Trieste, 18 Aprile 2013
Performance Evaluation
and
Performance Attribution
Roberto Casarin
[email protected]
Il Processo di Investimento
Il Processo di Investimento
Performance Eval. and Att. 1
Il Processo di Investimento
Prima di introdurre la teoria finanziaria si propone il
seguente diagramma che associa alle diverse fasi del processo
di investimento i problemi che gli operatori possono
affrontare con strumenti di tipo quantitativo.
quantitativo.
Fasi del
processo di
investiment
o
Classi di
problemi
decisional
i
Strumenti
quantitativi
Questo schema può rappresentare un utile riferimento per chi
volesse leggere la teoria finanziaria moderna secondo una
logica di tipo operativo.
operativo.
Il Processo di Investimento
Comitato Strategic
Asset Management
Investment Proposal
• Guidelines
• Duration (Convexity) per
Geographical Area or per
Managed Fund
• Percentage Equity
• Asset Allocation (Active,
Passive,…)
• Equity
• Fixed Income
• Fixed Income and Foreign
Reports
Optimisation
Support
Guidelines
Portfolios
Optimise
Performance and Risk
Measurement (WeeklyMonthly)
Position
•Perf. Attribution
•Perf. Measurement
Comitato
Investimenti
Fund Manager
•Azionario
•Obbligazionario
Reports
Performance Eval. and Att. 2
Il Processo di Investimento
Comitato Strategic
Asset Management
Comitato
Investimenti
Investment Proposal
• Guidelines
• Duration
• Percentage Equity
• Asset Allocation
• Equity
• Fixed Income
• Fixed Income and Foreign
SCENARIO ANALYSIS
STRATEGIC ASSET ALLOCATION
Stili azionari
Previsione sugli stili
Rotazione settori
Rotazione stili
PORTFOLIO CONSTRAINTS
ex-ante
Portfolio Model
ex-post
Performance Attribution;
ex-post
Performance Evaluation.
Econometric
Models
Il Processo di Investimento
Comitato
Investimenti
• Guidelines
• Duration (Convexity) per
Geographical Area or per
Managed Fund
• Shortfall Probability, Tracking
Error
• Percentage Equity
• Asset Allocation (Active,
Passive,…)
ACTIVE / PASSIVE ASSET MANAGEMENT
ex-ante
Portfolio Models;
ex-ante
Risk Management;
ex-post
Performance Attribution;
ex-post
Performance Evaluation;
ex-post
Risk Measurement.
TACTICAL ASSET ALLOCATION MODEL
View of Manager
Estimated View
Input/Output Parameters Estimation
Guidelines
Fund Manager
•Azionario
•Obbligazionario
Econometric
Models
Performance Eval. and Att. 3
Il Processo di Investimento
Portfolios
Optimise
Optimisation
Support
Fund Manager
•Azionario
•Obbligazionario
DYNAMIC ASSET ALLOCATION
OPTIMISATION MODEL
Model Building
Input/Output Parameters Estimation Problem
Constraints Selection
Optimisation Algorithms
Econometric
Models
• TRADING SYSTEM
Il Processo di Investimento
PERFORMANCE MODEL
Performance Measures
Risk Measures
Market Timing Abilities
Stock Selection Abilities
Persistence Analysis
Manager’s Incentives
Comitato Strategic
Asset Management
• Equity
• Fixed Income
• Fixed Income and Foreign
Reports
Performance and Risk
Measurement (WeeklyMonthly)
Position
•Perf. Attribution
•Perf. Measurement
Portfolios
Fund Manager
•Azionario
•Obbligazionario
Reports
Performance Eval. and Att. 4
Il Processo di Investimento
Come risulta dai precedenti diagrammi esiste una relazione
tra le diverse fasi del processo d’investimento ed i temi
trattati dalla teoria finanziaria.
finanziaria. Questo parallelismo consente
di ordinare gli argomenti secondo la successione dei problemi
decisionali affrontati dal gestore nel processo di investimento
investimento..
L’esposizione dei temi finanziari procederà secondo
l’impostazione classica:
classica: si tratteranno dapprima i concetti
fondamentali della Portfolio Theory
Theory::
Mean Variance Model (MV)
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Intertemporal Capital Asset Pricing Model (ICAPM)
Multi
Multi--Factor Model (APT)
Il Processo di Investimento
e successivamente gli aspetti più avanzati dell’Asset
Allocation::
Allocation
Active Asset Allocation
Tracking Error Volatility Management
Risk Management in Asset Allocation
Strategic Asset Allocation
Tactical Asset Allocation
Dynamic Asset Allocation
TopTop-Down, Bottom
Bottom--Up Strategies
Performance Eval. and Att. 5
Performance Evaluation and Attribution
Performance Evaluation and Attribution
Metodi di Calcolo dei Rendimenti
Misure di Performance Corrette per il Rischio
Misure di Morningstar
Performance Attribution
Style Analysis
Risk Analysis
Managed Funds Cost Analysis
Persistence Analysis
Misure di Relative Performance
Performance Evaluation and Attribution
L'analisi del rendimento e del rischio dei fondi comuni di
investimento trae ampio spunto dalla letteratura in tema
di valutazione del rendimento e del rischio di un
portafoglio gestito.
gestito.
La gestione di un portafoglio può essere:
essere:
Passiva
Attiva
Semi
Semi--attiva
Performance Eval. and Att. 6
Performance Evaluation and Attribution
PASSIVA
Si replica il comportamento di un
paniere di titoli, detenendo una quota
di ogni titolo pari alla capitalizzazione
relativa di mercato del titolo (es
(es.. di
portafoglio passivo:
passivo: il benchmark di
mercato)
Gestione
ATTIVA
Si realizzano profitti superiori o
inferiori a quelli generati dall'insieme
di benchmark di riferimento
riferimento.. Nella
gestione attiva del portafoglio si
possono distinguere tre fonti di
extraprofitto:: stock selection, market
extraprofitto
timing, style investing.
investing.
Metodi di Calcolo dei Rendimenti
Metodi di Calcolo dei Rendimenti
Rendimenti Grezzi
Periodo di valutazione
Performance Eval. and Att. 7
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti grezzi)
Rendimenti Grezzi
I rendimenti grezzi non tengono conto del grado di rischio
associato all'investimento pertanto:
pertanto:
non possono essere impiegati per stilare una classifica
corretta dei "migliori" fondi comuni
sono più vicini ad una visione del mercato finanziario
diffusa tra piccoli risparmiatori
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti grezzi)
Rendimento grezzo
I dati possono avere frequenza annuale, trimestrale,
mensile, settimanale.
settimanale. Trattandosi di un investimento di
lungo periodo è consigliabile il calcolo dei rendimenti
annuali, o a tre anni, o a cinque anni
anni::
q − qt −1
Rt = t
qt −1
con
t = 1,K , T
q − qt − k
Rt = t
qt − k
con
t = 1,K , T
e con
k: lag temporale che determina il tipo di rendimento
(mensile, annuale,...
annuale,...)).
Performance Eval. and Att. 8
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Il rendimento
logaritmici::
logaritmici
può essere definito anche in termini
 q 
rt = log(qt ) − log(qt −1 ) = log t 
 qt −1 
con
t = 1, K , T
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Rendimenti grezzi relativi
Il rendimento di un portafoglio gestito in modo attivo
dovrebbe essere confrontato con un benchmark di
riferimento, che rappresenti un portafoglio gestito in
modo passivo, così da ottenere una misura di rendimento
relativa..
relativa
La misura relativa ottenuta come semplice differenza tra
rendimenti viene definita Excess Return
Return::
ERt = (Rt − Rbenchmarkt )
con
t = 1,K , T
Performance Eval. and Att. 9
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Per i fondi comuni, si potrebbe introdurre una semplice
misura di scostamento del rendimento del fondo dal
rendimento medio dei fondi della stessa categoria (di
specializzazione, di area geografica, o altro)
altro).. Potrebbe
trattarsi di uno scostamento in senso deterministico, dato
dalla semplice differenza tra rendimento del fondo e
rendimento medio di categoria (come per l'Excess
Return)). Si potrebbe calcolare alternativamente uno
Return
scostamento in senso statistico, che misuri la media della
differenza tra rendimento del fondo e rendimento medio
di categoria più un termine di disturbo.
disturbo. (Vedi oltre per
indicatori simili:
simili: Indicatore di Rendimento Relativo e
EWFUND)
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Nell'attività di rating dei fondi comuni, Morningstar
propone una particolare misura di rendimento relativo
(per categorie di rating):
rating):
Morningstar
R jit
=
(R jit − Rft )
(R jt − Rft )
con
t = 1, K , T ,
j = 1, K , K
e
i = 1, K , N j
con::
con
Nj: numero di fondi appartenenti alla categoria j-esima
esima;;
K: numero di categorie in cui sono classificati i fondi
fondi;;
Performance Eval. and Att. 10
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
RjitMorningstar: rendimento Morningstar del fondo i-esimo
della j-esima cat
cat.;
.;
Rjit: rendimento del fondo i-esimo della j-esima categoria,
corretto per i costi di transazione;
transazione;
Rft: tasso di rendimento free risk
risk;;
Rjt: rendimento medio dei fondi della j-esima categoria
categoria..
La misura del rendimento di Morningstar viene utilizzata
nel rating dei fondi, solo dopo esser stata corretta per il
rischio (tale tecnica sarà illustrata nella sezione
successiva)..
successiva)
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Rendimenti Medi
Il rendimento medio relativo ad un periodo di tempo
considerato (1,...
...,T
,T)) può essere calcolato in modi diversi
diversi::
Internal Rate of Return (IIR) di tutti i flussi
(rendimenti) generati dall'investimento.
dall'investimento. L'IRR si ottiene
quindi dalla soluzione della seguente equazione
equazione::
n
[
C t0 = ∑ Fi ⋅ (1 + rIRR )
i =1
− (t i − t 0 )
]
con::
con
n: numero di flussi finanziari derivanti dall'investimento
nel fondo;
fondo;
Fi: flussi finanziari derivanti dall'investimento nel fondo.
fondo.
Performance Eval. and Att. 11
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Media Aritmetica dei rendimenti (Average Return
Return)):
T
RA =
∑R
t =1
t
T
Viene utilizzata soprattutto per i dati futuri perché è uno
stimatore non distorto.
distorto.
La media geometrica dei rendimenti:
rendimenti:
RG = T
T
∏ (1 + R ) − 1
t
1
Viene utilizzata spesso per le performance passate
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Il rendimento medio riferito al periodo unitario (il mese,
se la frequenza delle osservazioni è mensile) può essere
annualizzato (Annualized Average Return)
Return)::
R AA = (1 + R A )n − 1
con::
con
1/n: frequenza delle osservazioni (n = 12 se le osservazioni
sono mensili)
mensili);;
Performance Eval. and Att. 12
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Rendimenti
(Rendimenti grezzi)
grezzi)
Al rendimento Medio viene associata una misura di
rischio detta Standard Deviation così calcolata
calcolata::
T
SD =
∑ (ERt − R A )2
T
t =1
T
ASD = SD ⋅ n
con::
con
1/n: frequenza delle osservazioni (n = 12 se le osservazioni
sono mensili)
mensili);;
SD:
SD: Standard deviation
deviation;;
ASD:
ASD: Annualized Standard deviation.
deviation.
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Il Periodo di Valutazione
Sia nell’analisi ex
ex--post che in quella exex-ante delle
caratteristiche di rischio e rendimento dei risultati di
gestione, è importante fissare un periodo di riferimento.
riferimento.
La valutazione di
dovrebbe essere
sufficientemente
“casuali”, dovute
mercato..
mercato
performance, sia assoluta che relativa,
condotta su un periodo di tempo
lungo da escludere performance
pertanto da movimenti imprevisti del
Performance Eval. and Att. 13
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Il periodo di riferimento non deve però essere troppo
lungo in modo che i risultati di gestione attiva non
vengano sottovalutati
sottovalutati..
Nella pratica e secondo alcuni studi condotti in
letteratura, la valutazione dei risultati di gestione di un
fondo, o di un manager viene condotta su un orizzonte
temporale di 3 anni.
anni.
Nel seguente esempio abbiamo simulato il rendimento di
una gestione attiva con un Tracking Error del 2% e
Tracking Error Volatility del a due anni con frequenza
giornaliera
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Esempio (Benchmark e risultato di gestione attiva)
Elab. Gauss 3.2.38
Performance Eval. and Att. 14
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Esempio (Tracking Error)
Elab. Gauss 3.2.38
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Esempio (Information Ratio)
Elab. Gauss 3.2.38
Performance Eval. and Att. 15
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Esempio (Hit Ratio)
Elab. Gauss 3.2.38
Metodi di Calcolo dei Rendimenti (Periodo di valutazione)
Si osserva che Assogestioni ha suggerito un periodo
minimo di un anno per il confronto di prodotti di
investimento..
investimento
Tale periodo è congruo per prodotti a basso rischio (fondi
monetari, obbligazionari a breve termine)
termine)..
In genere, tuttavia, la valutazione va effettuata in
relazione all’orizzonte di investimento
Performance Eval. and Att. 16
Misure di Performance Corrette per il Rischio
Misure di Performance Corrette per il Rischio
Misura di Sharpe
Misura di Sortino
Misura di Treynor
Esempi
Alfa di Jensen
Appraisal Ratio
Misure di Performance Corrette per il Rischio
L'analisi dei rendimenti dei fondi non può prescindere
dalla importante relazione individuata da Markovitz, tra
il rendimento di un titolo (o portafoglio) ed il suo grado di
rischio, misurato dalla varianza (o dallo scarto quadratico
medio)..
medio)
La misura di rendimento deve essere corretta per il
rischio associato all'investimento.
all'investimento. In letteratura sono state
proposte molteplici misure corrette per il rischio
rischio..
Performance Eval. and Att. 17
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Sharpe
(Sharpe))
Misura di Sharpe
Il rendimento in eccesso (Excess return
return)) viene diviso per il
rischio complessivo del portafoglio gestito (fondo
comune)::
comune)
S it =
con t = 1,K , T
(R
it
− R ft )
σi
e i = 1, K , N
esimo..
σi: standard deviation del fondo i-esimo
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Sharpe
(Sharpe))
Il vantaggio che si ha nell'applicare questa misura del
rendimento è che si tratta di un misura corretta per il
rischio assoluto (e complessivo) del fondo
fondo.. Non essendovi
alcuna dipendenza tra la "significatività" della misura ed
il grado di correlazione tra rendimento del fondo e
rendimento di mercato, è possibile impiegarla in
comparazioni tra rendimenti del fondo e rendimenti medi
di categoria
categoria..
Si ricorda che la misura di Sharpe si inserisce nel
paradigma MediaMedia-Varianza di Markowitz.
Markowitz. Si assume
pertanto che i primi due momenti della distribuzione dei
rendimenti siano sufficienti a descrivere la distribuzione
dei rendimenti futuri del portafoglio.
portafoglio.
Occorre utilizzare altri modelli di portafoglio.
portafoglio.
Performance Eval. and Att. 18
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Sharpe
(Sharpe))
Ex
Ex--Ante Sharpe Ratio
Ex
Ex--Post Sharpe Ratio
Ex--Ante Sharpe Ratio
Ex
Ratio::
Utilizzato per le decisioni
Rˆit +1 − Rˆ ft +1
Sˆit +1 =
σˆ t +1
Si assume che nella misura di Sharp a siano utilizzate
quantità previste (per esempio con un modello
econometrico)
Ex--Ante Sharpe Ratio
Ex
Ratio::
Viene utilizzato per la verifica ex
ex--post dei risultati di
gestione ottenuti
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Sortino
(Sortino))
Misura di Sortino
Esprime il tradetrade-off tra il rendimento in eccesso del fondo
(Excess return)
return) e la misura di downside risk data da
da::
[ (
DDit = Var min 0, Rit − R ft
)]
L’indice pertanto è espresso da
da::
Soit =
Rit − R ft
DDit
Performance Eval. and Att. 19
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Sortino
(Sortino))
Il tasso free
free--risk rappresenta il termine di confronto che
può comunque essere sostituito con altre variabili come la
media o la mediana dei rendimenti del fondo
fondo..
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Treynor
(Treynor))
Misura di Treynor
Il rendimento in eccesso (Excess return
return)) viene diviso per il
rischio sistematico anziché per quello complessivo.
complessivo.
Tit =
con t = 1,K , T ,
(R
it
− R ft )
βi
i = 1, K , N
e con
con::
esimo.
βi: beta del fondo i-esimo.
Performance Eval. and Att. 20
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Treynor)
Viene utilizzata difatti per valutare sub
sub--portafogli, in
un'attività di investimento collettivo, in cui il rischio non
sistematico dovrebbe essere "eliminato"
"eliminato".. Esiste una
relazione notevole tra la misura di Treynor del portafoglio
gestito e quella di Treynor riferita al mercato
mercato::
Tit =
con t = 1, K , T
,
αi
+ Tm
βi
i = 1, K , N
e con
Modificato.
αi /βi: Alfa Modificato.
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Esempi
Nei seguenti grafici vengono presentate le relazioni in
termini di correlazioni tra:
tra:
i valori delle varie misure di performance valutate
sui 71 fondi
le posizioni che i fondi occupano nelle classifiche
costruite sulla base delle diverse misure di
performance
Performance Eval. and Att. 21
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Elab. Gauss 3.2.38
Treynor
Correlation = 0.7730
Sharpe
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Elab. Gauss 3.2.38
Sortino
Correlation = 0.9758
Sharpe
Performance Eval. and Att. 22
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Elab. Gauss 3.2.38
Sortino
Correlation = 0.77018
Treynor
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Elab. Gauss 3.2.38
Treynor
Rank Correlation = 0.8946
Sharpe
Performance Eval. and Att. 23
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Elab. Gauss 3.2.38
Sortino
Rank Correlation = 0.9912
Sharpe
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Esempi
(Esempi))
Elab. Gauss 3.2.38
Sortino
Rank Correlation = 0.8772
Treynor
Performance Eval. and Att. 24
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Alfa-J (alfa di Jensen)
Nella sua formulazione classica l'alfa
l'alfa--Jensen misura lo
scostamento del rendimento in eccesso del portafoglio
gestito dal rendimento in eccesso del mercato moltiplicato
per il coefficiente di rischio sistematico del portafoglio
portafoglio::
α i = Rit − (R ft + β i ⋅ (Rmt − R ft ))
con t = 1, K , T
e
i = 1, K , N
T: numerosità delle osservazioni temporali
temporali;;
N: numero di fondi comuni presenti nel campione
campione..
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
L'alfa di Jensen è una misura corretta con una misura
di rischio relativa (βi) e quindi il suo valore, così come
quello del beta, deve essere associato alla correlazione tra
il rendimento del fondo Rit ed il rendimento dell'indice di
riferimento Rmt. La misura statistica di correlazione è
l'indice R2. Più elevato è il valore di tale indice più
"significativa" è la misura di rischio (beta) e di
rendimento (alfa
(alfa--J) aggiustato per il rischio
rischio..
Proprio per la dipendenza della significatività dell'alfa
di Jensen, dal benchmark utilizzato come riferimento, non
è possibile utilizzare tale misura per condurre delle
comparazioni del fondo con la media dei fondi
fondi.. Ciascun
fondo potrebbe difatti avere diversi gradi di correlazione
con l'indice (o gli indici) scelti come benchmark
benchmark..
Performance Eval. and Att. 25
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
L'alfa di Jensen ha il vantaggio che può essere derivato
secondo diverse ipotesi sui fattori di rischio del mercato
azionario, ed eventualmente anche del mercato
obbligazionario nel caso di fondi bilanciati
bilanciati.. Utilizzando
diversi indici come benchmark di riferimento si ottengono
i seguenti modelli fattoriali:
fattoriali:
Modello Monofattoriale
Modello di Heriksson
Modello Quadratico
Modelli Multifattoriali
Equally Weighted Fund Index
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Modello Monofattoriale
Uno tra i primi modelli presentati in letteratura è quello
monofattoriale.. Trae origine dal CAPM e presenta quindi
monofattoriale
una sola fonte di rischio, rappresentata dal benchmark di
mercato..
mercato
Ri ,t − Rf t = α i + β i ⋅ (Rmt − Rf t ) + ε i ,t
con t = 1, K , T
e
i = 1, K , N
Performance Eval. and Att. 26
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Dove:
Dove:
N: numerosità delle osservazioni temporali
temporali;;
T: numero di fondi presenti nel campione
campione;;
Rit: rendimento del fondo i-esimo rilevato all'epoca t;
Rft: rendimento free risk rilevato all'epoca t;
Rmt: rendimento del benchmark di mercato rilevato
all'epoca t;
Line,, denominata alfa
αi: intercetta della Security Market Line
di Jensen
Jensen;;
Line,, denominato
βim: coefficiente della Security Market Line
beta del portafoglio
portafoglio;;
Noise.
εit: termine di disturbo, distribuito come un White Noise.
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Tale modello monofattoriale può essere interpretato come
il rendimento di un portafoglio investito in attività prive
di rischio per una quota pari a (1- β i) ed in attività
rischiose (titoli azionari) per una quota pari a βi, più una
componente di rischio non sistematico εit.
Performance Eval. and Att. 27
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Modello di Henriksson
E’ un modello utilizzato per valutare la capacità di
Market timing
Ri ,t − Rf t = α i + β 1i ⋅ (Rmt − Rf t ) + Dt ⋅ β 2i ⋅ (Rmt − Rf t ) + ε i ,t
con
t = 1, K , T
e
i = 1, K , N
in cui Dt rappresenta una dummy che assume valore pari
a 1 se Rmt ≥ Rft.
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Modello Quadratico
E’ una approssimazione del modello precedente e come
quest’ultimo, viene utilizzato per valutare la capacità di
Market timing
timing..
Ri ,t − Rf t = α i + β 1i ⋅ (Rmt − Rf t ) + β 2i ⋅ (Rmt − Rf t ) + ε i ,t
2
con
t = 1, K , T
e
i = 1, K, N
La variabile "Excess Return di mercato" viene introdotta
in una relazione non lineare che approssima l'eventuale
cambiamento di intercetta che si ha nel modello di
Henriksson nel caso che il market timing del gestore
influenzi il rendimento del fondo
fondo..
Performance Eval. and Att. 28
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Modelli Multifattoriali (o multimulti-indice)
I modelli Multifattoriali considerano, oltre al differenziale
(Rmt-Rft) presente nel modello monofattoriale, anche altri
fattori che sono fonte di rischio per l'investimento
l'investimento.. Alcuni
modelli proposti in letteratura comprendono i seguenti
fattori di rischio:
rischio:
Fama and French
Gli autori propongono tre fattori di rischio, che espressi in
termini differenziali sono:
sono: (Rmt-Rft), (Rst-Rlt), (Rht-Rlt). Si
tratta rispettivamente del differenziale tra rendimento di
mercato e tasso free risk, del differenziale tra rendimento
dei titoli small cap e titoli large cap e del differenziale tra
rendimento di titoli con alto P/BV e rendimento di titoli
con basso P/BV
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Gruber, Elton, Blake [1993] e Elton, Gruber, Das,
Hlavka[1993]
Ai fattori del modello di Fama and French, l'autore
aggiunge (Rdt-Rft), che è il differenziale di rendimento tra
un paniere di titoli obbligazionari (privati e pubblici) ed il
rendimento free risk
risk..
Carhart
Ai fattori del modello di Fama and French l'autore
aggiunge (Rwt-Rlt), che è il differenziale di rendimento dei
titoli Winner e dei titoli Loser, che hanno avuto
rispettivamente il più alto price momentum ed il più basso
price momentum a n periodi
periodi..
Performance Eval. and Att. 29
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Lehman e Modest [1987]
Gli autori propongono un modello a 5 fattori di rischio
rischio..
Un'analisi fattoriale su Rit, serie dei rendimenti del fondo
i-esimo, conduce alla individuazione di 5 fattori ed alla
costruzione del seguente modello
modello::
5
Rit − Rf t = α i + ∑ [bki ⋅ (Rkt − Rf t )] + ε it
k =1
con:: t = 1, K , T e
con
i = 1, K , N
Rkt : rendimento del k-esimo fattore di rischio
rischio;;
bkt : coefficiente del k-esimo fattore di rischio per l'i
l'i--esimo
fondo..
fondo
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Equally Weighted Fund Index (Hendricks)
E' un particolare fattore di rischio composto
composto.. E' ottenuto
come media dei rendimenti logaritmici dei fondi comuni
ad un dato istante temporale, rappresenta un benchmark
di riferimento relativo per valutare il comportamento del
singolo fondo rispetto alla media dei fondi
fondi.. E' un
indicatore che potrebbe essere utilizzato nell'ambito di
ciascuna classe di fondi e nell'ambito di ciascuna
specializzazione.. Non coglie comunque gli elementi di
specializzazione
rischio e la differenza tra gestione attiva e passiva.
passiva.
Performance Eval. and Att. 30
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Può essere utilizzato in un modello monofattoriale che
misura attraverso l'alfal'alfa-J la differenza tra il rendimento
di una strategia di investimento in quote uguali di ogni
fondo, ed il rendimento del singolo fondo.
fondo. È importante il
confronto tra fondi appartenenti alla stessa categoria
categoria.. Il
modello è:
(
)
R jt − Rf t = α j + β j ⋅ R EWFI t − Rf t + ε t
con t = 1, K , T
e
i = 1, K , N
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Osservazione:: Come si è potuto notare (Lehman e
Osservazione
Modest), per il calcolo dell’
dell’Alfa
Alfa--J, la scelta del benchmark
è fondamentale poiché può influenzare la misura di
performance..
performance
Questo problema in generale permane se si ipotizza che i
rendimenti del fondo siano influenzati simultaneamente
da 2 o più fattori di rischio.
rischio.
Il modello di Chen, Roll e Ross (1986
1986)) ad esempio ipotizza
la seguente relazione:
relazione:
6
(
)
Rit − R ft = α i + ∑ β ik Rkt − R ft + ε it
k =1
dove E(εit) = 0, V(εit) = σ2 e i fattori di rischio sono
descritti nella tabella che segue
Performance Eval. and Att. 31
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Misure di Performance Corrette per il Rischio (Alfa
(Alfa--J)
Alcuni fattori di rischi possono essere approssimati nel
modo seguente
seguente::
Tasso d’inflazione inattesa
inattesa::differenza tra il tasso
d’inflazione
atteso
(variazione
dell’aggregato
monetario M2) e il tasso d’inflazione exex-post (tasso di
crescita dell’indice dei prezzi al consumo)
Premio per il rischio:
rischio: differenza tra il rendimento
dell’indice obbligazionario (JP Morgan Italia) ed il
rendimento dei BTP a 10 anni
Variazione della pendenza della curva dei tassi
tassi::
differenza tra i tassi di rendimento del BTP a 10 anni e
del BOT
Indice di mercato
mercato:: Indice COMIT
Performance Eval. and Att. 32
Misure di Performance Corrette per il Rischio (App.
(App. Ratio)
Ratio)
Appraisal Ratio
L'alfa di Jensen di un portafoglio deve essere accostato
all'Appraisal Ratio, quando il portafoglio viene combinato
con un altro portafoglio gestito in modo passivo (per
esempio il portafoglio di mercato), per realizzare una
gestione attiva
attiva.. L'appraisal ratio è così definito:
definito:
ARi =
con i = 1, K , N
αi
σ (ei )
e con
σ(ei): scarto quadratico medio degli scostamenti tra
rendimento in eccesso del portafoglio e rendimento in
eccesso di mercato.
mercato.
Misure di Performance Corrette per il Rischio (App.
(App. Ratio)
Ratio)
Vi è una relazione notevole tra misura di Sharpe del
portafoglio gestito in modo attivo e Appraisal Ratio:
Ratio:
 α 
S = S +  i 
 σ (ei ) 
2
i
2
2
m
Performance Eval. and Att. 33
Misure di Morningstar
Misure di Morningstar
Misure di Morningstar
Nell'attività di rating svolta dalla società statunitense
Morningstar, viene utilizzata una misura corretta per il
rischio (RjitMorningstar) ottenuta come differenza tra
rendimento di Morningstar e misura del rischio di
Morningstar (R
(R..A.R: Risk Adjusted Rating)
Rating)::
(
rAdj
r
r
R Morningsta
= R Morningsta
− σ Morningsta
jit
jit
ji
con
t = 1,K ,T ,
j = 1,K , K
e
)
i = 1,K , N j
e con
con::
RjitMorningstar: misura di rendimento grezzo relativo del
fondo i-esimo, cat
cat.. j-esima;
esima;
Morningstar
: misura del rischio del fondo i-esimo relativa
σji
alla cat
cat.. j-esima.
esima.
Performance Eval. and Att. 34
Misure di Morningstar
Questa misura del rendimento viene computata su dati
mensili per ogni fondo su tre orizzonti temporali
temporali:: tre anni,
cinque anni e dieci anni.
anni. Le misure così ottenute vengono
combinate con dei pesi in modo da ottenere una misura
complessiva.. I pesi utilizzati sono i seguenti:
complessiva
seguenti:
Tabella 1
Misure di Morningstar
I fondi comuni vengono poi ordinati sulla base della
misura complessiva e la lista ordinata viene ripartita in
quantili (10
10%
%, 22
22..5%, 35
35%
%, 22
22..5%,10
10%
%) in modo da
ottenere cinque categorie di rendimento.
rendimento.
Sulla base della classifica vengono assegnate le stelle
Morningstar::
Morningstar
☺ ☺ ☺ ☺ ☺ : fondi nel primo decile della classifica
☺ ☺ ☺ ☺ : fondi nel 22
22,,5% delle posizioni successive
☺ ☺ ☺ : fondi nel 35
35%
% delle posizioni successive
☺ ☺ : fondi nel seguente 22
22,,5%
☺ : fondi nell’ultimo decile della classifica
Performance Eval. and Att. 35
Misure di Morningstar
La società Morningstar ha sviluppato due tipologie di
rating (tra loro simili):
simili):
Star Rating
Category Rating
Misure di Morningstar
Anche la società Micropal ha sviluppato una tipologia di
rating (denominata Star Rating
Rating)) basata su una misura di
performance risk adjusted del tipo
tipo::
M=
Rijt − R jt
σ (Rt − Rit )
Rijt : rendimento medio del fondo i-esimo della
categoria j-esima
R jt : rendimento medio della categoria j-esima
σ (Rt − Rit ) : standard deviation della differenza di rendimento
tra il fondo i-esimo e la media della categoria
j-esima
Performance Eval. and Att. 36
Misure di Morningstar
Micropal attribuisce il seguente rating sulla base della
lista dei fondi ordinata secondo la misura M:
☺ ☺ ☺ ☺ ☺ : fondi nel primo decile
☺ ☺ ☺ ☺ : fondi nel 20
20%
% delle posizioni successive
☺ ☺ ☺ : fondi nel 20
20%
% delle posizioni seguenti
☺ ☺ : fondi nel seguente 25
25%
%
☺ : fondi nell’ultimo 25
25%
% delle posizioni della
classifica
Performance Attribution
Performance Attribution
Market Timing
Stock Selection
Indicatori di Total Performance
Modello di Fama
Modello di Brinson-Singer-Beebower
Performance Eval. and Att. 37
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
L'attività di Market Timing
Nell'ottica di una gestione attiva del portafoglio, il
risultato dell'attività di gestione è conseguenza di due
diverse abilità del gestore:
gestore: l'abilità di Stock Selection e
quella di Market Timing.
Timing. Quest'ultima consiste nella
scelta del momento giusto per assumere una posizione
lunga oppure una posizione corta nel mercato azionario,
ed è una abilità fortemente legata alla capacità del gestore
di assumere tutte quelle informazioni di breve periodo che
possono influenzare in modo temporaneo l'andamento del
mercato finanziario in generale
generale..
In letteratura sono stati proposti alcuni modelli che
consentono di valutare questa capacità del gestore,
rilevando eventuali elementi di non linearità nella
tradizionale formulazione dei modelli fattoriali
fattoriali..
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
Modello di Treynor e Mazuy [1966] e Ross et alt. [1986]
Il modello si basa sull'esistenza di una relazione tra il beta
di mercato e l'andamento del differenziale tra rendimenti
di mercato e rendimenti free risk del tipo
tipo::
β im= β i + γ TM ⋅ (Rmt − R ft ) , con i = 1, K, N
che sostituita nella seguente equazione
equazione::
Rit − Rf t = α i + β im ⋅ (Rmt − Rf t ) + ε it
con t = 1, K , T , con i = 1, K , N
conduce al seguente modello quadratico, che consente di
valutare la capacità di market timing dei gestori
gestori::
Performance Eval. and Att. 38
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
Rit − Rf t = α i + β i ⋅ (Rmt − Rf t ) + γ TM ⋅ (Rmt − Rf t ) + ε it
2
con::
con
γTM:
coefficiente di market timing
timing;;
Si osservi che valori positivi (e statisticamente non nulli)
del coefficiente di market timing indicano che il gestore
possiede una effettiva abilità di market timing, cioè
nell'assumere posizione lunghe, o corte nel mercato nei
momenti più opportuni.
opportuni. Il modello coglie elementi di non
linearità nei rendimenti del portafoglio e per questo
motivo è detto modello quadratico.
quadratico.
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
Grinblatt e Titman [1994
1994]] propongono una misura di
rendimento complessiva che riassume l'alfa di Jensen e la
componente di market timing (γTM) stimata con il modello
quadratico di Treynor e Mazuy:
Mazuy:
1
T

π iTM = α i + γ iTM ⋅  ⋅ ∑ (Rmt − Rf t )2 
 T t =1

Al fine di valutare la significatività statistica della misura
proposta, viene calcolato lo Standard Error nel seguente
modo::
modo
SE π iTM = q′Vq
con::
con
q′ = [1 0 var (Rm − Rf )]
V: matrice di varianza e covarianza dei coefficienti della
regressione quadratica.
quadratica.
(
)
Performance Eval. and Att. 39
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
Conseguentemente il test t per la misura è così calcolato:
calcolato:
π iTM
~ tT −K −1
SE (π iTM )
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
Modello di Merton [1981] e Merton e Henriksson [1981]
In ipotesi di abilità di market timing da parte del gestore,
esistono due differenti parametri di sensibilità ai fattori di
rischio::
rischio
risk.. E'
βi0 : esposizione del portafoglio alle attività free risk
diversa da zero quando Rft ≥ Rmt;
βi :
esposizione del portafoglio alle attivita rischiose
rischiose.. E'
diversa da zero quando Rft < Rmt .
Performance Eval. and Att. 40
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
La formulazione precedente può essere riscritta, con
l'utilizzo di una variabile dummy (Dt) , nel seguente
modo::
modo
β mi = β i 0 + (β i − β i 0 ) ⋅ Dt , con
1 se Rmt ≥ Rf t
Dt = 
0 se Rmt ≤ Rf t
da cui segue
D
t
=
 1 se

 0 se
Rm
Rm
≥
t
t
≤
Rf
Rf
t
t
da cui, ponendo γTM = (βi -βi0) e sostituendo l'espressione
nel modello
Rit − Rf t = α i + β im ⋅ (Rmt − Rf t ) + ε it
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
si ottiene:
Rit − Rf t = α i + β i ⋅ (Rmt − Rf t ) + γ TM ⋅
max (0,−(Rmt − Rf t ))
Rmt − Rf t
in cui (0, -(Rmt - Rft)) , può essere interpretato come il
valore di una opzione put, che assume valore positivo
quando Rmt ≤ Rft.
Grinblatt e Titman [1994
1994]] propongono una misura di
rendimento complessiva che riassume l'alfa di Jensen e la
componente di market timing (γHM) stimata con il modello
non lineare di Henriksson e Merton:
Merton:
1
T

π iHM = α i + γ iHM ⋅  ⋅ ∑ max(0 , (Rmt − Rf t ))
 T t =1

Performance Eval. and Att. 41
Performance Attribution(Market
Attribution(Market Timing)
Timing)
Al fine di valutare la significatività statistica della misura
proposta, viene calcolato lo Standard Error nel seguente
modo::
modo
(
)
SE π iHM = q′Vq
con:: q′ = [1 0 var ( Rm − Rf )]
con
V: matrice di varianza e covarianza dei coefficienti della
regressione di Merton ed Henriksson
Henriksson..
Conseguentemente il test t per la misura πiHM è così
calcolato::
calcolato
π iHM
~ tT −K −1
SE (π iHM )
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
L'attività di Stocks Selection
Il gestore di un portafoglio dovrebbe svolgere un'attività
di selezione dei titoli che, sulla base del suo insieme
informativo, avranno rendimenti futuri più elevati
rispetto al rendimento dell'indice di mercato.
mercato.
Contemporaneamente ad una attività di questo tipo,
definita gestione attiva del portafoglio, egli dovrà ridurre
il livello di rischio del portafoglio investito
investito.. All'attività di
stock selection si affianca l'attività di market timing
timing.. Per
scindere i risultati delle due attività è stata proposta, in
letteratura, una misura dei rendimenti, che non risente
della distorsione indotta dal market timing e che consente
di valutare esclusivamente il risultato dell'attività di stock
selection.. Questa misura dei rendimenti è detta Positive
selection
Period Weighting Measure.
Measure.
Performance Eval. and Att. 42
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
Positive Period Weighting Measure (PPWM)
Questa misura dei rendimenti corretta della distorsione
indotta dal risultato del market timing, è stata proposta
da Griblatt e Titman [1989
1989,, 1994
1994],
], i quali dimostrano la
seguente proprietà della PPWM:
PPWM:
T
PPWi = ∑ wmt ⋅ (Rit − Rf t ) →α *
P
t =1
con i = 1, K , N
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
in cui PPWi (Positive Period Weighting Measure) misura
la capacità di Stock Selection
Selection.. Per semplificare
l'applicazione della misura PPW si utilizza la versione
proposta da Cumby e Glen [1990]
1990]. Gli autori propongono
la seguente impostazione per determinare i pesi (wmt) della
misura di rendimento PPW
PPW.. Si indica con Wt la ricchezza
a disposizione dell'investitore alla fine del periodo t e si
pone uguale a 1 la ricchezza all'inizio del periodo t.
Supponendo che l'investitore abbia a disposizione due
classi di attività, una priva di rischio e l'altra rischiosa, il
valore di Wt è dato da
da::
Wt = 1 + β m ⋅ Rmt + (1 − β m ) ⋅ Rf t
con t = 1, K , T.
Performance Eval. and Att. 43
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
Si introduce la seguente funzione di utilità relativa alla
ricchezza a disposizione dell'investitore:
dell'investitore:
Wt1−ϑ
U (Wt ) =
1−ϑ
con::
con
ϑ
: parametro che per i fondi comuni italiani è stato
stimato pari a 4.23
23;;
Wt
: ricchezza a disposizione dell'investitore;
dell'investitore;
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
ed
individuato
l'obiettivo
dell'investitore
nella
ottimizzazione del valore atteso della funzione di utilità, si
imposta il seguente problema di ottimizzazione
intertemporale::
intertemporale
(1 + β m ⋅ Rmt + (1 − β m ) ⋅ Rf t )1−ϑ
max ∑
β
(1 − ϑ ) ⋅ T
t =1
T
m
in cui si è posto implicitamente . La condizione del primo
ordine per la soluzione del problema di ottimo è la
seguente::
seguente
Performance Eval. and Att. 44
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
∂E [U (Wt )] ∂E [U (Wt )] ∂Wt
=
⋅
=0
∂β m
∂Wt
∂β m
da cui esplicitando si ottiene:
ottiene:
 Wt (1−ϑ ) −1

⋅ (1 − ϑ ) ⋅ (Rmt − Rf t ) = 0
∑

t =1  (1 − ϑ ) ⋅ T

T
(1 + Rf t ⋅ (1 − β m ) + β m ⋅ Rmt )−ϑ
che, ponendo wmt =
T
∑ (1 + Rf ⋅ (1 − β ) + β
t
t =1
m
⋅ Rmt )
−ϑ
m
può essere riscritta:
riscritta:
Performance Attribution(Stocks Selection)
T
∑ [w ⋅ (Rm
t =1
mt
t
T
∑w
t =1
mt
− Rf t )] = 0
=1
Se la misura PPW è strettamente positiva, allora il gestore
di portafoglio ha dimostrato abilità di stock selection,
indipendentemente dalla sua abilità di market timing
timing..
Sotto la condizione di normalità e sotto l'ipotesi di
efficienza informativa forte del mercato esiste un test di
significatività statistica della misura PPW
PPW::
Performance Eval. and Att. 45
Performance Attribution(Stocks
Attribution(Stocks Selection)
Selection)
PPWi
sε ⋅
∑ wmt2
~ tT − K −1
i
Dove sε =
1 T
2
⋅ ∑ (Rit − Rf t − α i − β im ⋅ (Rmt − Rf t ))
T t =1
è lo scarto
quadratico medio della regressione di Jensen
Jensen;;
K:
numero di benchmarks utilizzati per definire il
portafoglio efficiente in media e varianza.
varianza.
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Modello di Brinson-Hood-Beebower
E’un modello di Performance Attribution
Scompone il risultato di gestione in tre componenti
componenti::
Asset Allocation Policy
Active Asset Allocation
Security Selection
Analizza la dimensione rischio in termini di
scostamento delle quote di policy
Trova applicazione nei casi in cui è disponibile la serie
storica della composizione (pesi) del portafoglio e la serie
storica della composizione del benchmark appropriato
Considera la dimensione di extraextra-rendimento e di
rischio nelle diverse asset class
class..
Performance Eval. and Att. 46
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Introduciamo le seguenti definizioni
definizioni::
Asset Allocation Policy:
Policy: è parte integrante della politica
d’investimento e comporta la definizione dei pesi (normal
weights)) da attribuire alle diverse asset class
weights
Active Asset Allocation
Allocation:: è il processo di gestione dei pesi
da attribuire alle diverse asset class nel tempo
tempo.. Esprime le
variazioni di pesi rispetto ai normal weights:
weights:
deviazione temporanea dai normal weights
state of capital market disequilibrium rispetto ai
fondamentali sui quali poggia il policy mix
La gestione attiva ha conseguenze sul livello di rischio e
rendimento del portafoglio.
portafoglio.
Performance Attribution (Brinson-Hood-Beebower)
Investment Policy:
Policy: consiste nella specificazione degli
obiettivi dei vincoli e dei requisiti del Plan Sponsor ed
include la definizione di un Normal Asset Allocation Mix
Investment
Policy
Goal
Constrain
t
Policy Mix
(Asset Allocation Policy)
Actice Asset Allocation
Temporarily deviation from PolicY Mix
Performance Eval. and Att. 47
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Risk Positioning
Positioning:: consiste nella gestione attiva in termini
di peso attribuito alla componente cash
cash,, sia a livello di
Asset Allocation che di singola asset class
External Risk Positioning:
Positioning: indica la variazione di quota detenuta in
cash a livello di Asset Allocation
Internal Risk Positioning:
Positioning: indica l’assunzione di una posizione cash
all’interno di un’
un’asset
asset class.
class. Viene utilizzata per variare il beta o la
duration dell’asset
dell’asset class.
class.
Risk
Positioning
External
Risk Positioning
External
Risk Positioning
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Scomposizione dei rendimenti
Il rendimento complessivo finale del portafoglio gestito
(Actual Asset Portfolio Return
Return)) può essere scomposto
secondo lo schema presentato di seguito
Performance Eval. and Att. 48
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
SECURITY SELECTION
Actual
Passive
IV
II
Actual Portfolio Policy and Active
Return
Asstet Allocation
Return
III
I
Policy and
Security Selection
Return
Policy Return
(Passive Portfolio
Benchmark)
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Tale scomposizione dell’Actual
dell’Actual Asset Portfolio Return
consente di definire le seguenti quantità
quantità::
ACTIVE ASSET ALLOCATION
ALLOCATION::
SECURITY SELECTION
SELECTION::
OTHER
OTHER::
TOTAL PERFORMANCE
PERFORMANCE::
II - I
III - I
IV - II - III + I
IV - I
La disponibilità di serie storiche relative ai pesi delle asset
class nel portafoglio attuale (Wa
Wa)) e nel portafoglio passivo
(Wp
Wp)) (Policy Portfolio)
Portfolio) consente di quantificare la
scomposizione del rendimento complessivo.
complessivo.
Performance Eval. and Att. 49
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
SECURITY SELECTION
Actual
Actual
n
Passive
IV Active, Policy
n
i =1
i =1
∑Wai ⋅ Rai
Security
III
Selection Policy
n
∑Wpi ⋅ Rai
i =1
II
∑Wai ⋅ Rpi
Policy
I
n
∑Wpi ⋅ Rpi
i =1
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
In cui
cui::
Wai:
Actual Portfolio Weight for asset class i
Rai:
Actual Portfolio Return for asset class i
Wpi:
Policy Portfolio Weight for asset class i
Rpi:
Policy Portfolio Return for asset class i
n: Number of asset class
Performance Eval. and Att. 50
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Performance Attribution
Definiamo ora l’attribuzione di performance alle diverse
componenti dell’attività di gestione:
gestione:
n
ACTIVE ASSET ALLOCATION
ALLOCATION::
∑ (Wai Rpi − Wpi Rpi )
i =1
n
SECURITY SELECTION
SELECTION::
∑ (Wpi Rai − Wpi Rpi )
i =1
n
OTHER
OTHER::
∑ (Wai Rai − Wai Rpi − Wpi Rai + Wpi Rpi )
i =1
n
TOTAL PERFORMANCE
PERFORMANCE::
∑ (Wai ⋅ Rpi − Wpi ⋅ Rpi )
i =1
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Esempio::
Esempio
Consideriamo rendimenti medi annualizzati
SECURITY SELECTION
Actual
Actual
Passive
IV Active, Policy
13.41%
Security
III
Selection Policy
13.75%
II
13.23%
Policy
I
13.49%
Performance Eval. and Att. 51
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Il rendimento attivo è dovuto a:
Active Asset Allocation
Security Selection
Other
-0.26
26%
%
+0.26
26%
%
-0.07
07%
%
Total
+0.08
08%
%
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Scomposizione del rischio
Sia l’attività di stock picking che quella di active asset
allocation producono variazioni del livello di rischio del
piano di investimento
investimento..
Le relazioni in termini di rischio tra la performance totale
e la performance derivante da ciascuna componente di
gestione, sono misurate con il coefficiente di
determinazione
0 < υ = corr
2
(X ,Y ) < 1
Questo coefficiente misura la variabilità di X dovuta alla
variabilità di Y.
Performance Eval. and Att. 52
Performance Attribution (Brinson-Hood-Beebower)
Esempio::
Esempio
SECURITY SELECTION
Actual
Actual
Passive
IV Active, Policy
100%
Security
III
Selection Policy
96.1%
II
93.3%
Policy
I
91.5%
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Average Minimum Maximum Std.Dev
Policy
91.5%
67.7%
98.2%
6.6%
Policy and Allocation
93.3%
69.4%
98.3%
5.2%
Policy and Selection
96.1%
76.2%
99.8%
5.2%
Performance Eval. and Att. 53
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Una prima scomposizione del rischio deriva dalla
definizione di extra
extra--return (Ei) per la i-esima asset class
class::
Ei = (Rai − Rpi )Wpi + (Wai − Wpi )(Rpi − R ) +
1
(Wai − Wpi )(Rai − Rpi )
2
3
Wai:
Rai:
Wpi:
Rpi:
R:
Actual Weight for asset class i
Actual Return on asset class i
Policy Weight for asset class i
Passive Return on asset class i
Total Portfolio Benchmark Return
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Selection;;
1 Contributo della Security Selection
2 External Risk Positioning
3 Interaction between Security Selection and Active
Allocation
Osservazione (Excess Return
Return))
Ei = Wai Rai − Wpi Rpi − (Wai − Wpi )R
A
B
C
Performance Eval. and Att. 54
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Introducendo una componente di Internal Risk Positioning
per il rendimento attuale di ciascuna asset class
class::
Rai = (1 − c )Rsi + cRhi
dove
c: quota di portafoglio detenuta in cash
Rhi: rendimento corrente del cash
Rsi: rendimento della componente equity
è possibile esprimere gli extra
extra--rendimenti nel modo
seguente
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
Ei = (Rsi − Rpi )Wpi
1
+ [(Wai − Wpi )(Rpi − R ) + c(Rhi − Rpi )Wai ]
+ [(1 − c )Wai − Wpi ](Rsi − Rpi )
2
3
In cui
1 Rappresenta la quota di Security Selection
2 Rappresenta il Risk Positioning
3 Cross Product
Performance Eval. and Att. 55
Performance Attribution (Brinson
(Brinson--HoodHood-Beebower)
Beebower)
La componente di Risk Positioning può essere scomposta
nel modo seguente
seguente::
External risk Positioning
Internal Risk Positioning
(Wai − Wpi )(Rpi − R )
c(Wai − Wpi )(Rhi − Rpi )
Cross Product
c(Wai − Wpi )(Rhi − Rpi )
RISK
Style Analysis
Style Analysis
Introduzione
Approccio Return Based
Ibbotsom Approach
Morningstar Approach
Performance Eval. and Att. 56
Style Analysis (Introduzione
(Introduzione))
Il monitoraggio della gestione di portafoglio può avvenire
secondo due diversi approcci:
approcci:
Analitico
Return Based
Il primo presuppone il monitoraggio continuo delle quote
di portafoglio investite nelle diverse asset classes
classes..
Il secondo è un approccio di tipo statistico e comporta la
sola conoscenza dell’universo di titoli o di asset classes in
cui si ripartiscono le attività in portafoglio
portafoglio..
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Approccio Return Based
Nell’ambito delle misure di performance rientrano i
modelli di scomposizione del rischio di portafoglio nel
rischio legato alle diverse asset classes
classes..
Un Asset Class Factor Model può pertanto essere
rappresentato nel modo seguente
seguente::
~
~
~
Rt = β1F1t + ... + β n Fnt + ~
et
Gestione Passiva
in cui
Gestione
Attiva
,
e noise
t = 1, K , T
0 ≤ βi ≤ 1
n
∑ βi = 1
i =1
Performance Eval. and Att. 57
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
L’approccio Return Based viene utilizzato per
per::
la Country Analysis
la Style Analysis
Affinché i coefficienti del modello non siano distorti (per
l’omissione di fattori rilevanti) o non efficienti (per
l’inclusione di fattori non rilevanti), devono essere
soddisfatte le seguenti ipotesi:
ipotesi:
(1) Asset classes mutualmente esclusive
(2) Asset classes esaustive
(3) Rendimenti delle asset classes poco correlati
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Per misurare la capacità esplicativa del modello fattoriale
viene utilizzato uno dei seguenti indicatori
indicatori::
1
2
R = 1−
in cui
T
2
RSS = ∑ ~
et
t =1
e
RSS
TSS
T
2
TSS = ∑ (Yt − Y )
t =1
Performance Eval. and Att. 58
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
2
2
R adj = 1 −
RSS / (T − k )
TSS / (T − 1)
in cui
cui::
T:
k:
numero delle osservazioni campionarie
numero dei coefficienti (o asset classes
classes))
Questo secondo indice considera la capacità esplicativa del
modello corretta per il numero di fattori utilizzati per
scomporre i rendimenti.
rendimenti.
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
I metodi di stima delle esposizioni
Come visto negli esempi, il modello Asset Class Factor può
essere stimato con il metodo OLS senza alcun vincolo
(verifica ex
ex--post dei vincoli).
vincoli).
E’ però possibile procedere alla stima vincolata dei
coefficienti di esposizione ai fattori risolvendo per via
numerica il problema.
problema.
Performance Eval. and Att. 59
Style Analysis (Return Based Approach)
Non Linear Least Squares (NLS)
(
)
~
~
~ 2
min Rt − β1F1t − ... − β n Fnt
θ
con
β1 =
β2 =
exp(θ1 )
1 + exp(θ1 ) + ... + exp(θ n −1 )
exp(θ 2 )
1 + exp(θ1 ) + ... + exp(θ n −1 )
M
M
1
βn =
1 + exp(θ1 ) + ... + exp(θ n −1 )
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Critical Line Algorithms
Si tratta di algoritmi di programmazione (ottimizzazione)
quadratica che risolvono il seguente problema
problema::
(
)

~
~
~ 2
 ∑ Rt − β1F1t − ... − β n Fnt 


max1 − t

2
~ ~


Rt − Rt
∑


t


(
sotto i vincoli:
vincoli:
)
0 ≤ β1 ≤ 1
M
0 ≤ βn ≤ 1
n
∑ βi = 1
i =1
Si osserva che , in questo caso, la funzione obiettivo è l’R2
Performance Eval. and Att. 60
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Esempio::
Esempio
Analisi dell’esposizione di un fondo azionario alle seguenti
classi d’investimento:
d’investimento:
Growth
Value
Small
Bot
Campione: dati settimanali dal 27
Campione:
27//12
12//96 al 15
15//12
12//2000
(database Moneym)
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Growth Factor
290
250
210
170
130
27
/1
2/
96
27
/0
3/
97
27
/0
6/
97
27
/0
9/
97
27
/1
2/
97
27
/0
3/
98
27
/0
6/
98
27
/0
9/
98
27
/1
2/
98
27
/0
3/
99
27
/0
6/
99
27
/0
9/
99
27
/1
2/
99
27
/0
3/
00
27
/0
6/
00
27
/0
9/
00
90
Performance Eval. and Att. 61
27
/1
2/
96
27
/0
3/
97
27
/0
6/
97
27
/0
9/
97
27
/1
2/
97
27
/0
3/
98
27
/0
6/
98
27
/0
9/
98
27
/1
2/
98
27
/0
3/
99
27
/0
6/
99
27
/0
9/
99
27
/1
2/
99
27
/0
3/
00
27
/0
6/
00
27
/0
9/
00
27
/1
2/
96
27
/0
3/
97
27
/0
6/
97
27
/0
9/
97
27
/1
2/
97
27
/0
3/
98
27
/0
6/
98
27
/0
9/
98
27
/1
2/
98
27
/0
3/
99
27
/0
6/
99
27
/0
9/
99
27
/1
2/
99
27
/0
3/
00
27
/0
6/
00
27
/0
9/
00
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Value Factor
240
215
190
165
140
115
90
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Small Factor
340
290
240
190
140
90
Performance Eval. and Att. 62
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Bot Factor
120
115
110
105
27
/1
2/
96
27
/0
3/
97
27
/0
6/
97
27
/0
9/
97
27
/1
2/
97
27
/0
3/
98
27
/0
6/
98
27
/0
9/
98
27
/1
2/
98
27
/0
3/
99
27
/0
6/
99
27
/0
9/
99
27
/1
2/
99
27
/0
3/
00
27
/0
6/
00
27
/0
9/
00
100
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Matrice di Correlazione dei Fattori
Fattori::
Growth
Value
Small
Bot
Growth
1.000
0.630
0.507
0.011
Value
0.630
1.000
0.663
0.135
Small
0.507
0.663
1.000
0.06
Bot
0.011
0.135
0.06
1.000
Performance Eval. and Att. 63
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Analisi su tutto il campione:
campione:
Fondo 1 Cumulated Absolute Returns
540
490
440
390
340
290
240
190
140
00
00
27
/0
9/
00
27
/0
6/
99
27
/0
3/
99
27
/1
2/
99
27
/0
9/
99
27
/0
6/
98
27
/0
3/
98
27
/1
2/
98
27
/0
9/
98
27
/0
6/
97
27
/0
3/
97
27
/1
2/
97
27
/0
9/
97
27
/0
6/
27
/0
3/
27
/1
2/
96
90
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Elab. Eviwes 3.0
Regressione NON vincolata
Variable
GROWTH
VALUE
SMALL
Coefficient Std. Error
0.4279
0.0727
0.4977
R-squared
0.7727
Adjusted R-squared 0.7705
S.E. of regression
0.0154
Sum squared resid
0.0484
Log likelihood
571.6637
Durbin-Watson stat
2.0160
0.0362
0.0511
0.0487
t-Statistic
Prob.
11.8078
1.4230
10.2277
0.0000
0.1563
0.0000
Mean dependent var 0.0073
S.D. dependent var
0.0321
Akaike info criterion -5.4943
Schwarz criterion
-5.4460
F-statistic
346.7916
Prob(F-statistic)
0.0000
Performance Eval. and Att. 64
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Elab. Eviwes 3.0
Regressione vincolata
Coefficient Std. Error
C(1)
C(2)
C(3)
-0.0351
-1.8150
-29.3491
R-squared
0.7735
Adjusted R-squared 0.7713
S.E. of regression
0.0154
Sum squared resid
0.0482
Log likelihood
572.0150
Durbin-Watson stat
2.0424
1.3582
1.5988
7.19E+12
t-Statistic
Prob.
-0.0258
-1.1352
0.0000
0.9794
0.2576
1.0000
Mean dependent var 0.0073
S.D. dependent var
0.0321
Akaike info criterion -5.4977
Schwarz criterion
-5.4494
F-statistic
348.3175
Prob(F-statistic)
0.0000
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Regressione
non vincolata
Determinazione del
quarto coefficiente
come complemento
a 1 dei pesi stimati
Regressione
vincolata
Trasformazione
dei coefficienti
stimati con il
metodo NLS (Non
Linear Least
Squares)
mediante vincoli
non lineari
Bot = 1 − (Growth + Value + Small ) = 0.0017
exp(c(1))
= 0.4536
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
exp(c(2 ))
Value =
= 0.0765
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
exp(c(3))
Small =
= 8.43E − 14
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
1
Bot =
= 0.4698
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
Growth =
Performance Eval. and Att. 65
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Analisi su tutto il campione:
campione:
Fondo 2 Cumulated Absolute Returns
690
590
490
390
290
190
00
00
27
/0
9/
00
27
/0
6/
99
27
/0
3/
99
27
/1
2/
99
27
/0
9/
99
27
/0
6/
98
27
/0
3/
98
27
/1
2/
98
27
/0
9/
98
27
/0
6/
97
27
/0
3/
97
27
/1
2/
97
27
/0
9/
97
27
/0
6/
27
/0
3/
27
/1
2/
96
90
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Elab. Eviwes 3.0
Regressione NON vincolata
Variable
GROWTH
VALUE
SMALL
Coefficient Std. Error
0.4209
0.0705
0.4930
R-squared
0.7392
Adjusted R-squared 0.7366
S.E. of regression
0.0163
Sum squared resid
0.0539
Log likelihood
560.5167
Durbin-Watson stat
1.6080
0.0382
0.0539
0.0514
t-Statistic
Prob.
11.0054
1.3082
9.5990
0.0000
0.1923
0.0000
Mean dependent var 0.0093
S.D. dependent var
0.0317
Akaike info criterion -5.3866
Schwarz criterion
-5.3383
F-statistic
289.0857
Prob(F-statistic)
0.0000
Performance Eval. and Att. 66
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Elab. Eviwes 3.0
Regressione vincolata
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C(1)
C(2)
C(3)
-0.0687
-1.8898
-22.5456
2.5060
2.6262
2.E+10
-0.0274
-0.7196
0.0000
0.9782
0.4726
1.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.7414
0.7389
0.0162
0.0534
561.3994
1.6301
Mean dependent var 0.0093
S.D. dependent var
0.0317
Akaike info criterion -5.3952
Schwarz criterion
-5.3469
F-statistic
292.4353
Prob(F-statistic)
0.0000
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Regressione
non vincolata
Determinazione del
quarto coefficiente
come complemento
a 1 dei pesi stimati
Regressione
vincolata
Trasformazione
dei coefficienti
stimati con il
metodo NLS (Non
Linear Least
Squares)
mediante vincoli
non lineari
Bot = 1 − (Growth + Value + Small ) = 0.0156
exp(c(1))
= 0.4478
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
exp(c(2 ))
Value =
= 0.0725
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
exp(c(3))
Small =
= 7.75 E − 11
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
1
Bot =
= 0.4797
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
Growth =
Performance Eval. and Att. 67
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Analisi su tutto il campione:
campione:
Fondo 3: Cumulated Absolute Returns
250
230
210
190
170
150
130
110
00
00
27
/0
9/
00
27
/0
6/
99
27
/0
3/
99
27
/1
2/
99
27
/0
9/
99
27
/0
6/
98
27
/0
3/
98
27
/1
2/
98
27
/0
9/
98
27
/0
6/
97
27
/0
3/
97
27
/1
2/
97
27
/0
9/
97
27
/0
6/
27
/0
3/
27
/1
2/
96
90
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Elab. Eviwes 3.0
Regressione NON vincolata
Variable
Coefficient Std. Error
GROWTH
VALUE
SMALL
0.0967
0.0461
0.5052
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.7706
0.7683
0.0099
0.0200
662.9048
2.1317
0.0233
0.0329
0.0313
t-Statistic
Prob.
4.1468
1.4029
16.1301
0.0000
0.1622
0.0000
Mean dependent var 0.0037
S.D. dependent var
0.0206
Akaike info criterion -6.3759
Schwarz criterion
-6.3276
F-statistic
342.5521
Prob(F-statistic)
0.0000
Performance Eval. and Att. 68
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Elab. Eviwes 3.0
Regressione vincolata
Coefficient Std. Error
C(1)
C(2)
C(3)
-0.9824
-2.0361
-22.5466
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.6661
0.6629
0.0120
0.0292
624.0840
1.9191
1.3462
1.4231
8.23E+09
t-Statistic
Prob.
-0.7297
-1.4308
0.0000
0.4664
0.1540
1.0000
Mean dependent var 0.0037
S.D. dependent var
0.0206
Akaike info criterion -6.0008
Schwarz criterion
-5.9525
F-statistic
203.5114
Prob(F-statistic)
0.0000
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Regressione
non vincolata
Determinazione del
quarto coefficiente
come complemento
a 1 dei pesi stimati
Regressione
vincolata
Trasformazione
dei coefficienti
stimati con il
metodo NLS (Non
Linear Least
Squares)
mediante vincoli
non lineari
Bot = 1 − (Growth + Value + Small ) = 0.3520
exp(c(1))
= 0.2488
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
exp(c(2 ))
Value =
= 0.0867
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
exp(c(3))
Small =
= 1.07 E − 10
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
1
Bot =
= 0.6645
1 + exp(c(1)) + exp(c(2 )) + exp(c(3))
Growth =
Performance Eval. and Att. 69
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Analisi dinamica (Moving Window)
Window)::
Fondo 1
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
1
8
15
22
29
36
43
50
quota growth
57
64
71
78
85
quota value
92
99 106 113 120 127 134 141 148 155
quota small
quota bot
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
90%
Selection
85%
80%
75%
70%
65%
Style
60%
55%
50%
1
7
13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151
R^2
R^2 adj.
Performance Eval. and Att. 70
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Fondo 2
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
1
8
15
22
29 36
43
50 57
quota growth
64
71 78
quota value
85
92 99 106 113 120 127 134 141 148 155
quota small
quota bot
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
95%
Selection
90%
85%
80%
75%
70%
65%
Style
60%
55%
50%
1
7
13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151
R^2
R^2 adj.
Performance Eval. and Att. 71
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
Fondo 3
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
1
8
15
22
29 36
43
50 57
quota growth
64
71 78
85
quota value
92 99 106 113 120 127 134 141 148 155
quota small
quota bot
Style Analysis (Return
(Return Based Approach)
Approach)
100%
Selection
90%
80%
70%
60%
Style
50%
40%
30%
1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
R^2
78
85
92
99 106 113 120 127 134 141 148 155
R^2 adj.
Performance Eval. and Att. 72
Style Analysis (Return Based Approach)
Analisi sul panel di fondi (71 fondi azionario Italia)
%Growth
Posizionamento strategico dei fondi nelle dimensioni value e growth
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10 20 30 40 50 60 70
80 90 100
% Value
Style Analysis
Indicatori del patrimonio del fondo comune
Absolute New Money
È un indicatore della capacità dei rendimenti passati del
fondo di pilotare le scelte di allocazione degli investimenti
da parte dei risparmiatori:
risparmiatori:
ANM t ,t −1 = NAVt − (1 + Rt ) ⋅ NAVt −1
con::
con
ANMt,tt,t-1:
new money creata nel periodo (t,t(t,t-1);
NAVt, NAVt-1: il patrimonio gestito dal fondo alla fine ed
all'inizio del periodo considerato
Rt :
rendimento grezzo del fondo
fondo..
Performance Eval. and Att. 73
Style Analysis
L'Absolute New Money può anche essere interpretata
come la capacità del fondo di attirare nuovi risparmiatori.
risparmiatori.
In questo modo viene valutata la politica di vendita delle
quote del fondo.
fondo.
Per tenere in considerazione le dimensioni del fondo è
possibile utilizzare una misura relativa (Relative New
Money)
RNM t =
ANM t
NAVt −1
Risk Analysis
Risk Analysis
Il Rischio di Mercato
Il Rischio di Default
Performance Eval. and Att. 74
Risk Analysis (Rischio
(Rischio di mercato)
mercato)
Il rischio di mercato
Il rischio derivante dall'oscillazione del rendimento dei
fondi può essere misurato attraverso delle misure
opportune come varianza, beta rispetto ai fattori di
rischio, reward to variability ratio, reward to half
half-variance ratio, VaR ed evidenziato separatamente dalle
misure di rischio.
rischio. Oltre ai tradizionali modelli per la
valutazione
del
rischio
di
mercato
associato
all'investimento è possibile rilevare altri indicatori legati
al rischio dell'investimento.
dell'investimento.
Risk Analysis (Rischio
(Rischio di mercato)
mercato)
Morningstar Risk Measure
La società statunitense Morningstar propone una misura
di rischio del fondo relativa, perché riferita al rischio
medio della categoria di rating a cui il fondo stesso
appartiene..
appartiene
Si consideri la seguente misura di volatilità (Downward
volatility measure)
measure):
T
AMU =
∑ Dt ⋅ Rit − Rf t
t =1
T
dove
1 se (Rit − Rf t ) ≤ 0
Dt = 
altrimenti
0
Performance Eval. and Att. 75
Risk Analysis (Rischio
(Rischio di mercato)
mercato)
L'Average Monthly Underperformance (AMU) viene poi
utilizzato per costruire una misura relativa del rischio
(Morningstar risk measure):
measure):
r
=
σ Morningsta
ji
AMU ji
AMU j
con::
con
AMU ji: downward volatility measure per l'i
l'i--esimo fondo
della cat
cat.. j-esima;
esima;
AMU j : downward volatility measure media per la j-esima
categoria..
categoria
Risk Analysis (Rischio
(Rischio di mercato)
mercato)
VaR Measure
Performance Eval. and Att. 76
VaR - approcci di stima
Statisticamente la volatilità (misura di rischio connesso
alla posizione) è rappresentata dalla deviazione standard
dei rendimenti
rendimenti..
Essa può essere stimata seguendo tre approcci
approcci::
1. stima soggettiva dei possibili scenari
2. stima basata sulla volatilità storica
3. stima basata sulla volatilità implicita
VaR - approcci di stima
Stima soggettiva
Implementazione onerosa e mal si presta ad una continua e
rigorosa valutazione dell’esposizione al rischio connessa a diversi
periodi e a diversi strumenti finanziari
Volatilità implicita
Teoricamente espressione migliore delle informazioni sulla
volatilità futura ma condizionata all’esistenza di mercati
regolamentati delle opzioni sulle attività finanziarie oggetto di
VaR
Performance Eval. and Att. 77
VaR - approcci di stima
Media storica semplice
Media Mobile semplice
Media Mobile
esponenziale (JP Morgan Risk Metrics)
Stima basata
sulla Volatilità
Storica
Modelli ARCH, GARCH,
ecc.
Modelli Volatilità Stocastica
VaR - fonte dei dati
Information Provider esterni
(es. JP Morgan - RiskMetrics)
Fonte dei Dati
Elaborazioni Interne della
Banca
Performance Eval. and Att. 78
VaR - le Medie Mobili Semplici
Per rappresentare il fenomeno di volatiliy clustering, il
metodo computazionalmente più semplice è dato dalle
medie mobili.
mobili.
La media mobile semplice è espressa dalla relazione:
relazione:
1 h
σt =
( Rt − j − R ) 2
∑
h j =1
in cui la volatilità futura è espressa come media delle
ultime h osservazione passate;
passate; ogni osservazione viene
pesata allo stesso modo.
modo.
VaR - le Medie Mobili Esponenziali
La Media Mobile Esponenziale è invece espressa dalla
relazione::
relazione
h
σt =
∑λ
j −1
j =1
( Rt − j − R ) 2
h
∑λ
j −1
j =1
dove ogni osservazione j-esima viene pesata con il
coefficiente
λ
j −1
h
∑λ
j −1
j =1
Performance Eval. and Att. 79
VaR - le Medie Mobili Esponenziali
Un modello di stima basato sulla Media Mobile
Esponenziale (EWMA
EWMA)) si caratterizza per il fatto che alle
osservazioni più recenti vengono associati pesi più elevati
rispetto alle osservazioni più lontane.
lontane.
In questo modo le stime delle volatilità reagiranno
prontamente e in modo accentuato ad uno shock del
mercato, mentre, dopo lo shock, la volatilità diminuisce
gradualmente in forza della diminuzione dei pesi associati
alle variazioni dei rendimenti causati da quello stesso
shock
VaR - le Medie Mobili Esponenziali
Spesso la media mobile esponenziale viene indicata con la
sua approssimazione asintotica:
asintotica:
h
σ t = (1 − λ )∑ λ j −1 ( Rt − j − R ) 2
j =1
h
con
∑λ
j =1
j −1
≅
1
(1 − λ )
Una proprietà della media mobile esponenziale è che può
essere espressa nella seguente forma ricorsiva
ricorsiva::
σ 1,t +1|t = λσ 12,t|t −1 + (1 − λ ) R12,t
Performance Eval. and Att. 80
VaR - le Medie Mobili Esponenziali
Tale relazione ricorsiva si deriva come segue
segue::
σ
∞
= (1 − λ )∑ λi R12,t −i
2
1,t +1|t
i =0
(
)
= (1 − λ ) R12,t + λR12,t −1 + λ2 R12,t − 2 + ...
(
)
= (1 − λ ) R12,t + λ (1 − λ ) R12,t −1 + λR12,t − 2 + R12,t −3 + ...
= (1 − λ ) R12,t + λσ 12,t |t −1
VaR - Confronto tra medie mobili
Esempio::
Esempio
Analisi relativa ad un fondo azionario.
azionario.
T −t +1
0.8
λ
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T- t0
Performance Eval. and Att. 81
VaR - Confronto tra medie mobili
Confronto grafico tra le caratteristiche di una media
mobile semplice, di una media mobile esponenziale e dei
quadrati dei rendimenti di un fondo azionario.
azionario.
• MSV
media mobile
semplice a 10
termini
0.12
0.1
0.08
• MMV
media mobile
esponenziale a 10
termini
decay factor = 0.7
0.06
0.04
0.02
0
1
12 23
34 45
56 67
msv
78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188
mmv
volatilità storica
VaR - Confronto tra medie mobili
Confronto grafico tra le misure di VaR ottenute con una
media mobile semplice e una media mobile esponenziale
• MSV
media mobile
semplice a
10
termini
40
20
0
• MMV
media mobile
esponenziale a 4
termini
decay factor = 0.7
-20
-40
-60
Variazioni reali
VaR(95%) msv
VaR(95%) mmv
Performance Eval. and Att. 82
VaR - i modelli ARCH univariati
Analiticamente un modello ARCH (q) viene descritto
come::
come
ε t | ε t −1 ~ N (0, σ t2 )
q
σ = γ + ∑ α iε t2−i γ > 0, α i ≥ 0
2
t
i =1
La sua varianza non condizionale è:
Var (ε t ) =
γ
q
1 − ∑α i
i =1
VaR - i modelli GARCH univariati
Analiticamente
descritto come:
come:
un
modello
GARCH
(q,p)
viene
ε t | ε t −1 ~ N (0, σ t2 )
q
σ = γ + ∑α ε
2
t
i =1
2
i t −i
p
+ ∑ β jσ t2− j
j =1
γ > 0, α i ≥ 0, β j ≥ 0
La sua varianza non condizionale è:
Var (ε t ) =
γ
q
p
i =1
j =1
1 − ∑α i − ∑ β j
Performance Eval. and Att. 83
VaR - i modelli GARCH multivariati
Analiticamente un modello GARCH (1,1) multivariato
con formulazione B.E.K.K. (Baba, Engle, Kraft,
Kroner) viene descritto come
come::
ε t | ε t −1 ~ N (0, H t )
H t = C' C + Aε 't −1ε t −1 A'+BH t −1B
0
c
C =  11

c21 c22 
0
α
A= 1

 0 α2 
β
B= 1
0
0
β 2 
Questa formulazione riduce il numero di parametri da
stimare e garantisce per costruzione la definita positività
della matrice di covarianza condizionale
VaR - i modelli GARCH multivariati
La stima di modelli GARCH multivariati di ampie
dimensioni presenta due considerevoli problemi
implementativi::
implementativi
le procedure numeriche di stima dei parametri (basate
sul metodo della massima verosimiglianza) possono non
convergere ai valori ottimali
i tempi computazionali sono estremamente lunghi (ad
es.. un GARCH multivariato di dimensione 5 può
es
richiedere 1 o 2 giorni di stima) e le procedure di calcolo
devono essere monitorate con regolarità
Performance Eval. and Att. 84
VaR - commenti
Le stime delle volatilità non vengono sempre aggiornate
quotidianamente (soprattutto nel caso di modelli che
necessitano di tempi di stima molto lunghi)
lunghi)..
Il più importante criterio di valutazione dell’affidabilità
di un modello, in questo caso, consiste nel verificarne la
stabilità dei parametri nel tempo.
tempo.
La stima delle correlazioni
La stima delle covarianze e delle correlazioni può essere
ottenuta con il metodo delle medie mobili allo stesso modo
delle volatilità.
volatilità.
La media mobile semplice della covarianza è espressa
dalla relazione:
relazione:
σ
2
12 ,t
1 h
= ∑ ( R1,t − j − R1 ) 2 ( R2,t − j − R2 )
h j =1
Performance Eval. and Att. 85
La stima delle correlazioni
La media mobile esponenziale della covarianza è espressa
dalla relazione
relazione::
h
σ 122 ,t = (1 − λ )∑ λ j −1 ( R1,t − j − R1 ) ( R2,t − j − R2 )
j =1
E la forma ricorsiva è data da
da::
σ 122 ,t +1|t = λσ 122 ,t|t −1 + (1 − λ ) R1t R2t
La stima delle correlazioni
Tale relazione ricorsiva si deriva nel modo seguente
seguente::
σ
2
12 ,t +1|t
∞
= (1 − λ )∑ λ j R1,t − j R2,t − j
(
j =0
)
= (1 − λ ) R1,t R2 ,t + λR1,t −1 R2,t −1 + λ2 R2,t − 2 R2,t − 2 + ...
= (1 − λ ) R1,t R2,t +
(
)
+ λ (1 − λ ) R1,t −1 R2,t −1 + λR1,t − 2 R2 ,t − 2 + λ2 R1,t −3 R2,t −3 + ...
= (1 − λ ) R1,t R2,t + λσ 122 ,t|t −1
Performance Eval. and Att. 86
La stima delle correlazioni
Dalle covarianze possiamo inoltre ottenere gli indici di
correlazione lineare come:
come:
ρ12,t +1|t
σ 122 ,t +1|t
=
σ 1,t +1|tσ 2,t +1|t
La stima delle correlazioni
Le correlazioni permettono di considerare
l’effetto
“diversificazione” nel calcolo del capitale a rischio di un
portafoglio
Problema di scegliere quali fattori di rischio considerare
per valutare l’effetto diversidicazione:
diversidicazione:
correlazione tra tutti i fattori di rischio (tassi di
interesse per diverse scadenze, tassi di cambio,
prezzi azionari, ecc.
ecc.)
correlazioni solo all’interno di ogni classe di
rischio (classe dei tassi di interesse, classe dei tassi
di cambio, ecc
ecc..) [Basilea 1993
1993]]
Performance Eval. and Att. 87
Il mapping
Per ridurre ad una dimensione trattabile nei modelli il
numero dei fattori di rischio, viene fatto congiuntamente
ricorso a due tipologie di procedure di mapping
mapping::
selezione dei fattori di mercato più significativi per ogni
categoria di attività in portafoglio
portafoglio;; in questo caso le
tecniche di mapping si differenziano per ogni categoria di
strumento (bonds, equities, etc.
etc.)
riduzione degli assets in portafoglio mediante la
sostituzione di alcuni di essi con proxy appropriate
Il mapping - Posizioni sensibili ai tassi d’interesse
I cash flows di tutte le posizioni sensibili ai tassi
d’interesse devono essere ricondotti ad un numero
limitato di scadenze significative (benchmark)
(benchmark).. Tale
procedimento, denominato Information Mapping ,
permette di valutare i cash flows di posizioni diverse in
modo
standardizzato,
utilizzando
un
numero
ragionevolmente limitato di nodi della curva dei tassi
tassi..
Performance Eval. and Att. 88
Il mapping - Posizioni sensibili ai tassi d’interesse
Le tecniche più comuni per “mappare” posizioni sensibili
a tassi di interesse sono:
sono:
Principal maps:
maps: la posizione è temporalmente
collocata sulla base della vita residua
Duration maps
maps:: la posizione è descritta in termini di
durata media finanziaria (Macaulay duration)
Cash Flow maps
maps:: la posizione è scomposta nei singoli
flussi di cassa che la compongono, ed ogni flusso è
trattato alla stregua di uno zerozero-coupon (Risk
Metrics - JP
JP.. Morgan)
Il mapping - Posizioni sensibili ai tassi d’interesse
Titolo:
BTP 10 anni
Valore Nom.:
Lit 100
Cedola annuale: Lit 10
Principal Map
Vita residua:
Duration:
Duration Map
120
100
80
60
40
20
0
120
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8
8 anni
6 anni
Cash Flow Map
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
Performance Eval. and Att. 89
Il mapping - Posizioni sensibili ai tassi d’interesse
Il cash flow mapping, basato sulla scomposizione dei flussi
di cassa del titolo (o portafoglio), è da preferire rispetto
agli altri in quanto:
quanto:
cattura il “Shape Risk” (rischio associato al
cambiamento della forma della struttura dei tassi) in
quanto associa ad ogni zerozero-coupon una specifica
volatilità
permette di tener conto delle correlazioni esistenti tra i
diversi tassi
Il mapping - Titolo azionari
In portafogli azionari molto articolati, trattare
individualmente ogni singolo titolo si presenta
computazionalmente molto oneroso
oneroso.. Gli approcci per
“mappare” queste posizioni sono
sono::
Country index mapping approach:
approach: ogni azione viene
mappata sul relativo indice nazionale più rappresentativo
(es:: Coca Cola sullo S&P 500
(es
500,, Telecom sul MIB 30
30)).
Questo approccio è adatto per portafogli ben diversificati
a livello internazionale.
internazionale. In questo caso, per valutare la
rischiosità del singolo titolo è necessario il relativo beta
sull’indice nazionale.
nazionale.
Performance Eval. and Att. 90
Il mapping - Titolo azionari
Industry sub
sub--index mapping approach:
approach: per portafogli
azionari meno diversificati a livello internazionale, ogni
titolo può essere mappato su un relativo indice settoriale
nazionale..
nazionale
Factor Analysis
Analysis:: ogni azione viene mappata su diversi
fattori (es
(es.. country, size, industry, oil price sensitivity,
etc.
etc.).
Anche se necessita di una maggior quantità di
informazioni, questo approccio permette di considerare
più fonti di interrelazione tra i titoli
titoli..
Il mapping - Metodi quantitativi
I metodi di mapping finora descritti vengono definiti
“Representative Approaches to Mapping”
Mapping”..
Sono stati proposti anche i “Quantitative Approaches to
Mapping”, che applicano l’analisi delle componenti
principali o l’analisi fattoriale per individuare un esiguo
numero di variabili (non osservabili e indipendenti per
costruzione) in grado di spiegare un’alta percentuale della
variabilità
dei
rendimenti
delle
posizioni.
posizioni.
Queste metodologie hanno il pregio di ridurre
drasticamente la dimensionalità delle variabili ed
eliminano il problema delle correlazioni
correlazioni..
Performance Eval. and Att. 91
Il livello di confidenza
La scelta dell’intervallo incide sulla misura di
probabilità di non incorrere nella massima perdita
potenziale (95
95%
% Risk Metrics, 99
99%
% Basilea)
La scelta dell’intervallo incide sull’ammontare di
capitale allocato a fronte del rischio di mercato;
mercato; a livelli di
confidenza più elevati corrispondono infatti allocazioni
di capitale maggiore.
maggiore.
La scelta dell’intervallo influenza l’attendibilità del
backtesting:: a livelli di confidenza più elevati si dispone di
backtesting
meno osservazioni di perdite superiori al VaR con le quali
verificare le ipotesi nulle
Il livello di confidenza
Nel caso particolare di normalità :
La probabilità associata ad uno specifico intervallo è
data dal calcolo dell’integrale della funzione di densità
normale in corrispondenza dell’intervallo desiderato
Tale calcolo si traduce nella scelta di un determinato
multiplo della deviazione standard:
standard:
1,65
65*s
*s per una probabilità del 95
95%
%
2,32
32*s
*s per una probabilità del 99
99%
%
Performance Eval. and Att. 92
Orizzonte temporale
In una logica di controllo del rischio la scelta si deve
basare sui seguenti elementi:
elementi:
Caratteristiche del mercato:
mercato:
a seconda della maggiore o minore liquidità del
mercato su cui vengono trattati gli strumenti oggetto
di valutazione, l’orizzonte di valutazione dovrebbe
essere più o meno breve
Periodo di detenzione (holding period):
period):
le posizioni detenute per trading valutate su base
giornaliera, mentre quelle di investimento su base
settimanale o mensile (10 giorni per Basilea)
Orizzonte temporale
L’orizzonte temporale di valutazione incide sul valore
della volatilità
Se il periodo di valutazione è un giorno la volatilità si
basa sulle variazioni giornaliere, se il periodo è annuale la
volatilità dovrebbe basarsi su variazioni annuali
Di fatto la volatilità annuale è ottenuta, sulla base
dell’ipotesi di assenza di autocorrelazione nei rendimenti
dei fattori di rischio, applicando la regola della radice
quadrata del tempo
Performance Eval. and Att. 93
Orizzonte temporale
Definita la varianza del rendimento giornaliero di un
fattore come:
come:
Var (Rt ) = σ g2
considerando la formula della varianza di una somma di
v.c. e sfruttando l’ipotesi di incorrelazione seriale dei
rendimenti, la varianza del rendimento in un periodo di T
giorni è pari a:
σ
2
Tg
 T
 T 2
= Var  ∑ Ri  = ∑ σ g ,i = Tσ g2
 i =1  i =1
Risk Analysis (Rischio
(Rischio di default)
default)
Il rischio di default
Il rischio di default di un fondo potrebbe essere valutato
sulla base della probabilità di transitare da una classe di
rendimento ad un'altra, valutata attraverso una matrice
di transizione similmente a quanto accade nei modelli di
credit risk
risk..
Analisi più complesse, ma ugualmente intuitive come la
cluster analysis o l'analisi di simiglianza/dissimiglianza,
condotte sulla base di alcune caratteristiche di rischio (e
di rendimento e patrimoniali) dei fondi, potrebbero
individuare delle classi di rischio (o di rendimento
corretto per il rischio).
rischio). Studi simili sono stati condotti in
Cesari, Panetta (1998)
1998).
Performance Eval. and Att. 94
Risk Analysis (Rischio
(Rischio di default)
default)
Il rischio di default può essere monitorato attraverso un
indicatore di rendimento relativo che secondo alcuni
autori (Brown et alt
alt..) è in grado di segnalare il pericolo
chiusura del fondo.
fondo. L'indicatore è ottenuto dal rapporto
tra rendimento del singolo fondo e rendimento medio dei
fondi nell'anno precedente .
Un altro modo per rilevare segnali di default del fondo è
quello di controllare l'andamento del patrimonio netto
gestito (NAV).
(NAV).
Cost Analysis
Managed Funds Cost Analysis
Performance Eval. and Att. 95
Cost Analysis
I costi che possono essere analizzati nell'attività svolta dai
fondi comuni di investimento in un intervallo di tempo
sono::
sono
- commissioni di deposito e custodia
- commissioni di gestione
- commissioni di incentivo
- oneri di negoziazione o costi di transazione.
transazione.
Cost Analysis
Per individuare l'incidenza dei costi sull'attività di
gestione, oltre a condurre un'analisi dei rendimenti al
netto di tali costi, si può considerare la loro incidenza sul
patrimonio gestito.
gestito.
Indicando con (Net Asset Value
Value)) il patrimonio netto
gestito dal fondo valutato all'epoca t, si possono definire le
seguenti quantità:
quantità:
Valore unitario o valore della quota del fondo
Rate Of Change (ROC)
Rate of Return, o rendimento logaritmico
Performance Eval. and Att. 96
Cost Analysis
Valore unitario del fondo, o valore della quota del fondo
comune all'epoca t:
qt =
NAVt
nt
Con t = 1,K , T e
nt
: numero di quote del fondo in circolazione
all'epoca t;
NAVt : Net Asset Value, o patrimonio netto gestito del
fondo;;
fondo
qt
: valore unitario del fondo.
fondo.
Cost Analysis
Rate Of Change (ROC) del fondo, valutato all'epoca t:
Rt =
con
qt
qt − qt −1
q
= t −1
qt −1
qt −1
t = 1,K , T e
: valore unitario del fondo valutato all'epoca t.
Performance Eval. and Att. 97
Cost Analysis
Rate of Return, o rendimento logaritmico del fondo
valutato all'epoca t:
 q 
rt = log(qt ) − log(qt −1 ) = log t 
 qt −1 
Cost Analysis
Correzioni dei rendimenti
Il rendimento unitario dei fondi è generalmente un
rendimento netto, cioè già diminuito dei costi unitari e
privo dei dividendi distribuiti
distribuiti.. La prima correzione da
apportare è la Correzione per i dividendi, descritta da
questa formula
formula::
Rt* =
qt + d t
−1
qt −1
con t = 1, K , T e
d t : dividendi distribuiti fino all'epoca t.
Performance Eval. and Att. 98
Cost Analysis
La Correzione per gli oneri bancari è invece descritta da
questo insieme di relazioni:
relazioni:
Rt** =
Rt**
qt
ct
q t + ct
−1
qt −1
, con t = 1,K , T e
: rendimento corretto;
corretto;
: valore unitario del fondo;
fondo;
: valore unitario dei costi derivanti da oneri
bancari..
bancari
Cost Analysis
Il valore unitario dei costi è derivato dal valore
complessivo annuale dei costi per oneri bancari,
attraverso la seguente relazione
relazione::
ct =
ct
nt
qt
NAVt
cB
CB
=
12 ⋅ nt
CB
CB
=
⋅q
NAVt 12 ⋅ NAV t t
12 ⋅
qt
t = 1,K , T
: valore unitario dei costi derivanti da oneri
bancari;;
bancari
: numero di quote in circolazione all'epoca t;
: valore unitario del fondo all'epoca t;
: valore del patrimonio netto gestito dal fondo
all'epoca t;
: valore complessivo dei costi, riferito all'intero
fondo ed all'anno intero.
intero.
Performance Eval. and Att. 99
Cost Analysis
Sostituendo quest’ultima relazione nell’espressione di Rt**
si ottiene:
ottiene:
Rt** =
qt
q
CB
−1+ t ⋅
qt −1
qt −1 12 ⋅ NAVt
Ricordando che Rt =
qt − qt −1
q
= t −1
qt −1
qt −1
si ottiene:
ottiene:
Rt** = Rt +
CB
⋅ (1 + Rt )
12 ⋅ NAVt
Cost Analysis
La correzione per le commissioni di gestione si ottiene in
modo simile alla correzione per gli oneri bancari,
attraverso la seguente formulazione
formulazione::
Rt*** =
Rt***
qt
ct
qt + st
− 1 , con
qt −1
t = 1, K , T e
: rendimento corretto;
corretto;
: valore unitario del fondo;
fondo;
: valore unitario dei costi derivanti da commissioni
di gestione
gestione..
Performance Eval. and Att. 100
Cost Analysis
Il valore unitario dei costi è derivato dal valore
complessivo annuale dei costi per commissioni di gestione,
attraverso la seguente relazione
st =
st
nt
qt
NAVt
CS
CS
=
12 ⋅ nt
CS
CS
=
⋅q
NAVt 12 ⋅ NAV t t
12 ⋅
qt
t = 1,K , T
: valore unitario dei costi derivanti da commissioni
di gestione
gestione;;
: numero di quote in circolazione all'epoca t;
: valore unitario del fondo all'epoca t;
: valore del patrimonio netto gestito dal fondo
all'epoca t;
: valore complessivo dei costi, riferito all'intero
fondo ed all'anno intero.
intero.
Cost Analysis
Sostituendo quest’ultima relazione nell’espressione di Rt***
si ottiene:
ottiene:
Rt*** =
qt
q
CS
−1+ t ⋅
qt −1
qt −1 12 ⋅ NAVt
Ricordando che Rt =
si ottiene:
ottiene:
qt − qt −1
q
= t −1
qt −1
qt −1
Rt*** = Rt +
CS
⋅ (1 + Rt )
12 ⋅ NAVt
Performance Eval. and Att. 101
Cost Analysis
Le correzioni per i dividendi, per gli oneri bancari di
intermediazione e per le commissioni di gestione,
consentono di ricavare il rendimento lordo (Gross Rate of
Return) a partire dal rendimento netto (Net Rate of
Return) del fondo:
fondo:
qt + d t + ct + st
−1
qt −1
RGRt =
con t = 1,K , T
St
ct
dt
e con
: valore unitario dei costi derivanti da commissioni
di gestione
gestione;;
: valore unitario dei costi derivanti da oneri
bancari;;
bancari
: dividendi distribuiti fino all'epoca t;
Cost Analysis
da cui si può derivare, per le relazioni già note, la seguente
formula riassuntiva per il calcolo dei rendimenti lordi
unitari del fondo comune di investimento
RGRt = Rt* + (1 + Rt ) ⋅
CB + CS
12 ⋅ NAVt
Performance Eval. and Att. 102
Persistence Analysis
Persistence Analysis
Long Run Persistence
Short Run Persistence
Test
Persistence Analysis
Per valutare la persistenza dei fondi è possibile ricorrere
all'analisi ordinale, condotta sia sull'elenco ordinato dei
fondi (Rank order correlation method, oppure all'indice
di Spearman, coefficiente angolare di regressione degli
alfa
alfa--J del secondo periodo sugli alfa
alfa--J del primo periodo),
sia sulla tabella a doppia entrata in cui vengono riassunti
winner e loser relativamente ai sottoperiodi considerati
(Rank
order
correlation,
chi--quadrato
chi
per
l'indipendenza)..
l'indipendenza)
L'analisi può essere condotta sia su periodi disgiunti, sia
su periodo sovrapposti
sovrapposti..
Performance Eval. and Att. 103
Persistence Analysis
Ai fini di tale analisi i fondi possono essere ordinati sulla
base di diverse misure di rendimento (grezzo o corretto
per il rischio, netto o lordo)
lordo).. Nei sottoperiodi in cui si
ripartisce l'intervallo campionario possono essere
utilizzate differenti misure per ordinare i fondi in modo
tale da ottenere una analisi di persistenza incrociata
L'elenco ordinato di fondi può essere ripartito a metà
sulla base del rendimento mediano (o medio), oppure può
essere ripartito in quantili
quantili.. In tal caso i fondi non
verrebbero ripartiti semplicemente in winner o loser, ma
vi sarebbe un maggior grado di discriminazione.
discriminazione.
Persistence Analysis
Esempio di Schema Sperimentale di Analisi di Persistenza
Performance Eval. and Att. 104
Misure di Relative Performance
Misure di Relative Performance
Tracking Error
Tracking Error Volatility
Information Ratio
Hit Ratio
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
Tracking Error
Rappresenta l’eccesso di rendimento dovuto alla gestione
attiva del portafoglio:
portafoglio:
TEt = Rt − Rbt con t = 1,K , T
dove
TEt: Tracking Error del fondo al tempo t
Rt: rendimento del fondo
Rbt: rendimento del benchmark al tempo t
Performance Eval. and Att. 105
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
Il Tracking Error è influenzato da
da::
Aggressività del gestore
Metodo di annualizzazione prescelto
Aggressività del gestore:
gestore:
Il rendimento del fondo può essere inteso come una
funzione lineare degli scostamenti tra i pesi di ogni asset
class nel portafoglio gestito e nel benchmark.
benchmark.
Tali scostamenti saranno tanto più ampi quanto più il
comportamento del fondo è aggressivo.
aggressivo.
Pertanto il TEt risulta una misura di performance
dipendente dal comportamento del singolo gestore
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
Annualizzazione del Tracking Error:
Error:
La serie storica {TEt}Tt=1
t=1 nella pratica viene poco utilizzata
per la valutazione delle performance dei fondi, essendo
eccessivamente volatile.
volatile.
Per questo motivo generalmente si ricostruisce il Tracking
Error medio su un orizzonte temporale sufficientemente
ampio:: 1 e/o tre anni
ampio
I metodi utilizzati per costruire il Tracking Error
Annualizzato sono:
sono:
Media Geometrica
Media Aritmetica
Performance Eval. and Att. 106
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
Media Geometrica
Esistono due metodi per calcolare il Tracking :
1
Si calcola la media geometrica annualizzata dei
rendimenti del fondo
(RG) e dei rendimenti del
benchmark (RbG) nell’intervallo 1 a T
1
T
T
RG = n ⋅ ∏ (1 + Rt ) − 1
 t =1

1
e
T
T
RbG = n ⋅ ∏ (1 + Rbt ) − 1

 t =1
dove n è il numero dei periodi per anno (rendimenti
mensili, n=
n=12
12)).
Il tracking Error annualizzato con la media geometrica è
dato da
da::
TEG = RG − RbG
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
2
Si calcola la media geometrica annualizzata dei
Tracking Error del fondo (TEt) nell’intervallo 1 a T
n
 T  1+ R
t
TEG = ∏ 
1
+
R
bt
 t =1 
 T
 − 1

dove n è il numero dei periodi per anno (rendimenti
mensili, n=
n=12
12)).
Performance Eval. and Att. 107
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
Media Aritmetica
Si calcola semplicemente la media aritmetica annualizzata
annualizzata dei Tracking
Error del fondo (TEt)
nell’intervallo 1 a T
n T
TE A = ∑ TEt
T t =1
dove n è il numero dei periodi per anno (rendimenti
mensili, n=12).
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
Osservazione:
Osservazione:
Il vantaggio dei metodi della media geometrica
annualizzata sta nel fatto incorpora i rendimenti cumulati
di ogni sotto
sotto--periodo, pertanto si ha una indicazione
dell’accumulazione della ricchezza migliore rispetto al
metodo della media geometrica.
geometrica.
Per questo motivo la media geometrica viene indicata
dall’AIRM (Association for Investment Managment and
Research) come il metodo standard per l’annualizzazione
del Tracking Error
Performance Eval. and Att. 108
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error)
Error)
I due metodi per il calcolo della media geometrica
presentano alcuni svantaggi rispetto al metodo della
media aritmetica
aritmetica::
TEG a differenza di TEA dipende dal benchmark scelto
TEG non è una semplice funzione lineare del grado di
aggressività del gestore
TEG presenta una maggior difficoltà computazionale
rispetto alla media aritmetica
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error Volatility)
Volatility)
Tracking Error Volatitily
Per poter conoscere la consistenza della performance del
fondo nel periodo di valutazione [1,T], è necessario
calcolare la dispersione del Tracking Error espressa dalla
sua deviazione standard

1 T 
1 T
TEV =
TEt − ∑ TEt 
∑

T − 1 t =1
T t =1

2
dove
TEV:
TEV: Tracking Error Volatility nel periodo [1,T]
Performance Eval. and Att. 109
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error Volatility)
Volatility)
Nella pratica la Tracking Error
annualizzata nel modo seguente
seguente::
Volatility
viene
TEV Ann. = n ⋅ TEV
dove n è il numero dei periodi per anno (rendimenti
mensili, n=
n=12
12)).
Utilizzando tale metodo si assume che la deviazione
standard aumenti con la radice del tempo
tempo..
Si dimostra che tale assunzione è ammissibile se e solo se
TEt sono tra loro serialmente indipendenti
indipendenti.. In caso
contrario TEVAnn è una stima distorta della deviazione
standard annualizzata
annualizzata..
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error Volatility)
Volatility)
L’autocorrelazione tra i Tracking Error può essere
dovuta::
dovuta
1) dall’autocorrelazione tra i rendimenti
2) dall’autocorrelazione degli scarti tra i pesi
associati ad ogni asset class nel portafoglio gestito e
nel benchmark
3) entrambe
Performance Eval. and Att. 110
Misure di Relative Performance (Tracking
(Tracking Error Volatility)
Volatility)
1) Numerose ricerche indicano che nel breve periodo (dati
mensili) non vi è autocorrelazione tra i rendimenti
rendimenti.. Nel
lungo periodo (3-5 anni) vè è qualche evidenza di
autocorrelazione negativa
2) I gestori modificano le loro posizioni continuamente ma
gradualmente quindi gli scarti tra i pesi nel benchmark e
nel portafoglio gestito presentano una autocorrelazione
positiva (se fossero serialmente indipendenti, dovrebbero
continuamente ed imprevedibilmente cambiare di segno)
segno)..
Questo significa che i TEt presentano autocorrelazione
positiva e pertanto il TEVAnn sottostima la deviazione
standard annualizzata del tracking error
Misure di Relative Performance (Information
(Information Ratio)
Ratio)
Information Ratio
E’ calcolato come il rapporto tra il Tracking Error e la
Tracking Error Volatility
Volatility::
IRt =
TEt
TEV
con t = 1,K , T
TEt e TEV dipendono dalla aggressività del gestore
pertanto non permettono di confrontare tra loro manager
con atteggiamenti differenti.
differenti.
In quanto rapporto, l’Information Ratio risulta essere
indipendente dal grado di aggressività del gestore
gestore..
Performance Eval. and Att. 111
Misure di Relative Performance (Information
(Information Ratio)
Ratio)
Nella pratica l’Information Ratio viene annualizzato
calcolato nel modo seguente
seguente::
IR Ann =
TE A
TEV Ann
che equivale a
IR Ann =
1 T
∑ TEt
T t =1
TEV
n
dove n è il numero dei periodi per anno (rendimenti
mensili, n=
n=12
12)).
Misure di Relative Performance (Hit
(Hit Ratio)
Ratio)
Hit Ratio
Dato un orizzonte temporale, esprime la percentuale di
volte in cui il gestore ha prodotto un Tracking Error
positivo
HRt = Pr{TEt ≥ 0}
con t = 1,K , T
L’Hit Ratio non consente comunque di stabilire se il fondo
durante il periodo di valutazione abbia o meno
accumulato ricchezza.
ricchezza. Infatti un HR elevato (~
(~95
95%
%)
indica che nel 95
95%
% dei casi il gestore ha ottenuto un
rendimento superiore al benchmark, ma il 5% di
performance negative potrebbe essere sufficiente a
vanificare quelle positive.
positive.
Performance Eval. and Att. 112
Misure di Relative Performance (Hit
(Hit Ratio)
Ratio)
Si dimostra che se il Tracking Error è caratterizzato da
una distribuzione simmetrica, vi è una corrispondenza
diretta tra Information Ratio e Hit Ratio.
Ratio.
Per esempio se
2 

TEt ~ N  TE A , TEV Ann. 


ciò significa che
che::
TEt − TE A
~ N (0,1)
TEV Ann.
Misure di Relative Performance (Hit
(Hit Ratio)
Ratio)
Pertanto se riconsideriamo la definizione di Hit Ratio
2 



HRt = Pr TEt ≥ 0 | TEt ~ N  TE A , TEV Ann.  =





TE − TE A

TE − TE A
TE A
= Pr  t
≥−
| t
~ N (0,1)
TEV Ann. TEV Ann.
 TEV Ann.

e definendo g = TEt − TE A e
t
TEV Ann.
IR Ann. =
TE A
TEV Ann.
L’HR può essere calcolato semplicemente come
come::
HRt = Pr{g t ≥ − IR Ann. | gt ~ N (0,1)} =
=∫
+∞
− IR Ann .
1
e
2π
1 2
− gt
2
dgt
Performance Eval. and Att. 113
Misure di Relative Performance (Hit
(Hit Ratio)
Ratio)
Monthly Annualized
IR
IR
0
0
0.02
0.069282032
0.04
0.13856406
0.06
0.2078461
0.08
0.27712813
0.1
0.34641016
0.12
0.41569219
0.14
0.48497423
0.16
0.55425626
0.18
0.62353829
0.2
0.69282032
0.22
0.76210236
0.24
0.83138439
0.26
0.90066642
0.28
0.96994845
0.3
1.0392305
Hit Ratio
(Normal
Distribution)
0.5
0.50797831
0.51595344
0.52392218
0.53188137
0.53982784
0.54775843
0.55567
0.56355946
0.57142372
0.57925971
0.58706442
0.59483487
0.60256811
0.61026125
0.61791142
Hit Ratio
(t-student distribution 3
d.o.f.)
0.5
0.5073504
0.51469688
0.52203553
0.52936247
0.53667383
0.54396578
0.55123455
0.55847641
0.5656877
0.57286484
0.5800043
0.58710266
0.5941566
0.60116287
0.60811835
Crisi di Complessità nel mercato statunitense negli anni ‘90
Balanced
Managers
Bond
Managers
Sector
Rotators
Bond
Swaps
Bond
Indexes
Equity
Managers
Growth
Managers
Market
Timers
Interest
Forecasters
Asset
Allocators
Real
Estate
Portfolio
Insurance
Derivative
Strategies
Venture
Capital
Bond
Arbitrage
Value
Managers
Style
Management
Sector
Rotators
Style
Rotators
Transition
Management
Index
Funds
Extended
Indexes
Small
Capitalization
Tilted
Indexes
Option
Overriding
Index
Arbitrage
Global
Index
Performance Eval. and Att. 114
Appendice
APPENDICE
Seguono alcune considerazioni di carattere statistico,
relative alle tecniche, proposte in letteratura, per la stima
dei modelli fattoriali indicati al punto I.2.1. Con
riferimento agli stessi modelli è proposto un elenco dei test
statistici (stabilità, significatività, di uguaglianza) che
sarebbe utile condurre per varificare la validità
economica dei modelli stimati.
stimati.
Performance Eval. and Att. 115
Sez. A - Tecniche di stima
Sez.
Per i modelli monomono-fattoriali possono essere utilizzate
diverse tecniche di stima.
stima. La stima OLS può essere
sostituita dalla stima Recoursive Least Squares (RLS), che
consente di condurre test di stabilità e verifica della
convergenza asintotica dei parametri stimati
stimati.. La stima dei
parametri condizionalmente a tutto il campione (ultimo
step) coincide con la stima OLS
OLS..
Alcune analisi sui parametri alfa
alfa--J e beta sono state
condotte su dati giornalieri relativi ai titoli azionari della
borsa italiana, utilizzando la tecnica del filtro di Kalman,
oppure ipotizzando modelli Garch (multivariato), o
ancora modelli switching.
switching.
Le stime evidenziano graficamente andamenti non stabili
ed oscillatorie dei parametri, probabilmente dovuti alla
alta frequenza dei dati
dati.. Le stesse tecniche di stima
potrebbero essere utilizzate per i modelli fattoriali su dati
a più bassa frequenza relativi ai fondi comuni italiani.
italiani.
Argomenti collegati ai modelli multifattoriali sono relativi
alla verifica empirica di comportamenti variabili nei
parametri.. Nella stima degli alfa
parametri
alfa--J e dei beta, si può
verificare la stabilità dei parametri.
parametri. Ed ancora si può
verificare l'esistenza di eventuali dinamiche temporali
degli stessi spiegabili con variabili macroeconomiche o di
macromercato (es
(es.. volatilità, momentum, ecc.
ecc.).
Performance Eval. and Att. 116
Sez. B - Test statistici
Sez.
I test statistici da condurre nel complesso dell'analisi del
rendimento e del rischio sono qui riassunti:
riassunti:
sulle serie storiche:
storiche:
verifica stazionarietà (ADF test, Perron
Perron--Philips test) delle
serie storiche utilizzate
sui residui:
residui:
verifica eteroschedasticità, autocorrelazione dei residui
verfica del fitting del modello (R2
(R2, R2adj, part
part.. R2) del
modello
sui paramametri:
paramametri:
test di rottura strutturale sui parametri (Cusum test,
Chow test)
test di significatività dei parametri (nullità dell'alfa
dell'alfa--J,
nullità dei beta)
test unitarietà dei beta (coefficienti dei fattori di rischio).
rischio).
Performance Eval. and Att. 117