Momento d’Inerzia e Conservazione Momento Angolare
1
Momento di inerzia di una massa puntiforme
Scopo
Lo scopo di questo esperimento e' la determinazione sperimentale del momento di
inerzia di una massa puntiforme e la verifica che questo valore corrisponde a quello che
si calcola.
Apparati richiesti:
Interfaccia per Science Workshop
Accessori per il mini-sistema rotazionale
Base ed asta di supporto
Graffette
Sensore di moto rotatorio
Set di masse e sistema di sospensione
Bilancia di precisione
Calibro
2
Teoria
2
Il momento di inerzia, I, di una massa puntuale è data da I  MR dove M è la massa,
R la distanza della massa dall’asse di rotazione. Siccome questo esperimento usa due
masse equidistanti dal centro di rotazione, il momento di inerzia totale sarà
I totale 
1
2
M totaleR 2
(1)
dove M totale  M 1  M 2 è la massa totale.
Per trovare il momento di inerzia sperimentalmente, un momento meccanico, , viene
applicato all’oggetto e una accelerazione angolare, , viene misurata. Come 
I=
Usando che
τ
α
(2)
(3)
dove r è la distanza tra il punto di applicazione della forza e il centro di rotazione e F è
la forza applicata. Il valore di r x F è r F sin ø dove ø è l’angolo tra la direzione r e la
direzione di F, la forza applicata. Il momento meccanico è massimo quando r e F sono
perpendicolari.
In questo caso la forza applicata è la tensione (T) a un filo attaccato alla puleggia. Il filo
viene tirato da una massa appesa m. Il valore di r è il raggio della puleggia. Il raggio è
perpendicolare alla forza applicata. (Tensione).
Quindi il momento meccanico è dato da:
τ = rT
(4)
Applicando la Seconda Legge di Newton per la massa appesa si trova:
τ = r ×F
∑F
= ma = mg − T
La soluzione per la tensione nel filo da:
T = m( g − a )
Il momento meccanico risulta:
τ = rT = rm ( g − a )
(5)
L’accelerazione lineare a della massa appesa è l’accelerazione, aT, del sistema rotante.
L’accelerazione angolare è correlata alla accelerazione tangenziale dall’espressione:
α =
aT
r
(6)
Momento d’Inerzia e Conservazione Momento Angolare
3
Sostituendo Eq. 5 e Eq. 6 in Eq. 2 si trova:
I=
τ
α
= rm ( g − a ) ÷
aT
r
= rm ( g − a )
r
aT
=
mgr
aT
2
− mr
2
= mr
2
 g
aT


− 1
(7)
Quindi il momento di inerzia, I, può essere calcolato dall’accelerazione tangenziale, aT.
Procedura
1) Attaccare una massa su entrambi i lati dell'asta in posizioni equidistanti dal centro.
La distanza dal centro a cui porre le masse e' a scelta.
2) Legare un estremo del filo al sistema porta pesi e l'altro ad uno dei tre livelli della
puleggia montata sul sensore di rotazione.
3) Montare l'asta sulla puleggia del sensore di moto rotatorio. Osservare accuratamente
l'orientamento della puleggia a tre livelli.
4) Montare il sensore di moto rotatorio sull'asta di supporto e connetterlo al computer.
Assicurarsi che l'asta di supporto non interferisca con la rotazione dell'asta con i pesi.
(vedi figura)
5) Montare la puleggia grande sul sensore di moto rotatorio.
6) Stendere il filo sulla puleggia grande in modo che il filo scorra nella gola e il sistema
porta pesi sia libero.
7) Aggiustare la posizione della puleggia grande in modo che il filo sia a livello con la
puleggia a tre livelli
Nota : Il morsetto di aggancio della puleggia grande deve essere sistemato ad un angolo
tale che il filo scorra tangenzialmente al punto dove lascia la puleggia a tre livelli ed
entri direttamente nella gola della puleggia grande.
Parte I : Calcolo teorico del momento di inerzia
1) Pesare le masse per trovare la massa totale
2) Misurare la distanza dall'asse di rotazione di ciascuna massa
Parte II : Misura del momento di inerzia
- Trovare l'accelerazione delle masse puntiformi e dell'apparato
1) Far partire Science Workshop
Raccolta dei dati
Ricordate: per dare inizio alla raccolta, potete, a vostra scelta:
· fare click sul tasto “REC”,
· selezionare “Record” dal menù Experiment,
· premere “ALT R”.
Per terminare la raccolta:
· fare click sul tasto “STOP”,
· selezionare “Stop” dal menù Experiment,
· premere “ALT .” .
2) Nella finestra "Set-up Experiment" selezionare e trasportare l'icona del jack sulla
prima delle due porte digitali consecutive a cui il sensore di moto rotatorio e' connesso
3) Selezionare il sensore di moto rotatorio nel menu dei sensori digitali
4
4) Assicurarsi che l'indicatore Divisioni/Rotazioni sia nella posizione 360 e selezionare
l'appropriata puleggia nel menu' a tendina per la calibrazione lineare.
5) Selezionare e trascinare il simbolo di grafico sull'icona del sensore di moto rotatorio
e quindi selezionare la grandezza fisica "velocità angolare" nella finestra associata
6) Mettere 50 g sul il sistema porta pesi e riavvolgere il filo. Premere "Registrazione".
7) Rilasciare la puleggia a tre-livelli, lasciando cadere la massa appesa. Premere "Stop"
per fermare la raccolta dei dati.
Osservazione : Premere "Stop" prima che la massa appesa raggiunga il pavimento o la
fine del filo per evitare dati spuri.
7) Nella finestra del display grafico selezionare l'indicatore delle analisi statistiche;
quindi selezionare il fit lineare nel menu' a tendina. La pendenza del fit lineare
rappresenta l'accelerazione angolare.
Misurare il raggio di rotazione
- Usando il calibro misurare il diametro della puleggia attorno a cui e' avvolto il filo e
calcolare il raggio.
Trovare l'accelerazione dell'apparato da solo
Nella rotazione l'apparato ruota e contribuisce al momento di inerzia. Per trovare il vero
momento di inerzia delle masse puntiformi, bisogna determinare l'accelerazione ed il
momento di inerzia dell'apparato da solo.
- Rimuovere le masse puntiformi dall'asta rotante e ripetere la procedura da 1) ad 8).
Potrebbe essere necessario diminuire la massa appesa per evitare che l'apparato ruoti
cosi' velocemente da non permettere al computer di raccogliere i dati.
Calcoli
Calcolare il valore sperimentale del momento di inerzia totale delle masse e
dell'apparato
Calcolare il valore sperimentale del momento di inerzia dell'apparato da solo
Sottrarre il momento di inerzia dell'apparato da quello totale.
Calcolare il valore aspettato del momento di inerzia
Confrontare i due valori
Momento d’Inerzia e Conservazione Momento Angolare
5
Momento di inerzia di un disco e di un anello
Scopo
Lo scopo di questo esperimento e' la determinazione sperimentale del momento di
inerzia di un anello ed un disco e la verifica che questo valore corrisponda a quello che
si calcola.
Teoria
Il momento di inerzia di un anello è dato da
1
I  2 M ( R12  R22 )
dove M è la massa dell’anello, R1 è il raggio interno e R2 è il raggio esterno dell’anello.
Il momento di inerzia di un disco è dato da
1
I  2 MR 2
dove M è la massa del disco e R è il raggio esterno del disco.
Per trovare il momento di inerzia sperimentalmente si usano gli stessi ragionamenti fatti
prima dall’equazione (2) fino alla equazione (7).
Apparati richiesti :
Interfaccia per Science Workshop
Accessori per il mini-sistema rotazionale
Base ed asta di supporto
Graffette
Sensore di moto rotatorio
Set di masse e sistema di sospensione
Bilancia di precisione
Calibro
6
Procedura
1) Montare il sensore di moto rotatorio sull'asta di supporto e connetterlo all'interfaccia
2) Montare la puleggia grande sul sensore di moto rotatorio
3) Legare un estremo del filo al sistema porta pesi e l'altro ad uno dei tre livelli della
puleggia montata sul sensore di rotazione.
4) Stendere il filo sulla puleggia grande in modo che il filo scorra nella gola e il sistema
di sospensione sia libero.
Note : Il morsetto di aggancio della puleggia grande deve essere sistemato ad un angolo
tale che il filo scorra tangenzialmente al punto dove lascia la puleggia a tre livelli ed
entri direttamente nella gola della puleggia grande.
5) Mettere il disco direttamente sulla puleggia come mostrato in figura
6) Mettere l'anello sul disco inserendo i piedini dell'anello nei fori del disco come
mostrato in figura
Parte I : Calcolo teorico del momento di inerzia
1) Pesare il disco e l'anello per trovare le loro masse
2) Misurare i diametri interno ed esterno dell'anello e calcolare i raggi
3) Misurare il diametro del disco e calcolare il raggio
Parte II Misura del momento di inerzia
- Trovare l'accelerazione delle masse puntiformi e dell'apparato
1) Far partire Science Workshop
2) Nella finestra "Set-up Experiment" selezionare e trasportare l'icona del jack sulla
prima delle due porte digitali consecutive in cui il sensore di moto rotatorio e' connesso
3) Selezionare il sensore di moto rotatorio nel menu dei sensori digitali
4) Assicurarsi che l'indicatore Divisioni/Rotazioni sia nella posizione 360 e selezionare
l'appropriata puleggia nel menu' a tendina per la calibrazione lineare.
5) Selezionare e trascinare il simbolo di grafico sull'icona del sensore di moto rotatorio
e quindi selezionare la grandezza fisica "velocità angolare" nella finestra associata
6) Mettere 50 g sul il sistema di sospensione e riavvolgere il filo. Premere
"Registrazione"
7) Rilasciare la puleggia a tre-livelli, lasciando cadere la massa appesa. Premere "Stop"
per fermare la raccolta dei dati
Osservazione : Premere "Stop" prima che la massa appesa raggiunga il pavimento o la
fine del filo per evitare dati spuri
8) Nella finestra del display grafico selezionare l'indicatore della analisi statistiche;
quindi selezionare il fit lineare nel menu' a tendina. La pendenza del fit lineare
rappresenta l'accelerazione angolare.
Misurare il raggio di rotazione
- Usando il calibro misurare il diametro della puleggia attorno a cui e' avvolto il filo e
calcolare il raggio.
Trovare l'accelerazione dell'apparato da solo
Poiché nella rotazione sia il disco che l'anello ruotano insieme e' necessario determinare
l'accelerazione ed il momento di inerzia del disco da solo cosicché il suo momento di
inerzia possa essere sottratto dal totale per trovare il momento di inerzia dell'anello.
– Rimuovere il disco dall'apparato e ripetere la procedura da 1) ad 8).
Momento d’Inerzia e Conservazione Momento Angolare
7
Calcoli
Calcolare il valore sperimentale del momento di inerzia totale del disco e dell'anello.
Calcolare il valore sperimentale del momento di inerzia del disco da solo.
Sottrarre il momento di inerzia del disco da quello totale. Questo e' il momento d'inerza
dell'anello.
Calcolare il valore aspettato dei momenti di inerzia in base ai raggi ed alla massa.
Confrontare i valori
Conservazione Momento Angolare
Scopo
Un anello e' fatto cadere su un disco rotante e la velocita' angolare finale del sistema e'
confrontata con il valore predetto usando la conservazione del momento angolare.
Apparati richiesti :
Interfaccia per Science Workshop
Accessori per il mini-sistema rotazionale
Base ed asta di supporto
Graffette
Sensore di moto rotatorio
Set di masse e sistema di sospensione
Bilancia di precisione
Calibro
Procedura
1) Montare il sensore di moto rotatorio sull'asta di supporto e connetterlo all'interfaccia.
Montare il disco direttamente sulla puleggia.
2) Far partire Science Workshop
3) Nella finestra "Set-up Experiment" selezionare e trasportare l'icona del jack sulla
prima delle due porte digitali consecutive in cui il sensore di moto rotatorio e' connesso
4) Selezionare il sensore di moto rotatorio nel menu dei sensori digitali
5) Assicurarsi che l'indicatore Divisioni/Rotazioni sia nella posizione 360 e selezionare
l'appropriata puleggia nel menu' a tendina per la calibrazione lineare.
6) Selezionare e trascinare il simbolo di grafico sull'icona del sensore di moto rotatorio
e quindi selezionare la grandezza fisica "velocità angolare" nella finestra associata
7) Mantenere l'anello con i piedini rivolti verso l’alto sopra il centro del disco. Mettere
in rotazione il disco con le mani e far partire la registrazione premendo il pulsante
"Registrazione" sul computer. Dopo un'acquisizione di circa 25 punti lasciare cadere
l'anello sul disco rotante come in figura
8) Premere il pulsante "STOP" per terminare la raccolta dei dati
9) Selezionare il cursore appropriato (
) e muoverlo sui dati immediatamente
precedenti alla collisione. Registrare la velocità angolare in questo punto su una tabella.
Muovere poi il cursore sui dati immediatamente dopo la collisione. Registrare la
velocità angolare in questo punto nella tabella.
10) Pesare il disco e l'anello e misurare i raggi.
Calcoli
Calcolare il valore aspettato per la velocità angolare finale.
Calcolare la differenza percentuale tra il valore sperimentale e quello teorico della
velocità angolare.