Gravitazione
Dati due corpi di massa m1 e m2, posti ad una distanza r,
tra di essi si esercita una forza attrattiva data in modulo da
m1 m2
r2
dove G è una costante universale, avente lo stesso valore per
tutte le coppie di corpi. Se ~
r è il vettore che va dalla massa
F =G
~12 esercim1 alla massa m2, la forza F
tata dalla massa m1 sulla massa m2
è
r
~12 = −G m1 m2 ~
F
r2 r
mentre la forza esercitata dalla massa
~21 = −F
~12.
m2 sulla massa m1 è F
La costante G è detta costante di gravitazione universale e
venne misurata per la prima volta da Cavendish nel 1798; il
valore attualmente accettato è
G = 6.67 · 10−11 N · m2 /kg 2
Per come formulata questa legge si applica a corpi puntiformi, ma si può estendere ad oggetti reali purchè le loro
dimensioni siano piccole rispetto alla distanza (ad es. la luna
e la terra sono abbastanza lontane da poter essere considerate come puntiformi).
Nel caso generale, occorre sommare (o integrare) le forze
che agiscono su ogni elemento dm1 del corpo 1 da parte
degli elementi dm2 del corpo 2.
Ci sono due situazioni particolari:
1) la forza gravitazionale netta esercitata da un guscio sferico
omogeneo di materia su di un oggetto esterno può essere
calcolata come se tutta la massa del corpo sferico fosse concentrata nel centro del guscio sferico. La stessa cosa vale
anche per un solido a simmetria sferica, es. la Terra, basta
suddividerlo in tanti gusci sferici.
2) un guscio sferico omogeneo di materia non esercita alcuna forza gravitazionale su di un oggetto che si trovi al suo
interno.
In particolare se un oggetto si trova all’interno di una sfera
omogenea di materia di raggio R ad una distanza r
dal centro della sfera, la
forza gravitazionale che agisce
sull’oggetto è dovuta solo
alla massa Mint che si trova
all’interno della sfera di raggio
r (se ρ è la densità della sfera,
Mint = 4πr 3 ρ/3 = M r 3 /R3).
Il campo gravitazionale
La forza gravitazionale tra i corpi è presente anche quando
questi non sono a contatto: questo tipo di interazione si
può chiamare azione a distanza. Un altro modo per descrivere questa interazione è quello di introdurre il concetto di
campo.
Il campo gravitazionale è generato delle masse presenti nello
spazio: quando un’altra massa viene posta nel campo stesso
essa risente di una forza data dal prodotto della sua massa
per il valore del campo in quel punto.
Il campo gravitazionale generato dalla terra viene indicato
con ~g . Una massa m posta in questo campo è soggetta ad
~ = m~g .
una forza pari a F
Il campo gravitazionale è un campo vettoriale: ad ogni punto
è associato un vettore che dà l’intensità, la direzione e il
verso del campo in quel punto. Per distanze piccole rispetto
al raggio terrestre il campo gravitazionale è un campo di
intensità uniforme pari a g e diretto verso il centro della terra
(il concetto di campo è molto importante perchè permette
di capire, tra le altre, le forze elettrodinamiche tra cariche
in moto).
Energia potenziale gravitazionale
Abbiamo introdotto il concetto di energia potenziale gravitazionale per il sistema Terra-oggetto. Ora generalizziamo
questo concetto al caso di due oggetti di massa m e M , separati da una distanza r. Scegliamo come configurazione di
riferimento a cui assegnare energia potenziale gravitazionale
U = 0 quella in cui i due oggetti sono a distanza infinita.
Inoltre richiediamo che al diminuire della distanza tra i due
oggetti l’energia potenziale diminuisca (come nel sistema
Terra-oggetto), quindi l’energia potenziale ad una distanza
finita è negativa
GmM
energia potenziale gravitazionale (∗)
r
L’energia potenziale è una proprietà comune al sistema dei
due oggetti (solo nel caso di M >> m si può parlare di
energia potenziale dell’oggetto di massa m).
U =−
Nel caso di un sistema di più oggetti
l’energia potenziale gravitazionale si
ottiene calcolando l’energia di una
coppia di oggetti ingorando tutti gli
altri e poi sommando su tutte le coppie. Ad esempio per tre oggetti
µ
¶
Gm1 m2
Gm1 m3
Gm2 m3
U =−
+
+
r12
r13
r23
Per mostrare la (*) calcoliamo il lavoro dL compiuto dalla
forza gravitazionale esercitata da M su m durante uno sposta~ della massa m. Consideriamo prima il caso in cui
mento ds
lo spostamento è lungo la linea congiungente i due oggetti
Il lavoro compiuto dalla forza
~ per spostare
gravitazionale F
la massa m dalla distanza r alla
distanza r + dr è
~ = − GmM dr
~ · ds
dL = F
r2
Il lavoro per portare la massa
m dalla distanza R a distanza
infinita è
¯∞
¶
Z ∞µ
GmM
GmM ¯¯
GmM
L=
−
dr
=
=
−
¯
r2
r ¯
R
R
R
Ma il lavoro è uguale all’opposto della variazione dell’energia
potenziale
L = −∆U = −(U (∞) − U (R)) = U (R)
⇒ U (R) = −
GmM
R
Il lavoro è indipendente dal percorso
eseguito.
Infatti l’elemento di linea per una traiettoria qualunque si può scomporre
in una parte lungo le direzioni radiali
rispetto a M ed una parte lungo gli
archi di circonferenza di centro in M .
Quest’ultima non contribuisce al lavoro
~ è ⊥ a F
~ . La somma dei conpoichè ds
tributi al lavoro lungo i raggi dà esattamente lo stesso risultato dell’integrale
lungo la linea 1.
In altre parole, la forza gravitazionale è una forza conservativa e il lavoro dipende solo dagli estremi dell’integrale
LA→B = −(UB − UA ) =
GmM
GmM
−
RB
RA
Nota l’energia potenziale è possibile ricavare la forza utilizzando la relazione
dU
F =−
dr
Nel caso dell’energia potenziale gravitazionale si ritrova
Ã
!
d
GM m
GM m
dU
=−
−
=−
−
dr
dr
r
r2
la legge della gravitazione di Newton.
Energia di un satellite
L’energia meccanica di un satellite in moto lungo un’orbita
circolare attorno alla Terra è data dalla somma della sua
energia potenziale e della sua energia cinetica
GM m
Emec = K + U
K = 12 mv 2
U =−
r
La velocità del satellite dalla la legge di Newton si determina
GM m
v2
=m
r2
r
dove v 2 /r è l’accelerazione centripeta. Da cui
K=
GM m
2r
quindi per un satellite si ha
U = −2K
⇒ Emec = U + K = −
GM m
= −K
2r
Velocità di fuga (dalla Terra): è il valore minimo della
velocità iniziale di un oggetto che permette all’oggetto di
sfuggire all’attrazione gravitazionale per arrestarsi teoricamente solo a distanza infinita.
La forza gravitazionale è una forza conservativa quindi l’energia
meccanica si conserva. Quando l’oggetto lascia la terra
GMT m
E (i) = 12 mv 2 −
RT
è uguale all’energia meccanica dell’oggetto a distanza infinita dalla Terra. Ma questa è nulla perchè l’oggetto si arresta (K = 0) ed ha energia potenziale gravitazionale nulla
(per convenzione)
r
GM
m
2GMT
T
E (f ) = E (i) = 0
⇒ 12 mv 2 =
⇒ v=
RT
RT
v è la velocità di fuga.