Sergio Chiodo
SUGGERIMENTI PER UN USO CONSAPEVOLE DELLA
CALCOLATRICE SCIENTIFICA
INDICE
Capitolo 1 – Tipi di calcolatrice………………………………………………… pag. 2
Capitolo 2 – Le convenzioni di questa dispensa………………………………… pag. 3
Capitolo 3 – La notazione scientifica……………………………………………. pag. 10
Capitolo 4 – La precisione di calcolo e il visore……………………………..…. pag. 12
Capitolo 5 – Calcoli complessi…………………………………………………... pag. 14
Capitolo 6 - Calcoli goniometrici ……………………………………………… pag. 19
Capitolo 7 – Uso della memoria………………………………………………… pag. 22
Capitolo 8 – Semplificazione di espressioni prima del loro calcolo…………….. pag. 25
Capitolo 9 – Quando la calcolatrice non basta………………………………….. pag. 27
Ultima revisione: agosto 2009
Capitolo 1 – Tipi di calcolatrice
In commercio esistono numerosi tipi differenti di calcolatrici tascabili: grafiche, programmabili,
con funzioni statistiche, scientifiche, etc.
Riteniamo che per uno studente di liceo sia opportuno padroneggiare l’uso di una calcolatrice con le
seguenti caratteristiche:
a) presenza delle funzioni goniometriche
b) non programmabile
c) non grafica
d) con visore a una sola riga
Strumenti più sofisticati di questo si tradurrebbero in una complicazione per lo studente che,
normalmente, ha a disposizione un computer per svolgere compiti avanzati.
La scelta del visore a una sola riga può sembrare criticabile, in quanto la doppia riga permette un
più agevole controllo degli eventuali errori di digitazione; tuttavia la logica di immissione dei dati
in questo tipo di calcolatrice è meno naturale, ragion per cui il display a una sola linea appare
didatticamente preferibile.
Calcolatrici del tipo qui raccomandato sono ad esempio:
- della Texas Instruments la TI30, oppure la TI 30XA
- della Casio la fx 250 H
- della Lexibook la LCS 100
- della Osama la OS108/10
In questa dispensa si farà riferimento alla TI30XA.
2
Capitolo 2 – Le convenzioni di questa dispensa
In questa dispensa sarà necessario illustrare con estremo dettaglio la sequenza dei tasti da utilizzare
per compiere determinate operazioni. Per essere il più possibile chiari, utilizzeremo una tabella a tre
colonne.
Colonna “Tastiera”: nella colonna a sinistra indicheremo i tasti da premere, rappresentandoli con
un simbolo grafico come questo
, a meno che debba essere introdotto un dato numerico; ogni
nuova digitazione richiederà una riga diversa.
Colonna “Visore”: nella colonna centrale rappresenteremo ciò che compare sul visore della
calcolatrice dopo la digitazione dei tasti della colonna di sinistra. Per brevità non verranno sempre
riportate tutte le cifre visibili, ma solo le prime (il numero verrà troncato, non approssimato).
Colonna “Matematica”: la terza colonna sarà compilata solo quando la calcolatrice ha portato a
termine un calcolo, parziale o totale che sia; in questa colonna utilizzeremo la notazione matematica
tradizionale per rappresentare l’operazione svolta.
Esempio: calcolo di 3+2
Tastiera
Visore
Matematica
3
3
3
2
5
3+2
2
Quasi tutti i tasti delle calcolatrici scientifiche hanno una doppia funzione, ad esempio nella
TI30XA sopra il tasto LN vi è scritto, in colore, ex. Per utilizzare la seconda funzione è necessario
premere un opportuno tasto prima del tasto desiderato; questo tasto funzionale ha di solito un colore
diverso ed è contrassegnato dalla scritta Shift o 2nd (nella TI-30XA è giallo e porta la scritta 2nd).
In questa dispensa indicheremo direttamente le seconde funzioni dei tasti come se fossero tasti
semplici, ad esempio useremo
invece della sequenza
3
Esercizio 2.1
Completare le colonne mancanti svolgendo i calcoli solo mentalmente, come nel seguente
Esempio svolto 2.1.0
Tastiera
Visore
Matematica
30
20
5
30
30
20
10
10
5
2
30-20
30 - 20
5
Esercizio 2.1.1
Tastiera
Visore
Matematica
Visore
Matematica
3
4
7
Esercizio 2.1.2
Tastiera
20
5
4
Esercizio 2.1.3
Tastiera
Visore
Matematica
Visore
Matematica
Visore
Matematica
40
8
2
Esercizio 2.1.4
Tastiera
3
5
15
Esercizio 2.1.5
Tastiera
11
4
5
Esercizio 2.1.6
Tastiera
Visore
Matematica
Visore
Matematica
Visore
Matematica
20
14
8
Esercizio 2.1.7
Tastiera
4
9
Esercizio 2.1.8
Tastiera
3
4
6
Esercizio 2.1.9
Tastiera
Visore
Matematica
Visore
Matematica
36
4
Esercizio 2.1.10
Tastiera
4
8
6
1
3
7
Esercizio 2.1.11
Tastiera
Visore
Matematica
Visore
Matematica
2
3
Esercizio 2.1.12
Tastiera
60
4
2
5
8
Esercizio 2.2
Svolgendo i calcoli solo mentalmente, compilare le tabelle a tre colonne relative alle seguenti
espressioni. Non usare mai i tasti “parentesi”.
a) 81 + 3
b) 81 + 19
c) (15-8) × 8
d) 5 × 9 - 40
14 + 13
15
e)
f)
×5
9
3
2
⎛ 35
⎞
g) ⎜ + 2 ⎟ − 1
h) 2 × 5 + 6
⎝ 5
⎠
(
i) 4 − 12
2
)
2
j)
(2 + 4) 2
9
9
Capitolo 3 – La notazione scientifica
La calcolatrice è in grado di rappresentare numeri molto grandi oppure molto piccoli, utilizzando,
quando necessario, la notazione scientifica. Ad esempio
Tastiera
Visore
Matematica
3000000 3000000
9 12
3.000.000
12
9 x 10
La scrittura sul visore di un numero più piccolo scritto in alto a destra sta quindi a indicare
l’esponente della potenza di 10 nella notazione scientifica.
E’ possibile “forzare” la rappresentazione sul visore, in modo che sia sempre una notazione
scientifica, anche quando non strettamente necessaria
Tastiera
Visore
0.31
0.31
3.1- 01
Ciò è particolarmente comodo quando il numero visualizzato ha molte cifre e risulta di difficile
lettura, come nel seguente esempio.
Tastiera
Visore
12000
12000
144000000
1.44 08
Per introdurre un numero in notazione scientifica, esiste il tasto
Tastiera
Visore
Matematica
5
5
5 00
5 02
5 x 10
2
2
10
Per gli esponenti negativi si usa il tasto
Tastiera
Visore
5
5
5 00
5 - 00
5 - 02
2
Matematica
-2
5 x 10
Per ritornare alla notazione usuale (detta “in virgola mobile”) bisogna usare il tasto
Tastiera
Visore
1
1
1 00
2
5 – 01
0.5
2
Esercizio 3.1
Calcolare inserendo i dati in notazione scientifica e visualizzando il risultato sempre nella stessa
notazione. Trascrivendo il risultato, controllare che esso sia plausibile, cioè che eventuali errori di
digitazione non abbiano portato a risultati evidentemente sbagliati.
a) 3,5 106 × 2,1 103 = _____________
c) 2,56 10-8 × 2,7 102 = _____________
e) 3,5 109 + 3,5 108 = _____________
g)
8,1 ⋅1019 = _____________
i)
(6,5 ⋅10 )
4 2
= _____________
b)
3,5 106 : 2,1 103 = ______________
d) 6,58 10-4 : 3,1 10-12 = ______________
f) 4,9 10-8 − 6,7 10-9 = ______________
h)
6,1 ⋅10 −6 = ______________
j)
(3,9 ⋅10 )
−5 2
= ______________
11
Capitolo 4 – La precisione di calcolo e il visore
20
; la calcolatrice visualizzerà il numero 2,857142857. Lasciando ora sul
7
visore questo numero, lo si sottragga, ridigitandolo cifra per cifra.
Si calcoli il quoziente
Tastiera
Visore
20
20
20
7
7
2.857142857
2.857142857
2.857142857 2.857142857
1.4 -10
Ci si sarebbe aspettati un risultato nullo, dato che abbiamo sottratto due numeri uguali; invece
otteniamo un numero molto piccolo, ma non zero: il numero 1,4 10-10, cioè 0,00000000014.
Evidentemente ciò significa che il minuendo, che non abbiamo digitato direttamente, non era
esattamente uguale al sottraendo, che invece abbiamo inserito cifra per cifra: il minuendo aveva
invece un valore pari a 2,857142857+1,4 10-10 = 2,85714285714. Se si riflette un attimo, non è
difficile capire cosa è avvenuto: la calcolatrice valuta il risultato della divisione utilizzando dodici
cifre, ma sul display ne visualizza solo dieci; ciononostante effettua i calcoli con tutte e dodici le
cifre, anche se la maggior parte delle volte non ce ne accorgiamo.
Ecco un altro esempio
Tastiera
Visore
1
1
1
3
0.333333333
0.333333333
3
1
3
3
L’effettivo risultato della divisione non è quello che compare sul visore, vale a dire 0,333333333
(nove cifre “3”), ma il numero 0,333333333333 (dodici cifre “3”); moltiplicando quest’ultimo
numero per 3, si otterrebbe 0,999999999999 (dodici cifre “9”), che non può esser visualizzato sul
12
display. La calcolatrice allora lo approssima a dieci cifre significative, arrotondandolo a 1. Se
invece digitassimo il numero 0,333333333 (nove cifre “3”) e lo moltiplicassimo per 3, non ci
sarebbe la necessità di arrotondare.
Tastiera
Visore
0.333333333 0.333333333
0.333333333
3
3
0.999999999
Esercizio 4.1
Scrivere π con 11 cifre decimali
Esercizio 4.2
Scrivere 2 con 11 cifre decimali
Esercizio 4.3
Calcolare 5 1012 + 6 con la calcolatrice e senza
Esercizio 4.4
Introdurre il numero 5, poi premere sei volte il tasto
e altre sei volte il tasto
.
Spiegare il perché del risultato ottenuto
Esercizio 4.5
Ripetere l’esercizio 4.4 con il numero 1000 invece che con il 5.
Esercizio 4.6
Calcolare 900.000.001 − 30.000 con 3 cifre significative
Esercizio 4.7
Introdurre il numero 2, poi premere ripetutamente il tasto
. Quante volte bisogna
premerlo perché il risultato sia 1?
Se dopo aver ottenuto 1 si preme il tasto
, cosa si ottiene? Spiegare il perché del risultato
ottenuto
13
Capitolo 5 – Calcoli complessi
Quando si devono effettuare più calcoli in un’unica espressione, è assolutamente indispensabile
attenersi alla seguente regola fondamentale
Regola 5.1 Controllare che ogni risultato parziale sia plausibile, servendosi di un calcolo
mentale approssimato
Discende immediatamente da questa regola la seguente
Regola 5.2 Effettuare un calcolo alla volta, evitando che sia la calcolatrice a decidere
sull’ordine delle operazioni; se necessario utilizzare proprietà matematiche quali la
commutativa etc.
Esempio 5.2.1a Calcolare 3 + 2/8
Tastiera
Visore
2
2
2
8
0.25
8
3
0.25
3
3.25
Matematica
2
8
2
+3
8
Questo calcolo si sarebbe potuto sviluppare con un minor numero di passaggi in questo modo
Esempio 5.2.1b Calcolare 3 + 2/8
Tastiera
Visore
3
3
3
2
2
8
3.25
2
8
Matematica
?
3+
2
8
14
Questa risoluzione non permette di controllare i risultati parziali, né di avere una buona
consapevolezza dell’ordine delle operazioni, che viene deciso dalla calcolatrice invece che
dall’utente. E’ quindi un metodo sconsigliabile.
Le stesse considerazioni portano alla
Regola 5.3 Evitare assolutamente l’uso delle parentesi, se proprio necessario utilizzare la
memoria, possibilmente solo una. (Per l’uso della memoria vedi capitolo 7)
Non solo le parentesi non permettono di controllare i risultati parziali, ma talvolta causano errori
inaspettati: si veda l’
Esempio 5.3.1 Calcolare
2
1+
3+
1
4+5
Tastiera
Visore
1
1
1
2
2
0
3
3
1
1
0
4
Error
2
3
1
4
Matematica
?
??
Vedremo più avanti come va risolto questo esercizio (esempio 5.6), per il momento cominciamo a
conoscere due tasti molto utili per evitare di usare le parentesi: il tasto di cambiamento di segno
e quello del calcolo del reciproco
15
Esempio 5.4 (sul tasto di cambiamento di segno): calcolare 10 Tastiera
Visore
5
5
5
2
2.5
2
Matematica
5
2
5
2
-2.5
10
-2.5
10
7.5
Esempio 5.5 (sul tasto di calcolo del reciproco): calcolare
Tastiera
Visore
10
10
10
20
30
0.033..
20
6
0.033..
6
0.2
5
2
-
5
+10
2
6
10 + 20
Matematica
10+20
1
10 + 20
1
x6
10 + 20
16
Possiamo ora svolgere correttamente l’esempio 5.3.1
2
Esempio 5.6 Calcolare 1+
1
3+
4+5
Tastiera
Visore
4
4
4
5
9
0.111..
5
3
0.111..
3
3.111..
0.321..
2
1
0.321..
2
0.642..
0.642..
1
1.642..
Matematica
4+5
1
4+5
1
+3
4+5
1
1
+3
4+5
2
1
+3
4+5
2
1
+3
4+5
+1
17
5.7.1 Esercizi
Calcolare, compilando la tabella a tre colonne, le seguenti espressioni
2,05
8,2
c) 3,4 × 3,3 – 12,2
a) 3,1 +
e)
g)
2,05
2,1 ⋅ 8,2
2,1
4,4 − 0,13
7,1
i)
5,6 − 0,85 × 0,78
b) 14,2 – 3,2 × 1,3
d)
12,5
8,2
1,2
1,4
+ 0,3
14,3 - 5,9
3,1
h)
4,4 × 0,38 − 0,75
f)
j)
3,75 − 1,94 × 0,21
5,6
18
Capitolo 6 – Calcoli goniometrici
La prima cosa da sapere quando si vuole utilizzare la calcolatrice in ambito goniometrico è come
specificare l’unità di misura degli angoli.
Le unità più comuni sono i gradi sessagesimali e i radianti; spesso le calcolatrici consentono anche
di usare i gradi centesimali, unità utilizzata soprattutto in campo ingegneristico.
All’accensione della calcolatrice, il visore indica che la modalità iniziale è quella in gradi
sessagesimali, mediante una scritta DEG in piccolo. Le scritte relative alle altre unità sono RAD
per i radianti e GRAD per i gradi centesimali; Nella TI30XA si passa da una modalità all’altra
premendo ripetutamente il tasto
L’uso della calcolatrice è molto intuitivo: per calcolare il seno di un angolo di 30°, la sequenza è
Tastiera
Visore
Matematica
DEG
30
DEG
30
0.5
sen 30°
Per la tangente e il coseno, i tasti sono rispettivamente
e
Viceversa, per calcolare l’angolo di cui si conosce una funzione goniometrica, esistono i tasti
Ad esempio
Tastiera
Visore
DEG
1
1
DEG
45
(In questo esempio non è stata riportata volutamente la notazione matematica; chiedi al tuo
insegnante come vuole che tu ti comporti)
Avrai sicuramente già notato la presenza del tasto π
Tastiera
Visore
RAD
3.141…
0
Matematica
π
sen π
19
Come è ben noto, i sottomultipli del grado sono i minuti primi e i minuti secondi:
1° = 60’
1’ = 60”
Nonostante esistano dei tasti che permettono di passare dalla notazione decimale a quella
sessagesimale e viceversa, non è certo il caso di utilizzarli: basta usare il buon senso.
Si voglia ad esempio calcolare l’angolo il cui seno è 0,4: la calcolatrice ci fornisce 23,57817848°.
Per trasformare la parte frazionaria in minuti primi, basterà moltiplicare 0,57817848 x 60 =
34,6907088. A sua volta la parte dopo la virgola può essere convertita in minuti secondi
moltiplicando per 60:
0, 6907088 x 60 = 41,442528.
In definitiva l’angolo cercato è poco più ampio di 23°34’41”.
Si noti che, per limitare la possibilità di errori di digitazione 1 , è meglio evitare di immettere la parte
frazionaria da convertire; ciò è possibile sottraendo le parti intere in questo modo:
Tastiera
Visore
0.4
0.4
23.578…
23.578…
23
0.578…
0.578…
60
34.69…
34.69…
34
0.690…
0.690…
60
41.44…
23
60
34
60
Risultato
parziale
23°
23°34’
23°34’41”
1
Per la verità oltre a prevenire errori di digitazione, questo metodo è anche più preciso, perché riduce gli errori di
arrotondamento. Infatti il numero 41,442528 andrebbe corretto in 41,44252152 come si può verificare portando a
termine il calcolo come spiegato di seguito
20
Per la conversione inversa ci si comporterà in maniera simmetrica. Ad esempio si voglia calcolare
cos 36°25’48”
Tastiera
Visore
48
48
48
60
0.8
60
25
60
36
Risultato parziale
48
60
0.8
25
25.8
25.8
60
0.43
0.43
36
36.43
0.804…
25 +
48
60
0°25’48”
36°25’48”
cos 36°25’48”
Esercizio 6.1
Calcolare, compilando la tabella a tre colonne, sen(43°27’19”)
Esercizio 6.2
Calcolare, compilando la tabella a tre colonne, cos(46°32’41”)
Esercizio 6.3
Compilando la tabella a tre colonne, calcolare l’angolo α sapendo che sen α = 0,248063. Esprimere
il risultato in notazione sessagesimale.
Esercizio 6.4
Compilando la tabella a tre colonne, calcolare l’angolo β sapendo che cos β = 0,35719. Esprimere
il risultato in notazione sessagesimale.
21
Capitolo 7 – Uso della memoria
La calcolatrice scientifica permette di “annotare” il risultato di un calcolo parziale per poterlo poi
riutilizzare in una fase successiva, evitando così all’utente il disturbo di trascriverlo e digitarlo di
nuovo.
Le operazioni principali per la gestione della memoria sono:
La memorizzazione del dato che si trova sul visore
In molte calcolatrici questa operazione è svolta da un tasto che ha la scritta x->M, oppure Min.
Nella TI-30Xa esiste la possibilità di memorizzare tre dati in altrettante aree di memoria, e questa
operazione si effettua con la pressione del tasto
seguito dal tasto 1, 2 oppure 3. In seguito a ciò, sul visore compare una M, ad indicare che la
memoria contiene un dato.
Il richiamo dalla memoria sul visore del dato memorizzato
I tasti sono di solito RM, M->x; nella TI-30Xa la sequenza di tasti è
1, oppure 2 o 3.
La cancellazione del dato memorizzato,
che si può effettuare con un apposito tasto (spesso MC), oppure memorizzando il dato “zero”
Vediamo alcuni esempi in cui è necessario utilizzare la memoria:
Esempio 7.4 Calcolare
4 2 + 52
Tastiera
Visore
Matematica
4
4
16
42
M1
16
M1
5
5
M1
25
M1
25
M1
16
1
M1
41
M1
6.40...
1
52
52+42
52 + 4 2
22
Si noti che lo stesso calcolo si sarebbe potuto effettuare più velocemente nel seguente modo
Tastiera
Visore
4
4
16
16
5
25
41
...
5
...
Matematica
42
52
42+52
ma questa procedura infrange la regola 5.2, dato che l’operazione di somma viene lasciata in
sospeso.
Esempio 7.5 Calcolare
3+ 7
8−5
Tastiera
Visore
Matematica
8
8
8
5
3
8-5
5
3
7
M1
3
M1
3
M1
3
M1
7
M1
10
M1
10
M1
3
1
M1
3.33..
1
3+7
3+ 7
8−5
23
La stessa espressione avrebbe potuto essere calcolata nel modo seguente, altrettanto corretto.
3+ 7
Esempio 7.7 Calcolare
8−5
Tastiera
Visore
Matematica
3
3
3
7
10
3+7
7
1
8
5
M1
10
M1
8
M1
8
M1
5
M1
3
M1
0.33..
8-5
1
8−5
M1
0.33..
M1
10
1
M1
3.33..
1
× (3 + 7 )
8−5
Esercizio 7.1 Calcolare compilando la tabella a tre colonne
b) sen (22° 30’ 5” + 4° 42’ 13”)
5,82 3,2
a)
+
3,18 5,91
c)
e)
356,4 − 22,1
8,1 ⋅ 3,5
132,6 − 94,8
d) α + β dove
sen α = 0,39206
cos β = 0,53114
5,4
2,6
f)
+
132,6 102,4
24
Capitolo 8 – Semplificazione di espressioni prima del loro calcolo
Talvolta è necessario calcolare un’espressione in cui un dato numerico compare più volte, come ad
esempio in 0,3 x 0,5 + 0,3 x 0,8 (il numero 0,3 compare due volte).
Siccome spesso i dati numerici da introdurre contengono molte cifre, e introdurli due volte aumenta
considerevolmente le possibilità di errore di digitazione, è bene attenersi alla
Regola 8.1 Prima di calcolare numericamente un’espressione, manipolarla matematicamente
in modo che, se possibile, contenga una sola volta ogni dato.
Nell’esempio fornito sopra, la “manipolazione matematica” che fa al nostro scopo è il
raccoglimento a fattor comune: 0,3 x 0,5 + 0,3 x 0,8 = 0,3 x (0,5 +0,8)
E’ sempre meglio effettuare tali semplificazioni utilizzando il calcolo simbolico; qui di seguito
riportiamo alcune di queste semplificazioni, sottolineando comunque il fatto che non tutte le
espressioni che si incontrano nelle applicazioni si possono trasformare in tal senso
Semplificazione 8.2 Raccogliere a fattor comune
ab + ac = a(b+c)
Semplificazione 8.3 Utilizzare la proprietà distributiva della somma rispetto alla divisione
a+b a b
b
= + = 1+
a
a a
a
Semplificazione 8.4 Calcolare il reciproco del reciproco di un’espressione
a
1
1
=
=
a + b a + b 1+ b
a
a
Semplificazione 8.5 Sommare e sottrarre la stessa quantità
a + b a − b + 2b a − b
2b
=
=
+
= 1 + ...
a −b
a −b
a −b a −b
Semplificazione 8.6 Utilizzare le proprietà delle potenze come nel seguente esempio
a2 ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟
b2 ⎝ b ⎠
2
Semplificazione 8.7 Portare sotto il segno di radice, se ciò può portare ad una semplificazione
2
a2 + b2
a2 + b2
⎛a⎞
=
= ⎜ ⎟ +1
2
b
b
⎝b⎠
25
Per quanto riguarda la colonna della notazione matematica, è consigliabile compilarla mantenendo
il calcolo simbolico come nel seguente esempio
Esempio 8.1
Dopo aver semplificato l’espressione
Soluzione.
Applicando la semplificazione 8.3,
a+b
, calcolarne il valore per a = 0,562 e b = 0,819.
a
a+b a b
b
= + = 1+
a
a a
a
Tastiera
Visore
Matematica
0.819
0.819
0.819
0.562
1.381
b
0.562
1
1.381
1
2.381
b
a
b
+1
a
Esercizio 8.2
Dopo aver semplificato le espressioni seguenti, calcolarne il valore per c = 0,8932 e d = 2,1564.
c−d
d
c−d
c)
c+d
a)
e) 1 −
c2
d2
d
c−d
c + 2d
d)
c+d
c+d
f)
d 2 − c2
b)
26
Capitolo 9 – Quando la calcolatrice non basta
Secondo la teoria della relatività, un treno lungo L = 100 metri, quando viaggia alla velocità v=30
metri al secondo (pari a 108 km/h), risulta accorciato di una quantità data dalla formula
⎛
v 2 ⎞⎟
⎜
ΔL = L 1 − 1 − 2
⎜
c ⎟⎠
⎝
dove c è la velocità della luce, pari a 3x108 m/s.
Se cerchiamo di valutare questa formula con la calcolatrice ci accorgiamo di non poterlo fare: ΔL
risulta uguale a zero (vedi tabella alla pagina seguente).
Il motivo è molto semplice: siccome la velocità del treno è molto piccola rispetto a quella della luce,
il rapporto
⎛v⎞
⎜ ⎟
⎝c⎠
2
vale 10-14 e la calcolatrice non è in grado di sottrarre questo numero a 1.
Ma noi sì!
Noi non abbiamo problemi di limitazione delle cifre, e sappiamo che
1-10-14 = 0,999 999 999 999 99
(in realtà non è necessario scrivere questo numero in quel modo, è molto più leggibile lasciarlo
scritto nella forma 1-10-14)
È bene ricordare questo fatto: in certi casi il calcolo manuale è più potente di quello con lo
strumento elettronico.
Quali sono questi casi?
Sicuramente si presentano quando
1) il numero di cifre che è necessario utilizzare è superiore a quello del display
2) le operazioni sono molto semplici, ad esempio una somma o una differenza
In realtà la condizione 2 non è così indispensabile: se ci si accontenta di risultati approssimati, si
possono anche effettuare divisioni ed estrazioni di radici.
Nel nostro caso non è difficile dimostrare che
1 − 10 −14 ≈ 1 − 0,5 ⋅ 10 −14
Infatti, elevando al quadrato entrambi i membri otteniamo
1 − 10 −14 ≈ 1 − 2 ⋅ 0,5 ⋅ 10 −14 + 0,25 ⋅ 10 −28
Le due espressioni sono quindi uguali a fino alla ventottesima cifra decimale!
Possiamo quindi concludere che la teoria della relatività prevede per il treno una contrazione di
100 ⋅ 0,5 ⋅ 10 −14 metri
pari a mezzo miliardesimo di millimetro.
27
Tastiera
Visore
Matematica
30
30
30
v
3
8
3
08
0.0000001
1
-14
-1
1
-14
⎛v⎞
−⎜ ⎟
⎝c⎠
2
-1 -14
1
2
1
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
1
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
-1
1
v
c
2
⎛v⎞
⎜ ⎟
⎝c⎠
2
⎛v⎞
− 1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
-1
1
0
⎛v⎞
1− 1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
Riportiamo qui sotto le formule di approssimazione più comunemente usate (qui il simbolo ε indica
un numero molto piccolo, tipicamente più piccolo di 10-11 , cosicché 1 ± ε sulla calcolatrice diventa
uguale a 1)
28
Formula 9.1a
1 ± ε ≈ 1 ± 0,5 ⋅ ε
Esempio 9.1a
Calcolare con e senza calcolatrice 1,000 001
Senza calcolatrice:
1,000 . 001 = 1 + 0, 000 001 = 1 + 0,5 × 0, 000 001 = 1 + 0, 000 000 5 = 1, 000 000 5
La calcolatrice fornisce lo stesso risultato (ma è molto facile commettere errori nella digitazione)
Formula 9.1b
1
≈1∓ ε
1± ε
Esempio 9.2a
1
1, 000 002
1
1
Senza calcolatrice:
=
= 1 − 0, 000 002 = 0, 999 998
1, 000 002 1 + 0, 000 002
La calcolatrice fornisce lo stesso risultato (ma è molto facile commettere errori nella digitazione)
Calcolare con e senza calcolatrice
Esercizio 9.1
Completare la tabella qui sotto con il risultato fornito dalla calcolatrice, e con quello che si può
ottenere senza calcolatrice utilizzando le formule 9.1
Con la calcolatrice
1,000 2
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
1,000 000 06
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
1,000 000 000 008
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
0,999 4
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
Senza calcolatrice
0,999 999 96
Con calcolatrice
Senza la calcolatrice
0,999 999 999 998
Con calcolatrice
1
Senza calcolatrice
1, 000 6
1
1, 000 001
1
1, 000 000 007
Con calcolatrice
Senza calcolatrice
Con calcolatrice
Senza calcolatrice
29
1
0,999 92
1
0,999 999 5
1
0,999 999 999 993
Con calcolatrice
Senza calcolatrice
Con calcolatrice
Senza calcolatrice
Con calcolatrice
Senza calcolatrice
Nel caso si debbano effettuare operazioni simili con numeri molto vicini al numero a≠1, basterà
applicare una tecnica simile a quella del capitolo 8
Formula 9.2a
ε
ε
ε⎞
⎛
a ± ε = a (1 ± ) = a 1 ± ≈ a ⎜1 ± 0,5 ⋅ ⎟
a
a
a⎠
⎝
Ovviamente questa operazione risulta utile quando a è un quadrato perfetto.
Esempio 9.2a
Calcolare con e senza calcolatrice
Senza calcolatrice:
250. 001 =
250. 001
1
⎛
⎞
250. 000 × ⎜1 +
⎟ =
.
⎝ 250 000 ⎠
250. 000 + 1 =
1
500
1
⎛
⎞
⎛
⎞
250. 000 × ⎜1 +
=
⎟ = 500 × ⎜1 + 0,5 ×
⎟ = 500 +
.
.
500 . 000
250 000 ⎠
⎝ 250 000 ⎠
⎝
1
= 500 + .
= 500,001
1 000
La calcolatrice fornisce un risultato identico
=
Formula 9.2b
1
1
1⎛ ε ⎞
=
≈ ⎜1 ∓ ⎟
a ±ε
⎛ ε ⎞ a⎝ a⎠
a ⎜1 ± ⎟
⎝ a⎠
Esempio 9.2b
Calcolare con e senza calcolatrice
Senza calcolatrice:
1
5002
1
1
=
=
5002
5000 + 2
1
=
2 ⎞
⎛
5000 × ⎜1 +
⎟
⎝ 5000 ⎠
1
1
1
2 ⎞
⎛
−4
−4
=
=
×
× ⎜1 −
⎟ = 2 ⋅ 10 × (1 − 4 ⋅ 10 ) =
2 ⎞ 5000 ⎝ 5000 ⎠
5000 ⎛
⎜1 +
⎟
⎝ 5000 ⎠
= 2 ⋅ 10 −4 − 8 ⋅ 10 −8 = 1,9992 ⋅ 10 −4
La calcolatrice fornisce
1,99920032 ⋅ 10 −4
30
Esercizio 9.2
Completare la tabella qui sotto con il risultato fornito dalla calcolatrice, e con quello che si può
ottenere senza calcolatrice utilizzando le formule 9.2
Con la calcolatrice
25. 000. 001
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
3. 600. 000. 072
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
640. 000. 000. 004
Senza calcolatrice
Con la calcolatrice
1
.
.
.
Senza calcolatrice
1 999 999 980
Con la calcolatrice
6
.
.
.
Senza calcolatrice
2 999 999 998
Con la calcolatrice
1
.
.
Senza calcolatrice
25 000 002
31