1 Il calcestruzzo armato
1
1.5 Flessione semplice retta e sforzo normale
1.5.3 Presso-flessione con grande eccentricità (e > GX ⴕ)
Il progetto della sezione rettangolare soggetta a presso-flessione
Per controllare, in modo approssimato, se si è in presenza di
piccola o grande eccentricità, è possibile confrontare il valore
dell’eccentricità con quello di h/5,6 (oppure b/5,6).
c o m p r e ss a AS
d’’
d’
a r ma t u r a
e
yo
Piccola eccentricità
In questo caso lo sforzo normale ha un effetto predominante
rispetto a quello del momento flettente, per cui in prima approssimazione l’area della sezione può essere calcolata applicando la formula relativa ai pilastri soggetti a compressione
A
assiale, dopo aver prefissato il rapporto ρ = s , assumendo la
A
–
–. c
tensione ammissibile ridotta σc = 0,70 ⋅ σ
c
Stabilita la base b, si ricava l’altezza h e si calcola l’area dell’armatura metallica As = ρ ⋅ Ac, che viene in genere distribuita
simmetricamente fra zona tesa e zona compressa.
Si determinano quindi gli estremi GX e GX⬘ del nocciolo d’inerzia per verificare la posizione del centro di pressione C.
Grande eccentricità
L’influenza del momento flettente è predominante rispetto
allo sforzo normale. In questo caso risulta rapida e semplice
l’applicazione del metodo approssimato di Wuckowski, in
base al quale si suppone che, oltre alla forza eccentrica N, agiscano in corrispondenza dell’armatura tesa due forze N1 ed N2
opposte, uguali fra loro e alla forza N. Il nuovo sistema di
forze è equivalente a quello dato e la sezione risulta soggetta
alla coppia N-N2 con momento M* = N ⋅ d⬙ e allo sforzo normale N1 che agisce nel baricentro dell’armatura tesa [fig. a].
Considerando il caso abbastanza comune di sezione con armatura simmetrica si procede come segue [fig. a]:
■ si fissano a priori le dimensioni b e h della sezione e si sta–;
bilisce la tensione σ
c
h
■ si calcola il momento M* = N⋅ d⬙, essendo d⬙ = e +
− d 0;
2
d
■ si ricava il coefficiente r =
;
M*
b
■ sulla tabella della flessione per semplice armatura (tabella 1,
del paragrafo 1.3.3), per un valore di r uguale o più vicino a
quello calcolato si leggono i valori di σc e del coefficiente s;
N
C
h/2
n
n
X’
d
h
xo
N1
N2
do
h/2
G
a rma t ura t e sa A’s
Fig. a
b
per la verifica del calcestruzzo, con approssimazione accet−;
tabile, deve essere σc ≤ σ
c
■ l’area dell’armatura tesa che deve assorbire lo sforzo di trazione dovuto a M* è data da:
M*
A*s = −
σs ⋅ 0,9 ⋅ d
■
l’effettiva area dell’armatura tesa risulta:
N
A⬘s = A*s − −
σs
N
dove − rappresenta l’area metallica che dovrebbe sopporσ
s
tare lo sforzo di compressione dovuto a N.
■ l’area dell’armatura compressa As in genere è uguale a
quella dell’armatura tesa A⬘.s
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1 Il calcestruzzo armato
1.5 Flessione semplice retta e sforzo normale
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1.5.3 Presso-flessione con grande eccentricità (e > GX ⴕ)
E S E R C I Z I S V O LT I
Progettare e verificare un pilastro in c.a. a sezione rettangolare con un lato di 300 mm, soggetto a un carico N = 900 kN
con eccentricità e = 60 mm.
Viene impiegato calcestruzzo classe C 20/25.
1
Momento d’inerzia baricentrico della sezione:
– 8,73
0
30
250
440
N
xo
146,67
3 16
Area della sezione omogeneizzata:
Ai = b ⋅ h + n ⋅ As = 300 × 500 + 15 × 1206,372 ≈
≈ 1680,96 × 102 mm2
30
X
250
G
e =60
154,80 95,20 95,20 154,80
500
yo
X’
C
2
1
h
⋅ b ⋅ h 3 + n ⋅ As ⋅ ⎛ − d⬘⎞ =
⎠
⎝2
12
2
1
500
− 30⎞ ≈
= × 300 × 5003 + 15 × 1206,372 × ⎛
⎠
⎝
12
2
6
4
≈ 4000,83 × 10 mm
Ii,x0 =
– 124,88/15
3 16
– 1,98
300
n
n
Estremi del nocciolo d’inerzia:
I
1
4000,83 × 106
1
GX = GX⬘ = i,x0 ⋅ =
×
≈
Ai yG 1680,96 × 102 250
≈ 95,20 mm > e = 60 mm
per cui la sezione è tutta compressa.
Tensione ammissibile del calcestruzzo:
σc = 6 +
Rck − 15
25 − 15
=6+
= 8,50 N/mm 2
4
4
−
− = 0,70 ⋅ σ
− = 0,70 × 8,50 = 5,95 N/mm2
σ
c
c
1. Progetto della sezione
L’eccentricità è limitata per cui, in prima approssimazione,
per il progetto si applica la formula della compressione semA
plice assumendo il rapporto ρ = s = 0,008:
Ac
N
900 × 103
=
=
σc ⋅ (1 + n ⋅ ρ) 5,95 × (1 + 15 × 0,008)
2. Verifica della sezione
Tensioni nel calcestruzzo:
N N ⋅ e ⋅ yG
σc = −
±
=
Ii,x0
Ai
=−
e sviluppando si ottiene: σc ≈ − 8,73 N/mm2 e σ⬘c ≈ − 1,98 N/mm2.
Tensione media nel calcestruzzo:
−
− 8,73 − 1,98
= − 5,355 N/mm2 < σ−c =
2
= − 5,95 N/mm2
σc,media =
Ac = −−
= 1350,54 × 102 mm2
A
1350,54 × 102
h= c =
= 450,18 mm ≈ 500 mm
b
300
As = ρ ⋅ Ac = 0,008 × (300 × 500) = 1200 mm2
Si adotta un’armatura simmetrica di 3 + 3 ∅ 16 con
As = 1206,372 mm2.
Essendo la sezione simmetrica si ha yG = y⬘G = 250 mm.
Vengono ora determinati i vertici del nocciolo d’inerzia sull’asse y0.
900 × 103
900 × 103 × 60 × 250
±
2
4000,83 × 106
1680,96 × 10
Posizione dell’asse neutro:
y=
σ⬘c ⋅ h
1,98 × 500
=
≈ 146,67 mm
σc − σ⬘c 8,73 − 1,98
Tensione massima nell’armatura compressa:
d⬘
⎞=
σs,max = − n ⋅ σc ⋅ ⎛ 1 −
⎝
y + h⎠
= − 15 × 8,73 × ⎛ 1 −
⎝
30
⎞≈
146,67 + 500 ⎠
≈ − 124,88 N/mm2
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1 Il calcestruzzo armato
1.5 Flessione semplice retta e sforzo normale
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1.5.3 Presso-flessione con grande eccentricità (e > GX ⴕ)
2
Un pilastro, con sezione rettangolare di 300 × 600 mm2, è soggetto al carico verticale N = 165 kN applicato con un’eccentricità e = 650 mm; verrà impiegato calcestruzzo classe C 25/30.
Calcolare l’armatura metallica e la tensione massima nel calcestruzzo.
N
C
yo
14
600
570
n
870
300
e = 600
3
n
xo
30
300
G
3
14
300
Calcolo del momento M * rispetto al baricentro delle armature tese:
d⬙ = e +
h
− d0 = 600 + 300 − 30 = 870 mm
2
M* = N ⋅ d ⬙ = 165 × 0,87 = 143,55 kN m
In funzione di M * viene calcolato il coefficiente r:
r=
d
M*
b
=
570
143,55 × 106
300
≈ 0,8240
Dalla tabella 1, del paragrafo 1.3.3, si ricava che il valore ottenuto è relativo a una tensione 9,5 N/mm2 < σc < 9,75 N/mm2
(σc ≈ 9,72 N/mm2) e quindi può essere accettato in relazione
alla classe del calcestruzzo.
L’armatura metallica destinata ad assorbire gli sforzi di trazione dovuti a M* risulta:
M*
143,55 × 106
=
≈ 995,82 mm2
A*s = −
σc ⋅ 0,9 ⋅ d 281 × 0,9 × 570
Mentre l’armatura sulla quale agisce solo lo sforzo normale di
compressione è:
N
165 × 103
≈ − 587,19 mm2
Acs = − − = −
σs
281
L’area effettiva dell’armatura metallica tesa, sovrapponendo
gli effetti, risulta:
A⬘s = A*s − Acs = 995,82 − 587,19 = 408,63 mm2
e viene realizzata con 3 ∅ 14 = 461,814 mm2.
L’armatura compressa si assume uguale a quella tesa.
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