Gestione del Rischio Finanziario
Gestione del Rischio
Finanziario
Laurea Magistrale in Scienze
Statistiche ed Attuariali
Pietro Millossovich
DEAMS ‘B. de Finetti’
Università di Trieste
Gestione del Rischio Finanziario
Indice
1
Strumenti a Reddito Fisso
2
Struttura per Scadenza dei Tassi
3
Derivati su Tassi d’Interesse
4
Stima della Struttura per Scadenza dei Tassi
5
Valutazione di Strumenti a Reddito Fisso
6
Rischio di Credito
Gestione del Rischio Finanziario
Bibliografia
J. C. Hull.
Risk Management e Istituzioni Finanziarie.
Pearson, 2008.
L. Martellini, P. Martellini e S. Priaulet.
Fixed Income Securities. Valuation, Risk Management and Portfolio
Strategies.
John Wiley & Sons, 2003.
S. Benninga.
modelli Finanziari.
McGraw-Hill, 2010.
G. Castellani, M. de Felice, F. Moriconi.
Manuale di Finanza.
(vol. I), Il Mulino, 2006.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Bibliografia
F. J. Fabozzi (Editore).
The Handbook of Fixed Income Securities.
McGraw-Hill, 2000.
F. J. Fabozzi, S. V. Mann, M. Choudhry.
The Global Money Markets
John Wiley & Sons, 2002.
R. Flavell.
Swaps and Other Derivatives
John Wiley & Sons, 2002.
Gestione del Rischio Finanziario
Strumenti a Reddito Fisso
⊲ Le obbligazioni (bonds) sono strumenti finanziari che permettono
⋆ agli emittenti di finanziare le loro attività, indebitandosi nei confronti dei
⋆ possessori (investitori), per i quali si tratta di una opportunità di
investimento.
⊲ Si tratta di strumenti che contro il pagamento di un prezzo per il loro
acquisto garantiscono il diritto a ricevere una sequenza di flussi, formati
da
⋆ interesse (cedole)
⋆ e/o capitale.
⊲ Tali flussi possono essere noti
⋆ inizialmente con certezza
⋆ oppure aleatori ma comunque determinabili al passare del tempo in base
alle clausole contrattuali.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Strumenti a Reddito Fisso
⊲ Le obbligazioni si configurano come contratti che, tipicamente,
coinvolgono
⋆ un emittente (issuer) e
⋆ una moltitudine di investitori, detti obbligazionisti (bondholders).
⊲ Frazionare un debito in molte parti presenta diversi vantaggi:
⋆ risulta più semplice trovare dei finanziatori;
⋆ le obbligazioni possono essere trasferite; dopo il loro acquisto all’emissione
(collocamento sul mercato primario), possono essere rivendute sul mercato
secondario.
⊲ Eccezioni:
⋆ private placement (vendita diretta ad un numero limitato di investitori)
⋆ obbligazioni non trasferibili (e.g. negli U.S.A. i saving bonds)
⋆ ...
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. . . Emittenti di obbligazioni
⊲ Stati (Sovereign o treasuries) e entità sovranazionali (World Bank, B.E.I.,
. . . ).
⊲ Imprese (Corporate)
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Istituzioni finanziarie (Financial)
Imprese d’assicurazioni;
Industrie (Industrial);
Servizi (Utilities);
...
⊲ Altri
⋆ Enti ‘statali’: e.g. in I la Cassa Depositi e Prestiti, . . . negli U.S.A. le
Federal Securities Agencies (FNMA, FHLMC, SLMA, . . . ).
⋆ Enti locali: in I, regioni, province, comuni; negli U.S.A. le municipalities;
⋆ ...
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. . . Chi investe in obbligazioni?
⊲ Fondi di investimento:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
obbligazionari;
monetari;
misti;
hedge funds
...
⊲ Fondi pensione;
⊲ Assicurazioni;
⊲ Stati;
⊲ Istituzioni finanziarie, imprese;
⊲ Piccoli risparmiatori;
⊲ ...
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Azioni
⊲ Le azioni sono titoli che rappresentano quote di proprietà di una società.
Garantiscono ai possessori diritti
⋆ patrimoniali (pagamento di dividendi);
⋆ amministrativi (voto nell’assemblea degli azionisti).
⋆ ...
⊲ Esistono varie tipologie di azioni che differiscono per le modalità di
ripartizione dei dividendi o della restituzione del capitale nel caso di
scioglimento della società, e d’attribuzione del diritto di voto:
⋆
⋆
⋆
⋆
Azioni ordinarie;
Azioni privilegiate;
Azioni di risparmio;
...
⊲ Negli U.S.A.: common stock, preferred stock, . . .
⊲ Anche le azioni possono essere trasferite; in tal modo si modifica la
proprietà di una società.
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Reddito Fisso e Variabile
⊲ Differenze principali tra obbligazioni (‘strumenti a reddito fisso’) e azioni
(‘strumenti a reddito variabile’):
Strumenti
Pagano
Rischio
Rischio/Rendimento
Durata
Obbligazioni
di debito
capitale e cedole
di credito
basso
fissata
Azioni
di proprietà
dividendi
di impresa
alto
senza durata
⊲ Entrambe le tipologie di strumenti sono comunque soggette al rischio di
mercato.
⊲ La classificazione vista sopra è indicativa: vi sono varie tipologie di azioni
e obbligazioni, con caratteristiche che le avvicinano: ad esempio le azioni
privilegiate, le obbligazioni convertibili, . . .
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Tipologie di obbligazioni: Zero-coupon
⊲ Zero-coupon bond: il prestito iniziale viene restituito in un’unica
soluzione (Titolo a cedola nulla, a sconto, pure discount bond)
Ce
t
s
−P e
⊲
⋆ C = valore facciale o di rimborso (face value o par value o principal; ad
esempio C = 1 o C = 100);
⋆ P = prezzo (di emissione/acquisto);
⋆ s = maturità (o scadenza) e s − t è la vita a scadenza;
⋆ C − P = interesse o sconto.
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Tipologie di obbligazioni: Coupon
⊲ Coupon bond: il debito viene restituito mediante una sequenza di
pagamenti di interesse (cedole) e del capitale alla fine.
C ′ + Ie
Ie
Ie
t1
t2
...
...
...
...
Ie
t
t0
tn−1
tn
−P e
⊲
⋆ t0 è la data di emissione o l’ultima data di pagamento cedola (t0 ≤ t < t1 );
⋆ Tipicamente ti − ti−1 = ∆ (e.g. ∆ = 1, 1/2, 1/4);
⋆ tn è la maturità (o scadenza), e tn − t è la vita a scadenza;
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Tipologie di obbligazioni: Coupon
⊲
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
C = valore nominale (facciale, face o par value o principal);
C ′ = valore di rimborso; tipicamente il rimborso è alla pari (C = C ′ );
I = cedola (coupon);
I/C = tasso cedolare; I/(∆C) = tasso nominale;
P = prezzo di emissione/acquisto.
⊲ Se P > C (<) il titolo è emesso/quota sopra (sotto) la pari; si parla di
premium (discount) bond, e P − C (C − P ) è il premio (sconto).
⊲ Spesso il prezzo quotato Q, noto come prezzo secco (clean o flat price), si
distingue dal prezzo effettivamente pagato P (prezzo tel-quel o dirty price
o full price). La relazione è
P =Q+R
0
dove R è il rateo di interesse (dietimo, accrued interest): R = I tt−t
.
1 −t0
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Obbligazioni a cedola variabile
⊲ Le cedole variano nel tempo, sono indicizzate ad una variabile economica
(+ o − uno spread); ad esempio
⋆ Tassi di interesse (LIBOR, EURIBOR, tassi di titoli di stato, . . . ); in
questo caso si parla di Floating rate securities, Floaters se la relazione
tra cedola e tasso è positiva, reverse floater se è negativa;
⋆ Indici azionari o obbligazionari;
⋆ Prezzo di una azione;
⋆ Prezzo di una commodity (e.g. petrolio);
⋆ Tasso di inflazione;
⋆ ...
⊲ Le due parti si espongono al rischio di variazioni della variabile economica
in questione;
⊲ Spesso il coupon è predeterminato: il calcolo (resettlement) della cedola
precede l’epoca in cui la cedola stessa viene pagata;
⊲ A volte il valore della cedola non può essere superiore ad un dato
ammontare (‘cap’) o scendere sotto un certo valore (‘floor’), o entrambi
(‘collar’).
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Titoli di Stato (I)
⊲ vedi www.dt.tesoro.it
⋆
⋆
⋆
⋆
Buoni ordinari del Tesoro (BOT);
Certificati del Tesoro Zero-Coupon (CTZ);
Certificati di Credito del Tesoro (CCT) (rimpiazzati nel futuro da CCTeu);
Buoni Poliennali del Tesoro (BTP).
Tipo
Scadenza
Taglio
BOT
zero
1 1
, ,1
4 2
e1000
CTZ
zero
3
,2
2
e1000
CCT
floater
7
e1000
BTP
coupon
3, 5, 10, 30
e1000
⊲ Le cedole dei CCT dipendono dal rendimento all’emissione dei BOT 6
mesi prima.
⊲ A seconda del titolo e della scadenza, vi sono aste per l’emissione di titoli
di stato ogni 15 o 30 giorni.
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. . . Titoli di Stato (estero)
⊲ (U.S.A.) vedi www.publicdebt.treas.gov
⋆ Treasury Bills (T-bills): zero-coupon bonds con scadenza 1, 3, 6 mesi (nel
passato anche 1 anno);
⋆ Treasury Notes (T-notes): coupon bonds con scadenza 2, 3, 5 o 10 anni;
⋆ Treasury Bond (T-bond): coupon bond con scadenza 30 anni
Ci sono aste per l’emissione di Treasury Bills ogni settimana; notes e
bonds invece vengono offerte meno frequentemente.
⊲ (U.K) vedi http://www.dmo.gov.uk . Le obbligazioni prendono il nome
di Gilts.
⊲ (D) vedi http://www.deutsche-finanzagentur.de .
⊲ (F) vedi http://www.francetresor.gouv.fr . Sono chiamate OAT
(Obbligations Assimilables du Trésor).
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Coupon Stripping
⊲ Per un coupon bond, tipicamente emesso dallo stato, è l’operazione di
separazione delle varie cedole e del valore di rimborso.
⊲ Vengono così creati tanti titoli zero-coupon, uno per ogni cedola (‘strips’,
acronimo che negli U.S.A. sta per Separate Trading of Registered Interest
and Principal of Securities) ed uno per il valore di rimborso (‘mantello’).
⊲ Si possono poi ricostituire nuovi titoli a partire da strips e mantelli con
origini differenti.
⊲ Scopo dello stripping è infondere liquidità al mercato degli zero-coupon e
creare strumenti a cedola nulla per scadenze per le quali normalmente
non sarebbero disponibili.
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Obbligazioni agganciate all’inflazione
⊲ Emessi dai governi in molti paesi. In I prendono il nome di BTPei.
Erano lo 0.88% delle emissioni di titoli di stato al 31/3/03, al 31/7/10
sono il 7.56%. Negli U.S.A i TIPS (Treasury Inflation Protected
Securities), in F gli OATi, . . .
⊲ La cedola semestrale pagata da un BTPei in una epoca t di pagamento
cedola è data da
c IRt
,
It = N
2 IRt0
dove
⋆ N = nominale; c = tasso nominale; t0 data di emissione
⋆ IRt = Inflazione di Riferimento al giorno t, data da
IRt = IEm(t)−3 + g(t) · IEm(t)−2 − IEm(t)−3
con m(t) mese del giorno t, IEm indice Eurostat al mese m e g(t) frazione
del mese in corso trascorsa fino al giorno t.
Il valore di rimborso a scadenza viene aggiornato in maniera simile.
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Mortgage-backed Securities (MBS)
⊲ Spesso i mutui concessi da banche e altre istituzioni finanziarie vengono
Cartolorizzati (securitised): vengono creati dei fondi (pool) in cui vengono
versati tutti i pagamenti di capitale ed interesse provenienti dagli
ammortamenti (mortgages); tali pagamenti vengono poi passati agli
investitori che hanno acquistato gli MBS
⋆ Le obbligazioni hanno la proprietà oggetto del mutuo a garanzia.
⋆ I flussi di cassa contengono sia capitale che interesse.
⋆ Dal momento che i mutui si possono estinguere anticipatamente, i flussi di
cassa e/o le durate sono incerti (prepayment risk).
⊲ Le due tipologie più comuni sono
⋆ Pass-through MBS: tutte le unità del pool sono trattate allo stesso modo;
⋆ Collateralized Mortgage Obligations, (CMOs): il pool viene diviso in classi
o tranches, utilizzando un certo criterio, che hanno poi trattamenti diversi.
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Callable/Putable Bond
⊲ Callable Bonds: passato il ‘deferment period’, l’emittente ha il diritto
di ritirare (‘redeem’) l’obbligazione pagando un prezzo (call price‘>’ face
value).
⋆ L’emittente possiede una call americana sull’obbligazione ⇒ l’obbligazione
ha un prezzo minore rispetto ad una noncallable;
⋆ L’opzione protegge l’emittente da un ribasso dei tassi.
⊲ Putable Bonds: il possessore ha il diritto di rivendere il titolo
all’emittente, ad un certo prezzo, in determinate date.
⋆ L’obbligazionista possiede una put americana sull’obbligazione ⇒
l’obbligazione ha un prezzo superiore rispetto ad una nonputable;
⋆ L’opzione protegge il possessore da un rialzo dei tassi.
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Obbligazioni convertibili/Consols
⊲ Obbligazioni Convertibili: il possessore ha il diritto di convertire il
valore di rimborso in azioni dell’emittente, secondo un certo rapporto
(‘conversion ratio’).
⋆ Il diritto di conversione può essere concesso alla scadenza oppure per una
parte più ampia della vita dell’obbligazione;
⋆ L’obbligazionista possiede una call (europea o americana) sulle azioni
dell’emittente ⇒ prezzo maggiore rispetto ad una non convertibile;
⋆ A volte l’obbligazione contiene una call provision, così l’emittente può
forzare la conversione.
⋆ In altre obbligazioni (exchangeable bonds) la conversione avviene contro
azioni di un’altra società.
⊲ Consol Bonds: sono obbligazioni che pagano cedole per sempre e non
hanno scadenza (Perpetuities).
⋆
⋆
⋆
⋆
Il valore nominale non viene mai ripagato.
Tipicamente contengono una call provision.
Si estinguono solo se chi li ha emessi li riacquista o ritira dal mercato;
Emessi, ad esempio, dal tesoro inglese durante la I guerra mondiale.
Gestione del Rischio Finanziario
CAT bonds e longevity/mortality bonds
⊲ I Catastrophe bonds sono una tipologia di obbligazioni i cui flussi di
cassa sono legati al verificarsi di eventi catastrofali (uragani, terremeoti,
. . . ), o ad indici collegati a tali fenomeni.
⋆ Nella forma più comune, pagano cedole elevate ed il capitale non viene
pagato in caso di verificarsi dell’evento catastrofe.
⋆ Emettendo tali strumenti le assicurazioni hanno uno strumento alternativo
alla riassicurazione; per gli investitori rappresenta un’opportunità di
diversificazione del rischio (rischio catastrofale e di mercato sono
incorrelati).
⊲ Nei mortality e longevity bonds (e derivatives) gli ammontari di
cedole e capitale dipendono dalla mortalità osservata di una popolazione
di riferimento o di un indice collegato alla mortalità. In particolare, i
longevity bonds garantiscono all’assicuratore copertura contro il longevity
risk, cioè il rischio collegato all’incremento della durata di vita umana.
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Money Market
⊲ Nel mercato monetario vengono trattati strumenti a reddito fisso con
maturità inferiore a 1 anno. È generalmente caratterizzato da
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Durata da 1 giorno a 1 anno;
Tipicamente i partecipanti al mercato sono grossi investitori;
Gli emittenti hanno elevata qualità creditizia;
Si tratta di un mercato non organizzato (OTC, Over The Counter);
Mercato molto liquido (gli strumenti sono anche noti come cash
equivalent).
⊲ Money market Instruments:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Titoli di stato con durata inferiore a 1 anno;
Repurchase agreements;
Commercial papers;
LIBOR/EURIBOR;
CDs;
...
Gestione del Rischio Finanziario
Money Market
⊲ Repurchase agreements (repos): sono accordi con cui una parte vende
un titolo (tipicamente un titolo dello stato) ad una controparte, con
l’intesa di riacquistarlo in seguito ad un prezzo fissato; per la controparte
l’operazione prende il nome di reverse repo.
⋆ Il tasso implicato dall’operazione è il repo rate. Si tratta quindi di un
prestito con un ‘collateral’.
⋆ La durata va da 1 giorno (‘night repo’) a un mese o più (‘term repo’).
⋆ In I sono diffusi anche presso i piccoli risparmiatori e sono noti come
pronti contro termine
⊲ Certificates of Deposit: sono strumenti emessi da banche ed altre
istituzioni finanziarie a fronte di depositi di una controparte.
⋆ Possono essere trasferibili o no. La durata è da una settimana a 1 anno o
più; in quest’ultimo caso possono pagare un interesse fisso o variabile.
⋆ Eurodollar CDs sono CD’s denominati in $ ma emessi non negli U.S.A. (ad
esempio sul mercato londinese).
⋆ Yankee CD’s sono CD’s emessi negli U.S.A. da filiali di banche straniere.
Possono essere più vantaggiosi in quanto soggetti ad un diverso
trattamento fiscale.
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Money Market
⊲ Commercial Papers: strumenti di puro sconto emessi da imprese per
finanziarsi a breve termine. Si tratta di titoli ‘unsecured’, cioè sprovvisti
di ‘collateral’. La durata va da pochi giorni a 1 anno.
⊲ EURIBOR. Le banche dell’area EURO devono mantenere dei livelli
minimi di riserve al fine di soddisfare i requisiti legislativi. A tal fine
banche con eccessi di riserva prestano fondi a banche in carenza di riserva.
La media dei tassi relativi alle banche principali è l’Euro InterBank
Offered Rate. (Vedi www.euribor.org).
⋆ Si tratta di un tasso semplice, con durata 1, 2, 3 settimane e da 1 mese a
12 mesi.
⋆ Per transazioni di un giorno il tasso prende il nome di EONIA, Euro
OverNight Index Average.
⋆ Date le caratteristiche (elevata liquidità e qualità creditizia), si tratta di
tassi di riferimento per molti altri strumenti e derivati.
⋆ Analogamente, per il mercato inglese si parla di LIBOR (si veda
www.bba.org.uk) e negli U.S.A. di Fed Fund Rate.
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Tipologie di Rischi
⊲ Rischio di Tasso o di Mercato
⋆ È il rischio dovuto a oscillazioni del prezzo di un titolo obbligazionario, in
seguito a variazioni di domanda e offerta. Spesso la variazione dei prezzi
viene fatta dipendere dalla variazione dei tassi d’interesse; la relazione è
inversa: al crescere/diminuire dei tassi il prezzo del titolo scende/sale.
⋆ È soggetto a tale rischio chi investe in obbligazioni al fine di rivenderle
prima della loro scadenza (ne sono invece esenti i ‘cassettisti’).
⋆ Tale rischio può essere misurato, almeno approssimativamente, tramite
Duration e Convexity.
⋆ Per la copertura di tale rischio esistono vari tipi di derivati.
⊲ Rischio di reinvestimento: È il rischio derivante dall’incertezza con il
livello dei tassi di interesse alle epoche in cui si ricevono cedole e capitale,
cioè cash-flows che si suppone debbano essere reinvestiti. Tale rischio
agisce in direzione opposta al rischio di tasso.
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. . . Tipologie di Rischi
⊲ Rischio di credito: È dovuto alla possibilità che chi emette
un’obbligazione non faccia fronte ai suoi impegni. Più in generale si
estende alla possibilità che la capacità creditizia dell’emittente (capacità
di far fronte ai suoi impegni) peggiori, con conseguente diminuzione del
valore di mercato del titolo. Può essere misurato da
⋆ Rating: opinione sulla solidità di un emittente, espressa da un ente
indipendente (S&P, Moody’s, Fitch, . . . )
⋆ Credit spread: differenziale di rendimento tra un’obbligazione ed una
simile priva di rischio di credito.
⊲ Rischio di liquidità: causato dall’assenza di un mercato attivo per la
compravendita del titolo, che deve quindi essere acquistato/venduto ad un
prezzo più alto/più basso di quanto atteso.
Può essere misurato dai volumi (ammontari scambiati) e dal differenziale
denaro/lettera (bid/ask spread):
⋆ Bid price: massimo prezzo al quale si può vendere il titolo.
⋆ Ask price: minimo prezzo al quale si può comprare il titolo.
Meno liquido è il mercato, più ampio è il bid-ask spread.
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. . . Tipologie di Rischi
⊲ Rischio di inflazione: è dovuto a variazioni (negative) del potere
d’acquisto, variazioni che erodono il valore reale dei cash flows ricevuti.
Tale rischio può essere gestito, come visto, mediante obbligazioni
indicizzate all’inflazione/derivati.
⊲ Rischio di Cambio: chi investe in/emette obbligazioni denominate in
valuta estera è esposto al rischio di apprezzamento/deprezzamento della
valuta domestica (vedi derivati sui tassi di cambio)
⊲ Call risk: incertezza nei cash-flows dovuta alla presenza di una call
provision.
⊲ Rischio legale o politico: rischio dovuto a modifiche nelle politiche
fiscali o ad altre decisioni legislative.
⊲ Rischio operativo: rischio dovuto a disfunzioni legate ai processi
interni di un’azienda (e.g. frodi,. . . )
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Struttura per Scadenza dei Tassi
⊲ Obbiettivo è la costruzione della struttura per scadenza dei tassi (o
curva dei tassi).
⊲ A tal fine si considera un modello idealizzato di mercato obbligazionario,
caratterizzato da numerose ipotesi semplificatrici, più o meno forti.
⊲ Nella realtà la curva dei tassi è relativa ad un emittente (e.g. uno stato) o
ad un certo tipo di mercato (LIBOR, EURIBOR, imprese con un dato
rating), ad una certa valuta, ad un certo intervallo temporale,. . .
Gestione del Rischio Finanziario
Ipotesi: Scadenzario
⊲ Sia T lo scadenzario (tenor), cioè l’insieme delle epoche in cui avvengono
le transazioni. In particolare, concentriamo l’attenzione su due casi.
⋆ Scadenzario discreto (finito o infinito):
T = {0 = t0 < t1 < . . . < tn < . . .}.
Caso particolare: ti − ti−1 = ∆ per ogni i ≥ 1.
⋆ Scadenzario continuo:
T = [0, T ] oppure T = [0, +∞[
⋆ 0 = oggi; il tempo viene misurato in anni.
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Ipotesi: Mercati Perfetti
⊲ Mercato Competitivo: gli agenti sono price-takers (non price-makers)
cioè con le loro azioni non modificano i prezzi.
⊲ Mercato privo di Frizionalità: non ci sono tassazioni sui guadagni, né
costi di transazione, non ci sono vincoli di vendita allo scoperto
(short-selling) e i titoli sono perfettamente divisibili.
⊲ Mercato privo di Opportunità di Arbitraggio (AOA). Un’arbitraggio
(free-lunch) è una strategia che produce una sequenza di cash-flows
nonnegativi in ogni epoca ed in ogni stato del mondo, e, con probabilità
positiva, un cash-flow positivo in qualche epoca.
⋆ AOA è condizione necessaria per l’equilibrio;
⋆ AOA ⇒ Legge del prezzo unico: due strategie che offrono gli stessi
cash-flows devono avere lo stesso valore iniziale.
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Struttura per Scadenza dei Prezzi
⊲ Per ogni s ∈ T, s > 0 supponiamo che vi sia un titolo a cedola nulla
(TCN) con scadenza in s, di valore nominale 1e, e che tale titolo possa
essere scambiato ad ogni epoca t ∈ T, t < s. Il suo prezzo sarà indicato
con B(t, s).
⊲ B(t, s) può essere visto come fattore di sconto tra s e t: il valore in t di
Ce in s è CB(t, s).
⊲ Proprietà di B(t, s):
⋆ Ci mettiamo nel caso in cui i TCN siano default-free, cioè pagano con
certezza 1e a scadenza. A tal fine possiamo pensare a titoli emessi da uno
stato o altro emittente con rating elevato. Di conseguenza deve essere
B(s, s) = 1.
⋆ Per AOA, deve essere inoltre B(t, s) > 0 per t < s e B(t, s) = 0 per t > s.
⊲ Si chiama struttura per scadenza dei prezzi all’epoca t ∈ T la
funzione
s → B(t, s); s ≥ t, s ∈ T.
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Struttura per Scadenza dei Tassi a Pronti
⊲ Convenzione: tutti i tassi che consideriamo sono annualizzati.
⊲ Definiamo il tasso a pronti in t per l’epoca s, r(t, s), con
t, s ∈ T, t < s tramite la
B(t, s) = e−(s−t)r(t,s) .
⋆ Quindi r(t, s) è il tasso di rendimento (intensità d’interesse), in regime di
interesse composto, corrispondente all’operazione in cui si compra in t il
TCN e lo si detiene fino alla scadenza s.
⋆ Si tratta di tassi a pronti (spot), cioè tassi concordati in t per un
investimento che inizia in t stesso.
⊲ Riesce dunque
r(t, s) = −
1
log B(t, s)
s−t
⊲ La struttura per scadenza dei tassi a pronti all’epoca t ∈ T è la
funzione
s → r(t, s); s ≥ t, s ∈ T.
Il grafico di tale funzione è la curva dei tassi.
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Day Count Conventions
⊲ Al fine di calcolare tassi e rendimenti, occorre calcolare la frazione d’anno
che intercorre fra due date. Prevalgono regole di calcolo diverso a seconda
dei mercati e degli strumenti. La maggior parte delle regole rientrano fra
le seguenti (o fra loro varianti).
1
2
3
Actual/Actual: numero effettivo di giorni fra le due date rapportato al
numero effettivo di giorni nell’anno (365 o 366), con correzioni se fra due
anni diversi.
Actual/360 (Variante: Actual/365): numero effettivo di giorni fra le due
date diviso 360 (o 365).
30/360: ogni mese ha 30 giorni, ogni anno ha 360 giorni.
g1/m1/a1 − g2/m2/a2 = 360(a1 − a2) + 30(m1 − m2) + (g1 − g2), con
alcune correzioni per l’ultimo addendo.
⊲ Esempio: frazione d’anno tra 27/2/07 e 5/1/07: 1) 53/365 = 0.1452, 2)
53/360 = 0.1472, 3) 52/360 = 0.1444.
⊲ Importanti sono anche le ‘business date conventions’, in base alle quali
date di pagamento che coincidono con festività vengono convertite in date
lavorative.
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Tassi a Termine
⊲ A differenza dei tassi a pronti, i tassi a termine o forward sono relativi
a investimenti concordati in un dato istante, che iniziano in un istante
successivo.
⊲ Fissati t, s, u ∈ T con t ≤ s < u, consideriamo la seguente operazione
costruita all’epoca t.
⋆ Acquisto un TCN con scadenza u: flusso in t pari a −B(t, u) ed in u pari a
+1;
⋆ vendo x TCN con scadenza s: flusso in t pari a +xB(t, s) ed in s pari a
−x.
1
t
s
xB(t, s) − B(t, u)
−x
u
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. . . Tassi a Termine
⊲
⋆ Scegliamo x in maniera tale che il flusso in t sia nullo:
xB(t, s) − B(t, u) = 0 ⇔ x = B(t, u)/B(t, s).
⋆ La situazione è allora
1
t
s
u
−B(t, u)/B(t, s)
⊲ Tale operazione genera flussi di cassa in s ed u, ma non in t (istante in cui
l’operazione è concordata).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Tassi a Termine
⊲ Si definisce tasso a termine in t per il periodo [s, u], f (t, s, u), il tasso
di rendimento (in regime di interesse composto) corrispondente a questa
operazione:
B(t, u)
= e−(u−s)f (t,s,u) ,
B(t, s)
da cui si ricava che
f (t, s, u) = −
1
B(t, u)
log
.
u−s
B(t, s)
⊲ La struttura per scadenza dei tassi forward all’epoca t è la funzione
(s, u) → f (t, s, u), u > s ≥ t, s, u ∈ T.
Gestione del Rischio Finanziario
Prezzi, Tassi a pronti e a Termine
⊲ È equivalente conoscere, ad una certa epoca t, i prezzi B(t, s), i tassi a
pronti r(t, s) o i tassi a termine f (t, s, u).
⋆ Infatti, noti i prezzi, si determinano (per costruzione) i tassi a termine.
⋆ Viceversa, noti i tassi a termine, si hanno come caso particolare i tassi a
pronti: ponendo s = t in f (t, s, u) si trova
1
B(t, u)
log
u−t
B(t, t)
1
log B(t, u)
=−
u−t
=r(t, u).
f (t, t, u) = −
⋆ Infine, come già osservato, noti i tassi a pronti, sono noti anche i prezzi.
Gestione del Rischio Finanziario
Prezzi, Tassi a pronti e a Termine
⊲ Per t, s ∈ T e t < s, r(t, s) > 0 ⇔ B(t, s) < 1 cioè i tassi a pronti sono
positivi se e solo se il corrispondente TCN vende a sconto.
⊲ L’ultima proprietà ha le seguenti implicazioni: le seguenti proposizioni
sono equivalenti
1
2
3
4
B(t, s) > B(t, u) per t, s, u ∈ T e t ≤ s < u
f (t, s, u) > 0 per t, s, u ∈ T e t ≤ s < u
B(t, s) < 1 per t, s ∈ T e t < s
r(t, s) > 0 per t, s ∈ T e t < s
(1) ⇔ (2) segue dalla definizione di f (t, s, u),
B(t, u) = B(t, s)e−f (t,s,u)(u−s) .
(3) ⇔ (4) è stata vista sopra.
(1) ⇒ (3) basta prendere t = s in (1). Per provare che (3) ⇒ (1),
consideriamo la seguente strategia: in t acquisto di un TCN con scadenza
s, vendita di un TCN con scadenza u; in s acquisto di un TCN con
scadenza u
Gestione del Rischio Finanziario
Prezzi, Tassi a pronti e a Termine
⊲ I flussi di cassa sono:
⋆ in t, −B(t, s) + B(t, u)
⋆ in s, 1 − B(s, u)
⋆ in u, 1 − 1 = 0
essendo il flusso in s dato da 1 − B(s, u) > 0 (da (3)), il flusso in t deve
essere −B(t, s) + B(t, u) < 0, cioè B(t, s) < B(t, u) altrimenti ci
sarebbe un arbitraggio.
⊲ quindi se i tassi sono positivi la ‘discount function’ è decrescente.
Gestione del Rischio Finanziario
Prezzi, Tassi a pronti e a Termine
⊲ Fissiamo t < s < u;
⋆ partendo dalla
B(t, u) = B(t, s)e−(u−s)f (t,s,u) ,
sostituendo i tassi a pronti si trova
e−(u−t)r(t,u) = e−(s−t)r(t,s) e−(u−s)f (t,s,u) ,
⋆ passando ai logaritmi e esplicitando r(t, u),
r(t, u) =
s−t
u−s
r(t, s) +
f (t, s, u)
u−t
u−t
cioè il tasso ‘a lungo termine’ r(t, u) è media ponderata del tasso ‘a breve
termine’ r(t, s) = f (t, t, s) e del tasso forward f (t, s, u);
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi a pronti e a Termine
⊲ Dalla relazione che esprime r(t, u) come media ponderata di r(t, s) e
f (t, s, u) si trova che, per t, s, u ∈ T
r(t, s) > r(t, u) ⇔ r(t, s) > r(t, u) > f (t, s, u)
r(t, s) < r(t, u) ⇔ r(t, s) < r(t, u) < f (t, s, u).
⊲ Ne segue che
⋆ Se la struttura dei tassi a pronti è crescente (descrescente) allora è
dominata dai (domina i) tassi a termine.
⋆ Quando la curva dei tassi a pronti ‘cambia andamento’, cioè passa da
crescenza a decrescenza o viceversa, allora la curva dei tassi a termine
‘attraversa’ quella dei tassi a pronti.
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi e Intensità
⊲ In luogo delle intensità di interesse, r(t, s) (spot) e f (t, s, u) (forward), si
possono utilizzare i corrispondenti tassi di interesse.
⊲ Il legame tra queste quantità è dato da
(1 + tasso)periodo = eperiodo·intensità .
⊲ Avremo quindi i tassi i(t, s) (spot) e if (t, s, u) (forward), definiti da
1 + i(t, s) = er(t,s)
1 + if (t, s, u) = ef (t,s,u) ,
e legati da
(1 + i(t, u))u−t = (1 + i(t, s))s−t (1 + if (t, s, u))u−s ,
quindi il fattore di capitalizzazione ‘a lungo’ 1 + i(t, u) è media
geometrica dei corrispondenti fattori ‘a breve’ e a termine.
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi LIBOR
⊲ A volte si calcola il rendimento di un’operazione basandosi su tassi
semplici (cioè in regime di interesse semplice), soprattutto per
investimenti di durata inferiore a 1 anno.
⊲ Definiamo allora il tasso LIBOR a pronti in t per l’epoca s, L(t, s), con
t, s ∈ T e t ≤ s, come il tasso in regime di interesse semplice
corrispondente ad un investimento tra t e s:
B(t, s) =
da cui si ricava
L(t, s) =
1
,
1 + L(t, s)(s − t)
1
s−t
1
−1 .
B(t, s)
⊲ La struttura per scadenza dei tassi LIBOR all’epoca t ∈ T è la
funzione
s → L(t, s), s ≥ t, s ∈ T.
Il grafico di tale funzione è la curva dei tassi LIBOR.
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi LIBOR a termine
⊲ Il tasso semplice a termine in t per il periodo [s, u], Lf (t, s, u), con
t ≤ s < u e t, s, u ∈ T è definito implicitamente da
(1 + L(t, s)(s − t))(1 + Lf (t, s, u)(u − s)) = (1 + L(t, u)(u − t)),
⊲ Il legame con le altre quantità introdotte in precedenza è dato da:
1 + L(t, u)(u − t)
1
−1
Lf (t, s, u) =
u − s 1 + L(t, s)(s − t)
1
B(t, s)
=
−1
u − s B(t, u)
=
e(u−s)f (t,s,u) − 1
.
u−s
Gestione del Rischio Finanziario
Scadenzario Discreto
⊲ Consideriamo il caso T = {0 = t0 < t1 < . . . < tn < . . .};
⋆ poniamo ∆i = ti+1 − ti per i ≥ 0.
⋆ Per ti , tj ∈ T con ti ≤ tj < sup T, definiamo il tasso a termine
uniperiodale in ti per tj , f (ti , tj ), come il tasso a termine
dell’investimento stabilito in ti , che comincia in tj e termina nell’epoca
successiva tj+1 :
f (ti , tj ) = f (ti , tj , tj+1 )
=−
1
B(ti , tj+1 )
log
.
∆j
B(ti , tj )
⊲ La struttura dei tassi a termine uniperiodali all’epoca t ∈ T è la
funzione
s → f (t, s), t < s < sup T, t, s ∈ T.
Il grafico di tale funzione è la curva dei tassi a termine uniperiodali.
Gestione del Rischio Finanziario
Scadenzario Discreto
⊲ Dai tassi uniperiodali si possono ricostruire le altre quantità:
⋆ I prezzi dei TCN e i tassi a pronti: per ti < tj con ti , tj ∈ T,
B(ti , tj ) = e−
Pj−1
l=i
∆l f (ti ,tl )
, r(ti , tj ) =
j−1
1 X
∆l f (ti , tl ),
tj − ti l=i
⋆ I tassi a termine: per ti ≤ tj < tk , con ti , tj , tk ∈ T,
f (ti , tj , tk ) =
k−1
X
1
∆l f (ti , tl ).
tk − tj l=j
⋆ I tassi a pronti e a termine sono medie ponderate dei tassi uniperiodali sui
corrispondenti periodi di investimento.
⊲ Definiamo ancora il tasso a pronti uniperiodale in ti ∈ T con
ti < sup T, r(ti ), come
r(ti ) = f (ti , ti ) = r(ti , ti+1 ) = −
cioè B(ti , ti+1 ) = e−∆i r(ti ) .
1
log B(ti , ti+1 )
∆i
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi Semplici Uniperiodali
⊲ In regime di interesse semplice (tassi LIBOR), si definiscono i
corrispondenti tassi semplici uniperiodali a termine:
Lf (ti , tj ) = Lf (ti , tj , tj+1 )
B(ti , tj )
1
−1
=
∆j B(ti , tj+1 )
=
e∆j f (ti ,tj ) − 1
,
∆j
⊲ e quello a pronti:
L(ti ) = Lf (ti , ti ) = L(ti , ti )
1
1
−1
=
∆i B(ti , ti+1 )
=
e∆i r(ti ) − 1
.
∆i
Gestione del Rischio Finanziario
Money Market Instrument
⊲ Chiamiamo money market instrument il titolo, il cui prezzo all’epoca
t è indicato con B(t), costruito a partire dai TCN di tutte le scadenze
mediante la seguente strategia (detta roll-over):
⋆ in t0 = 0, 1e viene investito in TCN con scadenza t1 , epoca in cui si riceve
l’ammontare B(t1 ) = e∆0 r(0) ;
⋆ ad ogni epoca successiva ti , l’ammontare B(ti ) viene investito in TCN con
scadenza ti+1 , epoca in cui si riceve B(ti )e∆i r(ti ) ;
1e
B(t1 )
B(t2 )
t0
t1
t2
...
...
⊲ Riassumendo, tale strumento finanziario è tale che il suo prezzo verifica la
B(0) = B(t0 ) = 1 e, per ti ∈ T,
B(ti ) = e
Pi−1
l=0
∆l r(tl )
=
i−1
Y
l=0
i−1
Y
1
(1 + ∆l L(tl , tl+1 )).
=
B(tl , tl+1 )
l=0
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi EURIBOR - ti =1/12/06
tj − ti
1s
2s
3s
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
8m
9m
10m
11m
12m
L(ti , tj )
3.33
3.45
3.52
3.59
3.62
3.64
3.68
3.72
3.74
3.77
3.79
3.81
3.83
3.84
3.85
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi EURIBOR composti - ti =1/12/06
tj − ti
1s
2s
3s
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
8m
9m
10m
11m
12m
r(ti , tj )
3.33
3.45
3.51
3.58
3.61
3.62
3.65
3.69
3.71
3.73
3.75
3.76
3.77
3.77
3.78
f (ti , tj−1 )
3.33
3.56
3.64
3.74
3.63
3.65
3.75
3.82
3.81
3.85
3.88
3.84
3.83
3.86
3.83
3.9
Gestione del Rischio Finanziario
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
spot
forward
12/06
03/07
07/07
10/07
Tassi EURIBOR a pronti e a termine - 1/12/06
Gestione del Rischio Finanziario
Scadenzario Continuo
⊲ Nel caso T = [0, T ] oppure T = [0, +∞[, per t, s ∈ T con t ≤ s < sup T
definiamo il tasso forward istantaneo in t per s come (assumendo che
il limite esista)
f (t, s) = lim f (t, s, u).
u↓s
⊲ Riesce
1
B(t, u)
log
u↓s
u−s
B(t, s)
log B(t, u) − log B(t, s)
= − lim
u↓s
u−s
∂
=−
log B(t, s)
∂s
∂
B(t, s)
= − ∂s
.
B(t, s)
f (t, s) = lim
−
Gestione del Rischio Finanziario
Scadenzario Continuo
⊲ Interpretazione:
⋆ ‘f (t, s) = f (t, s, s+ )’, cioè f (t, s) è il tasso a termine istantaneo concordato
in t, per un investimento che inizia in s e finisce un istante dopo (in s+ ).
⋆ Infatti consideriamo l’operazione concordata in t, in cui acquisto un TCN
che scade in s+ = s + ∆s (con ∆s > 0) e vendo B(t, s+ )/B(t, s) TCN con
scadenza s. Il costo in t di tale operazione è 0
B(t, s+ )
B(t, s) − B(t, s+ ) = 0,
B(t, s)
per cui la situazione è
1
s
s+
t
−B(t, s+)/B(t, s)
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi forward istantanei
⊲
⋆ L’interesse generato da tale operazione è
B(t, s+ )
B(t, s)
B(t,
s) − f (t, s)B(t, s)∆s
∼
=1−
B(t, s)
∼
= f (t, s)∆s.
Montante − Capitale iniziale = 1 −
⊲ La struttura dei tassi a termine istantanei all’epoca t ∈ T è la
funzione
s → f (t, s), t, s ∈ T, t ≤ s < sup T.
Il grafico di tale funzione è la curva dei tassi a termine istantanei.
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi forward istantanei
⊲ Dai tassi istantanei si ricavano tutte le altre quantità.
⋆ infatti riesce, per t, s ∈ T con t < s,
Z s
Z
f (t, v)dv = −
t
s
∂
log B(t, v)dv
∂v
= −[log B(t, s) − log B(t, t)]
t
= − log B(t, s),
da cui
B(t, s) = e−
Rs
t f (t,v)dv
.
⋆ Noti i prezzi si posso trovare anche gli altri tassi in funzione di quelli
istantanei.
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi forward istantanei
⊲
⋆ Si trova infatti che per t, s ∈ T con t < s
1
log B(t, s)
s−t
Z s
1
f (t, v)dv,
=
s−t t
r(t, s) = −
⋆ più in generale, per t, s, u ∈ T con t ≤ s < u,
s−t
u−t
r(t, u) −
r(t, s)
u−s
u−s
Z u
Z s
1
=
f (t, v)dv −
f (t, v)dv
u−s
t
Z ut
1
=
f (t, v)dv.
u−s s
f (t, s, u) =
⋆ Quindi i tassi r(t, s) e f (t, s, u) sono le medie dei tassi istantanei sui
corrispondenti periodi di investimento.
Gestione del Rischio Finanziario
Tasso a pronti istantaneo
⊲ Possiamo ancora definire, per t ∈ T con t < sup T, il tasso a pronti
istantaneo come
r(t) = f (t, t)
= lim r(t, s)
s↓t
∂
=−
log B(t, s)
∂s
s=t
∂
B(t, s)
=−
∂s
s=t
quindi è il tasso che remunera un investimento che inizia in t e finisce
immediatamente dopo (in ‘t+ = t + ∆t’).
Gestione del Rischio Finanziario
Tasso semplici istantanei
⊲ Se partiamo dai tassi semplici (LIBOR) e definiamo in maniera analoga a
prima i tassi istantanei
Lf (t, s) = lim Lf (t, s, u), L(t) = Lf (t, t),
u↓s
si trova
Lf (t, s) = lim Lf (t, s, u)
u↓s
= lim
u↓s
B(t, s) − B(t, u)
(u − s)B(t, u)
∂
B(t, s)
= − ∂s
B(t, s)
= f (t, s)
e quindi anche L(t) = r(t). I tassi istantanei sono gli stessi in regime di
interesse composto e semplice.
Gestione del Rischio Finanziario
Money Market Instrument
⊲ Possiamo infine definire il money market instrument o conto
bancario come il titolo (supposto esistente), il cui prezzo all’epoca t si
indica con B(t), costruito a partire dai TCN relativi a tutte le scadenze:
⋆ si parte con 1e all’epoca 0;
⋆ in ogni istante t il valore di questo titolo viene investito in TCN che
scadono immediatamente dopo, e così via. Formalmente, il prezzo del
titolo verifica
(
B(0) = 1
dB(t) = B(t)r(t)dt,
⋆ quindi si trova
Rt
B(t) = e
0 r(v)dv
.
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello Parametrico:
Nelson-Siegel (1987)
⊲ T = [0, ∞[.
⋆ Fissiamo t ≥ 0; il modello specifica la forma dei tassi forward istantanei
all’epoca t per ogni scadenza successiva:
f (t, s) = β0 + β1 e−(s−t)/a + β2
s − t −(s−t)/a
e
,
a
con β0 , β1 , β2 ∈ R e a > 0. Il modello dipende da 4 parametri.
⋆ f (t, s) dipende solo dall’ampiezza del periodo s − t. Nel seguito possiamo
allora considerare t = 0:
t
f (0, t) = β0 + β1 e−t/a + β2 e−t/a .
a
⊲ Questo modello e sue varianti vengono usato frequentemente per
descrivere e/o stimare la curva dei tassi.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Nelson-Siegel
⊲ Deriviamo le altre quantità:
⋆ i tassi a pronti sono dati da
Z
1 t
r(0, t) =
f (0, u)du
t 0
1 − e−t/a
= β0 + (β1 + β2 )
− β2 e−t/a .
t/a
⋆ Più in generale, i tassi forward per l’intervallo [s, u] sono
Z u
1
f (0, v)dv
f (0, s, u) =
u−s s
β1 + β2
=β0 +
e−s/a − e−u/a
(u − s)/a
β2
+
se−s/a − ue−u/a .
u−s
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Nelson-Siegel
⊲
⋆ Infine, i prezzi dei TCN (la ‘discount function’) sono
B(0, t) = e−t r(0,t)
= e−tβ0 −(β1 +β2 )a(1−e
−t/a
)−β2 te−t/a
⊲ Osserviamo che, fissato a, i tassi (a pronti o a termine) dipendono da
β0 , β1 , β2 in maniera lineare ⇒ regressione lineare può essere usata per
stimare i parametri (con a fissato).
⊲ Interpretazione dei parametri:
⋆ f (0, t) è somma di tre componenti:
f (0, t) = c1 (t) + c2 (t) + c3 (t),
con
t
c1 (t) = β0 , c2 (t) = β1 e−t/a , c3 (t) = β2 e−t/a .
a
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Nelson-Siegel
⊲ Riesce
⋆ c1 è costante: limt→0 c1 (t) = limt→∞ c1 (t) = β0 ;
⋆ c2 è monotona decrescente se β1 > 0, crescente se β1 < 0, (costante se
β1 = 0).
Inoltre limt→0 c2 (t) = c2 (0) = β1 e limt→∞ c2 (t) = 0.
⋆ Se β2 = 0, c3 (t) è costante. Se β2 > 0, c3 cresce fino a t∗ = a e poi
decresce (t∗ è punto di massimo assoluto). Se invece β2 < 0, c3 decresce
fino a t∗ e poi è crescente (t∗ punto di minimo assoluto). Inoltre riesce
limt→0 c3 (t) = limt→∞ c3 (t) = 0.
⊲ Di conseguenza, si può interpretare
⋆ c1 come componente di lungo termine (è l’unica che ha limite non nullo in
∞),
⋆ c2 come componente di breve termine (il limite in 0 è non nullo)
⋆ e c3 come componente di medio periodo (ha limite 0 sia in 0 che in ∞).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Nelson-Siegel
⊲ Osserviamo ancora che
⋆ Il tasso istantaneo per una scadenza ‘infinita’ è
f (0, ∞) = lim f (0, t) = β0 .
t→∞
⋆ Il tasso istantaneo a pronti (‘spot rate’) è
r(0) = f (0, 0) = r(0, 0) = lim f (0, t) = β0 + β1 .
t→0
⋆ Il parametro a è un parametro di posizione: non cambia il ‘tipo di
andamento’ della curva dei tassi, ma la ‘comprime’ (se a piccolo) o
‘allunga’ (se a grande) infatti, è f (0, t; α) = f (0, kt; kα).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Nelson-Siegel
⊲ Per i tassi a pronti si osserva la stessa decomposizione che sussiste per i
tassi a termine istantanei
⋆ riesce infatti
r(0, t) = β0 + β1
1 − e−t/a
+ β2
t/a
1 − e−t/a
− e−t/a
t/a
e h2 (t) = 1−et − e−t si vede che
⋆ studiando le due funzioni h1 (t) = 1−et
h1 (0+) = 1, h1 (∞) = 0, h1 decrescente, e h2 (0+) = 0, h2 (∞) = 0, h2
prima decrescente poi crescente
⋆ Per r(0, t) si possono fare le stesse osservazioni che per f (0, t).
−t
−t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Gestione del Rischio Finanziario
0
2
4
6
8
r(0, t): a = 1, β0 = 0.2, β1 = −0.1
β2 = −0.5, −0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1
10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Gestione del Rischio Finanziario
0
2
4
6
8
r(0, t): a = 2, β0 = 0.2, β1 = −0.1
β2 = −0.5, −0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1
10
0.00
0.04
0.08
0.12
Gestione del Rischio Finanziario
0
2
4
6
8
10
r(0, t): a = 1, 2, β0 = 0.2, β1 = −0.1, β2 = −0.5
−0.1
0.0
0.1
0.2
Gestione del Rischio Finanziario
0
2
4
6
8
grafico di f (0, t) e di c1 , c2 , c3
a = 1, β0 = 0.2, β1 = −0.1, β2 = −0.5
10
Gestione del Rischio Finanziario
Proprietà Empiriche della Curva dei Tassi
⊲ Le curve dei tassi che si osservano in pratica rientrano fra le seguenti
forme:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
piatta (flat);
crescente (normale);
decrescente (invertita);
campanulare (humped);
a S o a cucchiaio.
⊲ La famiglia di curve dei tassi del tipo Nelson-Siegel cattura le prime 4
forme.
⊲ Al fine di riprodurre anche l’ultima forma, sono state proposte alcune
estensioni di Nelson-Siegel, in particolare il modello di Svensson.
Gestione del Rischio Finanziario
Valore di un Flusso di Cassa
⊲ Data la struttura per scadenza dei tassi ad un’epoca t ∈ T, deriviamo il
prezzo di un titolo che paga flussi pari a Ii ≥ 0 in ti , i = 1, . . . , n, con
t < t1 < t2 < . . . < tn . Indicato con P tale prezzo, deve essere
P =
n
X
i=1
Ii B(t, ti ) =
n
X
Ii e−r(t,ti )(ti −t) .
i=1
⊲ Infatti la strategia in cui acquisto in t la quantità Ii di TCN con scadenza
ti (i = 1, . . . , n) produce gli stessi flussi di cassa del titolo in questione,
quindi per la legge del prezzo unico il prezzo del titolo deve essere uguale
al valore della strategia.
⊲ Il valore del flusso dipende quindi inversamente da un certo numero di
punti sulla curva dei tassi (‘fattori di rischio’).
Gestione del Rischio Finanziario
Yield to Maturity
⊲ L’Yield to Maturity (YTM, Redemption Yield, Rendimento a Scadenza) è
il tasso interno di rendimento (supposto esistente) r dell’operazione
in cui si paga P in t e si riceve la sequenza di flussi Ii in ti , i = 1, . . . , n:
P =
n
X
Ii e−r(t,ti )(ti −t) =
n
X
Ii e−r(ti −t) .
i=1
i=1
⊲ Si tratta quindi di un valore che sintetizza (una ‘media’) i tassi
r(t, ti ), i = 1, . . . , n e quindi verifica
min r(t, ti ) ≤ r ≤ max r(t, ti ).
i
i
⊲ Per un TCN che scade in tn = s, riesce r = r(t, s).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Yield to Maturity
⊲ Ipotesi sottostante l’YTM è che
⋆ si detenga il titolo fino a scadenza.
⋆ si possa reinvestire al tasso r fino all’ultima epoca ogni cash-flow ricevuto.
Infatti, dalla definizione di YTM si deduce che
P er(tn −t) =
n
X
Ii er(tn −ti ) .
i=1
⊲ Difetto del YTM è quindi l’assumere una struttura per scadenza piatta
dei tassi e trascurare di conseguenza il rischio di reinvestimento.
⊲ Tuttavia l’YTM è comunemente usato come misura del rendimento di
un’obbligazione.
⊲ Se si ragiona in termini di tassi invece che di intensità, indicato con i il
tasso interno di rendimento, la relazione è i = er − 1.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Coupon Bond
⊲ Nel caso di un coupon bond, sia Ih = I per h = 1, . . . , n − 1 e
In = I + C, dove I è la cedola e C il nominale; inoltre sia th = t + h∆
per h = 1, . . . , n.
⊲ Il coupon bond quota alla pari (sotto, sopra) se e solo se l’YTM (tasso
su base periodale) i∆ = (1 + i)∆ − 1 coincide (è maggiore, minore) con il
tasso cedolare I/C.
⋆ Riesce infatti, ponendo v = (1 + i)−∆ = (1 + i∆ )−1 ,
P =I
n
X
(1 + i)−h∆ + C(1 + i)−n∆
h=1
1 − vn
+ Cv n
1−v
v
− C + C.
= (1 − v n ) I
1−v
= Iv
⋆ Quindi P = C se e solo se I/C = (1 − v)/v e quindi se e solo se i∆ = I/C.
⊲ Ad esempio, un bond con cedole annuali pari a 3%, nominale 100 e
scadenza 10 anni quota alla pari (sotto, sopra) se e solo se l’YTM è
i = 3% (>, <) (r = 2.96%).
Gestione del Rischio Finanziario
Par Rate
⊲ Si chiama par rate (par yield, tasso di parità) relativo ad una certa
scadenza tn e frequenza ∆ il tasso nominale c tale che la corrispondente
obbligazione con nominale C = 100, che paga cedole I = c∆100 in
ti = t + i∆, quota alla pari.
⊲ In altri termini il tasso cedolare c ∆ è il YTM su base periodale
dell’obbligazione.
⊲ Data la struttura per scadenza dei tassi, deve essere
100 = I
n
X
B(t, ti ) + 100B(t, tn ),
i=1
da cui si ricava
c ≡ c(t, n) =
1 − B(t, tn )
Pn
.
∆ i=1 B(t, ti )
⊲ Per t ∈ T fissato, la struttura per scadenza dei par rate è la funzione
n → c(t, n); n ≥ 1.
Il suo grafico è la curva dei par rates.
Gestione del Rischio Finanziario
Par Rate
⊲ Riesce (ponendo t0 = t)
⋆
1 − B(t, tn )
P
∆ n
i=1 B(t, ti )
n
X
B(t, ti−1 ) − B(t, ti )
B(t, ti )
Pn
=
∆B(t, ti )
B(t,
t
)
j
j=1
i=1
c(t, n) =
=
n
X
i=1
B(t, ti )
Pn
Lf (t, ti−1 , ti ).
j=1 B(t, tj )
⋆ Quindi il par rate è una media dei tassi a termine semplici; è allora
min Lf (t, ti−1 , ti ) ≤ c(t, n) ≤ max Lf (t, ti−1 , ti ).
i
i
⋆ Inoltre, si ha
Pn
i=1 B(t, ti )
c(t, n + 1) = αc(t, n) + (1 − α)Lf (t, tn , tn−1 ), α = Pn+1
,
i=1 B(t, ti )
quindi se la struttura per scadenza dei par rates è crescente (decrescente)
allora sono dominati dai (dominano i) tassi a termine corrispondenti.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Yield to Maturity
⊲ È comune ragionare in termini di prezzo di un titolo come funzione
(decrescente) dell’YTM:
P ≡ P (r) =
n
X
Ii e−r(ti −t) .
i=1
⊲ Come si comporta P al variare di r?
⋆
P ′ (r) = −
P ′′ (r) =
n
X
i=1
n
X
i=1
Ii (ti − t)e−r(ti −t) < 0
Ii (ti − t)2 e−r(ti −t) > 0
⋆ Quindi P è funzione decrescente convessa dell’YTM. Al crescere del
YTM il prezzo decresce con tassi marginali decrescenti
P
⋆ Essendo P continua e limr→∞ PP
(r) = 0 e P (0) = i Ii si deduce che
l’YTM esiste unico se 0 < P < i Ii .
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Yield to Maturity
⊲
⋆ La convessità implica che una variazione positiva dell’YTM comporta una
variazione (negativa) del prezzo maggiore alla variazione (positiva)
corrispondente ad un uguale variazione di segno negativo dell’YTM:
P (r) − P (r + ∆r) < P (r − ∆r) − P (r).
⋆ Dividendo per P (r), lo stesso risultati si applica alle variazioni percentuali
(variazioni/prezzo):
P (r) − P (r + ∆r)
P (r − ∆r) − P (r)
<
.
P (r)
P (r)
Gestione del Rischio Finanziario
Duration (Macaulay, 1938)
⊲ Per calcolare approssimativamente l’entità delle variazioni assolute e
percentuali del prezzo si introducono le seguenti quantità: la dollar
duration, $D e la duration D, definite da
$D = P ′ (r), D = −
P ′ (r)
= −(log P (r))′
P (r)
⊲ La prima approssima la variazione di P , la seconda la sua variazione
percentuale, quando il YTM varia di una quantità ‘piccola’ ∆r:
∆P (r) = P (r + ∆r) − P (r) ∼
= P ′ (r)∆r = $D ∆r,
P (r + ∆r) − P (r) ∼ P ′ (r)∆r
∆P (r)
=
= −D ∆r
=
P (r)
P (r)
P (r)
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration
⊲ La Duration può essere interpretata come media temporale:
P ′ (r)
P (r)
Pn
−r(ti −t)
i=1 Ii (ti − t)e
=
P (r)
n
X
wi (ti − t),
=
D=−
i=1
con wi = Ii e−r(ti −t) /P (r).
⊲ Si tratta quindi della media delle vite a scadenza dei flussi pesate con i
flussi scontati usando l’YTM.
⊲ Riesce quindi
t1 − t ≤ D ≤ tn − t,
e l’uguaglianza vale se e solo se c’è una sola scadenza. Quindi per un
TCN la duration coincide con la vita a scadenza.
Gestione del Rischio Finanziario
Convexity
⊲ L’approssimazione ‘del primo ordine’ che si ottiene con la duration può
essere migliorata considerando un termine di ‘secondo ordine’;
⋆ questo corrisponde ad approssimare con un polinomio di secondo grado
(parabola) piuttosto che di primo grado (retta).
⋆ Si ha allora
1
∆P (r) ∼
= $D ∆r + $Conv (∆r)2 ,
2
∆P (r) ∼
1
= −D ∆r + Conv (∆r)2 .
P (r)
2
⋆ Conv = P ′′ (r)/P (r) è la Convexity e $Conv = P ′′ (r) è la Dollar
Convexity.
⊲ La convexity è il momento secondo (ponderato) delle vite a scadenza:
Conv =
n
X
i=1
wi (ti − t)2 .
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration
⊲ Se ragioniamo in termini di tasso i piuttosto che di intensità r, essendo il
legame r = log(1 + i), possiamo introdurre la funzione
P (i) = P (log(1 + i)) =
n
X
Ii (1 + i)−(ti −t) .
i=1
⊲ Riesce allora
⋆
′
′
P (i) =
P ′ (log(1 + i))
P (i)
D
$D
=−
=
,
= − MD,
1+i
1 + i P (i)
1+i
D
⋆ dove MD = 1+i
è la Duration modificata.
⋆ Al fine di approssimare una variazione percentuale piccola ∆i nel tasso, si
utilizza
∆P (i) ∼
= MD ∆i
P (i)
′′
⊲ Al secondo ordine: P (i)/P (i) = (Conv + D)/(1 + i)2 .
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration
⊲ Esempio: coupon bond, cedole semestrali, scadenza 5 anni, cedole 2.5%,
P = 87.23, YTM r=8% (i=8.33%, i2 =4.08%), duration e convexity
D = 4.44, Conv = 21.23.
∆r (b.p.)
-400
-300
-200
-100
-80
-60
-40
-20
20
40
60
80
100
200
300
400
∆P
17.08
12.50
8.13
3.97
3.16
2.36
1.56
0.78
-0.77
-1.53
-2.29
-3.04
-3.78
-7.39
-10.83
-14.11
$D
15.49
11.62
7.75
3.87
3.10
2.32
1.55
0.77
-0.77
-1.55
-2.32
-3.10
-3.87
-7.75
-11.62
-15.49
$D & $Conv
16.98
12.45
8.12
3.97
3.16
2.36
1.56
0.78
-0.77
-1.53
-2.29
-3.04
-3.78
-7.38
-10.79
-14.01
∆P/P (%)
19.58
14.33
9.32
4.55
3.62
2.70
1.79
0.89
-0.88
-1.76
-2.63
-3.49
-4.34
-8.47
-12.41
-16.17
D
17.76
13.32
8.88
4.44
3.55
2.66
1.78
0.89
-0.89
-1.78
-2.66
-3.55
-4.44
-8.88
-13.32
-17.76
D & Conv
19.46
14.28
9.31
4.55
3.62
2.70
1.79
0.89
-0.88
-1.76
-2.63
-3.48
-4.33
-8.46
-12.37
-16.07
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration
40
60
80
100
120
P
D
D+C
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Gestione del Rischio Finanziario
Duration di un Coupon Bond
⊲ Nel caso specifico di un coupon bond, sia Ii = I per i = 1, . . . , n − 1 e
In = I + C, dove I è la cedola e C il nominale; inoltre sia ti = t + i per
i = 1, . . . , n (senza perdita di generalità abbiamo preso ∆ = 1, cioè
cedole annuali).
⊲ Riesce, posto v = e−r = (1 + i)−1 ,
I Pn
h
n
h=1 hv + nv
C
D = I Pn
.
h
n
h=1 v + v
C
⊲ La duration è funzione decrescente del tasso cedolare I/C: al crescere
della cedola diminuisce il peso del rimborso a scadenza
n
X
∂D
1
=
vn
(h − n)v h < 0.
2
∂(I/C)
(. . .)
h=1
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration di un Coupon Bond
⊲ All’aumentare del numero di cedole, il comportamento della duration non
è sempre monotono: è crescente se i ≤ CI (bond quota alla pari o sopra la
pari), mentre è prima crescente poi decrescente se i > CI (bond quota
sotto la pari). Infatti, indicata con Dn la duration per il titolo con n
cedole e Pn il prezzo corrispondente, è
Pn+1 = Pn + Iv n+1 − Cv n (1 − v),
Dn+1 =
Dn Pn + I(n + 1)v n+1 − Cnv n (1 − v) + Cv n+1
Pn+1
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration di un Coupon Bond
⊲ Quindi riesce
Dn+1 − Dn =
Cv n
[(n − Dn )(α − 1) + α]
Pn+1
con α = CI + 1 v > 0. Quindi se α ≥ 1 (caso i ≤ CI ) è Dn crescente
α
con n, se α < 1 è Dn+1 > Dn se e solo se n < Dn + 1−α
.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration di un Coupon Bond
⊲ In ogni caso Dn converge verso un valore limite; sfruttando le
n
X
h=1
vh = v
n
v
1 − vn
1 − vn X h
hv =
,
− nv n ,
1 − v h=1
1−v
1−v
si ottiene
Dn =
nv n 1 −
I v
C 1−v
I v
(1
C 1−v
+
I v 1−v n
C 1−v 1−v
− vn ) + vn
da cui
1+i
,
n→+∞
i
che è la duration di una rendita perpetua.
lim Dn =
Gestione del Rischio Finanziario
5
10
15
20
25
30
. . . Duration di un Coupon Bond
0
i>I C
i=I/C
i<I C
0
50
100
150
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Duration di un Coupon Bond
⊲ La duration di un coupon bond è funzione decrescente del tasso di
rendimento r (o i).
⊲ Riesce infatti
∂D
=−
∂r
−
I
C
I
C
2 h,j=1...n
X
h>j
vn
n
X
h=1
v h+j (j − h)2
v h (n − h)2 < 0
⊲ Le variazioni percentuali del prezzo decrescono con il tasso interno di
rendimento.
Gestione del Rischio Finanziario
Derivati
⊲ Strumenti primari o primitivi:
⋆ reddito variabile: azioni;
⋆ reddito fisso: obbligazioni.
⊲ Strumenti derivati:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
contratti forward;
contratti futures;
opzioni;
swaps;
...
⊲ strumenti ‘ibridi’ (prodotti strutturati) e altri strumenti: mix di
strumenti primari e derivati.
Gestione del Rischio Finanziario
Derivati
⊲ Contratti derivati: strumenti finanziari i cui flussi di cassa dependono
(derivano) dal valore di una o più variabili sottostanti, tipicamente
economiche;
⊲ Il sottostante può essere un:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
azione
obbligazione
tasso d’interesse
indice
bene di consumo
valuta (tasso di cambio)
derivato
rischio di credito
fenomeni meterologici
eventi catastrofali
...
Gestione del Rischio Finanziario
Contratti Forward e Futures
⊲ Accordi tra due parti per scambiarsi un’attività reale o uno strumento
finanziario (sottostante) ad una data futura (epoca di consegna) e ad un
prezzo fissato (prezzo di consegna);
⋆ la parte in posizione lunga (long position) riceve il sottostante;
⋆ la parte in posizione corta (short position) consegna il sottostante;
⊲ entrambe le parti hanno un obbligo;
⊲ la parte in posizione lunga/corta guadagna se il prezzo sale/scende;
⊲ il prezzo di consegna viene fissato in maniera tale che non vi siano flussi
alla stipula del contratto: il valore iniziale del Forward/Future è 0;
⊲ consegna: fisica o in contanti;
⊲ uso di forward/futures (e dei derivati in generale):
⋆ copertura (hedging)
⋆ speculazione
⋆ arbitraggio
Gestione del Rischio Finanziario
Forward vs. Futures
⊲ Forward sono strumenti OTC/Futures sono scambiati su mercati
organizzati (Chicago Board of Trade, CBOT, Chicago Mercantile
Exchange, CME, London Financial Futures, LIFFE, . . . )
futures sono
contratti standardizzati mentre i Forward non lo sono;
⊲ i futures sono marked-to-market: ogni guadagno/perdita viene regolato
alla fine di ogni giorno di contrattazione attraverso il sistema dei margini;
il valore di un contratto futures è rimesso a 0 alla fine di ogni giorno di
contrattazione; in un forward guadagni e perdite vengono realizzate
all’epoca di consegna;
i futures, a differenza dei forward, sono praticamente esenti dal rischio
di credito;
⊲ la controparte in un contratto future è in realtà la clearing house (cassa di
compensazione); i forward sono contrattazioni private;
⊲ i forward tipicamente vengono portati a scadenza, i futures vengono
spesso chiusi prima della scadenza prendendo la posizione opposta.
Gestione del Rischio Finanziario
Contratti Forward: payoff
⊲ Epoca di contrattazione: 0; epoca di consegna: T .
⊲ St : prezzo del sottostante in t; K: prezzo di consegna;
⊲ Payoff all’epoca di consegna è
ST − K posizione lunga;
K − ST posizione corta
K
K
−K
ST
K
ST
Gestione del Rischio Finanziario
Futures: Marking-to-Market
⊲ prezzo: prezzo futures.
⊲ Chi investe in futures deve effettuare un deposito iniziale nel margin
account con un broker.
⊲ Alla fine di ogni giorno di contrattazione, il guadagno/perdita
dell’investitore (differenza tra il prezzo di chiusura e il prezzo di apertura)
aumentano/diminuiscono il margin account;
il valore del contratto futures è rimesso a 0 alla fine di ogni giorno di
contrattazione;
ogni ammontare sopra il margine iniziale può essere prelevato
dall’investitore.
⊲ Se il margin account scende sotto un livello detto margine di
mantenimento
margin call: l’investitore deve effettuare un ulteriore deposito, detto
variation margin, e reintegrare il margine iniziale.
⊲ Il broker deve mantenere un conto similer con la clearing house.
Gestione del Rischio Finanziario
Futures: Marking-to-Market
⊲ Esempio: futures sull’oro;
⊲ specifiche contrattuali:
⋆
⋆
⋆
⋆
1 contratto futures: consegna di 100 once d’oro;
prezzo futures quotato (in $) per 1 ounce;
margine iniziale 2000$ per contratto;
margine di mantenimento 1500$ per contratto;
⊲ consideriamo una posizione lunga in 10 contratti futures
margine iniziale/di mantenimento è 20000$/15000$;
giorno
1
2
3
4
5
6
prezzo futures
400
401
399
397.5
394
393.5
guadagno/perdita giornaliera
—
+100
−200
−150
−350
−50
margin account
20000
21000
19000
17500
14000
19500
Gestione del Rischio Finanziario
Opzioni
⊲ Un’opzione è un accordo tra due parti: una parte (posizione lunga, o
holder dell’opzione) ha il diritto di comprare/vendere il sottostante ad un
dato prezzo (strike o prezzo di esercizio), dalla/alla controparte (posizione
corta, writer dell’opzione), ad una data futura (scadenza dell’opzione);
⋆ un’opzione call dà all’holder il diritto di comprare, un’opzione put quello di
vendere;
⋆ la decisione di comprare/vendere è nota come esercizio dell’opzione;
⋆ un’opzione è Europea se l’esercizio può avvenire solo alla scadenza;
⋆ un’opzione è Americana se l’esercizio può avvenire ad ogni epoca
precedente la scadenza.
⊲ a differenza di forward (futures, swaps), le opzioni conferiscono all’holder
l’holder deve pagare un prezzo
un diritto, e al writer un obbligo;
(premio dell’opzione) per acquistare l’opzione;
⊲ A differenza di forward (futures, swaps), le opzioni permettono di
ottenere guadagni senza incorrere in perdite;
Gestione del Rischio Finanziario
Opzioni
⊲ Una posizione lunga su una call/put guadagna da un
incremento/decremento di prezzo; l’opposto per una posizione corta;
⊲ opzioni vengono scambiate sia su mercati organizzati che OTC;
⊲ a volte un sistema di margini simile a quello dei futures (senza
marking-to-market) viene applicato alla posizione corta; la posizione
lunga si limita a pagare il premio;
⊲ la maggior parte delle opzioni scambiate su mercati sono di tipo
Americano;
⊲ usualmente, per opzioni scambiate su mercati, diversi strikes e scadenze
vengono quotati in ogni momento;
⊲ le opzioni di tipo ‘standard’ sono chiamate plain-vanilla; quelle contenenti
clausole particolare esotiche.
Gestione del Rischio Finanziario
Payoff di un’Opzione
⊲ Sia
⋆
⋆
⋆
⋆
0 stipula; T scadenza;
St prezzo del sottostante in t; K prezzo di esercizio;
Ct , Pt prezzi delle put/call Americane al tempo t;
ct , pt prezzi delle put/call Europee al tempo t;
dal momento che le opzioni conferiscono diritti, hanno sempre un valore
nonnegativo: Ct , ct , Pt , pt ≥ 0;
⊲ ad ogni epoca 0 < t < T , l’holder può (i) vendere l’opzione (ii) esercitarla
(se Americana, esercizio anticipato) (iii) non fare niente; alla scadenza T ,
l’holder può (j) esercitarla (jj) non esercitarla.
⊲ Essendo l’holder razionale, a scadenza T eserciterà la call se ST > K, la
put se ST < K;
il payoff della call a scadenza (= valore della Call) è
CT = cT = max{ST − K, 0};
⋆
payoff della put(= valore della Put) è PT = pT = max{K − ST , 0};
⋆
il payoff per il writer della call/put è l’opposto: min{0, K − ST } e
min{0, ST − K}.
⋆
Gestione del Rischio Finanziario
Payoff di un’opzione
long call
short call
K
K
ST
long put
ST
short put
K
K
ST
ST
Gestione del Rischio Finanziario
Forward Rate Agreements
⊲ Un Forward Rate Agreements (FRA) è un contratto forward in cui
due parti si accordano per applicare un tasso stabilito nel contratto (FRA
rate), per un certo periodo, a partire da un certo istante futuro
(settlement date), ad un certo ammontare nominale o nozionale. Si tratta
quindi di un prestito con inizio differito. Alla stipula del contratto non vi
sono scambi di flussi monetari.
⊲ La parte in posizione lunga (‘FRA buyer’) del FRA è colui che prende a
prestito (paga il FRA rate), mentre chi è in posizione corta (‘FRA seller’)
è chi finanzia. Il buyer si protegge da un aumento dei tassi di interesse.
⊲ Dal momento che il buyer può impiegare il capitale del prestito al tasso di
riferimento prevalente alla settlement date, è comune regolare il FRA
sulla differenza tra il FRA rate e il tasso prevalente. Di conseguenza il
capitale nozionale non viene scambiato tra le parti.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . FRA
⊲ Come succede nella pratica, il FRA rate è un tasso semplice ed il tasso di
riferimento corrispondente è il LIBOR (o EURIBOR).
Siano allora t < s < u con t, s, u ∈ T, dove
⋆ t = epoca in cui l’FRA viene stipulato (trade date),
⋆ s = settlement date,
⋆ u = maturity date,
⊲ e inoltre siano LFRA = FRA rate e L(s, u) = tasso LIBOR prevalente in
s per u; N = capitale nozionale a cui vengono applicati i tassi.
N
t
u
s
−N (1 + (u − s)LFRA )
Gestione del Rischio Finanziario
. . . FRA
⊲ Impiegando l’importo N al tasso L(s, u) prevalente in s,
N (1 + (u − s)L(s, u))
t
s
u
−N
⊲ quindi, compensando i flussi, la situazione è (nel caso L(s, u) > LFRA )
t
N (u − s)(L(s, u) − LFRA )
s
u
Gestione del Rischio Finanziario
. . . FRA
⊲ Quindi un FRA può essere visto come un contratto in cui due parti si
scambiano un tasso fisso (il FRA rate) contro un tasso variabile (il
LIBOR). Il payoff alla maturity date è la differenza tra il tasso variabile
ed il fisso, applicato per il periodo di riferimento (settlement e maturity)
ad il nominale N :
N (u − s) (L(s, u) − LFRA ).
⊲ Osserviamo che l’ammontare sopra è pagabile in u, ma è noto in s. Nella
pratica, la differenza viene liquidata alla settlement date, scontandola da
u a s con il tasso di riferimento L(s, u) (noto in s).
⊲ Quindi in un FRA il buyer riceve in s l’importo
N (u − s) (L(s, u) − LFRA )
.
(1 + (u − s)L(s, u))
Gestione del Rischio Finanziario
. . . FRA
⊲ Convenzione che riguarda i FRA: un FRA n × m (con n e m numeri di
mesi, n < m) è un forward rate agreement con settlement date n mesi da
oggi e maturity m mesi da oggi (quindi i tassi si applicano su un periodo
di m − n mesi).
⊲ Ad esempio, il 1/12/06 si osservano i seguenti FRA relativi
all’EURIBOR:
Scadenza
3×6
6×9
9 × 12
6 × 12
12 × 18
FRA rate
3.78
3.84
3.84
3.86
3.77
Gestione del Rischio Finanziario
. . . FRA
⊲ Ad esempio, nel caso del FRA 9 × 12, se alla settlement date (fra 9 mesi)
il tasso EURIBOR a 3 mesi è L( 43 , 1) = 4.32 (1/12/06 = 0), e il
nominale è 1.000.000e allora il buyer riceve (tra 9 mesi) l’ammontare
1.000.000 ·
1
4
(1 +
· (0.0432 − 0.0384)
1
4
· 0.0432)
= 1187.18e
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di un FRA
⊲ Indichiamo con FRA(v) il valore in v, con t ≤ v ≤ s, del FRA per il
buyer del contatto (paga il fisso e riceve il variabile). Il valore del
contratto dipende da vari elementi:
FRA(v) = FRA(v; (t, s, u), LFRA , N ).
⊲ Il FRA rate, LFRA , viene stabilito in maniera tale che alla stipula del
contratto il valore sia nullo (non c’è scambio di denaro), quindi
LFRA : FRA(t) = 0.
⊲ Dopo l’epoca t il valore potrà essere sia positivo che negativo, quindi è
interessante calcolare il suo valore in ogni epoca tra t ed s, tenendo conto
che in s il valore deve essere pari a
FRA(s) =
N (u − s) (L(s, u) − LFRA )
,
(1 + (u − s)L(s, u))
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di un FRA
⊲ che è anche uguale, sommando e sottraendo il nozionale, a
1 + (u − s) LFRA
.
FRA(s) = N 1 −
1 + (u − s)L(s, u)
⊲ Riesce, per t ≤ v ≤ s,
FRA(v) = N [B(v, s) − (1 + (u − s)LFRA )B(v, u)]
⊲ Infatti, all’epoca v, consideriamo la seguente strategia:
⋆ Si acquistano N TCN con scadenza s;
⋆ Si vendono N (1 + (u − s)LFRA ) TCN con scadenza u.
⊲ Il payoff in v è allora dato da N [(1 + (u − s)LFRA )B(v, u) − B(v, s)].
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di un FRA
⊲ All’epoca s,
⋆ Si ricevono N e per i TCN in scadenza;
⋆ Si riacquistano i TCN con scadenza u, al prezzo di
N (1 + (u − s)LFRA )B(s, u).
⊲ Il payoff in s è dato da
N [1 − (1 + (u − s)LFRA )B(s, u)] =
1 + (u − s)LFRA
=N 1 −
,
1 + (u − s)L(s, u)
dove si è usato il fatto che B(s, u) =
dalla legge del prezzo unico.
1
.
1+(u−s)L(s,u)
La tesi segue allora
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di un FRA
⊲ Osserviamo che
FRA(v) = N [B(v, s) − (1 + (u − s)LFRA )B(v, u)]
B(v, s)
=N
− (1 + (u − s)LFRA ) B(v, u)
B(v, u)
= N [(1 + (u − s)Lf (v, s, u)) − (1 + (u − s)LFRA )] B(v, u)
= N (u − s) [Lf (v, s, u) − LFRA ] B(v, u).
⊲ Quindi un FRA può essere valutato assumendo che il tasso forward si
realizzi, cioè sostituendo al tasso spot in s per u il tasso forward in v per
[s, u] e scontando poi il risultato da u a v.
⊲ Segue anche che FRA(v) > (<, =)0 se e solo se
Lf (v, s, u) > (<, =)LFRA .
⊲ In particolare, il FRA rate FRA(t) è scelto in maniera tale che il valore
iniziale del contratto sia nullo: FRA(t) = Lf (t, s, u).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di un FRA
⊲ Il risultato appena visto è valido in generale: un payoff che dipende
(linearmente) da un tasso futuro si può valutare assumendo che il tasso
forward si realizzi.
⊲ Infatti, per t < s < u, consideriamo il valore in t per ricevere L(s, u) in
u:
⋆
⋆
⋆
⋆
B(t, s) in t equivale a 1e in s;
1e in s può essere investito per avere 1 + (u − s)L(s, u) in u;
quindi B(t, s) in t equivale a 1 + (u − s)L(s, u) in u;
segue che il valore di in t di L(s, u) in u è dato da
⊲ La tesi segue dal fatto che
1
[B(t, s) − B(t, u)] .
s−u
1
[B(t, s) − B(t, u)] = B(t, u)Lf (t, s, u).
s−u
⊲ Il valore in t di α + βL(s, u) in u è allora
(α + βLf (t, s, u))B(t, u).
Gestione del Rischio Finanziario
Interest Rate Swaps (IRS)
⊲ Un interest rate swap è un accordo OTC in base al quale due parti si
scambiano periodicamente flussi determinati da tassi di interesse diversi.
⊲ Nati negli anni ‘80, si sono poi sviluppati tanto che si tratta dei derivati
OTC su tassi d’interesse più diffusi.
⊲ Una delle due parti paga un tasso variabile (LIBOR, EURIBOR, treasury
rate, tasso swap, . . . ) mentre l’altra paga un tasso fisso o variabile a sua
volta. Ai tassi si possono sommare eventualmente degli spread. Entrambe
i tassi sono applicati ad uno stesso capitale nominale (o nozionale).
⊲ I tassi variabili vengono calcolati in date chiamate reset dates e applicati
in date chiamate settlement dates. I due tassi possono differire in quanto
a frequenza di applicazione (e.g. uno semestrale ed uno trimestrale) e per
regola di calcolo dei giorni. La durata di uno swap in genere va da 1 a 30
o più anni.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Interest Rate Swaps
⊲ Nel seguito consideriamo solamente il caso di un plain-vanilla interest
rate swap, in cui una parte (fixed rate payer-floating rate receiver, o
buyer dello swap, o parte in posizione lunga) paga un tasso fisso e riceve il
tasso variabile, mentre l’altra parte (fixed rate receiver-floating rate payer,
seller dello swap o parte in posizione corta) paga un tasso variabile e
riceve il tasso fisso. Si parla allora di fixed-for-floating swap.
⊲ Il termine payer swap si riferisce ad uno swap in cui si è fixed rate
payer, mentre per l’altra parte è un receiver swap (i termini sono riferiti
ai pagamenti di tasso fisso).
⊲ A volte l’insieme dei pagamenti di tasso fisso prende il nome di fixed-leg o
fixed-branch, mentre l’insieme di pagamenti variabili è noto come
floating-leg o floating-branch.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Interest Rate Swaps
⊲ Nel seguito prenderemo come tasso variabile il LIBOR (cioè il tasso
semplice privo di rischio).
⊲ In un plain-vanilla swap le settlement dates coincidono per i due tassi, ed
inoltre le reset dates dei tassi variabili precedono le settlment dates
esattamente per i periodi di applicazione dei tassi variabili.
⊲ Ad esempio nel caso di frequenza di pagamenti semestrali, ad ogni reset
date si osserva il tasso LIBOR a 6 mesi che poi viene regolato alla
settlement date successiva, cioè 6 mesi dopo. In questo caso il tasso viene
variabile viene pagato alla settlement date ma è predeterminato, cioè è
noto alla reset date precedente.
⊲ Il tasso fisso viene scelto in maniera tale che il valore iniziale dello swap è
nullo, cioè inizialmente non vi sono scambi di flussi. Il tasso così
determinato è noto come tasso swap.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Interest Rate Swaps
⊲ Una prima giustificazione economica degli swap è quella nota come
asset/liability transformation: chi si indebita a tasso fisso può entrare in
un receiver swap, trasformando così la natura della sua passività da
indebitamento a tasso fisso in indebitamento a tasso variabile.
⊲ Situazione opposta nel caso di indebitamento a tasso variabile, si può
tasformare in tasso fisso entrando in un payer swap.
⊲ Analoghe considerazione valgono nel caso di trasformazione di un asset:
chi investe a tasso variabile/fisso può convertire l’investimento in tasso
fisso/variabile entrando in un receiver/payer swap.
Gestione del Rischio Finanziario
Interest Rate Swaps: il Vantaggio
Comparato
⊲ Consideriamo il seguente esempio. Due entità, A e B, A con rating AA e
B con rating BBB (B presenta un rischio di credito superiore) vogliono
finanziarsi, A a tasso variabile e B a tasso fisso.
⊲ Le condizioni che si presentano sono le seguenti:
A
B
fisso
10%
11.2%
variabile
L1/2 + 0.3%
L1/2 + 1%
dove L1/2 è il tasso LIBOR a 6 mesi (cioè si pagano interessi
semestralmente).
⊲ In entrambe i mercati A trova condizioni migliori rispetto a B causa il
rischio di credito più elevato di quest’ultimo.
⊲ Tuttavia, lo spread a tasso fisso tra A e B è ∆f = 11.2% − 10% = 1.2%,
mentre lo spread a tasso variabile è inferiore, essendo pari a
∆v = (L1/2 + 1%) − (L1/2 + 0.3%) = 0.7%.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Vantaggio Comparato
⊲ In questo caso, ∆f > ∆v , B ha un vantaggio comparato nel mercato a
tasso variabile rispetto ad A, infatti, rispetto alle condizioni offerte ad A
(‘comparativamente ad A’), è più vantaggioso per B finanziarsi a tasso
variabile dal momento che rispetto ad A paga uno spread ∆v = 0.7%
mentre a tasso fisso lo spread sarebbe ∆f = 1.2%.
⊲ Al contrario, A ha, rispetto a B, un vantaggio comparato nel mercato a
tasso fisso in quanto può prendere a prestito in tale mercato ad un tasso
inferiore rispetto a quello offerto a B del ∆f = 1.2 mentre a tasso
variabile la differenza sarebbe solo del ∆v = 0.7%.
⊲ Di conseguenza, A può finanziarsi a tasso fisso, B a tasso variabile e poi
potrebbero entrare in uno swap in cui A paga a B ogni 6 mesi il LIBOR e
B paga ad a A un tasso fisso del 9.95%.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Vantaggio Comparato
⊲ La situazione allora è la seguente
⋆ A paga ogni 6 mesi il tasso fisso 10% e nello swap paga il LIBOR a 6 mesi
e riceve il 9.95%. Complessivamente per A si ha
−10% − L1/2 + 9.95% = −(L1/2 + 0.05%);
⋆ B paga ogni 6 mesi il LIBOR a 6 mesi più 1% e nello swap paga il 9.95% e
riceve il LIBOR a 6 mesi. Quindi per B la situazione è la
−(L1/2 + 1%) − 9.95% + L1/2 = −10.95%.
⊲ Di conseguenza, A finisce per finanziarsi a tasso variabile al LIBOR a 6
mesi più 0.05% (invece che l’originario L1/2 + 0.3), con un guadagno del
0.25%. B invece si finanzia a tasso fisso pari a 10.95% (invece che
11.2%), con un guadagno del 0.25%.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Vantaggio Comparato
⊲ Quindi entrambe le parti beneficiano dall’uso dello swap, per un
guadagno totale di 0.25% + 0.25% = 0.5% = ∆f − ∆v .
⊲ Dunque l’uso dello swap permette di raggiungere condizioni economiche
migliori per tutti i partecipanti al mercato, sfruttando questi vantaggi
comparati.
⊲ Critica all’argomento del vantaggio comparato: apparentemente ci sono
opportunità di arbitraggio dal momento che sia A che B riescono ad
ottenere una riduzione (senza alcun rischio) sul prestito nel mercato a cui
volevano originariamente rivolgersi (A a tasso variabile e B a tasso fisso).
⊲ In realtà non abbiamo tenuto conto del rischio di credito a cui sono
soggetti sia A ma soprattutto B. Entrando in uno swap tra di loro, le due
parti si scambiano anche parte del loro rischio di credito per cui il
vantaggio che realizzano è subordinato al fatto che nessuno dei due sia
insolvente. Se si verificasse un insolvenza di uno dei due, il rendimento
sarebbe chiaramente inferiore.
⊲ Nel seguito, analizzeremo gli swap nell’ipotesi che non vi sia rischio di
credito.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Vantaggio Comparato
⊲ Formalizzando, A e B, A con qualità creditizia superiore a B (B presenta
un rischio di credito superiore) vogliono finanziarsi, A a tasso variabile e
B a tasso fisso.
⊲ Le condizioni che si presentano sono le seguenti:
A
B
fisso
fA %
fB %
variabile
L1/2 + δA %
L1/2 + δB %
dove L1/2 = LIBOR a 6 mesi.
⊲ In entrambe i mercati A trova condizioni migliori rispetto a B: fA < fB e
δA < δB .
⊲ Supponiamo che lo spread a tasso fisso tra A e B, ∆f = fB − fA sia
superiore al corrispondente spread a tasso variabile,
∆v = (L1/2 + δB ) − (L1/2 + δA ) = δB − δA , cioè ∆f > ∆v .
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Vantaggio Comparato
⊲ quindi B ha un vantaggio comparato nel mercato a tasso variabile
rispetto ad A; al contrario, A ha, rispetto a B, un vantaggio comparato
¯ = ∆f − ∆v
nel mercato a tasso fisso; la differenza tra i due spread è ∆
⊲ A si finanzia a tasso fisso pagando fA , B a tasso variabile pagando
L1/2 + δB e poi entrano in degli swap con un intermediario I (e.g. una
banca)
f
⋆ A entra in un receiver swap con I in cui paga L1/2 + δf
A e riceve fA
f
f
⋆ B entra in un payer swap con I in cui paga fB e riceve L1/2 + δB
f
⋆ chiaramente I richiede come compenso per l’intermediazione che ff
B ≥ fA e
f
δf
A ≥ δB (almeno una delle due disuguaglianze strette)
⊲ La situazione allora è la seguente
⋆ A paga
⋆ B paga
f
fA + (L1/2 + δf
A ) − fA
f
f f
L1/2 + δB + ff
B − (L + δB ) = δB + fB − δB .
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Vantaggio Comparato
⊲ Supponiamo per semplicità che I non applichi uno spread al tasso
variabile, δeA = δf
B = 0
⊲ Lo swap riesce vantaggioso per A, B e I se
⋆ A: fA + L1/2 − ff
A ≤ L1/2 + δA
⋆ B: ff
B + δB < fB
f
⋆ I: ff
B > fA
f
cioè se ff
A , fB sono tali che
f
fB − δB > ff
B > fA > fA − δA
e questo è possibile se e solo se fA , fB , δA , δB soddisfano le
fB − δB > fA − δA
equivalente alla ∆f − ∆v > 0
⊲ La somma dei guadagni è
f
f
f
¯
(ff
B − fA ) + (fA − fA + δA ) + (fB − δB − fB ) = ∆f − ∆v = ∆
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di uno Swap
⊲ Siano
⋆ t1 , t2 , . . . , tn ∈ T le settlement dates, cioè le epoche in cui avvengono gli
scambi di denaro; supponiamo che siano equidistanziate: ti − ti−1 = ∆ per
i = 2, . . . , n;
⋆ t0 , t1 , . . . , tn−1 sono le reset dates: in ti−1 si osserva il tasso LIBOR
L(ti−1 , ti ) che viene applicato sul periodo [ti−1 , ti ] e pagato in ti (è
predeterminato); t0 è l’epoca di stipula dello swap (t0 = t1 − ∆);
⋆ t0 , t1 , . . . , tn è il tenor dello swap;
⋆ LSWAP è il tasso fisso pagato dal fixed rate payer alle epoche t1 , . . . , tn ;
⋆ N è il nozionale a cui vengono applicati i tassi.
⊲ Dal punto di vista del fixed rate payer, il flusso monetario alla generica
settlement date ti (i = 1, . . . , n) è
N ∆L(ti−1 , ti ) − N ∆LSWAP = N ∆(L(ti−1 , ti ) − LSWAP ).
|
{z
} | {z }
floating leg
fixed leg
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ La fixed leg è
t0
t1
t2
−N ∆LSWAP −N ∆LSWAP
...
...
tn
−N ∆LSWAP
⊲ e la floating leg è
N ∆L(tn−1 , tn )
N ∆L(t0 , t1 )
N ∆L(t1 , t2 )
t0
t1
t2
...
...
tn
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Sia t0 ≤ v ≤ tn , con v ∈ T, l’istante in cui vogliamo calcolare il valore del
payer swap, che indichiamo con
SWAP(v) = SWAP(v; (ti )i=0,...,n , LSWAP , N ).
⊲ Il tasso swap viene fissato in maniera tale che all’inizio il valore del
contratto swap è nullo, cioè non ci sono flussi:
LSWAP : SWAP(t0 ) = 0.
⊲ Successivamente, il valore dello swap potrà cambiare e essere positivo o
negativo.
⊲ La decomposizione in fixed e floating leg suggerisce che deve essere
SWAP(v) = Vfloating (v) − Vfixed (v),
dove Vfloating (v) e Vfixed (v) sono i valori in v delle due leg.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Quest’ultima tuttavia, dal punto di vista interpretativo, non è la
decomposizione appropriata.
⊲ È invece preferibile ricorrere ad altre decomposizioni che permettono poi
di determinare il valore dello swap.
⊲ La prima di queste vede lo swap come portafoglio di Forward Rate
Agreements;
⋆ infatti il pagamento in ti dello swap,
N ∆(L(ti−1 , ti ) − LSWAP ),
è esattamente quello di un FRA con settlement date ti−1 e maturity date
ti , nominale N e tasso FRA rate pari a LSWAP .
⋆ Di conseguenza, per la legge del prezzo unico, deve essere
X
SWAP(v) =
FRA(v; (t0 , ti−1 , ti ), LSWAP , N ).
i:ti >v
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲
⋆ Dunque, se v = ti , con i = 0, . . . , n − 1, è
SWAP(ti ) = N
n
X
j=i+1
[B(ti , tj−1 ) − (1 + ∆LSWAP )B(ti , tj )] .
⋆ Se invece ti−1 < v < ti per i = 1, . . . , n, essendo il pagamento successivo in
ti , pari a N ∆(L(ti−1 , ti ) − LSWAP ), già noto in v (è determinato in ti−1 ),
riesce
SWAP(v) =N ∆(L(ti−1 , ti ) − LSWAP )B(v, ti )
+N
n
X
j=i+1
[B(v, tj−1 ) − (1 + ∆LSWAP )B(v, tj )] .
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Il tasso swap in t0 è quello che annulla il valore del contratto. Imponendo
che SWAP(t0 ) = 0, si trova che
Pn
N j=1 [B(t0 , tj−1 ) − B(t0 , tj )]
Pn
LSWAP =
N ∆ j=1 B(t0 , tj )
=
1 − B(t0 , tn )
Pn
.
∆ j=1 B(t0 , tj )
⊲ Si riconosce l’espressione di un par rate, come sarà confermato dalla
seconda decomposizione di uno swap; quindi
LSWAP ≡ LSWAP (t0 , tn ) = c(t0 , n).
⊲ La relazione che lega il tasso swap ai fattori di sconto può essere usata in
maniera ‘iterativa’, cioè conoscendo LSWAP e B(t0 , tj ) per
j = 1, . . . , n − 1 si può ricavare B(t0 , tn ). I tassi swap possono essere
quindi utilizzati per ricostruire la struttura a termine dei tassi.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Alternativamente, utilizzando il fatto che i FRA si possono valutare
supponendo che i tassi forward si realizzano, si trova
SWAP(t0 ) = N ∆
n
X
i=1
[Lf (t0 , ti−1 , ti ) − LSWAP ] B(t0 , ti ),
⊲ si deduce allora che
LSWAP =
n
X
i=1
B(t0 , ti )
Pn
Lf (t0 , ti−1 , ti )
h=1 B(t0 , th )
cioè il tasso swap è la media ponderata dei tassi forward.
⊲ Il tasso swap è la media dei tassi che rendono nulli i vari FRA che
compongono lo swap. Questi FRA potranno non avere valore nullo in t0
ma la somma dei loro valori sarà nulla.
⊲ Se i tassi forward crescono (decrescono) allora i FRA che compongono lo
SWAP avranno valore prima negativo e poi positivo (prima positivo e poi
negativo).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Il metodo alternativo per valutare un (payer) swap è di considerarlo come
scambio di un titolo a cedola fissa contro un titolo a cedola variabile.
⊲ Supponiamo che le due parti si scambino, alla maturity tn , il nominale N .
Dal momento che gli importi monetari si compensano, i flussi netti
rimangono gli stessi. La fixed leg diventa
t0
t1
t2
−N ∆LSWAP −N ∆LSWAP
...
tn
...
−N − N ∆LSWAP
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ mentre e la floating leg è
N + N ∆L(tn−1 , tn )
N ∆L(t0 , t1 )
N ∆L(t1 , t2 )
t0
t1
t2
...
...
tn
⊲ I flussi della fixed leg modificata sono quelli di un titolo con cedola fissa in
cui il tasso nominale è il tasso swap LSWAP (e il tasso cedolare è
∆LSWAP ). Indichiamo con CB(v) il suo valore all’epoca v ≤ tn .
⊲ I flussi della floating leg sono invece quelli di una obbligazione a tasso
variabile o floater in cui ad ogni epoca ti si riceve il LIBOR
predeterminato alla reset date precedente L(ti−1 , ti ) e il nominale alla
scadenza. Indichiamo il suo valore all’epoca v con FL(v).
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Resta quindi da calcolare CB(v) e FL(v), poi il valore del payer swap sarà
SWAP(v) = FL(v) − CB(v).
⊲ Il valore dell’obbligazione a tasso fisso è data da
X
CB(v) = N ∆LSWAP
B(v, ti ) + N B(v, tn ).
i:ti >v
⊲ Per l’obbligazione a tasso variabile mostriamo che quota alla pari ad ogni
reset date, cioè
FL(ti ) = N per i = 1, . . . , n.
⋆ Ad una generica reset date ti , consideriamo la seguente strategia
(roll-over): impieghiamo l’importo N e fino a ti+1 al tasso prevalente
L(ti , ti+1 ). In ti+1 riceviamo l’importo N (1 + ∆L(ti , ti+1 )); di questo, il
nominale N viene reinvestito fino a ti+2 , e così via. All’ultima epoca tn si
riceve esattamente N (1 + ∆L(tn−1 , tn )), quindi i flussi sono esattamente
gli stessi del floater.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲
⋆ Segue che il valore in ti di quest’ultimo deve essere pari al valore della
strategia dato dal valore nominale, o FL(ti ) = N .
⋆ In una qualunque epoca compresa tra due reset dates, ti−1 < v < ti
(i = 1, . . . , n), il prezzo sarà il valore del prossimo pagamento (noto) alla
reset date seguente, pari a N ∆L(ti−1 , ti ) più il valore del floater una volta
pagata la cedola dato dal nominale, scontati da ti a v:
FL(v) = N (1 + ∆L(ti−1 , ti ))B(v, ti ).
⋆ Allo stesso risultato si arriva utilizzando il fatto che il valore in v di
L(ti−1 , ti ) in ti è Lf (v, ti−1 , ti )B(v, ti ).
⋆ Nel caso in cui il Floater paghi il LIBOR più spread, cioè se la cedola in ti
è pari a N ∆(L(ti−1 , ti ) + δ), dove δ è lo spread, allora il suo prezzo FLδ ,
sarà
X
B(v, ti ).
FLδ (v) = FL(v) + N δ∆
i:ti >v
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Tornando allo swap, dovrà essere
SWAP(ti ) = FL(ti ) − CB(ti )
=N − N ∆LSWAP
n
X
j=i+1
B(ti , tj ) − N B(ti , tn ),
⊲ e per ti−1 < v < ti ,
SWAP(v) = FL(v) − CB(v)
=N (1 + ∆L(ti−1 , ti ))B(v, ti )
− N ∆LSWAP
n
X
j=i
B(v, tj ) − N B(v, tn ),
formule che si può facilmente vedere essere uguali a quelle già trovate.
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ Osserviamo che per lo swap contrattato in ti e con scadenza tn , quindi
con n − i + 1 pagamenti, è
LSWAP (ti , tn ) =
1 − B(ti , tn )
Pn
,
∆ j=i+1 B(ti , tj )
di conseguenza il valore in ti dello swap contrattato in t0 è
SWAP(ti ) =N − N ∆LSWAP (t0 )
n
X
j=i+1
B(ti , tj ) − N B(ti , tn )
=N ∆ [LSWAP (ti ) − LSWAP (t0 )]
n
X
B(ti , tj )
j=i+1
⊲ Infatti in ti si può entrare in un receiver swap (stesso tenor e nominale),
le floating legs si semplificano e resta la differenza tra le fixed legs (certa)
Gestione del Rischio Finanziario
. . . Valutazione di uno Swap
⊲ In tj > ti il payoff è
⋆ per il payer swap contrattato in t0 ,
N ∆(L(tj−1 , tj ) − LSWAP (t0 ))
⋆ per il receiver swap contrattato in ti ,
N ∆(LSWAP (ti ) − L(tj−1 , tj ))
⊲ il flusso netto in tj è quindi certo e dato da
N ∆(LSWAP (ti ) − LSWAP (t0 )).
Gestione del Rischio Finanziario
Struttura a termine dei tassi Swap
⊲ Riassumendo, il tasso swap è il tasso nominale di un’obbligazione (con
caratteristiche di durata e frequenza dei pagamenti uguali a quelle dello
swap) che quota alla pari. Quindi il tasso swap corrisponde al par rate:
LSWAP ≡ LSWAP (t0 , tn ) = c(t0 , n/∆) =
1 − B(t0 , tn )
Pn
.
∆ i=1 B(t0 , ti )
⊲ Un payer swap può quindi essere visto (in assenza di rischio di credito),
come un contratto che prevede la vendita di un’obbligazione che paga il
par rate contro il pagamento del nominale.
⊲ La struttura a termine dei tassi swap all’epoca t ∈ T è la funzione
s → LSWAP (t, s), s > t.
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi SWAP - t0 =1/12/06
tn − t0
1Y
2Y
3Y
4Y
5Y
6Y
7Y
8Y
9Y
10Y
11Y
12Y
15Y
20Y
25Y
30Y
LSWAP (t0 , tn )
3.87
3.83
3.82
3.82
3.81
3.82
3.83
3.85
3.87
3.89
3.91
3.93
3.98
4.02
4.02
4.01
Gestione del Rischio Finanziario
Swaps Esotici
⊲ Forward Start Swaps: si tratta di swap in cui concordato in t0 ma i cui
effetti (la prima reset date) cominciano da un istante futuro.
⊲ In-Arrear Swap: reset dates e settlement dates coincidono, quindi il
tasso variabile viene determinato e liquidato alla stessa epoca.
⊲ Amortizing/Step-up Swap: uno swap in cui il nominale viene
ridotto/aumentato nel tempo in base ad un piano prestabilito.
⊲ Constant Maturity Swap: è uno swap in cui il tasso variabile è il tasso
swap relativo ad uno swap con maturità costante (e.g 10 anni). Ad
esempio, in una certa epoca ti , il payoff potrebbe essere
N ∆(LCMSWAP − LSWAP (ti , ti + 10)).
⊲ Extendable Swap: una delle due parti ha il diritto (opzione) di
estendere la durata dello swap.
Gestione del Rischio Finanziario
Forward Start Swaps
⊲ Lo swap viene contrattato in t0 ma i suoi effetti iniziano alla prima reset
date t0 > t0 .
⊲ Il tasso fisso che rende null il valore di questo swap è il tasso swap forward
LfSWAP (t0 , t0 , tn ).
⊲ il valore della fixed leg (aggiungendo il nozionale in tn ) è
N B(t0 , tn ) +
n
X
N ∆LfSWAP (t0 , t0 , tn )B(t0 , ti )
i=1
⊲ Il valore in t0 della floating leg (aggiungendo il nozionale in tn ) è pari a
N , il corrispondente valore in t0 è quindi
N B(t0 , t0 )
⊲ Uguagliando i valori di gamba fissa e gamba variabile, si trova
LfSWAP (t0 , t0 , tn ) =
B(t0 , t0 ) − B(t0 , tn )
.
Pn
∆ i=1 B(t0 , ti )
Gestione del Rischio Finanziario
Swaptions (Swap Options)
⊲ Una Swaption Europea è un contratto OTC che conferisce al suo
possessore il diritto di entrare in uno swap, alla scadenza della swaption,
ad un tasso swap specificato inizialmente.
⊲ Una payer swaption/receiver swaption dà il diritto di entrare in un
payer/receiver swap in cui si paga/riceve il tasso swap fisso prespecificato.
⊲ Di conseguenza una payer swaption protegge contro un aumento degli
swap rates; indicato con K il tasso swap prespecificato, è intuitivo che si
eserciterà l’opzione se alla scadenza t0 riesce LSWAP (t0 , tn ) > K, dove tn
è la scadenza dello swap sottostante l’opzione.
⊲ Viceversa si eserciterà una receiver swaption se in t0 riesce
LSWAP (t0 , tn ) < K proteggendosi così da una diminuzione dei tassi swap.
Gestione del Rischio Finanziario
Swaptions
⊲ Formalmente, alla scadenza t0 della swaption, il payoff per l’holder della
payer swaption è
!
n
X
B(t0 , ti ) − N B(t0 , tn ), 0 ,
⋆ = max N − N K∆
i=1
|
{z
}
•
dove • è il valore in t0 dello swap in cui si paga il tasso fisso K e si riceve
il tasso variabile.
1−B(t0 ,tn )
, riesce
⊲ Dal momento che LSWAP (t0 ) = ∆ P
n
B(t0 ,ti )
i=1
⋆ = max
N ∆LSWAP
n
X
i=1
= max
N∆
n
X
i=1
B(t0 , ti ) − N K∆
B(t0 , ti )(LSWAP − K), 0
n
X
i=1
!
B(t0 , ti ), 0
!
Gestione del Rischio Finanziario
Swaptions
⊲
⋆ = N∆
n
X
i=1
B(t0 , ti ) max (LSWAP − K, 0) .
⊲ Quindi si esercita l’opzione se e solo se il payoff è positivo, cioè se
LSWAP > K. P
La payer swaption si può quindi anche vedere, trascurando
n
il fattore N ∆ i=1 B(t0 , ti ), come una opzione call sul tasso swap.
⊲ Viceversa una receiver swaption è equivalente ad una opzione put sul
tasso swap.
⊲ Se sommiamo il nominale all’ultimo pagamento dello swap, questo si può
vedere come uno scambio tra una obbligazione a tasso fisso ed una a tasso
variabile. Dal momento che la seconda quota alla pari in t0 , una payer
swaption può essere vista come un’opzione put europea su un coupon
bond, con cedole pari a N ∆K, e con strike pari al nominale, cioè
un’opzione di vendita alla pari.
Gestione del Rischio Finanziario
Swaptions
⊲ Infatti è
• = max
N − N K∆
n
X
= N max 1 − K∆
|
B(t0 , ti ) − N B(t0 , tn ), 0
i=1
n
X
i=1
!
B(t0 , ti ) + B(t0 , tn ) , 0
{z
CB(t0 )=CB(t0 ,K,(ti ))
= N max 1 − CB(t0 ), 0 .
}
!
⊲ Viceversa il payoff in t0 di una receiver swaption è
N max(CB(t0 ) − 1, 0),
cioè il payoff di un’opzione call europea su un coupon bond con cedole
pari a N ∆K, e con strike pari al nominale, quindi un’opzione di acquisto
alla pari.
Gestione del Rischio Finanziario
Swaptions
⊲ Quindi, valutare una swaption è equivalente a valutare un’opzione su un
coupon bond, e per fare questo è necessario adottare un modello
probabilistico per l’evoluzione dei tassi di interesse.
⊲ Sotto opportune ipotesi sul modello, un’opzione su un coupon bond (≡
opzione su un portafoglio di TCN) si potrà calcolare come portafoglio di
opzioni su TCN, il che è notevolmente più semplice.
⊲ Inoltre, è sufficiente valutare il prezzo di una payer swaption per trovare
anche il valore di una receiver swaption. Infatti una posizione lunga su
una payer swaption ed una corta su una receiver swaption (aventi lo stesso
strike K) corrisponde ad un forward start swap in cui il tasso swap è K.
⊲ Vale la pena menzionare una tipologia di swaptions esotiche, le
Bermudan swaptions. Si tratta di una swaption che può essere
esercitata in un certo numero di date t0 , t1 , . . . , tn−1 , tipicamente
equidistanziate. Una volta esercitata, si entra in uno swap con settlement
dates le date rimanenti. Ad esempio, se si esercita in ti , lo swap avrà
come date ti+1 , . . . , tn .
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Sono contratti OTC che permettono al possessore di proteggersi da
variazioni dei tassi di interesse, in una o in entrambe le direzioni.
⊲ Siano, come per uno swap, t1 , . . . , tn le settlement dates e t0 , . . . tn−1 le
reset dates, con t0 , t1 , . . . , tn equidistanziate da ∆, e sia N il nominale.
Il contratto viene stipulato in t0 e prevede pagamenti in t1 , . . . , tn .
⊲ Un interest rate cap prevede che ad ogni epoca ti , i = 1, . . . , n, il
possessore riceva l’importo
N ∆ max(L(ti−1 , ti ) − LCAP , 0),
dove LCAP è il cap rate. Il possessore si protegge quindi da oscillazioni
dei tassi di interesse al di sopra del cap rate.
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Se una parte si finanzia pagando il tasso variabile, acquistando un cap
pone un limite superiore all’interesse da lui pagato. Riesce infatti
− N ∆L(ti−1 , ti ) + N ∆ max(L(ti−1 , ti ) − LCAP , 0)
= − N ∆ min(LCAP , L(ti−1 , ti )),
quindi si finisce per pagare il più piccolo tra il tasso LIBOR e il cap rate.
⊲ Viceversa, un interest rate floor prevede che il possessore riceva in ti ,
per i = 1, . . . , n, l’ammontare
N ∆ max(LFLOOR − L(ti−1 , ti ), 0),
quindi il possessore si protegge da oscillazioni dei tassi sotto il floor rate.
Per chi investe a tasso variabile, acquistando un floor finisce per ricevere
un tasso pari al massimo tra il tasso variabile ed il floor rate.
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Il singolo flusso di cassa del cap,
N ∆ max(L(ti−1 , ti ) − LCAP , 0),
viene chiamato caplet, mentre il generico pagamento del floor,
N ∆ max(L(ti−1 , ti ) − LFLOOR , 0),
viene chiamato floorlet.
⊲ Un caplet/floorlet è quindi un’opzione call/put europea sul tasso LIBOR
prevalente con strike il cap/floor rate.
⊲ Di conseguenza un cap/floor è un portafoglio di caplets/floorlets, cioè un
portafoglio di call/put europee sui tassi LIBOR.
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Valutare un cap/floor equivale a valutare i singoli caplets/floorlets. Riesce
cioè, indicando con CAP(v) e con FLOOR(v) i prezzi in v del cap,
rispettivamente del floor, e con CAPLETi (v), rispettivamente con
FLOORLETi (v), quello del singolo caplet/floorlet pagabile in ti (> v),
relativo ad un nominale unitario (N = 1),
X
CAP(v) = N
CAPLETi (v)
i:ti >v
FLOOR(v) = N
X
FLOORLETi (v).
i:ti >v
⊲ Osserviamo che sussiste anche una put-call parity tra cap e floor. Per
ogni epoca ti ,
max(L(ti−1 , ti ) − LK , 0) − max(LK − L(ti−1 , ti ), 0) = L(ti−1 , ti ) − LK ,
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ cioè una posizione lunga su un cap e una corta su un floor (con cap rate e
floor rate uguali a LK ) equivale al payoff di un payer swap con swap rate
pari a LK :
CAP(v) − FLOOR(v) = SWAP(v)
ad ogni epoca v.
⊲ È possibile trasformare un caplet (opzione call sul libor) per scriverlo
come opzione put su un TCN. Per fissare le idee, siano t l’epoca di
valutazione, s l’epoca in cui si osserva il tasso L(s, u) per l’epoca u,
istante in cui viene pagato l’importo
(u − s) max(L(s, u) − K, 0).
Il tasso K è il cap rate e il nominale è unitario (N = 1).
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Il valore del caplet in t ≤ u si indica con
CAPLET(t) = CAPLET(t; s, u, K).
Chiaramente, per s ≤ t ≤ u, essendo allora già noto l’importo pagato in
u, si ha
CAPLET(t) = B(t, u)(u − s) max(L(s, u) − K, 0)
⊲ Osserviamo che per t = s si ha, usando il fatto che
1
1
( B(s,u)
− 1),
L(s, u) = u−s
CAPLET(s) = B(s, u)(u − s) max(L(s, u) − K, 0)
= max(B(s, u)(u − s)L(s, u) − B(s, u)(u − s)K, 0)
= max(1 − B(s, u) − B(s, u)(u − s)K, 0)
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲
= max(1 − B(s, u)(1 + (u − s)K), 0)
1
= (1 + (u − s)K) max
− B(s, u), 0
1 + (u − s)K
{z
}
|
•
dove • è il payoff di una put europea con scadenza s scritta su un TCN
1
con maturità u, con strike 1+(u−s)K
(è il prezzo di un TCN se il tasso
semplice è K).
⊲ Quindi, indicando con
PUTTCN (t) = PUTTCN (t; s, u, H)
il prezzo in t di una put Europea scritta su un TCN, con scadenza
dell’opzione s, scadenza del TCN u e strike H, dovrà essere, per t < s,
1
.
CAPLET(t; s, u, K) = (1 + K(u − s)) PUTTCN t; s, u,
1 + K(u − s)
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ e il prezzo di un cap sarà allora,
⋆ per t = ti
CAP(ti ) = N (1 + ∆LCAP )
n
X
j=i+1
PUTTCN ti ; tj−1 , tj ,
1
,
1 + ∆LCAP
⋆ mentre per ti−1 < t < ti bisogna aggiungere il valore del prossimo
pagamento:
CAP(t) =N (1 + ∆LCAP )
n
X
j=i+1
PUTTCN t; tj−1 , tj ,
+ N B(t, ti )∆ max(L(ti−1 , ti ) − LCAP , 0).
1
1 + ∆LCAP
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ In maniera simile, per un floorlet con le stesse caratteristiche del caplet
analizzato prima, si avrà,
⋆ per ogni s ≤ t ≤ u
FLOORLET(t) = B(t, u)(u − s) max(K − L(s, u)),
⋆ per t = s si ha
FLOORLET(s) = (1 + K(u − s)) max
B(s, u) −
1
,0 ,
1 + K(u − s)
⋆ quindi per t < s è
FLOORLET(t) = (1 + K(u − s)) CALLTCN t; s, u,
1
.
1 + K(u − s)
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Il prezzo di un floor sarà allora,
⋆ per t = ti
FLOOR(ti ) =
= N (1 + ∆LFLOOR )
n
X
j=i+1
CALLTCN ti ; tj−1 , tj ,
1
,
1 + ∆LFLOOR
⋆ mentre per ti−1 < t < ti ,
FLOOR(t) =N (1 + ∆LCAP )
n
X
j=i+1
CALLTCN t; tj−1 , tj ,
+ N B(t, ti )∆ max(L(ti−1 , ti ) − LCAP , 0).
1
1 + ∆LCAP
Gestione del Rischio Finanziario
Caps, Floors e Collars
⊲ Un collar è un contratto che garantisce ad una parte che paga o riceve
interessi variabili, che tali pagamenti resteranno confinati ad un intervallo
specificato. Il possessore del collar riceve all’epoca ti l’importo
N ∆[max(L(ti−1 , ti ) − LCAP , 0) − max(LFLOOR − L(ti−1 , ti ), 0)] =


se L(ti−1 , ti ) > LCAP
L(ti−1 , ti ) − LCAP
= N∆ 0
se LCAP ≥ L(ti−1 , ti ) ≥ LFLOOR


LFLOOR − L(ti−1 , ti ) se L(ti−1 , ti ) < LFLOOR .
⊲ È chiaro che un collar equivale ad una posizione lunga su un cap con cap
rate LCAP e una posizione corta su un floor con floor rate LFLOOR .
Riesce dunque
COLLAR(v) = CAP(v; LCAP ) − FLOOR(v; LFLOOR ).
⊲ A volte i due tassi LCAP e LFLOOR sono scelti in maniera tale che i valori
del cap e del floor siano uguali, cioè tali che il collar non abbia valore.
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲ L’obbiettivo è quello di costruire, ad una certa epoca t0 , la struttura per
scadenza dei tassi in una delle sue forme equivalenti:
⋆ prezzi dei TCN (discount function);
⋆ tassi a pronti;
⋆ tassi a termine.
⊲ Se in t0 avessimo a disposizione dei TCN (default-free) per ogni scadenza
futura allora il problema sarebbe risolto. Tuttavia spesso esistono TCN
(ad esempio emessi dallo stato) solo per alcune scadenze, che tipicamente
non superano i 2 anni, e solo a volte esistono gli strips creati da coupon
bond esistenti.
⊲ Si devono allora ricavare i TCN a partire da informazioni contenute in
altri strumenti che si osservano sul mercato. Tale procedimento prende a
volte il nome di stripping o bootstrapping della curva dei tassi.
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲ Non è restrittivo supporre che t0 = 0. Input del procedimento di
ricostruzione della struttura per scadenza dei tassi sono una sequenza di
K strumenti, di cui è noto il prezzo in 0, e i corrispondenti flussi futuri
certi, che supponiamo siano pagati alle epoche (0 <)t1 < t2 < . . . < tn
(ovviamente è sufficiente suppore che alcuni flussi siano nulli per includere
la possibilità che gli strumenti prevedono pagamenti in epoche diverse).
⊲ Anche nel caso in cui osserviamo la quotazione di mercato di un tasso
(LIBOR, FRA o futures, SWAP, . . . ), questo si può tradurre in una
relazione tra prezzi e flussi futuri.
⊲ Sia P̂k il prezzo osservato in 0 del k-esimo strumento e siano Ĉk,j , con
j = 1, . . . , n i cash-flows corrispondenti, con Ĉk,j corrisposto in tj .
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲ La relazione teorica che lega gli importi e i cash-flows sarà del tipo
P̂k = pk ((Ĉk,j )j , (tj )j , (B(0, tj ))j ), k = 1, . . . K
per qualche funzione pk .
⊲ Essendo i cash-flows futuri Ĉk,j certi (noti in 0), la funzione pk è lineare
nei prezzi dei TCN B(0, tj ):
P̂k =
n
X
Ĉk,j B(0, tj ), k = 1, . . . , K.
j=1
⊲ Ad esempio, abbiamo
⋆ TCN con scadenza ti e nominale N : è Ĉk,j = 0 per j 6= i, Ĉk,i = N , e
P̂k = N B(0, ti ).
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲
⋆ Tasso LIBOR L(0, ti ): si può pensare all’investimento di 1e in 0 che frutta
1 + ti L(0, ti )e in ti , quindi P̂k = 1 e Ĉk,j = 0 per j 6= i e
Ĉk,i = 1 + ti L(0, ti ). Quindi
1 = (1 + ti L(0, ti ))B(0, ti ).
⋆ Tasso FRA LFRA (≡ tasso forward) con settlement date ti e maturity th ,
con ti < th : si può pensare all’investimento, concordato in 0, di 1e in ti
che viene remunerato da 1 + (th − ti )LFRA e in th . Quindi è P̂k = 0,
Ĉk,j = 0 se j 6= i, h e Ĉk,i = −1, Ĉk,h = 1 + (th − ti )LFRA . Di
conseguenza la relazione che lega cash-flows e prezzo diventa
B(0, ti ) = (1 + (th − ti )LFRA )B(0, th )
Spesso al posto dei FRA si considerano, essendo molto più liquidi, futures
sul LIBOR e si trattano come tassi forward.
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲
⋆ Coupon Bond con cedole pari a C alle epoche ti1 , . . . , tim e nominale N : è
Ĉk,j = 0 se j 6= ti e Ĉk,j = C per j = i1 , . . . , im−1 e infine Ĉk,im = N + C.
Inoltre
m
X
B(0, tij ) + N B(0, tim ).
P̂k = C
j=1
⋆ Tasso Swap LSWAP relativo alle settlement dates ti1 , . . . , tim
(equidistanziate da ∆); è il par rate di una obbligazione, per cui si traduce
nei flussi seguenti: P̂k = 1 e Ĉk,j = 0 se j 6= ti e Ĉk,j = ∆LSWAP se
j = i1 , . . . , im−1 e infine Ĉk,im = 1 + ∆LSWAP . Inoltre
1 = ∆LSWAP
m
X
j=1
B(0, tij ) + B(0, tim ).
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲ Potremmo includere nel nostro insieme di strumenti anche opzioni su tassi
di interesse (swaptions, caps, . . . ) o altro che corrispondono al caso di
flussi aleatori; per dedurre il prezzo teorico è necessario allora ipotizzare
un modello per la struttura per scadenza, e i risultanti prezzi teorici
tipicamente sarebbero funzioni non lineari dei prezzi dei TCN (e di altri
parametri).
⊲ Normalmente si cercherà di utilizzare, per quanto possibile, strumenti
provenienti da ‘segmenti’ di curva dei tassi assimilabili (≈ strumenti
aventi caratteristiche simili in quanto a rischio di credito dell’emittente,
liquidità, . . . ). Ad esempio
⋆ TCN e coupon bond emessi dallo stato oppure da entità con lo stesso
rating (treasury/corporate yield curve).
⋆ Money market instruments e strumenti assimilabili: LIBOR, FRA e
SWAPS (interbank yield curve).
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲ In termini vettoriali, la relazione tra cash-flows e prezzi si scrive
P̂ = p(Ĉ, t, B),
dove P̂, p, t, B sono i vettori definiti da


 
 
 
B(0, t1 )
t1
p1
P̂1


 
 
 
..
P̂ =  ...  , p =  ...  , t =  ...  , B = 

.
P̂K
pK
tn
B(0, tn )
Gestione del Rischio Finanziario
Stima della Struttura per Scadenza
⊲ e dove Ĉ è la matrice dei cash-flows, cioè l’i esima colonna contiene i
cash-flows all’epoca ti e la k-esima riga contiene i payoff dell k-esimo
titolo:


Ĉ1,1 . . . Ĉ1,n

..  .
Ĉ =  ...
. 
ĈK,1
ĈK,n
⊲ Il bootstrap consiste essenzialmente a ‘invertire’ la relazione esistente tra
P̂ e B, dati Ĉ e t; la procedura produrrà dei B tali che i prezzi teorici
riproducono esattamente i prezzi osservati, oppure li approssimano in un
senso ottimo secondo un certo criterio.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Dati Ĉ, t, si cerca l’inversa (se esiste) della funzione p rispetto alla terza
variabile (B), calcolata nel punto P̂, ottenendo così
B = p−1 (P̂; Ĉ, t);
⊲ poi, si interpolano i punti del vettore B = [B(0, t1 ), . . . , B(0, tn )]T così
trovati mediante un metodo di interpolazione. Il procedimento restituisce
quindi l’intera discount function t → B(0, t) per t ≥ 0. La procedura
dovrà essere vincolata dalle condizioni B(0, 0) = 1 e B(0, t) > 0 per ogni
t.
⊲ Caso importante: se i cash-flows Ĉ sono noti in 0, allora la funzione p è
lineare, e riesce (prodotto riga per colonna)
P̂ = ĈB,
cioè un sistema lineare di K equazioni in n incognite (B).
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Supponiamo che K = n (ci sono tanti strumenti quante sono le scadenze)
e che la matrice Ĉ sia di rango pieno, cioè
⋆ non esiste θ = (θ1 , . . . , θK ) 6= (0, . . . , 0) tale che θ1 Ĉ1,i + . . . + θK ĈK,i = 0
per ogni i = 1, . . . , n.
⋆ equivalentemente, non esiste 1 ≤ k ≤ K e θ = (θ1 , . . . , θk−1 , θk+1 , . . . , θK )
tale che Ĉk,i = θ1 Ĉ1,i + . . . + θK ĈK,i .
⋆ quindi nessuno degli strumenti è replicato dagli altri strumenti, o ogni
strumento è linearmente indipendente dagli altri strumenti.
⊲ In queste ipotesi, la matrice Ĉ è invertibile, e si trova quindi
B = Ĉ−1 P̂.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ esempio: supponiamo di avere 4 obbligazioni con le seguenti
caratteristiche:
⋆ TCN con scadenza fra 6 mesi, nominale 100, prezzo 98;
⋆ Coupon bond con cedole semestrali, tasso nominale del 4%, scadenza fra 1
anno, nominale 100, prezzo 99.88;
⋆ Coupon bond con cedole semestrali, tasso nominale del 6%, scadenza fra
18 mesi, nominale 100, prezzo 103.155;
⋆ Coupon bond con cedole annuali, tasso nominale del 4.5%, scadenza fra 2
anni e 6 mesi, prossima cedola fra 6 mesi, nominale 100, prezzo 105.325.
⊲ Quindi è K = 4, n = 4 con t = [1/2, 1, 3/2, 5/2]T , e inoltre
P̂ = [98, 99.88, 103.155, 105.325]T .
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ La matrice dei cash-flows è allora data

100
0
 2
102
Ĉ = 
 3
3
4.5
0
che è di rango pieno.
da
0
0
103
4.5

0
0 
,
0 
104.5
⊲ Il sistema B = Ĉ−1 P̂ può essere risolto direttamente, dal momento che
la matrice Ĉ del sistema è diagonale. Ponendo
B(0, 1/2) = x, B(0, 1) = y, B(0, 3/2) = z, B(0, 5/2) = w,
il sistema si può scrivere come:
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲
100x
2x + 102y
3x + 3y
4.5x
=98
=99.88
+103z
+4.5z + 104.5w
=103.155
=105.325
⊲ risolvendo il sistema si trova x = 0.98, y = 0.96, z = 0.945 e w = 0.925.
Si ha allora
B = [0.98, 0.96, 0.945, 0.925]T .
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Avendo individuato B = [B(0, t1 ), . . . , B(0, tn )]T , si procede a
interpolare questi punti, cioè a determinare una funzione b : [0, +∞) → R
tale che b(tj ) = B(0, tj ) e (possibilmente) tale che verifichi le condizioni
di non arbitraggio:
⋆ b(0) = B(0, 0) = 1;
⋆ b(t) = B(0, t) > 0 per ogni t ≥ 0.
(per la prima delle due basta includere il punto iniziale t0 = 0 e
B(0, 0) = 1)
⊲ Alternativamente, si possono ricavare i tassi a pronti corrispondenti a B,
cioè
r = [r(0, t1 ), . . . , r(0, tn )]T ,
con r(0, ti ) = − t1i log B(0, ti ). Osserviamo che se si interpolano i tassi a
pronti le condizioni di arbitraggio viste sopra sono automaticamente
soddisfatte.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Chiaramente, interpolare i tassi e poi ricavare i prezzi dei TCN può dare
risultati differenti dall’interpolare direttamente i prezzi dei TCN (tranne
che per le scadenze ti ).
⊲ Nell’uno o nell’altro caso, la funzione interpolante dovrà soddisfare alcune
caratteristiche:
⋆ regolarità: ad esempio, dovrebbe essere almeno due volte derivabile;
⋆ la funzione interpolante non deve avere variazioni troppo ‘pronunciate’ (la
derivata seconda non dovrebbe prendere valori elevati);
⋆ robustezza: piccole variazioni nei prezzi B (o nei tassi r) non dovrebbero
causare grandi variazioni nell’interpolazione;
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Il primo tentativo è quello di utilizzare un polinomio come funzione
interpolante. Dati n + 1 coppie di punti (xi , yi )i=1,...,n+1 con gli xi tutti
distinti, esiste un unico polinomio di grado ≤ n,
l(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
tale che l(xi ) = yi per ogni i.
⊲ Tale polinomio si può scrivere nella forma seguente (polinomio di
Lagrange):
n+1
X
yh gh (x),
l(x) =
h=1
dove
gh (x) =
j6
=h
Y
x − xj
x − xj
j=1...n+1 h
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Prezzi dei BOT al 21/2/06
Scadenza
28/02/06
*15/03/06
31/03/06
*13/04/06
28/04/06
*15/05/06
31/05/06
*15/06/06
30/06/06
*14/07/06
31/07/06
*15/08/06
15/09/06
*15/10/06
15/11/06
*15/12/06
15/1/07
*15/2/07
Prezzo
99.950
99.860
99.750
99.660
99.550
99.440
99.330
99.210
99.100
99.020
98.880
98.770
98.540
98.300
98.080
97.850
97.590
97.330
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
Gestione del Rischio Finanziario
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Interpolazione con il polinomio di Lagrange
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
Gestione del Rischio Finanziario
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Interpolazione con il polinomio di Lagrange
B(0, 13/4/06) diminuito del 1‰
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Gestione del Rischio Finanziario
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Corrispondente curva dei tassi a pronti
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Gestione del Rischio Finanziario
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Corrispondente curva dei tassi forward istantanei
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Il polinomio non sembra adattarsi bene, specialmente per le maturità
vicino a 1 anno. Il prezzo del BOT con scadenza 15/1/07 implicato dalla
curva interpolata (out-of-sample) è 95.913, mentre il prezzo osservato è
97.590 (errore del 1.7%).
⊲ La conseguente interpolazione dei tassi spot e forward è notevolmente
peggiore. Il tasso spot implicato per la scadenza 15/1/07 è 4.64% mentre
quello osservato è 2.71% (errore del 71%).
⊲ L’interpolazione polinomiale non è molto robusta: una variazione del 1‰
del prezzo del secondo BOT (con scadenza 13/4/06) provoca uno
scostamento notevole della curva per le scadenze vicine ad 1 anno.
L’errore che si commette sul bond con scadenza 15/1/07 è ora del 4.53%.
⊲ Inoltre utilizzare un polinomio rende poco affidabile l’uso
dell’interpolazione al di fuori dell’intervallo [x1 , xn+1 ], dal momento che
lim|x|→∞ l(x) = ∞.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Un metodo alternativo spesso utilizzato per interpolare tra punti che evita
alcuni dei problemi incontrati prima, è quello delle spline polinomiali.
⊲ Dati n + 1 punti (xi )i=1,...,n+1 , detti nodi, una spline polinomiale di
grado k è una funzione S : [x1 , xn+1 ] → R tale che per ogni i la
restrizione S|[xi ,xi+1 ] sia un polinomio di grado k, o in altre parole


S1 (x)
S(x) = . . .


Sn (x)
se x ∈ [x1 , x2 ]
...
se x ∈ [xn , xn+1 ].
dove, per ogni i, Si è un polinomio di grado k, e inoltre tale che la
funzione S sia k − 1 volte derivabile.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Una spline è quindi individuata da n(k + 1) parametri (n polinomi di
grado k, ognuno con k + 1 parametri). La condizione di regolarità è
equivalente a richiedere che la funzione S sia k − 1 volte derivabile nei
nodi x2 , . . . , xn , cioè che per i = 1, . . . , n − 1 riesca
Si (xi+1 ) = Si+1 (xi+1 )
continuità
′
Si′ (xi+1 ) = Si+1
(xi+1 )
... = ...
derivabilità
...
(k−1)
Si
(k−1)
(xi+1 ) = Si+1 (xi+1 )
(k − 1) − derivabilità.
⊲ Si tratta quindi di k(n − 1) condizioni (lineari) sui parametri. Restano
quindi n + k parametri liberi.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Dati n + 1 coppie di punti (xi , yi )i=1,...,n+1 , con gli xi tutti distinti, una
spline interpolante di ordine k è una spline S di ordine k che verifica la
condizione di interpolazione
S(xi ) = yi per i = 1, . . . , n + 1.
⊲ Si tratta quindi di ulteriori n + 1 condizioni (lineari) sui parametri.
Restano allora k − 1 parametri liberi.
⊲ Ad esempio, per k = 1 si trova l’interpolazione con spline lineari
(brevemente interpolazione lineare) che è determinata unicamente dalla
continuità. Si trova
Si (x) = yi + (x − xi )
yi+1 − yi
per i = 1, . . . , n.
xi+1 − xi
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Per la loro flessibilità le spline più frequentemente usate sono le spline
cubiche (k = 3), in quanto permettono un massimo e un minimo in ogni
intervallo compreso fra due nodi (inoltre i tassi forward istantanei sono
una volta derivabili).
⊲ Tenendo conto di tutti i vincoli, restano k − 1 = 2 parametri liberi. Si
aggiungono allora altre due condizioni, tipicamente agli estremi, per
determinare univocamente tutti i parametri; ad esempio le spline cubiche
naturali richiedono che
S ′′ (x1 ) = S ′′ (xn+1 ) = 0,
cioè una condizione sulla curvatura della spline agli estremi.
⊲ Le condizioni di regolarità permettono di rappresentare la spline al modo
seguente: per i = 1, . . . , n − 1 deve essere Si+1 = Si + Ki+1 , dove Ki+1 è
un polinomio di grado 3 tale che
′′
′
(xi+1 ) = 0.
(xi+1 ) = Ki+1
Ki+1 (xi+1 ) = Ki+1
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Di conseguenza deve essere Ki+1 (x) = bi+1 (x − xi+1 )3 . Ponendo
S1 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , riesce quindi
Si (x) =
3
X
h
ah x +
i
X
k=2
h=0
bk (x − xk )3
Pv
per i = 1, . . . , n (per convenzione è
u . . . = 0 se u > v).
⊲ Una rappresentazione equivalente è data da
S(x) =
3
X
h=0
a h xh +
n
X
k=2
bk max(x − xk , 0)3 .
Questo permette di decomporre la spline come somma di un polinomio di
grado 3 e di termini che sono solo due volte derivabili nei nodi
(max(x − xk , 0)3 è derivabile infinite volte tranne nel nodo xk dove è solo
due volte derivabile).
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Diretto
⊲ Si determinano poi gli n + 3 parametri a0 , . . . , a3 , b2 , . . . , bn imponendo
le condizioni di interpolazione e le due condizioni agli estremi.
⊲ Ad esempio, interpolando con spline cubiche naturali il precedente
insieme di prezzi BOT, il risultato sembra decisamente migliore. Il prezzo
teorico del BOT con scadenza 15/1/07 è 97.596 (osservato 97.590) con
un errore del 0.006%.
⊲ In termini di tassi a pronti, il valore teorico è 2.70% contro il 2.71%, con
un errore del 0.3%.
⊲ Perturbando la curva come in precedenza non risulta in variazioni globali
di rilievo (ovvio, per come sono definite le spline).
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
Gestione del Rischio Finanziario
0.88
Polinomio di Lagrange
spline cubica naturale
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Interpolazione con spline cubica.
1.0
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
Gestione del Rischio Finanziario
0.88
Polinomio di Lagrange
spline cubica naturale
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Interpolazione con spline cubica
B(0, 13/4/06) diminuito del 1‰.
1.0
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Il problema principale del metodo diretto è la difficoltà di reperire un
numero di strumenti aventi cash-flows in scadenze comuni, così da
costruire una matrice dei cash-flows che sia invertibile.
⊲ Il metodo indiretto rinuncia a cercare una funzione che passi esattamente
fra i punti; piuttosto, si assume per la struttura per scadenza (in una delle
sue forme equivalenti) una data forma funzionale che dipenda da alcuni
parametri e si cercano i valori dei parametri tali che i valori teorici si
adattino (‘fittano’) ai valori osservati, secondo un certo criterio.
⊲ Chiaramente, se si fittano i prezzi, non è poi detto che i tassi teorici
implicati fittino altrettanto bene quelli osservati (e viceversa). A volte
(quando possibile) si preferisce fittare direttamente i tassi.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Sia
B(0, t) = b(t; θ), t ≥ 0
il modello che descrive la struttura per scadenza dei prezzi (con
b(0, θ) = 1 e b > 0). Per il vettore dei parametri riesce θ ∈ Θ dove
Θ ⊂ RL .
⊲ Alternativamente, possiamo modellare r(0, t) = R(t; θ) e poi definire
B(0, t) = e−tr(0,t) .
⊲ Consideriamo i due punti di RK
⋆ prezzi osservati: P̂ = [P̂1 , . . . , P̂K ]T ;
⋆ prezzi teorici: p(θ) = [p1 (θ), . . . , pK (θ)]T ,
dove pk è il prezzo teorico implicato dal modello b(t; θ).
⊲ Ad esempio nel caso di cash-flows noti in 0 si trova
pk (θ) =
n
X
j=1
Ĉk,j b(tj ; θ).
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Si cerca θ ∈ Θ tale che i due punti P̂ (fisso) e p(θ) (dipendente da θ) si
trovano a distanza minima, cioè il problema è
min d(P̂ , p(θ)),
θ∈Θ
dove d è una distanza in RK .
⊲ La scelta più comune è quella della distanza euclidea, cioè, per
x = (x1 , . . . , xK ) e y = (y1 , . . . , yK ),
v
u K
uX
d(x, y) = t
(xk − yk )2 ,
k=1
che si traduce nel metodo dei minimi quadrati (non lineari):
min
θ∈Θ
K
X
(P̂k − pk (θ))2 .
k=1
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Spesso si pesano in maniera diversa i vari strumenti: se wk > 0 è il peso
attribuito al k-esimo strumento, il problema è
min
θ∈Θ
K
X
k=1
wk (P̂k − pk (θ))2 .
⊲ Tipicamente il peso viene scelto inversamente collegato alla durata del
titolo, cioè si dà peso inferiore ai titoli che dipendono da un numero
maggiore di funzioni di sconto. Una scelta classica, nel caso in cui i titoli
siano obbligazioni, è l’inverso della duration del titolo. Questa scelta si
può interpretare come: i titoli più sensibili alle variazioni della curva
ricevono meno peso.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Il metodo dei minimi quadrati può essere giustificato statisticamente al
modo seguente.
⋆ Supponiamo che per k = 1, . . . , K riesca
P̂k = pk (θ) + εk
⋆ dove gli errori εk , scarti tra i valori osservati P̂k e quelli teorici pk (θ), sono
indipendenti e distribuiti come variabili aleatorie Gaussiane con media
nulla, cioè
εk ∼ N (0, σk2 ) per k = 1, . . . , K,
⋆ e inoltre
ε1 , . . . , εK sono indipendenti.
⋆ Questo implica in particolare che P̂k ∼ N (pk (θ), σk2 ).
⋆ Allora il metodo dei minimi quadrati corrisponde alla stima di massima
verosimiglianza del parametro θ.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲
⋆ Infatti, la funzione di verosimiglianza è
L(θ|P̂ ) =
K
Y
p
1
− 12 (P̂k −pk (θ))2
2σ
e
k
2πσk2
k=1
PK
− k=1 12 (P̂k −pk (θ))2
∝e
2σ
k
⋆ così massimizzare L(θ|P̂ ) equivale a minimizzare
K
X
k=1
con wk =
1
2.
2σk
wk (P̂k − pk (θ))2 ,
,
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Fra i modelli parametrici più utilizzati vi sono i seguenti, espressi
mediante i tassi forward istantanei f (t; θ) = f (0, t)
⋆ Nelson-Siegel (1987):
t
fNS (t; θ) = β0 + β1 e−t/a + β2 e−t/a ,
a
dove θ = (a, β0 , β1 , β2 ) e Θ = R+ × R3 .
⋆ Svensson (1994):
fSV (t; θ) = β0 + β1 e−t/a1 + β2
t −t/a1
t
+ β3 e−t/a2 ,
e
a1
a2
dove θ = (a1 , a2 , β0 , β1 , β2 , β3 ) e Θ = R2+ × R4 . A differenza di
Nelson-Siegel, si aggiunge un ulteriore termine esponenziale. Si possono
così ottenere anche forme della struttura per scadenza con un punto di
massimo e uno di minimo.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Un altro modello comunemente utilizzato è quello delle spline cubiche, per
i prezzi o per i tassi: fissati il numero di nodi m + 1 e i nodi x1 , . . . , xm ,
si pone, ragionando in termini di prezzi,
b(t; θ) =
3
X
h=0
ah t h +
m
X
h=2
bh max(t − xk , 0)3 ,
con θ = (a0 , . . . , a3 , b2 , . . . , bm ) e Θ = Rm+3 .
⊲ Ulteriore vantaggio è la linearità nei parametri, così si possono utilizzare
minimi quadrati ordinari.
⊲ Punto critico è quello della scelta del numero di nodi e della loro
posizione. Una regola empirica a volte utilizzataÏ quella di prendere il
numero di splines m pari all’intero più vicino a K, e i nodi
equidistanziati oppure tali che ogni intervallo tra due nodi contiene lo
stesso numero di (maturità degli) strumenti utilizzati.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Con la stessa filosofia delle splines, diversi metodi parametrici possono
essere costruiti partendo da semplici procedure di interpolazione
⋆ dei fattori di sconto
⋆ dei tassi a pronti
⋆ dei tassi forward
fra un certo numero di nodi assegnati.
⊲ Il tipo di interpolazione può essere
⋆ lineare
⋆ costante a tratti
⋆ ...
⊲ Si procede poi a fittare il modello ai dati.
⊲ Prendendo un numero di nodi sufficientemente elevato (≈ pari a quello
degli strumenti) è possibile riprodurre esattamente i tassi/prezzi osservati.
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ Tassi forward istantanei costanti a tratti
⋆ siano t0 = 0 < t1 < . . . < tn < . . . i nodi
⋆ si pone f (t; θ) = θi per ti−1 ≤ t < ti , i ≥ 1
⋆ i tassi a pronti sono dati da:


i−1
1 X
r(0, t) = R(t; θ) =
θj (tj − tj−1 ) + θi (t − ti−1 )
t j=1
se ti−1 ≤ t < ti .
⊲ Ad esempio, avendo dei tassi LSWAP (ti ), i = 1, . . . , n si può costruire una
curva che riproduce esattamente questi tassi prendendo proprio t1 , . . . , tn
come nodi e imponendo che
LSWAP (ti ) =
1 − b(ti ; θ)
.
Pti /∆
∆ j=1 b(ti /j; θ)
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Fitting dei prezzi dei BOT al 21/2/06 — Nelson-Siegel
Scadenza
28/02/06
*15/03/06
31/03/06
*13/04/06
28/04/06
*15/05/06
31/05/06
*15/06/06
30/06/06
*14/07/06
31/07/06
*15/08/06
15/09/06
*15/10/06
15/11/06
*15/12/06
15/1/07
*15/2/07
Prezzo
99.950
99.860
99.750
99.660
99.550
99.440
99.330
99.210
99.100
99.020
98.880
98.770
98.540
98.300
98.080
97.850
97.590
97.330
0.975
0.980
0.985
0.990
0.995
1.000
Gestione del Rischio Finanziario
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fitting dei prezzi dei BOT con Nelson-Siegel.
0.030
Gestione del Rischio Finanziario
0.023
0.024
0.025
0.026
0.027
0.028
0.029
spot
forward
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tassi spot e forward - Nelson-Siegel.
1.0
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Fitting dei prezzi dei BOT al 21/2/06 — Nelson-Siegel
P̂
p
0.9995
0.9986
0.9975
0.9966
0.9955
0.9944
0.9933
0.9921
0.9910
0.9902
0.9888
0.9877
0.9854
0.9830
0.9808
0.9785
0.9759
0.9733
0.9995
0.9985
0.9975
0.9966
0.9956
0.9944
0.9933
0.9922
0.9911
0.9901
0.9888
0.9877
0.9854
0.9831
0.9807
0.9783
0.9759
0.9734
p − P̂
+4.01E-05
-5.44E-05
-2.87E-05
-1.16E-05
+5.86E-05
-2.26E-05
-4.77E-05
+8.59E-05
+1.09E-04
-1.07E-04
+4.80E-05
+3.82E-05
+1.24E-05
+1.22E-04
-8.49E-05
-1.51E-04
-3.19E-05
+5.14E-05
(p − P̂ )/P̂
+4.02E-05
-5.45E-05
-2.88E-05
-1.17E-05
+5.88E-05
-2.28E-05
-4.81E-05
+8.66E-05
+1.10E-04
-1.08E-04
+4.86E-05
+3.87E-05
+1.26E-05
+1.24E-04
-8.65E-05
-1.54E-04
-3.26E-05
+5.28E-05
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Fitting dei prezzi dei BOT al 21/2/06 — Nelson-Siegel
R̂%
r%
2.6078
2.3244
2.4043
2.4375
2.4943
2.4696
2.4785
2.5394
2.5580
2.5137
2.5694
2.5813
2.6060
2.6518
2.6502
2.6711
2.7147
2.7515
2.3984
2.4147
2.4319
2.4458
2.4617
2.4796
2.4962
2.5117
2.5270
2.5412
2.5583
2.5733
2.6037
2.6327
2.6621
2.6900
2.7183
2.7462
r − R̂%
-2.09E-01
+9.04E-02
+2.76E-02
+8.35E-03
-3.25E-02
+1.00E-02
+1.77E-02
-2.77E-02
-3.10E-02
+2.75E-02
-1.11E-02
-8.07E-03
-2.23E-03
-1.92E-02
+1.18E-02
+1.89E-02
+3.63E-03
-5.37E-03
(r − R̂)/R̂
-8.03E-02
+3.89E-02
+1.15E-02
+3.42E-03
-1.30E-02
+4.05E-03
+7.15E-03
-1.09E-02
-1.21E-02
+1.09E-02
-4.31E-03
-3.13E-03
-8.57E-04
-7.22E-03
+4.46E-03
+7.09E-03
+1.34E-03
-1.95E-03
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
⊲ È comune utilizzare strumenti del mercato monetario per costruire la
curva dei tassi interbancari.
⊲ Tale curva è spesso preferita come curva ‘risk-free’ a quella dei tassi
governativi, ad esempio per la liquidità degli strumenti con cui è
costruita, anche se contiene un rischio di insolvenza maggiore (e quindi
differisce dall’altra curva per un certo spread).
⊲ Si divide allora la curva in tre parti: la parte breve (fino a ∼ 3/6 mesi), la
parte a medio termine (da 3/6 mesi fino a ∼ 2 anni) e la parte lunga (da
2 a 30 anni o più). Ognuno di questi tre segmenti contribuisce alla
formazione della curva dei tassi al modo seguente:
parte breve: Si usano i tassi interbancari (LIBOR o EURIBOR),
assimilabili a TCN.
parte medio termine: Si usano Forward Rate Agreements (o futures su
tassi d’interesse), assimilabili a prestiti differiti.
parte lunga: Si usano Swaps, assimilabili a obbligazioni alla pari.
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Strumenti del Mercato Monetario al 21/2/06
Tassi Euribor
scad. tasso %
*1/52
3.38
*2/52
3.50
*3/52
3.57
*1/12
3.64
*2/12
3.67
*3/12
3.69
*4/12
3.73
*5/12
3.77
*6/12
3.79
7/12
3.82
8/12
3.85
9/12
3.87
10/12
3.88
11/12
3.89
1
3.90
settl.
1/4
*1/2
*3/4
1/2
*1
Tassi FRA
scad. tasso %
1/2
3.780
3/4
3.840
1
3.840
1
3.865
3/2
3.775
Tassi SWAP
scad. tasso %
1
3.87
*2
3.83
3
3.83
*4
3.83
5
3.81
*6
3.82
7
3.83
*8
3.85
9
3.87
*10
3.89
11
3.91
12
3.93
*15
3.98
*20
4.02
*25
4.02
*30
4.01
Gestione del Rischio Finanziario
Metodo Indiretto
Fitting con Nelson-Siegel e con Svensson.
Nelson-Siegel: a = 2.1148, β0 = 0.0409, β1 = −0.0017, β2 = −0.0088.
Riesce rNS (0) = β0 + β1 = 0.0392, rNS (∞) = β0 = 0.0409.
Svensson: a1 = 1.2618, a2 = 1.2507, β0 = 0.0409,
β1 = −0.0052, β2 = −1.1716, β3 = 1.17.
Si ha rSV (0) = β0 + β1 = 0.0356, rSV (∞) = β0 = 0.0409.
Gestione del Rischio Finanziario
0.3
0.6
0.9
Nelson−Siegel
0
5
10
15
20
25
30
20
25
30
0.3
0.6
0.9
Svensson
0
5
10
15
Discount function implicata dai due modelli.
0.038
0.039
0.040
0.041
Gestione del Rischio Finanziario
0.037
spot
fwd
0
5
10
15
20
25
30
Tassi a pronti e a termine implicati dal modello di Nelson-Siegel.
0.036
0.037
0.038
0.039
0.040
0.041
Gestione del Rischio Finanziario
spot
fwd
0
5
10
15
20
25
30
Tassi a pronti e a termine implicati dal modello di Svensson.
0.037
0.038
0.039
0.040
Gestione del Rischio Finanziario
NS
SV
0
5
10
15
20
25
30
Confronto fra i tassi a pronti implicati dai due modelli.
0.036
0.037
0.038
0.039
0.040
0.041
Gestione del Rischio Finanziario
NS
SV
0
5
10
15
20
25
30
Confronto fra i tassi a termine implicati dai due modelli.
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Tassi EURIBOR
L̂%
*3.38
*3.50
*3.57
*3.64
*3.67
*3.69
*3.73
*3.77
*3.79
3.82
3.85
3.87
3.88
3.89
3.90
LNS %
3.92
3.92
3.92
3.92
3.91
3.90
3.90
3.89
3.89
3.89
3.88
3.88
3.88
3.88
3.88
LSV %
3.58
3.59
3.60
3.62
3.66
3.70
3.73
3.76
3.79
3.81
3.83
3.85
3.86
3.88
3.89
errNS
−0.54
−0.42
−0.35
−0.28
−0.24
−0.22
−0.17
−0.13
−0.10
−0.07
−0.04
−0.02
−0.00
0.01
0.03
err.pcNS
−0.16
−0.12
−0.10
−0.08
−0.07
−0.06
−0.05
−0.03
−0.03
−0.02
−0.01
−0.00
−0.00
0.00
0.01
errSV
−0.20
−0.09
−0.03
0.02
0.01
−0.01
−0.00
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.01
0.02
0.01
err.pcSV
−0.06
−0.03
−0.01
0.01
0.00
−0.00
−0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi FRA
L̂FRA
3.78
*3.84
*3.84
3.87
*3.77
LFRA,NS
3.84
3.79
3.76
3.79
3.75
LFRA,SV
3.84
3.90
3.90
3.92
3.88
errNS
−0.06
0.05
0.08
0.07
0.03
err.pcNS
−0.02
0.01
0.02
0.02
0.01
errSV
−0.06
−0.06
−0.06
−0.05
−0.10
err.pcSV
−0.02
−0.01
−0.02
−0.01
−0.03
Gestione del Rischio Finanziario
Tassi SWAP
L̂SWAP
3.87
*3.83
3.83
*3.83
3.81
*3.82
3.83
*3.85
3.87
*3.89
3.91
3.93
*3.98
*4.02
*4.02
*4.01
LSWAP,NS
3.84
3.79
3.78
3.79
3.81
3.83
3.85
3.87
3.89
3.91
3.92
3.94
3.97
4.00
4.02
4.03
LSWAP,SV
3.85
3.85
3.81
3.80
3.81
3.82
3.85
3.87
3.89
3.91
3.92
3.94
3.97
4.00
4.02
4.03
errNS
0.03
0.04
0.04
0.03
0.00
−0.01
−0.02
−0.02
−0.02
−0.02
−0.01
−0.01
0.01
0.02
0.00
−0.02
err.pcNS
0.01
0.01
0.01
0.01
0.00
−0.00
−0.01
−0.01
−0.01
−0.00
−0.00
−0.00
0.00
0.01
0.00
−0.00
errSV
0.02
−0.02
0.01
0.03
0.00
−0.00
−0.02
−0.02
−0.02
−0.02
−0.01
−0.01
0.01
0.02
0.00
−0.02
err.pcSV
0.00
−0.00
0.00
0.01
0.00
−0.00
−0.00
−0.00
−0.00
−0.00
−0.00
−0.00
0.00
0.01
0.00
−0.00
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Strumenti del Mercato Monetario al 31/12/08
Tassi Euribor
scad. tasso
1w 2.387
2w 2.452
3w 2.508
1m 2.603
2m 2.785
3m 2.892
4m 2.923
5m 2.943
6m 2.971
7m 2.990
8m 3.003
9m 3.018
10m 3.029
11m 3.038
12m 3.049
Tassi SWAP
scad. tasso
2y 2.720
3y 2.932
4y 3.104
5y 3.232
6y 3.351
7y 3.459
8y 3.561
9y 3.650
10y 3.730
12y 3.837
15y 3.896
20y 3.854
25y 3.670
30y 3.537
Gestione del Rischio Finanziario
0.032
0.024
f(t)
instantaneous forward 31/12/08
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t
0.040
0.025
f(t)
instantaneous forward 31/12/08
5
10
15
20
25
30
t
Bootstrap con tassi forward istantanei costanti a tratti.
Gestione del Rischio Finanziario
0.035
0.025
R(t)
spot rates 31/12/08
0
5
10
15
20
25
30
25
30
t
0.7
0.4
B(t)
1.0
discount function 31/12/08
0
5
10
15
20
t
Bootstrap con tassi forward istantanei costanti a tratti.
Gestione del Rischio Finanziario
Evoluzione della Struttura a Termine
⊲ Al fine di valutare derivati sulla struttura a termine dei tassi (ad esempio
Caps, Floors, Swaptions, . . . ) la sola ipotesi di assenza di opportunità di
arbitraggio non è sufficiente.
⊲ È necessario allora fare un’ipotesi l’evoluzione temporale in condizioni di
incertezza della struttura a termine dei tassi (in una delle sue forme).
⊲ Fra i numerosi modelli che sono stati studiati, si possono individuare due
tipologie:
⋆ Modelli in cui la struttura a termine dipende da un numero finito di fattori,
che possono essere variabili economiche e/o punti sulla curva dei tassi;
⋆ Modelli che prendono in input tutta la curva dei tassi e studiano poi le
deformazioni della curva.
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Consideriamo un modello che descrive l’evoluzione in condizioni di
incertezza della struttura a termine dei tassi. Il modello è discreto
(finito) in termini di epoche in cui avvengono le transazioni e di stati del
mondo (possibili evoluzioni dell’incertezza).
⊲ Lo scadenzario in cui avvengono le transazioni è T = {0, 1, . . . , T }; ci si
può sempre ricondurre a questa situazione reindicizzando le epoche e
considerando tassi periodali (non annualizzati).
⊲ Il modello è binomiale, nel senso che ad ogni epoca, data la situazione
corrente, l’incertezza all’epoca successiva può avere due possibili
evoluzioni (il caso multinomiale in cui due o più evoluzioni si possono
realizzare è un’estensione immediata del modello considerato).
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ All’epoca 0 il sistema si trova nello stato ω0 . All’epoca 1 il mercato può
essere in uno dei due stati u (‘up’) o d (‘down’). Lo stato del sistema in 1
si indica con ω1 , quindi ω1 ∈ {u, d}. La probabilità che si verifichi lo
stato ω1 = u è indicata con p0 (0 < p0 < 1), mentre 1 − p0 è la
probabilità che si verifichi lo stato ω1 = d.
⊲ Dato lo stato del sistema in 1, il mercato all’epoca 2 può di nuovo salire o
scendere, quindi vi sono 4 possibili stati, uu, ud, du, dd (osserviamo che è
importante l’ordine in cui si osservano i movimenti: ud 6= du). Il generico
stato in 2 si indica con ω2 , quindi ω2 ∈ {uu, ud, du, dd}. La probabilità
di un movimento verso l’alto da 1 a 2, dato lo stato del sistema in 1, si
indica con p1 (ω1 ) (0 < p1 (ω1 ) < 1). Quest’ultima è una probabilità
condizionata, quindi ad esempio riesce
P (uu) = p0 · p1 (u), P (ud) = p0 · (1 − p1 (u)), . . ..
⊲ Si procede in questo modo fino all’epoca finale T .
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Riassumendo, alla generica epoca t ∈ T, il generico stato si indicherà con
ωt . L’insieme dei possibili stati (nodi) all’epoca t si indicherà con
Pt = {ωt = e1 e2 . . . et : ei ∈ {u, d}},
quindi vi sono 2t possibili stati (e P0 = {ω0 }).
⊲ Passando all’epoca successiva t + 1, il generico stato sarà ωt+1 = ωt u con
probabilità pt (ωt ) (0 < pt (ωt ) < 1) oppure ωt+1 = ωt d con probabilità
1 − pt (ωt ). In altre parole,
P (ωt+1 = ωt u|ωt ) = pt (ωt ) e P (ωt+1 = ωt d|ωt ) = 1 − pt (ωt ).
⊲ La sequenza P0 , . . . , PT prende il nome di struttura informativa, nel senso
che traduce l’evoluzione dell’informazione al passare del tempo.
L’informazione cresce nel tempo, cioè Ps è meno fine di Pt se s < t (ogni
nodo di Ps è unione di nodi in Pt ).
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Esempio: T = 3
p 2(
)
(u
p1
uu)
uuu
uu
1−
p2 (
uu)
uud
u
1−
p0
p
1 (u
)
p 2(
ω0
1
−
)
(d
p1
p
0
ud)
udu
ud
1−
p2 (
ud)
du)
p 2(
udd
duu
1−
p2 (
du)
dud
du
d
1−
p
1 (d
)
p 2(
dd)
ddu
dd
1−
p2 (d
d)
ddd
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Complessivamente, fino all’epoca T vi sono T movimenti ognuno dei quali
può essere u o d. L’incertezza è allora formata da 2T casi possibili, il
generico essendo ωT = e1 e2 . . . eT dove et ∈ {u, d}.
⊲ La probabilità di osservare tale stato è
P (ωT ) =P (e1 e2 . . . eT )
=P (e1 )P (e1 e2 |e1 ) · · · P (e1 e2 . . . eT |e1 e2 . . . eT −1 )
=
T
−1
Y
p′t (e1 . . . et )
t=0
dove
p′t (e1
. . . et ) =
(
pt (e1 . . . et )
1 − pt (e1 . . . et )
se et+1 = u
.
se et+1 = d
Gestione del Rischio Finanziario
Variabili Aleatorie e Processi Stocastici
⊲ Consideriamo ora una variabile X il cui valore non è noto inizialmente ma
che diventerà noto una volta che si conosce qual’è il vero stato ωT ∈ PT .
Formalmente, si parla di variabile aleatoria, ed è definita come una
applicazione X : PT → R. Il suo generico valore si indica con X(ωT ) con
ωT ∈ PT .
⊲ Più in generale, per 0 ≤ t ≤ T , una variabile aleatoria Pt -misurabile X è
una variabile il cui valore è noto una volta che è noto il vero stato in Pt .
Formalmente, si tratta di una variabile aleatoria costante sui nodi di Pt ; il
generico valore si indica con X(ωt ) per ωt ∈ Pt .
⊲ Se t < s, ogni variabile aleatoria Pt -misurabile è anche Ps -misurabile
(l’informazione cresce al passare del tempo).
Gestione del Rischio Finanziario
Variabili Aleatorie e Processi Stocastici
⊲ Consideriamo ora un processo che evolve nel tempo in maniera aleatoria,
ma conformandosi all’evoluzione dell’informazione. In altre parole, per
conoscere il valore del processo in una certa epoca è sufficiente conoscere
qual’è lo stato dell’economia in quell’epoca.
⊲ Un processo di questo tipo si chiama processo stocastico adattato (alla
struttura informativa). Formalmente, si tratta di una sequenza
(X(t))t=0,...,T = (X(0), X(1), . . . , X(T )) di variabili aleatorie tali che
per ogni t la variabile X(t) è Pt misurabile. Se si vuole evidenziare la
dipendenza dallo stato ωt ∈ Pt , il suo valore si indicherà con X(t; ωt ).
Gestione del Rischio Finanziario
Variabili Aleatorie e Processi Stocastici
⊲ Se X è una variabile aleatoria, la sua speranza matematica (sotto la
probabilità P ) è definita come
X
X(ωT )P (ωT ).
E P [X] =
ωT ∈PT
⊲ Se X è Pt -misurabile, allora si può calcolare la speranza matematica di X
semplicemente come
X
E P [X] =
X(ωt )P (ωt ).
ωt ∈Pt
Gestione del Rischio Finanziario
Speranza Matematica Condizionata
⊲ Data una variabile aleatoria X e 0 ≤ t ≤ T definiamo la speranza
matematica di X condizionata a Pt (sotto la probabilità P ) come la
variabile aleatoria Pt -misurabile E P [X|Pt ] il cui generico valore si indica
semplicemente con E P [X|ωt ] ed è dato da
X
E P [X|ωt ] =
X(ωT )P (ωT |ωt ).
ωT =ωt et+1 et+2 ...eT ∈PT
⊲ Fra le proprietà della speranza condizionata si hanno le seguenti:
⋆
E P [X|P0 ] = E P [X];
⋆ la proprietà iterativa della speranza condizionata: se 0 ≤ t < s ≤ T ,
E P [E P [X|Ps ]|Pt ] = E P [X|Pt ].
Gestione del Rischio Finanziario
Speranza Matematica Condizionata
⊲
⋆ In particolare, per t = 0, si trova
E P [E P [X|Ps ]] = E P [X].
⋆ Altra proprietà importante è la seguente: se Y è Pt -misurabile, riesce
E P [Y X|Pt ] = Y E P [X|Pt ],
ed in particolare E P [Y |Pt ] = Y .
⋆ Fra le altre proprietà vi sono la linearità:
E P [aX + bY |Pt ] = aE P [X|Pt ] + bE P [Y |Pt ],
⋆ e la monotonia: se X ≥ Y (cioè se X(ωT ) ≥ Y (ωT ) per ogni ωT ) allora
E[X|Pt ] ≥ E[Y |Pt ].
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Nel mercato sono trattati TCN per ogni scadenza futura. Ricordiamo che
le supponiamo sempre di lavorare in un mercato perfetto, ed in
particolare privo di opportunità di arbitraggio (quest’ultima sarà
precisata ulteriormente fra poco).
⊲ Dato s ∈ T, s > 0, il prezzo in t del TCN che scade in s si indica al solito
con B(t, s). Ricordiamo che B(t, s) > 0 se t < s e B(s, s) = 1. Il tasso a
breve (uniperiodale) in t < T (per t + 1), r(t), è definito da
B(t, t + 1) = e−r(t) .
⊲ Si considera anche il money market account, il cui valore in t è indicato
con B(t), costruito partendo con 1e e investendo di volta in volta in
TCN cheP
maturano alla scadenza successiva. È B(0) = 1 e
t−1
B(t) = e u=0 r(u) per t > 0.
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Per ogni s ∈ T, s > 0, si assume che il processo (B(t, s))t=0,...,s è
adattato alla struttura informativa; il suo valore in t se ωt è lo stato
prevalente si indicherà con B(t, s; ωt ).
⊲ Segue che anche il tasso unperiodale è adattato, mentre per il money
market account si può essere più precisi: il valore di B(t) è noto in t − 1,
quindi sarà funzione dello stato ωt−1 prevalente in t − 1 (cioè B(t) è
Pt−1 -misurabile).
⊲ Senza perdita di generalità, per t < s ≤ T e ωt ∈ Pt poniamo
B(t + 1, s; ωt u) = B(t, s; ωt )u(t, s; ωt )
B(t + 1, s; ωt d) = B(t, s; ωt )d(t, s; ωt ),
con u(t, s; ωt ) > d(t, s; ωt ) per t + 1 < s, mentre quando t + 1 = s,
essendo B(t + 1, t + 1) = 1 in ogni stato, deve essere
u(t, t + 1; ωt ) = d(t, t + 1; ωt ).
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Esempio: T = 3, B(0, 3) = 0.95, u = 1.01% (+1%),
d = 0.992% (−0.8%), in rosso i valori di B(t, 3), t = 0, 1, 2, 3
)
(u
p1
p
0
0.9595
u
1
−
0.95
ω0
1
u)
uuu
(u
0.9691p 2
uu
1−
1
p
2 (u
u) uud
1
)
udu
(ud
p
1 (u 0.9518p 2
)
ud
1−
1
p
2 (ud udd
)
1
−
p0
1
)
duu
(du
0.9518p 2
du
1−
1
p
2 (du dud
)
)
(d
p1
0.9424
d
1
1
)
−
ddu
(dd
p
1 (d 0.9349p 2
)
dd
1−
1
p
2 (dd ddd
)
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ Esempio precedente: pt (wt ) = 2/3 per ogni t = 0, 1, 2 e ωt ∈ Pt
⋆ Riesce
E P [B(2, 3)] = 0.9691
2
2
12
21
1
2
+0.9518
+0.9349
+0.9518
= 0.9576
3
33
33
3
⋆ La variabile aleatoria E[B(2, 3)|P1 ] è costante sui nodi di P1 = {u, d}:
1
2
+ 0.9518 = 0.9633
3
3
2
1
P
E [B(2, 3)|d] = 0.9518 + 0.9349 = 0.9462
3
3
E P [B(2, 3)|u] = 0.9691
⋆ La proprietà iterativa della speranza condizionata ci dice che
E P [B(2, 3)] = E P [E P [B(2, 3)|P1 ]] e infatti
0.9633
2
1
+ 0.9462 = 0.9576.
3
3
Gestione del Rischio Finanziario
Un Modello di Evoluzione della Struttura
a Termine
⊲ La differenza u(t, s; ωt ) − d(t, s; ωt ) è legata alla volatilità del TCN con
scadenza s. Posto R ≡ R(t, t + 1, s) = (B(t + 1, s) − B(t, s))/B(t, s) il
rendimento percentuale tra t e t + 1, riesce
R(ωt u) = u(t, s; ωt ) − 1, R(ωt d) = d(t, s; ωt ) − 1.
⊲ Posto allora p = pt (ωt ), u(t, s; ωt ) = u e d(t, s; ωt ) = d, si trova allora
E P [R|ωt ] = pu + (1 − p)d − 1
e
V ARP [R|ωt ] = p(1 − p)(u − d)2 ,
quindi la volatilità (scostamento quadratico medio dei rendimenti
periodali) è data da
q
p(1 − p)(u − d).
Gestione del Rischio Finanziario
Strategia Dinamica
⊲ Una strategia dinamica (o portafoglio) è un vettore
φ = (φ1 , . . . , φT )
di processi adattati dove φs (t) è la quantità di TCN con scadenza s
acquistata in t e detenuta fino all’epoca t + 1, per t = 0, . . . , s − 1.
⊲ Il fatto che le strategie siano adattate traduce il fatto che in una data
epoca si scelgono i pesi del portafoglio una volta che è noto lo stato
prevalente in quell’epoca (cioè una volta noti i prezzi dei titoli in
quell’epoca).
⊲ Il valore della strategia φ all’epoca t < T è dato da
Vφ (t) = φt+1 (t)B(t, t + 1) + . . . + φT (t)B(t, T ).
Il valore Vφ (t) è quindi il costo in t per implementare la strategia φ. Si
tratta di un processo adattato.
Gestione del Rischio Finanziario
Strategia Dinamica
⊲ Osserviamo che investire nel money market account richiede una strategia
che coinvolge (di volta in volta) i TCN di tutte le scadenze.
⊲ Il cash-flow generato dalla strategia φ è il processo adattato


−Vφ (0)
P
CFφ (t) = φt (t − 1) + Ts=t+1 φs (t − 1)B(t, s) − Vφ (t)


φT (T − 1)
definito da
t=0
1≤t<T .
t=T
⊲ In 0 costituisco il portafoglio (costo Vφ (0)). Alla generica epoca
1 ≤ t < T , ricevo φt (t − 1) TCN con quella scadenza, liquido il
portafoglio posseduto sui TCN restanti (guadagno
PT
s=t+1 φs (t − 1)B(t, s)) e costituisco il portafoglio con i nuovi pesi
(costo Vφ (t)). In T , ricevo φT (T − 1) TCN con scadenza T .
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲ Un’opportunità di arbitraggio è definita come una strategia φ per cui
riesce
⋆ CFφ (t; ωt ) ≥ 0 per ogni 0 ≤ t ≤ T e per ogni ωt ∈ Pt ;
⋆ esiste 0 ≤ s ≤ T e ωs ∈ Ps tale che CFφ (s; ωs ) > 0.
⊲ Si tratta quindi di una strategia che comporta flussi di cassa mai negativi
(non si perde mai), ed esiste la possibilità di ricevere un flusso di cassa
positivo (in qualche epoca ed in qualche stato).
⊲ In particolare deve essere Vφ (0) ≤ 0. Si distingue allora tra opportunità
di arbitraggio
⋆ del primo tipo: costo iniziale nullo, flussi di cassa futuri sempre
nonnegativi ed almeno in un’epoca e stato del mondo positivi;
⋆ del secondo tipo: costo iniziale negativo, flussi di cassa futuri sempre
nonnegativi.
⊲ Manteniamo sempre l’ipotesi che nel nostro mercato non vi siano
opportunità di arbitraggio (AOA).
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲ Mostriamo che l’assenza di opportunità di arbitraggio pone dei vincoli
all’evoluzione dei prezzi dei titoli. Poniamo per comodità per ogni
0 ≤ t ≤ T − 2, s > t + 1 e ωt ∈ Pt ,
qts (ωt ) =
er(t;ωt ) − d(t, s; ωt )
.
u(t, s; ωt ) − d(t, s; ωt )
⊲ L’ipotesi AOA implica che per ogni 0 ≤ t ≤ T − 2, s > t + 1 e
ωt ∈ Pt deve essere
0 < qst (ωt ) = qT
t (ωt ) < 1.
⊲ Il numero qts (ωt ) non dipende da s (qts (ωt ) ≡ qt (ωt )) ed inoltre è
compreso tra 0 e 1 (può quindi essere interpretato come probabilità
(condizionata) di un movimento verso l’alto se lo stato attuale è ωt ).
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲ Per la dimostrazione, partiamo fissando 0 ≤ t ≤ T − 2, s > t + 1 e
ωt ∈ Pt .
⋆ Per semplicità, eliminiamo dove possibile la dipendenza da t e da ωt :
scriviamo allora
q s ≡ qts (ωt ), u(T ) ≡ u(t, T ; ωt ), d(T ) ≡ d(t, T ; ωt ),
u(s) ≡ u(t, s; ωt ), d(s) ≡ d(t, s; ωt ), B(t) ≡ B(t; ωt ),
B(t, T ) ≡ B(t, T ; ωt ), B(t, s) ≡ B(t, s; ωt ), r ≡ r(t; ωt ).
⋆ Mostriamo prima che deve essere 0 < q s < 1. Consideriamo la strategia
(costruita in t se lo stato è ωt e liquidata in t + 1) in cui si investe nel TCN
con scadenza s e nel money market account, con pesi rispettivamente
η ≡ ηs (t; ωt ) e ϕ ≡ ϕ(t; ωt ), con valore nullo in t:
ηB(t, s) + ϕB(t) = 0.
da cui si ricava ϕB(t) = −ηB(t, s).
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲
⋆ Il valore in t + 1 se ωt+1 = ωt u è
ηB(t + 1, s; ωt u) + ϕB(t + 1; ωt u) = η B(t, s)(u(s) − d(s))(1 − q s ),
|
{z
}
>0
mentre se ωt+1 = ωt d è
ηB(t + 1, s; ωt d) + ϕB(t + 1; ωt d) = −η B(t, s)(u(s) − d(s)) q s .
{z
}
|
>0
⋆ Se q s ≥ 1, allora prendendo η < 0 (vendo TCN con scadenza s e investo
nel money market account) si ottiene un cash-flow in t + 1 nonnegativo se
ωt+1 = ωt u e positivo se ωt+1 = ωt d, quindi un’opportunità di arbitraggio.
Se invece q s ≤ 0 allora si prende η > 0 ottenendo nuovamente
un’opportunità di arbitraggio.
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲
⋆ Mostriamo ora che q s = q T . Consideriamo la strategia (costruita in t se lo
stato è ωt e liquidata in t + 1) in cui si investe fino a t + 1 nei TCN con
scadenze T e s e nel money market account, con pesi rispettivamente
φ ≡ φT (t; ωt ), η ≡ ηs (t; ωt ) e ϕ ≡ ϕ(t; ωt ), con valore nullo in t, e nullo in
t + 1 se lo stato è ωt+1 = ωt d:
φB(T, t) + ηB(t, s) + ϕB(t) = 0
ed inoltre
φB(t + 1, T ; ωt d) + ηB(t + 1, s; ωt d) + ϕB(t + 1; ωt d) =
= φB(t, T )d(T ) + ηB(t, s)d(s) + ϕB(t)er = 0.
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲
⋆ Ricavando η e ϕ in funzione di φ si trova
ηB(t, s) = −φB(t, T )
ϕB(t) = −φB(t, T )
u(T ) − d(T ) q T
,
u(s) − d(s) q s
1−
u(T ) − d(T ) q T
u(s) − d(s) q s
.
⋆ Sostituendo queste espressioni in quella del valore della strategia se lo stato
è ωt+1 = ωt u, si trova
φB(t + 1, T ; ωt u) + ηB(t + 1, s; ωt u) + ϕB(t + 1; ωt u)
=φB(t, T )u(T ) + ηB(t, s)u(s) + ϕB(t)er
qT
=φ B(t, T )(u(T ) − d(T )) 1 − q T − (1 − q s ) s .
{z
}
|
q
{z
}
|
>0
(∗)
Gestione del Rischio Finanziario
Opportunità di Arbitraggio
⊲
⋆ Si vede allora che se il termine (∗) non è nullo, si può costruire un
arbitraggio prendendo φ dello stesso segno di (∗), rendendo così positivo il
valore nello stato ωt u. Riesce allora (∗) = 0 se e solo se q s = q T .
⊲ Per ogni nodo ωt ∈ Pt , con t < T − 1 possiamo quindi costruire un
numero 0 < qt (ωt ) < 1 definito da
qt (ωt ) =
=
er(t;ωt ) − d(t, T ; ωt )
u(t, T ; ωt ) − d(t, T ; ωt )
er(t;ωt ) − d(t, s; ωt )
.
u(t, s; ωt ) − d(t, s; ωt )
⊲ Dati questi numeri, aggiungendo per ogni ωT −1 ∈ PT −1 un numero
0 < qT −1 (ωT −1 ) < 1 arbitrario, possiamo costruire un’altra probabilità Q
sulla nostra struttura informativa, al solito modo:
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲
Q(ωT ) =Q(e1 e2 . . . eT )
=Q(e1 )Q(e1 e2 |e1 ) · · · Q(e1 e2 . . . eT |e1 e2 . . . eT −1 )
=
T
−1
Y
qt′ (e1 . . . et )
t=0
dove
qt′ (e1
. . . et ) =
(
qt (e1 . . . et )
1 − qt (e1 . . . et )
se et+1 = u
.
se et+1 = d
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲ Sotto la probabilità Q riesce, per ogni 0 ≤ t < s ≤ T ,
i
h
B(t, s) = E Q B(t + 1, s)e−r(t) Pt .
⋆ Infatti, si ha
i
h
E Q B(t + 1, s)e−r(t) ωt
=B(t + 1, s; ωt u)e−r(t) qt (ωt ) + B(t + 1, s; ωt d)e−r(t) (1 − qt (ωt ))
=B(t, s; ωt )e−r(t) (u(t, s; ωt )qt (ωt ) + d(t, s; ωt )(1 − qt (ωt )))
=B(t, s; ωt ).
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲
⋆ Tenendo conto che B(t)/B(t + 1) = e−r(t) e che B(t) è Pt -misurabile, la
precedente proprietà può essere scritta come
B(t, s)
B(t + 1, s) = EQ
Pt .
B(t)
B(t + 1)
⋆ A partire da quest’ultima, utilizzando la proprietà iterativa della speranza
condizionata, si trova, per ogni t < v ≤ s,
B(t, s)
Q B(v, s) =E
Pt .
B(t)
B(v)
⊲ Un processo adattato (X(t))t=0,...,T che verifica una di queste due
proprietà (equivalenti), cioè E[X(v)|Pt ] = X(t) per ogni t < v ≤ T
oppure E[X(t + 1)|Pt ] = X(t) per ogni t < T , prende il nome di
martingala.
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲ Quindi una martingala è un processo ‘costante in media’: il valore atteso
futuro data l’informazione oggi è il valore oggi.
⊲ Abbiamo dimostrato che l’assenza di opportunità di arbitraggio
implica l’esistenza di una probabilità Q tale che i prezzi dei
TCN scontati (normalizzati per confrontare prezzi in epoche diverse)
sono delle martingale sotto Q.
⊲ Quindi, sotto la probabilità Q, si valuta il prezzo di un titolo
semplicemente prendendo la speranza del valore futuro scontato fino
all’istante di valutazione, infatti si può riscrivere la proprietà come
B(t) B(t, s) = E Q B(v, s)
Pt ,
B(v)
dove B(t)/B(v) è il fattore di sconto tra v e t. Per tale motivo la
probabilità Q prende il nome di probabilità neutra al rischio (un agente
economico è neutro al rischio se è disposto a scambiare un importo
aleatorio con la sua speranza matematica).
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲ Data una strategia φ, definiamo il guadagno cumulato scontato
all’epoca t come
t
X
CFφ (u)
Vφ (t)
Gφ (t) =
+
,
B(u)
B(t)
u=0
dove, per convenzione, Vφ (T ) = 0.
⊲ Osserviamo che riesce
Gφ (t + 1) =
t
X
CFφ (u)
u=0
=
t
X
u=0
B(u)
+
CFφ (u)
+
B(u)
CFφ (t + 1) + Vφ (t + 1)
B(t + 1)
PT
φt+1 (t) + s=t+2 φs (t)B(t + 1, s)
B(t + 1)
giustificando così il nome dato al processo (Gφ (t)).
,
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲ Mostriamo che il processo (Gφ (t))t=0,...,T è una martingala sotto la
probabilità Q.
⋆ Riesce, per t < T ,
E Q [Gφ (t + 1)|Pt ] =
+E Q
"
φt+1 (t) +
t
X
CFφ (u)
+
B(u)
u=0
#
φs (t)B(t + 1, s) Pt .
B(t + 1)
PT
s=t+2
⋆ Essendo che φt+1 (t)/B(t + 1) e φs (t) sono Pt -misurabili, si trova
"
#
P
φt+1 (t) + Ts=t+2 φs (t)B(t + 1, s) Q
E
Pt =
B(t + 1)
=
T
X
B(t + 1, s) φt+1 (t)
+
φs (t)E Q
Pt =
B(t + 1) s=t+2
B(t + 1)
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲
⋆
=
T
X
B(t, s)
φt+1 (t)B(t, t + 1)
+
=
φs (t)
B(t)
B(t)
s=t+2
=
T
X
φs (t)
s=t+1
B(t, s)
Vφ (t)
=
.
B(t)
B(t)
⋆ Quindi riesce
E Q [Gφ (t + 1)|Pt ] =
t
X
CFφ (u)
Vφ (t)
+
= Gφ (t).
B(u)
B(t)
u=0
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲ Riassumendo, l’assenza di opportunità di arbitraggio implica
l’esistenza di una probabilità Q tale che per ogni strategia, il
corrispondente guadagno cumulato scontato è una martingala
sotto Q.
⊲ Prendendo la strategia buy-and-hold in cui si investe in uno solo dei
TCN e lo si detiene fino alla scadenza si ritrova che i prezzi dei TCN
scontati sono delle martingale.
⊲ Mostriamo ora che è vero il viceversa: se esiste una probabilità Q
neutra al rischio, cioè tale che i guadagni cumulati scontati sono
delle martingale, allora non vi sono opportunità di arbitraggio.
⋆ Supponiamo che φ sia un’opportunità di arbitraggio, cioè tale che il
cash-flow CFφ (t) sia sempre nonnegativo e positivo in qualche stato ed
epoca.
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲
⋆ Se esiste una probabilità neutra al rischio Q, deve essere in particolare
E Q [Gφ (T )|P0 ] = Gφ (0),
e quindi (condizionare a P0 equivale a fare la speranza matematica non
condizionata)
E Q [Gφ (T )] = Gφ (0).
⋆ Dal momento che Gφ (0) = 0 e che Gφ (T ) =
EQ
"
T
X
CFφ (s)
B(s)
s=0
#
=
T
X
s=0
EQ
PT
s=0
CFφ (s)/B(s), si trova
CFφ (s)
B(s)
= 0.
⋆ Il numero a sinistra è una somma di termini nonnegativi (di cui almeno
uno positivo) moltiplicati per probabilità positive; il risultato non può
quindi essere nullo.
Gestione del Rischio Finanziario
Probabilità Neutra al Rischio
⊲ Riassumendo abbiamo dimostrato il seguente risultato, noto come
Teorema fondamentale dell’asset pricing: non vi sono
opportunità di arbitraggio se e solo se esistono probabilità
neutre al rischio.
⊲ Il problema che resta da affrontare è il seguente: come valutare, dati i
TCN presenti sul mercato, altri titoli la cui incertezza dipende
dall’evoluzione dei tassi?
Gestione del Rischio Finanziario
Mercati Completi
⊲ Mostriamo che il nostro mercato è completo, cioè che per ogni processo
(X(t))t=1,...,T−1 adattato, esiste una strategia φ tale che per ogni
t = 1, . . . , T − 1 riesce
CFφ (t) = X(t)
(e CFφ (T) = 0).
⊲ Interpretando X(t) come il payoff di un titolo all’epoca t, per
t = 1, . . . , T − 1, se il mercato è completo si può costruire una strategia
(detta replicante) con i TCN esistenti tale che i cash-flows prodotti dalla
strategia coincidono con quelli del titolo. È chiaro allora che, per evitare
opportunità di arbitraggio, il valore del titolo in questione deve essere pari
al valore della strategia replicante. Quindi valutare il prezzo di un titolo è
equivalente a valutare la strategia che lo replica.
Gestione del Rischio Finanziario
Mercati Completi
⊲ Osserviamo che non è possibile replicare payoff (non triviali) all’epoca T ,
dal momento che il TCN con scadenza T vale 1 in quell’epoca.
⊲ Nel corso della dimostrazione, sarà evidente che la completezza discende
unicamente dal fatto che u(t, s; ωt ) > d(t, s; ωt ) per ogni t, s tale che
t + 1 < s e ogni ωt ∈ Pt .
⊲ Per dimostrare la completezza, mostriamo che una strategia sul TCN con
scadenza T e sul money market account (cioè sul TCN che scade all’epoca
successiva) può replicare qualunque payoff. Fissiamo allora un qualunque
processo (X(t))t=1,...,T −1 .
⊲ Costruiamo una strategia sul TCN con scadenza T , con peso η(t) in t, e
sul money market account, con peso ϕ(t) in t, che replica il payoff
(X(t)). La costruzione procede dall’epoca T − 1 all’indietro (il
procedimento prende il nome di backward induction).
Gestione del Rischio Finanziario
Mercati Completi
⊲
⋆ (1) In T − 1, poniamo η(T − 1) = ϕ(T − 1) = 0 così riesce CFη,ϕ (T ) = 0.
⋆ (2) In T − 2, se lo stato è ωT −2 ∈ PT −2 , cerchiamo η ≡ η(T − 2; ωT −2 ) e
ϕ ≡ ϕ(T − 2; ωT −2 ) tale che
CFη,ϕ (T − 1, ωT −2 e) = X(T − 1, ωT −2 e)
per e = u, d. Poniamo X u ≡ X(T − 1, ωT −2 u) e X d ≡ X(T − 1, ωT −2 d).
⋆ Ricordando che η(T − 1) = ϕ(T − 1) = 0, dobbiamo allora risolvere il
sistema
ηB(T − 1, T ; ωT −2 u) + ϕB(T − 1; ωT −2 u) =X(T − 1; ωT −2 u)
ηB(T − 1, T ; ωT −2 d) + ϕB(T − 1; ωT −2 d) =X(T − 1; ωT −2 d),
Gestione del Rischio Finanziario
Mercati Completi
⊲
⋆ cioè il sistema
ηB(T − 2, T )u(T ) + ϕB(T − 2)er =X u
ηB(T − 2, T )d(T ) + ϕB(T − 2)er =X d .
⋆ La soluzione è
η=
ϕ=
Xu − Xd
B(T − 2, T )(u(T ) − d(T ))
u(T )X d − d(T )X u
.
B(T − 2)er (u(T ) − d(T ))
⋆ I rapporti così determinati vengono a volte chiamati hedge ratios.
Gestione del Rischio Finanziario
Mercati Completi
⊲
⋆ (3) Procedendo all’indietro, supponiamo di aver determinato la strategia
(η, ϕ) alle epoche T − 1, T − 2, . . . , t + 1.
⋆ All’epoca t, se lo stato è ωt ∈ Pt , dobbiamo determinare η ≡ (t, T ; ωt ) e
ϕ ≡ ϕ(t; ωt ) tali che
CFη,ϕ (t + 1; ωt e) = X(t + 1; ωt e)
per e = u, d.
⋆ Poniamo X u ≡ X(t + 1; ωt u) e X d ≡ X(t + 1; ωt d), e inoltre poniamo
η e ≡ η(t + 1; ωt e) e ϕe ≡ ϕ(t + 1; ωt e) per e = u, d.
⋆ Dobbiamo allora risolvere il sistema
ηB(t + 1, T ; ωt u)+ϕB(t + 1; ωt u) − η u B(t + 1, T ; ωt u)
− ϕu B(t + 1; ωt u) = X u
ηB(t + 1, T ; ωt d)+ϕB(t + 1; ωt d) − η d B(t + 1, T ; ωt d)
− ϕd B(t + 1; ωt d) = X d ,
Gestione del Rischio Finanziario
Mercati Completi
⊲
⋆ cioè risolvere il sistema
ηB(t, T )u(T ) + ϕB(t)er = X u + η u B(t, T )u(T ) + ϕu B(t)er
ηB(t, T )d(T ) + ϕB(t)er = X d + η d B(t, T )d(T ) + ϕd B(t)er .
⋆ Si tratta di un sistema uguale a quello risolto in precedenza, con
• T − 2 sostituito da t;
• X u sostituito da X u + η u B(t, T )u(T ) + ϕu B(t)er
• X d sostituito da X d + η d B(t, T )d(T ) + ϕd B(t)er .
⋆ La soluzione è quella di prima, fatte le opportune sostituzioni.
⋆ (4) In questo modo si determina la strategia replicante fino all’epoca 0.
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲ Come calcolare il valore di una strategia replicante? Mostriamo che se
(X(t))t=1,...,T−1 è un processo adattato e φ una strategia che lo
replica, allora riesce
#
" T−1
X
B(t) Q
Vφ (t) = E
X(s)
Pt
B(s)
s=t+1
per ogni t.
⊲ Quindi il valore di non arbitraggio del flusso (X(t)) (cioè il valore della
strategia replicante) si trova prendendo la speranza matematica
condizionata dei flussi futuri scontati, sotto la probabilità neutra al
rischio.
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲
⋆ Anche qui procediamo via backward induction.
⋆ (1) Chiaramente, all’epoca T − 1, riesce Vφ (T − 1) = 0 dal momento che
non ci sono flussi di cassa successivi a T − 1.
⋆ (2) In T − 2, mostriamo che
B(T − 2) Vφ (T − 2) = E Q X(T − 1)
PT −2 .
B(T − 1)
⋆ Poichè CFφ (T − 1) = X(T − 1), e sostituendo la definizione di cash-flow (e
tenendo conto che φ(T − 1) = 0), si trova
B(T − 2) E Q X(T − 1)
PT −2
B(T − 1)
B(T − 2) =E Q CFφ (T − 1)
PT −2
B(T − 1)
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲
⋆
=E Q [(φT −1 (T − 2) + φT (T − 2)B(T − 1, T )
− φT (T − 1) B(T − 1, T ))e−r(T −2) |PT −2 ]
| {z }
=0
=φT −1 (T − 2)e−r(T −2) +
φT (T − 2)E Q [B(T − 1, T )e−r(T −2) |PT −2 ]
=φT −1 (T − 2)B(T − 2, T − 1) + φT (T − 2)B(T − 2, T )
=Vφ (T − 2).
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲
⋆ (3) Se abbiamo dimostrato che la tesi è vera per T − 1, T − 2, . . . , t + 1,
mostriamo che allora è vera anche per t.
⋆ Riesce
" T −1
#
X
B(t) Q
X(s)
E
Pt
B(s)
s=t+1
" T −1
#
X
B(t) Q
Q
−r(t)
X(s)
= E [X(t + 1)e
|Pt ] + E
Pt .
{z
}
|
B(s)
s=t+2
(∗)
{z
}
|
(∗∗)
⋆ Ora, per il primo pezzo,
(∗) =E Q [CFφ (t + 1)e−r(t) |Pt ]
"
#
T
X
Q
−r(t) =E
(φt+1 (t) +
φs (t)B(t + 1, s) − Vφ (t + 1))e
Pt
s=t+2
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲
⋆
=φt+1 (t)B(t, t + 1) +
T
X
s=t+2
=
T
X
s=t+1
φs (t)B(t, s) − E Q [Vφ (t + 1)e−r(t) |Pt ]
φs (t)B(t, s) − E Q [Vφ (t + 1)e−r(t) |Pt ]
=Vφ (t) − E Q [Vφ (t + 1)e−r(t) |Pt ],
⋆ e per il secondo pezzo, sfruttando l’ipotesi induttiva,
#
#
"
" T −1
X
B(t) Q
Q
(∗∗) =E
E
X(s)
Pt+1 Pt
B(s)
s=t+2
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲
⋆
=E
Q
=E Q
"
#
#
B(t + 1) X(s)
Pt+1 Pt
B(s)
s=t+2
Vφ (t + 1)Pt
B(t)
EQ
B(t + 1)
B(t)
B(t + 1)
"
T
−1
X
=E Q [Vφ (t + 1)e−r(t) |Pt ].
⋆ Quindi, alla fine, è
(∗) + (∗∗) = Vφ (t),
cioè la tesi.
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲ La relazione precedente si può scrivere in maniera equivalente al modo
seguente:
i
h
Vφ (t) = EQ (Vφ (t + 1) + X(t + 1))e−r(t) Pt
questa relazione può essere usata in maniera ricorsiva all’indietro
(backward induction) per calcolare il valore Vφ .
⊲ Infatti è
"
#
T −1
X
B(s)
Vφ (t) = E Q X(t + 1)e−r(t) +
X(s)
Pt
B(t)
s=t+2
#
"
" T −1
#
X
B(s) Q
−r(t)
−r(t) Q
=E
Pt+1 Pt
e
X(t + 1) + e
E
X(s)
B(t + 1)
s=t+2
i
h
= E Q (X(t + 1) + Vφ (t + 1))e−r(t) Pt
Gestione del Rischio Finanziario
Valutazione di Flussi di Cassa
⊲ In particolare, un singolo flusso di cassa X in un’epoca 0 < t < T può
essere considerato come processo adattato (X(t))t=0,...,T −1 , con
X(t) = 0 per t 6= t, X(t) = X.
⊲ Il suo valore iniziale sarà dato da
X
X Q
Q
.
E
P0 = E
B(t)
B(t)
⊲ Ad esempio, un’opzione call europea con scadenza t scritta su un TCN
che scade in s > t, ha payoff in t pari a X = max(B(t, s) − K, 0) e
quindi valore iniziale dato da
max(B(t, s) − K, 0)
EQ
.
B(t)
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Come specificare in pratica un modello come quello descritto, in maniera
tale che non vi siano opportunità di arbitraggio?
⊲ La prima idea potrebbe essere quella di assegnare direttamente i processi
dei prezzi dei TCN, (B(t, s))t=0,...,s per s > 0.
⋆ Per fare questo, è equivalente assegnare i prezzi iniziali B(0, s) per
s = 1, . . . , T e i fattori di incremento e decremento, u(t, s; ωt ) e d(t, s; ωt )
per t < s e ωt ∈ Pt .
⋆ Per rispettare l’assenza di opportunità di arbitraggio, questa scelta dovrà
essere tale che
qts (ωt ) =
er(t;ωt ) − d(t, s; ωt )
er(t;ωt ) − d(t, T ; ωt )
=
= qtT (ωt )
u(t, s; ωt ) − d(t, s; ωt )
u(t, T ; ωt ) − d(t, T ; ωt )
per t + 1 < s e ωt ∈ Pt , dove
r(t; ωt ) = − log B(t, t + 1; ωt ) = log u(t, t + 1; ωt ) = log d(t, t + 1; ωt ).
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Questa strada non è la più semplice da seguire. Nella pratica si preferisce
procedere in maniera differente.
⋆ Partiamo dalla proprietà di martingala dei prezzi dei TCN: per ogni
t < u ≤ s, si ha
B(t)
B(u, s)Pt .
B(t, s) = E Q
B(u)
⋆ In particolare, per u = s, essendo B(s, s) = 1, si trova
i
h Ps−1
B(t) Q
B(t, s) = E
Pt = E Q e− u=t r(u) Pt .
B(s)
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲
⋆ Quest’ultima proprietà è equivalente alla martingalità: per t < u ≤ s è
B(t)
EQ
B(u, s)Pt
B(u)
B(t) Q B(u) =E Q
E
Pu Pt
B(u)
B(s)
B(t) =E Q E Q
Pu Pt
B(s)
B(t) =E Q
Pt
B(s)
=B(t, s)
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Riassumendo, per assegnare un modello in maniera tale che sia privo di
arbitraggi, si può assegnare
⋆ il processo del tasso a breve (r(t))t=0,...,T −1 ;
⋆ la probabilità neutra al rischio Q;
e definire poi i TCN mediante la
i
h Ps−1
B(t, s) = E Q e− u=t r(u) Pt .
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Per assegnare il processo del tasso a breve nel modello binomiale, si può
ad esempio porre, per t = 0, . . . , T − 2 e ωt ∈ Pt , (osserviamo che r(T )
non entra nel modello)
r(t + 1, ωt u) = r(t; ωt ) + µ(t; ωt )
r(t + 1, ωt d) = r(t; ωt ) + λ(t; ωt ),
⊲ oppure, se si vuole evitare che i tassi diventino negativi si potrebbe porre
r(t + 1, ωt u) = r(t; ωt )α(t; ωt )
r(t + 1, ωt d) = r(t; ωt )β(t; ωt ),
con α(t; ωt ), β(t; ωt ) > 0.
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Dobbiamo quindi assegnare r(0) e, per ogni t = 0, . . . , T − 2 (T − 1
epoche) e per ogni ωt ∈ Pt (ce ne sono 2t ), i due numeri µ(t; ωt ) e
λ(t; ωt ) (oppure α(t; ωt ) e β(t; ωt )), quindi si tratta di assegnare
1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2T −2 ) = 2T − 1
quantità.
⊲ Per assegnare la probabilità Q, abbiamo visto che il modo più semplice è
quello di introdurre le probabilità condizionate di movimento verso l’alto,
qt (ωt ), per t = 0, . . . , T − 1 (T epoche) e ωt ∈ Pt (2t nodi), quindi
assegnare
1 + 2 + 22 + . . . + 2T −1 = 2T − 1
numeri compresi tra 0 e 1.
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Abbiamo quindi 2T +1 − 2 gradi di liberta, si pone allora il problema di
individuare dei criteri che permettano di eliminare questi gradi di libertà.
La scelta classica è quella di fissare i parametri del modello in
maniera tale che i prezzi teorici riproducano esattamente i
prezzi osservati.
⊲ Supponiamo allora di aver osservato in 0 i prezzi
e 1), . . . , B(0,
e T ).
B(0,
I prezzi teorici sono dati da
h Pt−1
i
B(0, t) = E Q e− u=0 r(u) ,
dove il termine a destra dipende dai nostri 2T +1 − 2 parametri.
e t) = B(0, t) per t = 1, . . . , T (cioè T
⊲ Si impone allora che B(0,
equazioni).
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Avendo (molte) più incognite che equazioni (ad esempio, se T = 5 il
numero dei gradi di libertà è 62), tipicamente queste ultime possono essere
risolte, e, per identificare il sistema, si possono aggiungere altri vincoli.
⊲ Esempio 1: una scelta pratica popolare, è quella di fissare la probabilità
neutra al rischio in maniera arbitraria, ad esempio ponendo
qt (ωt ) =
1
per t = 0, . . . , T − 1 e per ωt ∈ Pt ;
2
si determinano poi r(0) e (µ(t; ωt )), λ(t; ωt ) con la seguente procedura
forward:
e 1) = e−r(0) , cioè r(0) = − log B(0,
e 1);
⋆ (1) fisso r(0) tale che B(0,
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲
⋆ (2) dato r(0), determino µ(0), λ(0) tali che
e 2) = E Q [e−r(0)−r(1) ]
B(0,
= e−r(0) E Q [e−r(1) ]
1 −r(1;u) 1 −r(1;d)
= e−r(0)
e
+ e
2
2
−r(0)
e
e−r(0)−µ(0) + e−r(0)−λ(0)
=
2
e−2r(0) −µ(0)
e
+ e−λ(0) ;
=
2
è un’equazione con 2 incognite, µ(0), λ(0) (1 grado di libertà).
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲
⋆ (3) dati r(0) e µ(0), λ(0), determino µ(1; e) e λ(1; e), con e = u, d, tali che
e 3) =E Q [e−r(0)−r(1)−r(2) ]
B(0,
e−r(0) −(r(0)+µ(0))−(r(0)+µ(0)+µ(1;u))
e
=
4
+ e−(r(0)+µ(0))−(r(0)+µ(0)+λ(1;u)
+ e−(r(0)+λ(0))−(r(0)+λ(0)+µ(1;d)
+ e−(r(0)+λ(0))−(r(0)+λ(0)+λ(1;d) ,
quindi un’equazione e 4 incognite (3 gradi di libertà).
⊲ Si procede così fino a esaurire tutti i TCN.
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Restando una sovrabbondanza di incognite, spesso si aggiungono ulteriori
vincoli al modello. Una scelta classica è quella di imporre che l’albero che
descrive l’evoluzione del tasso breve sia ricombinante, cioè un movimento
u seguito da uno d produce lo stesso tasso che si avrebbe dopo un
movimento d seguito da uno u.
⊲ Si tratta quindi di imporre che, per ogni t = 0, . . . , T − 3 e ωt ∈ Pt riesca
r(t + 2; ωt ud) = r(t + 2; ωt du),
cioè
r(t; ωt ) + µ(t; ωt ) + λ(t + 1; ωt u) = r(t; ωt ) + λ(t; ωt ) + µ(t + 1; ωt d),
o ancora
µ(t; ωt ) + λ(t + 1; ωt u) = λ(t; ωt ) + µ(t + 1; ωt d).
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Esempio 2: un modello ‘parsimonioso’ può essere ottenuto imponendo la
costanza delle varie quantità in gioco, costanza rispetto a t e ωt ∈ Pt : i
parametri sono allora r(0) e
µ = µ(t; ωt ), λ = λ(t; ωt ) e q = qt (ωt ),
(osserviamo che l’albero del tasso a breve in questione è ricombinante).
⋆ I 4 parametri r(0), µ, λ, q descrivono tutta la curva dei tassi.
⋆ Calcoliamo la distribuzione di probabilità del tasso a breve r(t). Poniamo
per semplicità ∆r(u) = r(u) − r(u − 1) per u = 1, . . . , T − 1, allora si ha,
per γu ∈ {µ, λ} con u = 1, . . . , t,
Q(r(1) = r(0) + γ1 , . . . , r(t) = r(0) + γ1 + . . . + γt )
=Q(∆r(1) = γ1 , . . . , ∆r(t) = γt )
=q l (1 − q)t−l ,
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲
⋆ dove l è il numero di γu uguali a µ.
⋆ La distribuzione di probabilità di r(t) è allora data da
Q(r(t) = r(0) + γ1 + γ2 + . . . + γt )
t
=
q l (1 − q)t−l
l
essendo tl il numero di modi in cui si possono avere l movimenti u e t − l
movimenti d.
⋆ Si tratta quindi di probabilità binomiali. In effetti, è
r(t) = r(0) + µNt + λ(t − Nt ) = r(0) + (µ − λ)Nt + λt,
dove Nt = E1 + . . . + Et e Eu sono Bernoulli i.i.d. di parametro q, cioè Nt
è Binomiale di parametri q e t.
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲
⋆ Riesce allora
B(0, t) = E Q [e−(r(0)+r(1)+...+r(t−1)) ]
= E Q [e−
Pt−1
s=0 (r(0)+(µ−λ)Ns +λs)
h
]
i
E Q e−(µ−λ) s=0 Ns
h
i
Pt−1
t(t−1)
= e−r(0)t−λ 2 E Q e−(µ−λ) s=0 (t−s)Es
" t−1
#
Y
t(t−1)
Q
−(µ−λ)(t−s)Es
−r(0)t−λ
2
E
e
=e
t(t−1)
−r(0)t−λ
2
=e
Pt−1
s=0
= e−r(0)t−λ
t(t−1)
2
t−1
Y
s=1
qe−(µ−λ)s + 1 − q
⋆ Riesce quindi
B(0, t) = b(t, r(0), q, µ, λ),
cioè i prezzi dei TCN sono funzioni dei 4 parametri r(0), q, µ, λ.
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲
⋆ Più in generale, per t ≤ s ≤ T ,
B(t, s) = E Q [e−(r(t)+r(t+1)+...+r(s−1)) |Pt ]
= b(s − t, r(t), q, µ, λ).
⋆ Allo stesso modo si può mostrare che il processo (r(t)) è Markoffiano: per
ogni funzione f e t < s
E[f (r(s))|Pt ] = E[f (r(s))|r(t)].
⋆ Chiaramente adesso non si potrà pretendere che i prezzi teorici
riproducano esattamente quelli osservati (4 parametri e T equazioni). Ci si
accontenta allora di fittare il modello ai prezzi osservati: si scelgono i
parametri in maniera tale che minimizzano la distanza dei prezzi teorici da
quelli empirici:
min
r(0),µ,λ,q
T
X
t=1
e t) − b(t, r(0), q, µ, λ))2 .
πt (B(0,
Gestione del Rischio Finanziario
Costruzione del Modello
⊲ Esempio
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
e t)
B(0,
0.96
0.92
0.89
0.85
0.83
0.80
0.77
0.75
0.73
0.70
e 1) e q =
⊲ ponendo r(0) = − log B(0,
min
µ,λ
T
X
t=1
1
2
e determinando µ e λ con
e t) − b(t, r(0), q, µ, λ))2
(B(0,
si trova µ = 0.00788448 e λ = −0.00950495.
Gestione del Rischio Finanziario
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
2
4
6
8
10
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Esempio: T = 3, r(0) = 5%, λ = +0.5%, λ = −0.4%, q = 1/2
6%
uu
2
1/
2
1/
6.5%
uuu
1/
2
5.6%
uud
2
1/
5.6%
udu
1/
2
4.7%
udd
2
1/
5.6%
duu
1/
2
4.7%
dud
2
1/
4.7%
ddu
1/2
3.8%
ddd
5.5%
u
1/
2
1/
2
5.1%
ud
5%
ω0
2
1/
2
1/
5.1%
du
4.6%
d
1/
2
4.2%
dd
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Ricaviamo i processi dei prezzi dei TCN implicati da questo albero per il
tasso breve.
⊲ A seconda della scadenza procedendo all’indietro:
⋆ scadenza 1: B(0, 1) = e−r(0) = 0.9512
⋆ scadenza 2
• all’epoca 1, B(1, 2; d) = e−r(1;d) = 0.9550, B(1, 2; u) = e−r(1;u) = 0.9465
• all’epoca 0, B(0, 2) = e−r(0) ( 21 B(1, 2; u) + 12 B(1, 2; d)) = 0.9044
⋆ scadenza 3
• all’epoca 2, B(2, 3; dd) = e−r(2;dd) = 0.9589,
B(2, 3; ud) = B(2, 3; du) = e−r(2;du) = 0.9503,
B(2, 3; uu) = e−r(2;uu) = 0.9418
• all’epoca 1, B(1, 3; d) = e−r(1;d) ( 21 B(2, 3; dd) + 12 B(2, 3; du)) = 0.9117,
B(1, 3; u) = e−r(1;u) ( 12 B(2, 3; ud) + 12 B(2, 3; uu)) = 0.8954;
• all’epoca 0, B(0, 3) = e−r(0) ( 21 B(1, 3; d) + 21 B(1, 3; u)) = 0.8595
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ In parentesi quadre le discount functions ad ogni nodo

1
2
0.9465 1/
0.8954
u


1/
2
1/
2

1
0.9512


0.9044
0.8595
ω0
2
1/


1
2
0.9550 1/
0.9117
d
1/
2
1
/2
0.9418 1
uu
1
uuu
1/
2
1
uud
1
/2
0.9503 1
ud
1
udu
1/
2
1
udd
1
/2
0.9503 1
du
1
duu
1/
2
1
dud
1
/2
0.9589 1
dd
1
ddu
1/2
1
ddd
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ In parentesi quadre le struture per scadenza dei tassi ad ogni nodo
2
5.5% 1/
5.5245%
u
1/
2
1/
2


5%
5.0245%
5.0483%
ω0
2
1/
2
4.6% 1/
4.6245%
d
1/
2
6%
uu
2
1/
uuu
1/
2
uud
/2
5.1% 1
ud
1/
2
/2
5.1% 1
du
1/
2
/2
4.2% 1
dd
1/2
udu
udd
duu
dud
ddu
ddd
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Valutiamo il prezzo di un’opzione call Europea con maturità 2 sul TCN
con scadenza 3, strike 0.945
⊲ All’epoca 2, si tratta di un payoff X(2) dato da
X(2) = max{B(2, 3) − 0.945, 0} Riesce a seconda dello stato:
⋆ X(2; dd) = max{B(2, 3; dd) − 0.945, 0} = max{0.9589 − 0.945, 0} = 0.0139
⋆ X(2; du) = X(ud) = max{B(2, 3; du) − 0.945, 0} =
max{0.9503 − 0.945, 0} = 0.0053
⋆ X(2; u) = max{B(2, 3; uu) − 0.945, 0} = max{0.9418 − 0.945, 0} = 0
⊲ Procediamo poi utilizzando l’induzione all’indietro: il valore dell’opzione
all’epoca 1, indicato con V X (1), sarà, a seconda dello stato:
⋆ V X (1; d) = e−r(1;d) ( 21 X(2; dd) + 12 X(2; du)) = 0.0091
⋆ V X (1; u) = e−r(1;u) ( 21 X(2; ud) + 12 X(2; uu)) = 0.0025
⋆ Infine, il valore V X (0) dell’opzione all’epoca 0 è:
V X (0) = e−r(0) ( 12 X(1; d) + 21 X(1; u)) = 0.0055
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Calcolo del prezzo dell’opzione con il procedimento all’indietro, in rosso il
payoff X(2), in blu il valore dell’opzione
0
uu
2
1/
2
1/
uuu
1/
2
uud
2
1/
udu
1/
2
udd
2
1/
duu
1/
2
dud
2
1/
ddu
1/2
ddd
0.0025
u
1/
2
1/
2
0.0053
ud
0.0055
ω0
2
1/
2
1/
0.0053
du
0.0091
d
1/
2
0.0139
dd
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Calcoliamo la strategia replicante l’opzione call mediante backward
induction
⊲ All’epoca 1, replichiamo il payoff in 2, X(2) mediante una strategia che
coinvolge il TCN con scadenza 2 (peso η(1)), cioè il money market
account, e quello con scadenza 3 (peso ϕ(1)); si cerca cioè
⋆ nello stato u, η(1; u) e ϕ(1; u) tale che
η(1; u) + ϕ(1; u)B(2, 3; uu) = X(2; uu)
η(1; u) + ϕ(1; u)B(2, 3; ud) = X(2; ud)
si trova η(1; u) = −0.5839, ϕ(1; u) = 0.62 e il valore della strategia è
η(1; u)B(1, 2; u) + ϕ(1; u)B(1, 3; u) = 0.0025 = V X (1; u).
⋆ nello stato d, η(1; d) e ϕ(1; d) tale che
η(1; d) + ϕ(1; d)B(2, 3; du) = X(2; du)
η(1; d) + ϕ(1; d)B(2, 3; dd) = X(2; dd)
si trova η(1; d) = −0.945, ϕ(1; d) = 1 e il valore della strategia è
η(1; d)B(1, 2; d) + ϕ(1; d)B(1, 3; d) = 0.0091 = V X (1; d).
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Infine, all’epoca 0, costruiamo una strategia che produce esattamente il
flusso V X (1) in 1, mediante una strategia che coinvolge il TCN con
scadenza 1 (peso η(0)), cioè il money market account, e quello con
scadenza 2 (peso ϕ(0)); si cerca la soluzione dell’equazione
η(0) + ϕ(0)B(1, 3; u) = V X (1; u)
η(0) + ϕ(0)B(1, 3; d) = V X (1; d)
si trova η(0) = −0.3634 e ϕ(0) = 0.4086 e il valore della strategia è
η(0)B(0, 1) + ϕ(0)B(0, 3) = 0.0055 = V X (0).
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Valutiamo ora il prezzo di un titolo che paga alle epoche 1 e 2 il tasso
uniperiodale corrente (applicato a un nozionale di 100) se questo risulta
inferiore al corrispondente valore all’epoca precedente
⊲ All’epoca 1, il payoff è Y (1) è dato da Y (1; d) = 4.6, Y (1; u) = 0.
⊲ All’epoca 2 il payoff è:
⋆
⋆
⋆
⋆
Y (2; dd) = 4.2
Y (2; du) = 0
Y (2; ud) = 5.1
Y (2; uu) = 0.
⊲ Procediamo poi utilizzando l’induzione all’indietro: il valore del titolo
all’epoca 1, indicato con V Y (1), sarà, a seconda dello stato:
⋆ V Y (1; d) = e−r(1;d) ( 12 Y (2; dd) + 12 Y (2; du)) = 2.0056
⋆ V Y (1; u) = e−r(1;u) ( 12 Y (2; ud) + 21 Y (2; uu)) = 2.4135
⋆ Infine, il valore V Y (0) del titolo all’epoca 0 è:
V Y (0) = e−r(0) ( 21 (Y (1; d) + V Y (1; d)) + 12 (Y (1; u) + V Y (1; u))) = 4.2896.
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Calcolo del valore del titolo con il procedimento all’indietro, in rosso il
payoff, in blu il valore
0
uu
2
1/
2
1/
uuu
1/
2
uud
2
1/
udu
1/
2
udd
2
1/
duu
1/
2
dud
2
1/
ddu
1/2
ddd
1/
2
0 2.4135
u
1/
2
5.1
ud
4.2896
ω0
2
1/
2
1/
4.6 2.0056
d
1/
2
0
du
4.2
dd
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Calcoliamo la strategia replicante il titolo mediante backward induction
⊲ All’epoca 1, replichiamo il payoff in 2, Y (2) mediante una strategia che
coinvolge il TCN con scadenza 2 (peso η(1)), cioè il money market
account, e quello con scadenza 3 (peso ϕ(1)); si cerca cioè
⋆ nello stato u, η(1; u) e ϕ(1; u) tale che
η(1; u) + ϕ(1; u)B(2, 3; uu) = Y (2; uu)
η(1; u) + ϕ(1; u)B(2, 3; ud) = Y (2; ud)
si trova η(1; u) = −564.1205, ϕ(1; u) = 599.0038 e il valore della strategia
è η(1; u)B(1, 2; u) + ϕ(1; u)B(1, 3; u) = 2.4135 = V Y (1; u).
⋆ nello stato d, η(1; d) e ϕ(1; d) tale che
η(1; d) + ϕ(1; d)B(2, 3; du) = Y (2; du)
η(1; d) + ϕ(1; d)B(2, 3; dd) = Y (2; dd)
si trova η(1; d) = −464.5698, ϕ(1; d) = 488.8775 e il valore della strategia
è η(1; d)B(1, 2; d) + ϕ(1; d)B(1, 3; d) = 2.0056 = V Y (1; d).
Gestione del Rischio Finanziario
⊲ Infine, all’epoca 0, costruiamo una strategia che produce esattamente il
flusso Y (1) in 1 e copre il costo per costruire la strategia (η(1), ϕ(1)),
mediante una strategia che coinvolge il TCN con scadenza 1 (peso η(0)),
cioè il money market account, e quello con scadenza 2 (peso ϕ(0)); si
cerca la soluzione dell’equazione
η(0) + ϕ(0)B(1, 3; u) = Y (1; u) + V Y (1; u)
η(0) + ϕ(0)B(1, 3; d) = Y (1; d) + V Y (1; d)
si trova η(0) = −228.3884 e ϕ(0) = 257.7654 e il valore della strategia è
η(0)B(0, 1) + ϕ(0)B(0, 3) = 4.289629 = V Y (0).
Gestione del Rischio Finanziario
Rischio di Credito
⊲ Gli agenti economici hanno bisogno di reperire o impiegare risorse
economiche, questo genera
⊲ rischio di credito (rischio di controparte): è il rischio che in una
operazione finanziaria, chi è in posizione debitoria non faccia fronte, in
tutto o in parte, ai suoi impegni verso la controparte;
⊲ in termini più ampi, il rischio di credito si concretizza nel peggioramento
della qualità creditizia (la capacità di far fronte ai propri impegni), o
credit quality o credit worthiness del debitore, con conseguente
diminuzione del valore del debito.
⊲ I fattori che influenzano il rischio di credito possono avere carattere
⋆ endogeno: dipendere da difficoltà proprie del debitore;
⋆ esogeno: dipendere da elementi esterni quali l’andamento generale
dell’economia o cambiamenti legislativi o altro.
Gestione del Rischio Finanziario
Rischio di Credito
⊲ Il rischio di credito si può caratterizzare come rischio di insolvenza (o
default) e/o di spread.
⊲ Rischio di insolvenza
⋆ come già anticipato, si concretizza nel mancato pagamento (anche parziale)
di capitale e/o interesse, a causa di impossibilità o di mancanza di volontà.
Non è possibile dare una definizione univoca di insolvenza; ad esempio,
quelle adottate dalle agenzie di rating potrebbero differire tra loro ed
essere diverse da quelle utilizzate in sede giudiziale.
⋆ È comune distinguere se l’emittente è un impresa (corporate) o uno stato
(sovereign). Standard & Poor’s ha registrato 216 insolvenze fra le imprese a
cui era assegnato un rating, contro 132 nel 2000. Nel periodo 1800-1992 si
sono verificati 166 situazioni di insolvenze da parte di 72 nazioni differenti.
Gestione del Rischio Finanziario
Rischio di Credito
⊲
⋆ In seguito ad un’insolvenza di un’impresa, si attiverà una procedura in
sede giudiziale, che varierà da paese a paese dipendendo dalla legislazione
prevalente. Si possono configurare tuttavia due situazioni: ristrutturazione
(la gestione della società è affidata ad un soggetto che provvede a ripagare
i debiti e avviare l’impresa ad una nuova esistenza) e liquidazione (le
attività dell’imprese vengono liquidate e i proventi utilizzati per ripagare i
debiti).
⋆ Ad esempio, negli Stati Uniti, si parla di Chapter 7 liquidation e
Chapter 11 reorganization (il riferimento è alle leggi che regolano le
rispettive procedure).
⋆ Nel caso di stati sovrani, sarà possibile solo la riorganizzazione del debito;
spesso il debito esistente viene sostituito con nuovo debito ( debt
rescheduling). vi sono stati stati alcuni casi, in seguito a cambiamenti
politici, di cancellazione unilaterale del debito (debt repudiation).
Gestione del Rischio Finanziario
Rischio di Credito
⊲
⋆ L’ammontare che un creditore riceve in seguito ad un’insolvenza prende il
nome di recovery (recovery rate, se si ragiona in termini di percentuale del
nominale), mentre invece la parte che non viene recuperata è il loss given
default (LGD).
⋆ Il recovery dipenderà dalla seniority del debito: tipicamente i vari debiti
andranno ripagati stabilendo una priorità fra le varie categorie di debiti (a
volte si parla di absolute priority rule). In particolare si parla di
obbligazioni senior e junior, dove le prime precedono le seconde nel
rimborso. Ancora, si distingue tra obbligazioni secured e unsecured, a
seconda che vi siano delle attività vincolate al rimborso di un certo debito
o meno.
⊲ Rischio di Spread
⋆ come già anticipato, se peggiora la qualità dell’emittente (ad esempio in
seguito ad una variazione del rating) il valore del debito diminuisce e
quindi aumenta il rendimento associato al titolo. Aumenterà quindi il
differenziale (spread) che il titolo paga rispetto ad uno equivalente (con
le stesse caratteristiche) ma privo di rischio di credito.
Gestione del Rischio Finanziario
Misure del Rischio di Credito
⊲ Fra le misure del rischio di credito, le due più utilizzate sono il rating e il
credit spread.
⊲ Rating
⋆ è una misura della credit worthiness di un agente economico, quindi una
misura della capacità dell’agente di far fronte ai propri impegni. Il rating
viene normalmente rappresentato come un elemento di un insieme finito
ordinato (insieme delle rating classes o rating grades), ordinato
dall’elemento che rappresenta la qualità creditizia migliore fino a quella
peggiore, con l’ultimo elemento che corrisponde allo stato d’insolvenza.
⋆ Ci sono delle agenzie commerciali, note come agenzie di rating, che
provvedono a fornire un rating per una vasta gamma di imprese,
assicurazioni, stati sovrani, etc., che emettono debito. Le tre più note sono
Standard & Poor’s, Moody’s e Fitch. Il rating può riguardare l’emittente
oppure la singola emissione di debito.
Gestione del Rischio Finanziario
Rating
Long Term Credit Rating di S&P, Moody’s e Fitch
⊲
Standard & Poor’s
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
CC
C
D
Moody’s
Aaa
Aa
A
Baa
Ba
B
Caa
Ca
C
D
Fitch
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
CC
C
DDD, DD, D
Gestione del Rischio Finanziario
Rating
⊲
⋆ Le obbligazioni con rating compreso tra AAA e BBB di S&P e Fitch (o tra
Aaa e Baa di Moody’s) vengono dette investment bonds, mentre quelle
con rating inferiore o uguale a BB (rispettiamente Ba) sono note come
speculative bonds o anche come high yield o junk bonds.
⋆ Fra gli elementi che vengono presi in considerazione per formulare il rating
vi sono, ad esempio:
•
•
•
•
•
il bilancio;
la qualità del management;
il mercato di riferimento;
lo stato dell’economia;
...
Gestione del Rischio Finanziario
Rating
⊲
⋆ Il rating può essere solicited (cioè espressamente rìchiesto dall’agente che
viene valutato) o unsolicited (è l’agenzia di rating, su sua iniziativa o
‘stimolata’ dal mercato a valutare il rating). Oltre ai rating forniti dalle
agenzie specializzate, le principali istituzioni finanziarie mantengono delle
classificazioni per uso interno dei propri debitori, note appunto come
internal ratings.
⋆ Il rating di un titolo o di un’emittente varia nel tempo a seconda che vi sia
un miglioramento (upgrade) o peggioramento (downgrade). A volte si
indica tale fenomeno con il termine migrazione fra le classi di rating.
Obbligazioni che inizialmente avevano ricevuto il rating di investment
grade e che in seguito vengono retrocesse a speculative grade sono note
come fallen angels. Le agenzie di rating pubblicano periodicamente
matrici di transizione, cioè matrici i cui elementi forniscono le probabilità
di passare, in un dato periodo di tempo, tipicamente un anno, da un dato
rating ad un altro rating, in particolare di fallire.
Gestione del Rischio Finanziario
Rating
From/to
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC-C
AAA
87.44
0.60
0.05
0.02
0.04
0.00
0.08
AA
7.37
86.65
2.05
0.21
0.08
0.07
0.00
A
0.46
7.78
86.96
3.85
0.33
0.20
0.31
BBB
0.09
0.58
5.50
84.13
5.27
0.28
0.39
BB
0.06
0.06
0.43
4.39
75.73
5.21
1.31
B
0.00
0.11
0.16
0.77
7.36
72.95
9.74
CCC-C
0.00
0.02
0.03
0.19
0.94
4.23
46.83
D
0.00
0.01
0.04
0.29
1.20
5.71
28.83
N.R.
4.59
4.21
4.79
6.14
9.06
11.36
12.52
Matrice di transizione pubblicata da Standard & Poor’s, relativa al periodo
1981-2004.
L’ultima colonna (N.R.) indica i casi in cui il rating è stato ritirato (not rated).
Gestione del Rischio Finanziario
Stima delle Probabilità di Transizione
⊲
⋆ Il metodo classico per la stima delle probabilità di transizione procede al
modo seguente. Sia C = {1, . . . , K} l’insieme delle classi di rating (ad
esempio, 1 = AAA e K = D). Fissiamo l’attenzione su una classe di rating
(non default). Supponiamo di avere N imprese in quella classe di rating
all’inizio del periodo di osservazione e, fra queste, di averne nj in classe
j ∈ C alla fine del periodo (con n1 + . . . + nK = N ).
⋆ Si suppone che il passaggio di ognuna delle imprese ad una classe di rating
avvenga come un esperimento multinomiale, cioè le varie imprese sono
indipendenti e prendono uno dei valori 1, . . . , K con le stesse probabilità
(da stimare) p1 , . . . , pK (p1 + . . . + pK = 1). La probabilità di osservare N1
transizioni in classe 1, . . . , NK in classe K (N1 + . . . + NK = N ) è data da
N!
K
pN1 . . . pN
K ,
N1 ! . . . NK ! 1
Gestione del Rischio Finanziario
Stima delle Probabilità di Transizione
⊲
⋆ La verosimiglianza è data da
L(p1 . . . , pK |n1 , . . . , nK ) =
N!
K
p n1 . . . p n
K ,
n1 ! . . . nK ! 1
e la log-verosimiglianza è pari a
b 1 , . . . , pK ) = H + n1 log p1 + . . . nK log pK .
L(p
dove H è una costante non dipendente dalle pi .
⋆ Risolvendo allora il problema
max
p1 ,...,pK , p1 +...+pK =1
b 1 , . . . , pk ),
L(p
ad esempio con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si trova la
seguente stima (casi favorevoli su casi possibili):
p
bi =
ni
, i = 1, . . . , K.
N
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Spread
⊲ Credit Spread
⋆ Il credit spread o credit risk premium di un’obbligazione è il differenziale in
termini di rendimento tra l’obbligazione in questione ed una equivalente
(stessa maturità, frequenza di pagamento cedole, stessa cedola,. . . ) ma
priva di rischio di credito.
⋆ Ad esempio, se D(t, T ) è il prezzo in t di un TCN con maturità T emesso
da un ente soggetto a rischio di credito, il suo rendimento è definito da
rD (t, T ) = −
1
log D(t, T ),
T −t
ed il credit spread è allora definito da
∆(t, T ) = rD (t, T ) − r(t, T ) =
B(t, T )
1
log
.
T −t
D(t, T )
⋆ Spesso le obbligazioni vengono quotate direttamente come spread sopra il
tasso risk free (≡ privo di rischio di credito).
Gestione del Rischio Finanziario
Misure del Rischio di Credito
⊲ il rating misura il rischio di credito, il credit spread può includere altri
rischi (liquidity risk, call risk,. . . );
⊲ il rating viene rivisto solo periodicamente, il credit spread cambia con i
prezzi (purchè vi sia un mercato attivo per il titolo sottostante);
⊲ il rating è una misura espressa da un soggetto terzo (quindi è importante
la sua affidabilità), il credit spread è una misura di mercato;
⊲ non tutti gli emittenti ricevono un rating, altre volte è difficile calcolare il
credit spread.
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ I credit derivatives (in italiano derivati sul credito o derivati
creditizi) sono una categoria di strumenti derivati il cui sottostante è il
rischio di credito di un’entità di riferimento.
⋆ Sono strumenti trattati solamente over the counter, esistono quindi
svariate tipologie di credit derivatives, anche se l’ISDA (International
Swaps and Derivatives Association, www.isda.com) sta spingendo verso la
standardizzazione;
⋆ le prime contrattazioni in credit derivatives risalgono all’inizio degli anni
’90, e da allora lo sviluppo del mercato è stato notevole. scambi in miliardi
di $ in credit derivatives (fonte British Bankers Association):
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
187
350
586
893
1189 1952 3548 5021
⋆ Chi sono i partecipanti al mercato dei derivati sul credito? Inizialmente
erano solo le grandi banche, attualmente, oltre alle banche sono
•
•
•
•
•
Imprese di assicurazione e di riassicurazione;
stati sovrani;
imprese;
hedge funds;
...
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ Il principale aspetto dei credit derivatives è quello che permettono di
separare il rischio di credito dal titolo a cui è legato (che lo genera),
trasformandolo così in un titolo a se stante che può essere poi facilmente
scambiato. Vantaggi portati dai derivati creditizi:
⋆ aumentano la possibilità di diversificazione;
⋆ rendono accessibili mercati che prima non lo erano, o lo erano a condizioni
particolarmente svantaggiose;
⋆ aumentano la liquidità dei mercati;
⋆ permettono di effettuare speculazione o arbitraggi sul rischio di credito;
⋆ permettono di effettuare operazioni di hedging, cioè mitigare il rischio di
credito senza dover ricorrere alla cessione dello strumento che lo genera.
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ I vari elementi che costituiscono le varie tipologie di derivati sul credito
sono i seguenti:
Protection Buyer: è la controparte che si vuole proteggere dal rischio
di credito e quindi acquista protezione e ‘vende’ rischio di
credito; se si verifica il ‘credit event’ in questione il
protection buyer ne sarà beneficiato;
Protection Seller: è la parte che si assume il rischio di credito del
protection seller, e quindi ‘vende’ protezione e ‘compra’
rischio di credito; sarà tenuto a compiere una prestazione se
si verifica il credit event’;
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
Reference Entity: è l’entità (corporate, sovereign) che è soggetta al rischio
di credito e contro il cui rischio il protection buyer si vuole
coprire; a volte si distingue tra single name credit derivative, in
cui vi è un’unica reference entity, e basket o portfolio credit
derivatives in cui il protection buyer si vuole proteggere dal
rischio di credito di un portafoglio di reference entities;
Reference Obligation: è il titolo emesso dalla reference entity;
Credit Event: è l’evento a cui deve sottostare la reference entity per far si
che si attivi la prestazione garantita dal credit derivative; il
credit event può essere sia un’insolvenza (in questo caso il credit
derivative è talvolta chiamato default product) che una
variazione nella creditworthiness della reference entity come ad
esempio una variazione del rating o dello spread (e allora si
parla di spread product).
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ Fra le varie tipologie, si incontrano le seguenti:
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Credit Default Swaps;
Credit Default Options;
Credit Linked notes;
Credit Spread Options, Swaps e Forward;
Collateralized Debt Obligations;
Step-up Bonds;
Total Rate of return Swaps;
...
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Credit Derivatives
⊲ I credit default swaps (CDS), anche noti come default insurance o default
protection, sono simili a forme di assicurazione contro l’insolvenza.
⊲ Il protection buyer paga al protection seller una sequanza di premi
periodici (ad esempio trimestrali) costanti (credit swap premium) fino
alla scadenza del contratto oppure fino a quando si verifica il credit event
(tipicamente il default della reference obligation, in altri casi potrebbe
essere semplicemente un rating downgrade). Se si verifica il credit event
allora il protection seller è tenuto ad una certa operazione che potrebbe
essere
⋆ pagare al protection buyer il valore nominale della reference obligation e
ricevere in cambio la reference obligation stessa (physical delivery);
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲
⋆ pagare al protection buyer la differenza tra il valore nominale e il valore di
mercato post-default della reference obligation (cash delivery);
⋆ pagare al protection buyer la differenza tra il valore di mercato pre e
post-default dell’obbligazione.
⊲ Sia la reference obligation uno zero coupon bond con scadenza U ≥ T ,
dove T è la scadenza del CDS, prezzo in t indicato con D(t, U ) e valore
nominale L. Il payoff per il protection buyer, se il credit event si verifica
all’epoca τ < U , è nel secondo caso (cash delivery) L − D(τ, U ) mentre
nel terzo caso è D(τ −, U ) − D(τ, U ).
⊲ Il credit swap premium viene fissato in maniera tale che il valore iniziale
del contratto sia nullo.
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Credit Derivatives
⊲ Altre varianti di CDS sono il digital default swap, in cui se si verifica il
credit event il protection seller paga un ammontare fisso e la basket
default swap o first to default swap in cui il credit event è il primo
default fra un basket di reference entities.
⊲ Una Credit Linked Note (CLN) è un’obbligazione che paga al suo
possessore un coupon potenziato in compenso perchè quest’ultimo si
assuma il rischio di credito di una reference entity. In questo caso quindi
il possessore dell’obbligazione è il protection seller mentre chi l’emette
assume il ruole di protection buyer. Se la reference entity non è insolvente
durante la vita del CLN, quest’ultimo è essenzialmente equivalente ad un
coupon bond. In caso di default prima della scadenza del CLN, il CLN
termina e l’emittente consegna al protection seller la reference obligation.
Appare quindi che un credit link note equivale ad un’obbligazione più un
credit default swap.
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ I Credit Spread Options, Swaps e Forward sono derivati in cui il
sottostante è il credit spread di una fissata reference obligation.
Consentono al protection buyer di coprirsi da peggioramenti della
creditworthiness. Se indichiamo con ∆(T, U ) lo spread della reference
entity all’epoca T (U > T è la maturità), allora una credit spread call
option europea con maturità T concede il diritto al possessore di
scambiare lo spread contro uno spread fisso K applicati ad un nominale
L.Il payoff all’epoca T è quindi dato da
L max(∆(T, U ) − K, 0).
Un credit spread forward è semplicemente un contratto forward scritto sul
credit spread, quindi un contratto che prevede alla scadenza, epoca T di
scambiare il credit spread relativo ad una certa reference entity che ha
maturità U > T , contro uno spread fisso K, entrambi applicati ad un
nominale L.
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ Il payoff all’epoca T per il protection buyer è quindi pari a
L (∆(T, U ) − K).
Il payoff può quindi assumere valori sia positivi che negativi. Lo spread
fisso K viene fissato inizialmente in maniera tale che il valore del
contratto sia nullo.
Un credit spread swap è un portafoglio di credit spread forward con
scadenze diverse. Se indichiamo con T1 < T2 < . . . < Tn le date in cui
sono previsti i pagamenti dello swap e con U > Tn la scadenza della
reference entity, allora alla generica epoca Ti il payoff per il protection
buyer (paga variabile e riceve fisso) sarà semplicemente
L (∆(Ti , U ) − K).
Di nuovo lo spread fisso K viene stabilito in maniera tale che il valore
iniziale dello swap sia nullo.
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ Una variante di contratti del tipo spread product è quella in cui, invece di
scambiare uno spread variabile contro uno fisso, si scambia uno spread
variabile contro un altro spread variabile ∆′ , relativo alla stessa scadenza
ma ad un’altra reference entity più un eventuale spread δ.Nel caso del
credit spread forward il payoff sarà ad esempio
L (∆(T, U ) − ∆′ (T, U ) − δ).
⊲ Gli Step-up Bonds sono obbligazioni in cui la cedola pagata varia al
variare del rating dell’emittente; tipicamente se il rating diminuisce
l’obbligazione paga una cedola più elevata, compensando così il possessore
dell’obbligazione (protection buyer) per la perdita in termini di
rendimento. In questo caso quindi vi è coincidenza tra protection seller e
reference entity (l’emittente dell’obbligazione). Nella versione più
semplice vi saranno due diverse cedole C ′ e C ′′ con C ′ < C ′′ a secondo
che il rating sia investment o speculative.
Gestione del Rischio Finanziario
Credit Derivatives
⊲ Il Total Rate of Return Swaps (TRORS) è un accordo in base al quale
due controparti si scambiano per un dato periodo di tempo il rendimento
totale di una certa reference obligation contro un rendimento fisso
stabilito all’inizio dell’accordo. Nella sua forma più comune, il protection
buyer (payer dello swap), paga al protection seller il rendimento totale
della reference obligation (coupon più variazioni in valore capitale)
applicato a un nominale fisso, che può essere anche differente da quello
della reference obligation. Il protection seller (receiver dello swap), paga
al protection buyer un tasso fisso o variabile applicato allo stesso
nominale di riferimento; quindi è come se ‘acquistasse’ il rendimento
totale della reference entity. Alla scadenza del contratto, o se la reference
entity risulta insolvente prima della scadenza, si interrompe lo scambio di
pagamenti e il receiver paga al payer la differenza tra il prezzo iniziale e il
prezzo finale della reference entity; normalmente quindi la reference
obligation avrà una scadenza successiva a quella del TRORS.