I vettori
rappresentati come segmenti orientati
(rappresentazione geometrica)
si intendono con l’origine coincidente con l’origine del
sistema di riferimento (assi coordinati) eccetto nei
Rappresentazione
geometrica
casi in cui si parli di “vettori applicati” (fisica) per i quali si
specifica la collocazione del punto origine (punto di applicazione)
Possono appartenere a uno spazio:
monodimensionale (retta)
bidimensionale (piano)
tridimensionale (spazio tridimensionale)
n-dimensionale
Vettori dello spazio bidimensionale (R2)
Dato un sistema di
riferimento sul piano
di due assi cartesiani
ortogonali
3
v = (3;2)
u =(1;-3)
3
2
i = (1;0)
2
j = (0;1)
1
-3
-1
-2
Vettori dello spazio bidimensionale
0
-1
-2
-3
1
2
3
Ad ogni segmento
orientato si può associare
una coppia ordinata di
numeri reali, data dalle
coordinate dell’estremo
-3
P (3; 2)
v
1
j
-2
-1
0 = (0;0)
0
-1
i
-2
3
2
Ogni vettore nel piano si
può quindi rappresentare
come
-3
coppia ordinata di numeri
reali
1
u
Q (1; -3)
(rappresentazione
algebrica)
Somma di vettori
Somma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la somma di due
vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla
In rappresentazione algebrica la somma (o la
differenza) di due vettori (di coordinate date)
“regola del parallelogramma”:
è un terzo vettore che ha come coordinate la
somma (o la differenza) delle coordinate
corrispondenti.
u
u+v
v
Es,:
u = (1; -3; 2);
v = (2; 0; 5)
u + v = (3; -3; 7) ;
u - v = (-1; -3; -3)
1
Vettori dello spazio n-dimensionale (Rn)
Vettori dello spazio n-dimensionale (Rn)
Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna
rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo
Esempi:
la rappresentazione algebrica:
u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R4
Un vettore è rappresentato da una
v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R5
successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)
w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R7
v = (x1; x2; x3; ….; xn)
Modulo di un vettore
Vettori dello spazio n-dimensionale (Rn)
La somma di due vettori nello spazio Rn è un vettore
che ha per coordinate la somma delle coordinate
corrispondenti (analogamente per la differenza).
Dato il vettore v, il suo modulo v (detto anche
norma) è la lunghezza, in valore assoluto, del
segmento orientato che rappresenta il vettore (fino
a tre dimensioni - spazio R3)
Se: u = (x1; x2; x3; …xn)
Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:
e
v = (y1; y2; y3; …yn)
Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)
v = (x; y; z) ⇒ v=
x2 + y2 + z 2
Es,:
u = (1; -3; 2.5; 2);
E in generale, per uno spazio Rn (vettore a n
coordinate):
v = (2; 0; 5; -2)
u + v = (3; -3; 7.5; 0)
n
v = (x1; x2; x3; … ; xn) ⇒ v=
Unit Vector
• Unit vector (magnitude=1.0)
> u <- c(1,-3,2.5,2)
> (l <- sqrt(t(u) %*% u))
[,1]
[1,] 4.5
> (v <- u/l)
[1] 0.2222222 -0.6666667
> sqrt(t(v) %*% v)
[,1]
[1,]
1
∑ i xi
2
1
Prodotti
v
v
Prodotto di un numero per un vettore
Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il
prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :
u=cv
Il risultato di tale prodotto è un vettore (u) che ha:
-stessa direzione di v (u parallelo a v)
0.5555556
0.4444444
-verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia
rispettivamente positivo o negativo
-modulo uguale al valore assoluto di c per il modulo di v
u
= cv
 
2
Prodotti
Prodotti
Prodotto di un numero per un vettore
Prodotto di un numero per un vettore
In rappresentazione algebrica (vettori rappresentati
mediante le coordinate), il prodotto di c per un
vettore v si ottiene moltiplicando ciascuna
coordinata per v.
Es.:
u=3v
u
v
v
Es.: sia dato: v = (2; -3; 1)
u = 3 v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)
w = -2 v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)
u
u = -2 v
Prodotti
Prodotti
Prodotto di un numero per un vettore
Prodotto scalare (o interno) di due vettori
Quindi si può dare un criterio di parallelismo tra due
vettori:
Due vettori u e v sono paralleli (o proporzionali) se e solo
se uno si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un
opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due
vettori sono proporzionali
ovvero
se esiste un numero c tale che v = cu
Es.: u = (2; -1; 5) e v = (-8; -4; 20)
sono paralleli, poiché v = -4u
Infatti, in un triangolo rettangolo,
un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno
dell’angolo adiacente.
Se l’ipotenusa è v, la proiezione di v su u (il cateto) è:
Non è un vettore, ma un numero (o scalare)
In rappresentazione geometrica:
u’v = uvcos θ
v
Prodotto dei moduli (lunghezze dei
vettori) per il coseno dell’angolo
tra i vettori
θ
u
o: modulo di un vettore (u) per la
proiezione dell’altro (v) sulla
direzione del primo
Angle Between Vectors
• How do you find the angle θ between
vectors a and b?
vcos θ.
v
u’v = uvcos θ
θ
b
θ
a
Modulo di un vettore (u) per la u
proiezione dell’altro (v) sulla
direzione del primo
3
Angle Between Vectors
a' b = a b cos θ
 a' b 

cos θ = 

ab
 a' b 

θ = cos −1 

ab
b
>
>
>
>
>
u <- c(1,2)
v <- c(-3,-2)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,] -0.8682431
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 2.622447
> rad * 180/pi
[,1]
[1,] 150.2551
θ
a
>
>
>
>
>
u <- c(1,2)
v <- c(5,0)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,] 0.4472136
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 1.107149
> rad * 180/pi
[,1]
[1,] 63.43495
>
>
>
>
>
u <- c(1,2)
v <- c(2,3)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,] 0.9922779
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 0.124355
> rad * 180/pi
[,1]
[1,] 7.125016
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
u <- c(1,2)
v <- c(2,4)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,]
1
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,]
0
> rad * 180/pi
[,1]
[1,]
0
u <- c(1,2)
v <- c(3,-2)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,] -0.1240347
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 1.695151
> rad * 180/pi
[,1]
[1,] 97.12502
u <- c(1,2)
v <- c(-2,-4)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,]
-1
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 3.141593
> rad * 180/pi
[,1]
[1,] 180
Una considerazione
>
>
>
>
>
u <- c(2,2)
v <- c(4,-4)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,]
0
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 1.570796
> rad * 180/pi
[,1]
[1,]
90
>
>
>
>
>
u <- c(2,2)
v <- c(-4,4)
num <- t(u)%*%v
den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
(cost <- num/den)
[,1]
[1,]
0
> (rad <- acos(cost))
[,1]
[1,] 1.570796
> rad * 180/pi
[,1]
[1,]
90
Il coefficiente di correlazione
lineare può essere visto come
coseno dell’angolo fra due vettori
4
> x <- c( 5,10,15,20,25,30,35)
> y <- c(33,44,62,56,74,71,80)
> (u <- x - mean(x))
[1] -15 -10 -5
0
5 10 15
> (v <- y - mean(y))
[1] -27 -16
2 -4 14 11 20
> num <- t(u)%*%v
> den <- sqrt(t(u)%*%u * t(v)%*%v)
> (cost <- num/den)
[,1]
[1,] 0.9427027
> cor(x,y)
[1] 0.9427027
Dot Products with Non-Unit Vectors
• If a and b are arbitrary (non-unit) vectors,
then the following are still true:
Dot Products with Unit Vectors
0 < a’b < 1
a’b = 0
a’b = 1
b
θ
-1 < a’b < 0
a’b
a = b = 1.0
a' b = cos(θ )
a’b = -1
Dot Products with One Unit Vector
• If |u|=1.0 then a′u is the length of the projection
of a onto u
a
– If θ < 90º then a’b > 0
– If θ = 90º then a’b = 0
– If θ > 90º then a’b < 0
a
a′u = aucos θ = acos θ
u
a′ u
Vectors: Dot Product
• Interpretation: the dot product measures to
what degree two vectors are aligned
Prodotti
Prodotto scalare o interno di due vettori
In rappresentazione algebrica:
Il prodotto scalare si può ottenere se sono
date le coordinate dei vettori :
u = (x1; y1; z1)
A
v = (x2; y2; z2)
B
C
B
Il loro prodotto scalare è:
u’v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
A
Es.:
u = (3; -1; 4) ;
v = (2; 5; -3)
u’v = 3∗2 + (-1)∗5 + 4 ∗(-3) = -11
5
Prodotti
Prodotti
Prodotto scalare o interno di due vettori
Prodotto scalare o interno di due vettori
In rappresentazione algebrica:
Attraverso il prodotto scalare possiamo dare una
Il prodotto scalare di due vettori nello spazio
n-dimensionale Rn (n coordinate):
condizione di perpendicolarità tra due vettori:
u = (x1; x2; x3; … ; xn)
v = (y1; y2; y3; … ; yn )
Il loro prodotto scalare è nullo (u’v=0)
n
Il loro prodotto scalare è: u’v =
∑i
xi yi
1
Es.:
u = (3; -1; 4; 0; 5) ;
Due vettori (siano u e v) non nulli sono
perpendicolari (ortogonali) se e solo se
v = (2; 5; -3; 1; -2)
u’v = 3∗2 + (-1)∗5 + 4 ∗(-3) + 0 ∗ 1+5 ∗ (-2)= -21
Es.:
u = (3; -1; -1);
v = (2; 5; 1)
u’v = 3∗2 + (-1)∗5 + (-1) ∗(1) =0
i due vettori sono perpendicolari
Matrice ortogonale
Un matrice (quadrata) è ortogonale se AA’=A’A=I
Quindi i vettori (riga/colonna) di una matrice ortogonale
sono tutti di lunghezza unitaria e fra loro perpendicolari.
Una matrice ortogonale è anche detta ortonormale.
> (T <- matrix(c(0,1,1,0),nrow=2,
byrow=TRUE))
> u <- c(-1,-1); T %*% u
[,1] [,2]
[,1]
[1,]
0
1
[1,]
-1
[2,]
1
0
[2,]
-1
> u <- c(1,0); T %*% u
>
u
<c(-1,0);
T %*% u
[,1]
[,1]
[1,]
0
[1,]
0
[2,]
1
[2,]
-1
> u <- c(0,1); T %*% u
> u <- c(0,-1); T %*% u
[,1]
[,1]
[1,]
1
[1,]
-1
[2,]
0
[2,]
0
> u <- c(1,1); T %*% u
> u <- c(1,-1); T %*% u
[,1]
[,1]
[1,]
1
[1,]
-1
[2,]
1
[2,]
1
6
Combinazione lineare di vettori
Combinazione lineare di vettori
Quindi se:
w = c1u1 + c2u2 + … + cnun
Dati due o più vettori u1, u2, … un ,
(dove c1, c2,…, cn sono numeri non nulli)
se si moltiplica ciascuno di essi per un numero
Diciamo che il vettore w è una combinazione lineare
arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i
dei vettori u1, u2, … un.
vettori così ottenuti, si ottiene una combinazione
lineare dei vettori dati.
Es.: u = (2; 3; -5); v = (1; 0; 4)
w = 2u + v = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; 6; -6)
w è una combinazione lineare dei vettori u e v.
Osservazione
Se u = (2; 3; -5) e v = (1; 0; 4), allora w = 2u + v può
essere scritto nel modo seguente:
 2 1
5
 3 0 × 2 =  6 

 1  
− 5 4   − 6
Esempio
I vettori u = (3,-1,-1), v = (2,5,1), z = (1,0,7),
w = (29,16,63) sono linearmente dipendenti
perché
w = 4u + 4v + 9z
Dipendenza lineare tra vettori
N vettori (due o più) (u1; u2; …; un) si dicono
linearmente dipendenti
se ciascuno di essi si può esprimere come
combinazione lineare degli altri n-1 vettori.
Ciò equivale a dire che la combinazione lineare
degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per
valori dei coefficienti ci non tutti nulli.
Dipendenza lineare tra vettori
Se ciascuno degli n vettori (u1; u2; …; un) non si può
esprimere come combinazione lineare degli altri
(vale a dire che la combinazione lineare degli n vettori è nulla (uguale
al vettore nullo) solo per valori dei coefficienti ci tutti nulli)
allora gli n vettori si dicono linearmente indipendenti
7
Esempio
I vettori u = (3,-1,-1), v = (2,5,1), z = (1,0,7)
sono linearmente indipendenti perché
c1u + c2v + c3z = 0
soltanto se c1=c2=c3=0. Infatti, il sistema
 3 2 1 c1  0
−1 5 0 × c  = 0

  2  
−1 1 7 c3  0
ammette questa sola
soluzione essendo il
determinante della
matrice 123 (quindi
diverso da zero)
Dipendenza lineare tra vettori
In pratica:
1.- Due vettori paralleli sono l. dipendenti
2.- Due vettori non paralleli sono l. indipendenti.
3.- Tre vettori complanari sono l. dipendenti
4.- Tre vettori non complanari sono l. indipendenti
Sistemi di base
Sistemi di base
Un insieme di n vettori linearmente indipendenti
costituisce un sistema di base per lo spazio Rn,
Un vettore qualsiasi u (non nullo) è sistema di base
Ciò significa che ogni vettore dello spazio può
per lo spazio R1 (retta euclidea): ogni vettore v
essere espresso come combinazione lineare degli n
della retta si ottiene da u moltiplicandolo per un
vettori l. indipendenti.
numero opportuno: v = cu.
Posso usare u e v come base per R2
Sistemi di base
v = (3;2)
u =(1;-3)
3
sistema di base per lo spazio R2 (piano euclideo):
i = (1;0)
2
ogni vettore w del piano si ottiene come
j = (0;1)
Due vettori u e v non paralleli costituiscono un
L’esempio più noto è quello della coppia di versori
i e j. Ogni vettore w del piano si può scrivere
come: w = xi + yj, cioè come combinazione lineare
di i e j.
-3
v
1
j
combinazione lineare di u e v:
w = c1u + c2 v
P (3; 2)
-2
-1
0
-1
i
1
2
3
u
-2
-3
Q (1; -3)
8
> u <- c(1,-3); v <- c(3,2)
> (A <- cbind(u,v))
> A
u v
[1,] 1 3
[2,] -3 2
> (invA <- solve(A))
[,1]
[,2]
u 0.1818182 -0.2727273
v 0.2727273 0.0909091
>
> z <- c(1,0); (c <- invA %*% z)
[,1]
u 0.1818182
v 0.2727273
> c[1]*u + c[2]*v
[1] 1 0
>
> z <- c(0,1); (c <- invA %*% z)
[,1]
u -0.2727273
v 0.0909091
> c[1]*u + c[2]*v
[1] 0 1
Se u = (1,-3) e v = (3,2), come posso esprimere i = (1,0)?
Basta risolvere il sistema
 1 3 c1  1
− 3 2 × c  = 0

  2  
−1
c1   1 3 1 0.1818
c  = − 3 2 × 0 = 0.2727
  

 2 
per trovare che i = Se 0.1818u + 0.2727v
Però la coppia di vettori u = (1,-3) e v = (-2,6) non sono
una base di R2 in quanto linearmente dipendenti: la
matrice formata “appaiando” u e v ha il determinante
uguale a zero (e quindi non è invertibile).
Sistemi di base
Tre vettori u,v,z non complanari costituiscono un
sistema di base per lo spazio R3 (spazio
tridimensionale euclideo): ogni vettore w dello
> u <- c(1,-3)
> v <- c(-2,6)
> (A <- cbind(u,v))
u v
[1,] 1 -2
[2,] -3 6
> det(A)
[1] -3.330669e-16
spazio si ottiene come combinazione lineare di u, v
e z:
w = c1u + c2 v + c3z
L’esempio più noto è quello della terna di versori
i , j e k. Ogni vettore w dello spazio trid. si può
scrivere come: w = xi + yj,+ zk, cioè come
combinazione lineare di i , j e k.
Le righe (colonne) di una matrice A (m×n)
possono essere viste come un insieme di
vettori riga (vettori colonna).
Il numero massimo di righe linearmente
indipendenti è uguale al numero massimo
di colonne linearmente indipendenti.
Tale numero è detto rango della matrice A
e si indica con r(A).
LE MATRICI
2
− 1 1
 4
− 1 2
• Si consideri la matrice A = 6 − 2 3


il suo rango è 2.
• Infatti la seconda riga è la somma della prima e della
terza
1
−2 0 0 
• Si consideri la matrice B =  2 − 4 0 3  il rango è 3.
− 2 + 4 1 −1
• Infatti esiste la sottomatrice di ordine 3 ottenuta
eliminando la prima colonna che ha il det diverso da 0
9
Rango di una matrice quadrata
Proprietà del rango
• Sia A una matrice (m × n)
È l’ordine del massimo minore non nullo.
Il rango di una matrice non singolare
coincide con il suo ordine.
Il rango di una matrice singolare coincide
con il primo minore diverso da 0.
• r(A) ≤ min(m,n)
• r(A) = r(A’)
• r(AB) = min(r(A), r(B))
• pertanto: r(A’A)=r(AA’)=r(A)
• Il rango rimane invariato se si scambiano tra loro
due righe o due colonne
• Il rango rimane invariato se ciascun elemento di
una riga (colonna) viene moltiplicato per una
quantità scalare costante
Rango e determinante
Una matrice A quadrata con n righe e n
colonne si dice a pieno rango (ovvero
non singolare) se r(A)=n
In questo caso il suo determinante è
diverso da zero ed esiste la matrice
inversa di A (e viceversa).
Se il determinante di A è uguale a zero,
allora A non è a pieno rango (e viceversa)
e viene detta singolare.
10