz
ΔΦB
forza elettromotrice indotta = _
Δt
Il lavoro compiuto dal campo elettrico in un giro
completo della carica è:
Σ F · Δl = Σ qE · Δl =
= q ΣE ·Δl = q (Circuitazione di E)
L=
Δl
q
E
F
La forza elettromotrice indotta è pari alla differenza di potenziale attraversata dalla
carica
L = q (f.e.m.)
quindi:
f.e.m. = circuitazione di E
ΔΦB
circuitazione di E = ΣE ·Δl = _
Δt
4. Teorema di Ampère (legge di circuitazione di Ampère)
Nella forma in cui lo abbiamo visto:
circuitazione di B = μ0Σ
Iconc
Questa formulazione è valida solo per le correnti stazionarie. Per includere correnti
che variano nel tempo, la formulazione del teorema di Ampére cambia.
Consideriamo un circuito formato da una pila e un condensatore. Inizialmente il
condensatore è scarico e il circuito è aperto.
+ f.e.m
C
Quando si chiude il circuito fluisce una corrente che carica il condensatore: mentre il
condensatore si carica, l’intensità della corrente diminuisce finché, quando la carica
sulle armature ha raggiunto il valore Q = C ΔV = C f.e.m., diventa zero.
+ f.e.m
+Q(t)
I(t)
-Q(t)
I(t)
E(t)
E(t) = 4πke
Q(t)
A
1
I(t)
I(t)
Applichiamo il teorema di Ampère al circuito che racchiude la superficie 1. La corrente
concatenata è I(t); per il teorema di Ampère c’è un campo magnetico con una
circuitazione non nulla lungo il circuito.
2
I(t)
I(t)
Applichiamo il teorema di Ampère allo stesso circuito, considerando la superficie 2
(che passa tra le armature). La corrente concatenata è zero; per il teorema di Ampère
la circuitazione lungo il circuito dovrebbe essere zero (in contraddizione con il caso
precedente).
L’esempio mostra che un campo elettrico variabile genera nello spazio un campo
magnetico esattamente come una corrente elettrica.
Si può dimostrare che il Teorema di Ampère deve essere modificato come segue:
circuitazione di B = ΣB ·Δl = μ0Σ Iconc + μ0 ε0 ΔΦE
Δt
μ0 ε0
ΔΦE
CORRENTE DI SPOSTAMENTO
Δt
EQUAZIONI DI MAXWELL
ΣQint
ε0
1. Teorema di Gauss
ΦE = ΣE ·n ΔS =
2. Analogo del T. di Gauss
per il campo magnetico
ΦB = ΣB ·n ΔS = 0
3. Legge di Faraday
(+ legge di Lenz)
ΔΦB
circuitazione di E = ΣE ·Δl = _
Δt
4. Teorema di Ampère
circuitazione di B = ΣB ·Δl = μ0Σ Iconc + μ0 ε0 ΔΦE
Δt
Dalla terza e quarta equazione di Maxwell osserviamo che:
1. Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico variabile
2. Un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico variabile
La combinazione di questi due fenomeni fa si che una perturbazione del campo
elettromagnetico propaghi nello spazio (ONDA ELETTROMAGNETICA)
B
B
B
E
E
E
E
B
Supponiamo di iniziare con un campo elettrico variabile. Esso genera tutto intorno un campo
magnetico variabile, che, a sua volta, genera tutto intorno un campo elettrico variabile, e così
via.
VELOCITÀ DI PROPAGAZIONE
La velocità con cui la propagazione si muove nel vuoto è una costante universale
c=
1
~= 3 · 108 m
s
ε0 μ0
Relazione tra campo elettrico e campo magnetico nella perturbazione:
E
B
direzione di propagazione
E e B sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione.
Il rapporto tra i moduli di E e B è costante e uguale alla velocità di propagazione.
E
=c
B
E=cB
Supponiamo si abbia un campo elettrico oscillante in modo armonico (ovvero sinusoidale).
E(t) = E0 cos (ωt + φ)
Questo può essere generato ad esempio mediante un generatore di corrente alternata.
~
D
Il campo elettrico alla distanza D è il campo vicino all’antenna D/c secondi prima.
λ
E
k
B
Durante la propagazione il campo elettrico e il campo magnetico sono mutuamente
perpendicolari e perpendicolari alla direzione di propagazione. Sia il campo elettrico che il
campo magnetico variano in modo sinusoidale, poiché B = E/c.
Per l’onda possiamo definire:
Periodo:
T = 2π
ω
Numero d’onda:
k=
Relazione tra periodo e
lunghezza d’onda:
λ
=c
T
2π
λ
PROPRIETÀ GENERALI DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Le onde elettromagnetiche possono propagare nel vuoto
Le onde elettromagnetiche trasportano energia.
Al campo elettrico è associata una
energia per unità di volume
(densità di energia ) uE
Al campo magnetico è associata
energia per unità di volume
(densità di energia ) uB
1 2
uE   0E
2
1 B02
uB 
2 0
Poiché E = cB e c 2 
1
 0 0
uE = u B
L’energia totale per densità di volume è:
B2
u  uE  uB   0E 
0
2
Questa energia propaga assieme all’onda nella direzione di propagazione.
Le onde elettromagnetiche sono generate da cariche elettriche oscillanti.
Allo stesso modo, un’onda elettromagnetica che incide sulla materia fa
oscillare le cariche elettriche in essa contenute.
Se le cariche sono in grado di oscillare alla stessa frequenza dell’onda
incidente, esse assorbono energia dall’onda elettromagnetica.
SPETTRO ELETTROMAGNETICO
Raggi γ
f
Raggi X Ultravioletto Visibile
Infrarosso
Microonde
(radar)
1 pm
10 nm
400 nm
700 nm
1 mm
300 EHz
30 PHz
749 THz
428 THz
300 GHz
Onde
Radio
λ