ANALISI DINAMICA CON IL MEF
Principali tipi di analisi
• analisi modale
• analisi della risposta armonica
• analisi di transitorio dinamico
ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/1
Accelerazione
k
i
Contributo inerzia
ρ {v&&}
{ } {P }+ L + L
Lest = δU
e T
e
i
Contributo smorzamento
dLi = −{δv} ρ {v&&}dV
&&y
ρ
v
j
s
y
x
T
{ } [N ] ρ [N ]{U&& }dV =
Li = − ∫ {δv} ρ {v&&}dV = − ∫ δU
T
V
e T
V
{ } ∫ [N ] ρ [N ]dV {U&& }
= − δU
e T
T
V
e
T
e
ρv&&x
ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/2
Smorzamento
k
i
Contributo inerzia
c{v&}
{ } {P }+ L + L
Lest = δU
e T
e
i
s
Contributo smorzamento
dLs = −{δv} c{v&}dV
y
&
c
v
y
j
x
T
{ } [N ] ρ [N ]{U& }dV =
Ls = − ∫ {δv} ρ {v&}dV = − ∫ δU
T
V
e T
V
{ } ∫ [N ] ρ [N ]dV {U& }
= − δU
e T
T
V
e
T
e
cv&x
ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/3
⎛ e
⎞
T
T
e
e
&
&
&
⎜ P − ∫ [N ] c[N ]dV U − ∫ [N ] ρ [N ]dV U ⎟ =
⎜
⎟
V
V
⎝
⎠
{δU } { }
e T
{ }
{ }
{ } ∫ [B] [D][B]dV {U }
= δU
e T
T
e
V
[M ]{U&& }+ [C ] {U& }+ [K ] {U }= {P }
e
∫ [N ] ρ [N ]dV
T
V
e
e
e
e
e
T
[
]
N
∫ c[N ]dV
V
[M ]{U&&}+ [C ] {U& }+ [K ] {U } = {F }
e
ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/4
Equazione di equilibrio dinamico
[M ]{U&&}+ [C ]{U& }+ [K ]{U } = {F (t )}
Accelerazioni nodali
Spostamenti nodali
Velocità nodali
Matrice di massa
Matrice di rigidezza
Matrice di smorzamento
Forze esterne
FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/1
[M ] = ∫ [N ] ρ [N ]dV
Elemento
triangolare
piano
0 ⎤
N11 ⎥⎥
0 ⎥ ⎡ N11
⎥ρ ⎢
N13 ⎥ ⎣ 0
0 ⎥
⎥
N15 ⎦⎥
⎡ N11
⎢ 0
⎢
⎢ N13
T
N
N
dV
ρ
[
]
[
]
=
∫
∫⎢ 0
⎢
⎢ N15
⎢
⎣⎢ 0
⎡ N112 dV
⎢ ∫
0
⎢
⎢
N11 N13 dV
∫
⎢
= ρ⎢
0
⎢
⎢ ∫ N11 N15 dV
⎢
0
⎢⎣
0
2
N
11
∫ dV
0
∫N
11
N13dV
0
∫N
11
N15 dV
∫N
T
e
Matrice di massa “consistent”:
11
• simmetrica
• sostanzialmente piena
0
N13
0
N15
N11
0
N13
0
0
2
N
∫ 13dV
0
∫ N13 N15dV
0
∫N
0
N13 dV
∫N
11
∫N
2
13
dV
N15 dV
N15 dV
0
∫N
0
13
11
N13 dV
0
∫N
0 ⎤
dV =
⎥
N15 ⎦
13
N15 dV
0
2
N
15
∫ dV
0
⎤
⎥
∫ N11 N15dV ⎥⎥
0
⎥
∫ N13 N15dV ⎥⎥
⎥
0
⎥
2
N
dV
∫ 15 ⎥⎦
0
FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/2
Matrice di massa “lumped”: la massa viene concentrata nei nodi in qualche modo
fisicamente accettabile (di solito ovvio per gli elementi con nodi nei vertici, meno
ovvio per quelli con nodi intermedi), in modo che risulti: ∑ M j = ρdV
∫
j
m/3
m/4
m/4
m/3
m/4
m/3
• la struttura della matrice di
massa è diagonale
m/4
⎡X
⎢0
⎢
⎢0
[M ] = ⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
0
X
0
0
0
0
0
X
0
0
0
0
0
X
0
0
0
0
0
X
0
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
0⎥
0⎥
⎥
X ⎥⎦
FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/3
10
Errore percentuale
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5
Consistent
Lumped
-10
-15
-20
Trave appoggiata, 10 elementi
Modo proprio
• La formulazione “consistente” produce errori minori in valore assoluto
• Le matrici “consistente” e “lumped” tendono a produrre rispettivamente
una sovrastima ed una sottostima delle pulsazioni proprie
• La struttura diagonale può risultare molto vantaggiosa in alcune soluzioni
iterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversione
OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. NON SMORZATO
m&x& + kx = 0
Sistema ad 1 g.d.l.
x(t ) = A sin (ωt )
x& (t ) = Aω cos(ωt )
k
&x&(t ) = − Aω 2 sin (ωt )
m
x
− Amω 2 sin(ωt ) + kA sin(ωt ) = 0
(
)
A k − mω 2 = 0
A ≠ 0 → ω = ωn =
k
m
OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. NON SMORZATO
Sistema ad 1 g.d.l.
k
m
x
E = cost → mω 2 = k
ω = ωn =
k
m
1
Ec = m ⋅ x& 2
2
1
E p = k ⋅ x2
2
x& (t ) = Aω cos(ωt )
x(t ) = A sin (ωt )
1
1
2
E = Ec + E p = m ⋅ x& + k ⋅ x 2 =
2
2
1
1
2
2
= m ⋅ ( Aω cos(ωt ) ) + k ⋅ ( A sin(ωt ) ) =
2
2
1
1
2 2
2
= m ⋅ A ω cos (ωt ) + k ⋅ A2 sin 2 (ωt ) =
2
2
(
1 2
= A ⋅ mω 2 cos 2 (ωt ) + k sin 2 (ωt )
2
)
OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. SMORZATO
m&x& + cx& + kx = 0
Sistema ad 1 g.d.l.
x(t ) = A1 ⋅ e a1t + A2 ⋅ e a2t
c
k
a + a+ =0
m
m
c2
k
Δ = 2 − 4 = 0 → c = ccr = 2 km
m
m
2
k
c
m
x
c > ccr
→ Δ>0
a1 , a2 reali
c < ccr
→ Δ<0
a1 , a2 complesse coniugate
20
10
x( t )
x( t )
0
0
0.5
t
1
0
0
5
t
10
OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. SMORZATO
Sistema ad 1 g.d.l.
c < ccr
→ Δ<0
a1 , a2 complesse coniugate
20
k
c
x( t )
0
0
m
x
5
10
t
c
ξ=
ccr
x(t ) = e −ξωnt ( A cos(ω s t ) + B sin(ω s t ) )
ω s = ωn 1 − ξ 2
ANALISI MODALE/2
Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative
forme modali.
Analizza le oscillazioni libere della struttura, in assenza dei carichi esterni
Effetto dello smorzamento solitamente molto piccolo
[M ]{U&&}+ [C ]{U& }+ [K ]{U } = {F (t )}
[M ]{U&&}+ [K ]{U } = 0
k
c
ωn =
k
m
ωs = ωn 1 − ξ 2
m
Per ξ = 0.1 (10%) si ha ω s = 0.995 ⋅ ωn
x
ANALISI MODALE/3
Calcolo delle pulsazioni proprie
[M ]{U&&}+ [K ]{U } = 0
{U } = {φ }sin (ω ⋅ t )
{U& }= ω{φ }cos(ω ⋅ t )
{U&&}= −ω {φ }sin (ω ⋅ t )
2
− ω [M ]{φ }sin (ω ⋅ t ) + [K ]{φ }sin (ω ⋅ t ) = 0
2
ANALISI MODALE/4
Calcolo delle pulsazioni proprie
− ω 2 [M ]{φ }sin (ω ⋅ t ) + [K ]{φ }sin (ω ⋅ t ) = 0
([K ] − ω [M ]){φ } = 0
2
Sistema lineare omogeneo nelle incognite
{φ }
⎧≠ 0 1 soluzione {φ } = 0
det [K ] − ω [M ] ⎨
⎩= 0 ∞ soluzioni
(
2
)
ANALISI MODALE/5
([K ] − ω [M ]){φ } = 0
det ([K ] − ω [M ]) = 0
2
2
(ω )
2 n
( )
+ a1 ⋅ ω
2 n −1
( )
+ a2 ⋅ ω
2 n−2
+ ... + an −1 ⋅ ω 2 + an = 0
Radici
ω1 ≤ ω2 ≤ ω3 ... ≤ ωi ≤ ... ≤ ωn
{φ1} {φ2 } {φ3 }... {φi } ... {φn }
Forme modali
ANALISI MODALE/6
([K ] − ω [M ]){φ } = 0
2
i
n-1 equazioni indipendenti
∞1
⎧ϕi1 ⎫
⎪ϕ ⎪
⎪⎪ i 2 ⎪⎪
{φi } = ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩ϕin ⎪⎭
n incognite
soluzioni
Le componenti della forma modale sono note a
meno di una costante
Rappresentano solo la forma della deformata,
non i valori effettivi degli spostamenti
Normalizzazioni tipiche
⎧max ϕij = 1
⎪
⎨
⎪{φ }T [M ]{φ } = 1
i
⎩ i
ANALISI MODALE/7
∞
Struttura reale
(continuo)
Modello ad EF
(discretizzato)
pulsazioni proprie
n gradi di libertà
n pulsazioni proprie
Relazione ?
ANALISI MODALE/8
Tipico andamento spaziale delle Forme modali
Trave appoggiata, 10 elementi
9°5°
modo
2°modo
1° modo
1 solo elemento: rappresentazione poco
accurata del campo di velocità ed
accelerazione
ANALISI MODALE/9
Trave appoggiata, 10 elementi
9.00E+00
8.00E+00
Modi calcolati in modo
accurato ≈ n° g.d.l./2
7.00E+00
Errore percentuale
6.00E+00
5.00E+00
4.00E+00
3.00E+00
2.00E+00
1.00E+00
0.00E+00
1
2
3
4
5
-1.00E+00
Modo proprio
6
7
8
9
SIMMETRIA STRUTTURALE/1
Se si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello,si
otterranno solo i modi propri le cui forme modali rispettano la stessa simmetria.
SIMMETRIA STRUTTURALE/2
Se si utilizza l’assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma
assialsimmetrica
Modello con
elementi piani
assialsimmetrici
5m
φ=0.5 m
s=0.01 m
1° modo proprio
Deformata assiale
f = 260 Hz
SIMMETRIA STRUTTURALE/3
Se si utilizza l’assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma
assialsimmetrica
Modello con
elementi trave
5m
φ=0.5 m
s=0.01 m
1° modo proprio
Deformata flessionale
f = 20 Hz
UNITÀ DI MISURA/1
È preferibile usare il sistema m.k.s
kg ⋅ m 1
⋅
=
2
s ⋅ m kg
1 1
=
2
s
s
k
ω=
m
kg ⋅ m 1
1000 1
3
⋅
=
=
10
s 2 ⋅ mm kg
s2
s
k
ω=
m
N kg ⋅ m
= 2
m s ⋅m
kg
N
kg ⋅ m
= 2
mm s ⋅ mm
kg
ANALISI RIDOTTA/1
Nell’analisi ridotta, lo stato di spostamento, velocità ed accelerazione della
struttura viene espresso in termini di un sottoinsieme dei nodi (Nodi “Master”).
Gli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi “Slave”) sono quindi calcolati a partire
da quelli dei nodi Master.
L’analisi ridotta può essere applicata anche in capo statico, per ridurre l’onere
computazionale dell’analisi.
⎧{U M }⎫
{U } = ⎨
⎬
⎩ {U S }⎭
g.d.l. “Master”
g.d.l. “Slave”
[K ]{U } = {F }
⎡[K MM ]
⎢ [K ]
⎣ SM
[K MS ]⎤ ⎧{U M }⎫ ⎧{FM }⎫
⎨
⎬=⎨
⎥
[K SS ]⎦ ⎩ {U S }⎭ ⎩ {FS }⎬⎭
⎧{FM }⎫
{F } = ⎨ ⎬
⎩ {FS }⎭
ANALISI RIDOTTA/2
⎧[K MM ]{U M }+ [K MS ]{U S } = {FM }
⎨
⎩[K SM ]{U M }+ [K SS ]{U S } = {FS }
{U S } = [K SS ]−1 ({FS }− [K SM ]{U M })
[K MM ]{U M }+ [K MS ][K SS ]−1 ({FS }− [K SM ]{U M }) = {FM }
([K
−1
−1
)
{
}
{
}
{FS }
]
[
][
]
[
]
[
][
]
−
K
K
K
U
=
F
−
K
K
MM
MS
SS
SM
M
M
MS
SS
[]
{}
Kˆ {U M } = Fˆ
[ ] {Fˆ }
{U M } = Kˆ
−1
ANALISI RIDOTTA/3
Introducendo la suddivisione tra “Master” e “Slave” nell’equazione di
equilibrio dinamico si ottiene:
⎡[M MM ] [M MS ]⎤ ⎧{U&&M }⎫ ⎡[CMM ] [CMS ]⎤ ⎧{U& M }⎫
⎢ [M ] [M ]⎥ ⎨ && ⎬ + ⎢ [C ] [C ]⎥ ⎨ & ⎬ +
SS ⎦ ⎩ {U S }⎭
SS ⎦ ⎩ {U S }⎭
⎣ SM
⎣ SM
⎡[K MM ] [K MS ]⎤ ⎧{U M }⎫ ⎧{FM }⎫
+⎢
⎨
⎬=⎨
⎬
⎥
{
}
{
}
[
]
[
]
K
K
U
F
SS ⎦ ⎩
S ⎭
⎣ SM
⎩ S ⎭
La riduzione delle matrici di massa e smorzamento ai soli g.d.l. “Master”
non può essere fatta in modo esatto, come per la matrice di rigidezza.
Si usa pertanto una formula di riduzione semplificata ed approssimata
proposta da Guyan (”Guyan reduction”)
ANALISI RIDOTTA/4
Si ottiene in tal modo:
[Mˆ ]{U&& }+ [Cˆ ]{U& }+ [Kˆ ]{U
M
M
M
} = {Fˆ }
[Mˆ ] = [M
−1
−1
]
[
][
]
[
]
[
][
]
[K SM ] +
−
K
K
M
−
M
K
MM
MS
SS
SM
MS
SS
−1
−1
+ [K MS ][K SS ] [M SS ][K SS ] [K SM ]
[Cˆ ] = [C
−1
−1
]
[
][
]
[
]
[
][
]
[K SM ] +
−
K
K
C
−
C
K
MM
MS
SS
SM
MS
SS
−1
−1
+ [K MS ][K SS ] [CSS ][K SS ] [K SM ]
ANALISI RIDOTTA/5
Criteri di selezione dei g.d.l. “Master” (MDOF):
• i MDOF devono essere in numero almeno doppio dei modi da estrarre
• scegliere i MDOF nelle direzioni in cui si vuole analizzare le vibrazioni
della struttura
• scegliere i MDOF in punti della struttura caratterizzati da bassa rigidezza
e/o elevata massa
• scelta automatica: si basa sul rapporto:
Qi =
kii
mii
Verifica qualità analisi:
• la massa ridotta deve differire da quella totale per non più del 10-15%
• studio di convergenza al variare del numero di MDOF
ANALISI RIDOTTA/6
Principali algoritmi di estrazione di autovalori ed autovettori (ANSYS) :
Algoritmo
N° modi N° g.d.l. Velocità RAM
modello
Hard
disk
Note
Block
Lanczos
Elevato
Elevato
Elevata
Media
Bassa
Shell o shell+solid.
Elementi distorti
Subspace Basso
iteration
Elevato
Media
Bassa
Elevata
Elementi non
distorti
Power
Basso
Dynamics
Elevato
Elevata
Elevata
Bassa
Richiede mesh fini
Reduced Tutti
(Househo
lder)
Mediopiccolo
Elevata
Bassa
Bassa
Usa MDOF
ANALISI RIDOTTA/7
Potenziali applicazioni dell’analisi ridotta:
• riduzione degli oneri computazionali dell’analisi
• riduzione del numero di g.d.l. attivi nell’analisi modale, rispetto a quella
statica, pur utilizzando un unico modello
• in modelli semplici, separazione dell’effetto dei diversi g.d.l. nodali (es. in
una trave si possono analizzare separatamente i modi flessionali,
estensionali, etc.)
COMANDI ANSYS/1
ANALISI NON RIDOTTA
/SOLU
ANTYPE, MODAL
Definisce il tipo di analisi richiesta
MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey
- LANB
- SUBSP
- …..
Block-Lanczos (Default)
Subspace
Frequenza iniziale e
finale per la ricerca dei
modi
N° modi da estrarre
(per SUBSP, al massimo n° g.d.l./2)
Per Power Dynamics:
•MODOPT,SUBSP
•EQSLV,PCG
• OFF: forme modali
normalizzate su [M]
• ON: forme modali
normalizzate al valore 1
COMANDI ANSYS/2
ANALISI RIDOTTA
LUMPM, OPZ
Attiva la matrice di massa “Lumped”
OFF: matrice “consistent” (default)
ON: matrice “lumped” (deafult per “Power Dynamics”)
/POST1
SET,LIST
SET,1,n
PLDISP, PRDISP
Gli “n” modi richiesti compaiono come “n” substep del
Load step 1
Carica il modo “n”
Rappresentano la deformata
COMANDI ANSYS/3
ANALISI RIDOTTA
/SOLU
ANTYPE, MODAL
Definisce il tipo di analisi richiesta
MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey
M, Node, Lab1, …
SOLVE
Nodo in cui mettere il MDOF
g.d.l. da usare come MDOF:
-UX, UY, UZ
-ROTX, ROTY, ROTZ
-ALL
COMANDI ANSYS/4
ANALISI RIDOTTA
FINISH
/SOLU
EXPASS,ON
Esce dalla soluzione
Rientra nella soluzione per il passo di “espansione”
Attiva il passo di espansione
MXPAND, NMODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF
SOLVE
N° di modi da estrarre
(al massimo, tutti quelli indicati in MODOPT)
Frequenza iniziale e
finale per la ricerca dei
modi
OFF: non calcola i risultati completi per gli elementi (default)
ON: calcola i risultati completi per gli elementi
OSCILLAZIONE FORZATA SISTEMA 1 G.D.L.
m&x& + cx& + kx = F0 cos(Ωt )
Sistema ad 1 g.d.l.
x(t ) = X ⋅ cos(Ωt − ϕ ) + e −ξωnt A sin (ω s t + φ )
c
m
x
x(t ) ≅ X ⋅ cos(Ωt − ϕ )
k
X=
F0
K
F(t)=F0cos(Ωt)
ωn =
1
2
⎛ Ω2 ⎞ ⎛
Ω⎞
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2ξ
⎟⎟
⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠
k
m
2
per t > ttrans
⎛ Ω
⎜ ξ
ωn
ϕ = arctan⎜⎜
Ω2
⎜⎜ 1 − 2
⎝ ωn
ωs = ωn 1 − ξ 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
OSCILLAZIONE FORZATA SISTEMA 1 G.D.L.
Sistema ad 1 gdl
F0
K
1
2
⎛ Ω2 ⎞ ⎛
Ω⎞
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2ξ
⎟⎟
ω
ω
n ⎠
n ⎠
⎝
⎝
Ampiezza oscillazione [m]
X=
2
0.01
0.05
0.1
ξ
0.1
0.05
90
0
80
Angolo di fase [°]
70
5
10
15
20
Pulsazione forzante [1/s]
60
50
⎛ Ω
⎜ ξ
ωn
ϕ = arctan⎜⎜
Ω2
⎜⎜ 1 − 2
⎝ ωn
40
30
20
0.01
0.05
0.1
ξ
10
0
0
Sistema ad 1 gdl
0
5
10
15
20
Pulsazione forzante [1/s]
25
30
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
25
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di una forzante
esterna di tipo sinusoidale ed ampiezza costante nel tempo.
F0(t)=A0 cos(Ωt)
F1(t)=A1 cos(Ωt+Φ)
Su di una struttura, la “forzante” è in generale costituita da una o più forze
esterne, aventi tutte la stessa pulsazione, ma ampiezza e fase distinte.
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
Se si applica la forzante a partire dall’istante t=0, con la struttura inizialmente
a riposo, la risposta mostra un transitorio iniziale, che si esaurisce dopo un
certo tempo, dopodiché la struttura oscilla con ampiezza costante.
20
Forza applicata
10
Forsa [N]
F(t)=F0 cos(Ωt)
0
5
10
15
20
25
30
10
δ
20
0.06
Oscillazione di un sistema con partenza
a riposo a t=0
Spostamento [m]
0.04
0.02
0
5
10
15
20
25
30
0.02
0.04
Transitorio
Analisi risposta armonica
Tempo [s]
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
Ipotesi: comportamento lineare della struttura ([M], [C] e [K] costanti)
I vari g.d.l. della struttura vibrano con una legge del moto avente:
• andamento nel tempo di tipo sinusoidale
• pulsazione uguale a quella della forzante
• ampiezza e fase variabili da punto a punto
10
x1
Forza (kN)
x3
x2
0
2
4
6
8
10
12
10
tempo (s)
Spostamento (mm)
10
x1
x2
x3
0
2
4
6
10
tempo (s)
8
10
12
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
[M ]{U&&}+ [C ]{U& }+ [K ]{U } = {F (t )}
⎧ f1max ⋅ cos(Ωt + ψ 1 ) ⎫ ⎧ f1max ⋅ eiψ 1 ⋅ eiΩt ⎫
⎪ ⎪
⎪f
iψ 2
iΩt ⎪
(
)
cos
t
ψ
⋅
Ω
+
⋅
⋅
f
e
e
2 ⎪
⎪ 2 max
⎪ 2 max
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
−
−
⎪ ⎪
⎪
⎪
{F (t )} = ⎨
−
−
⎬=⎨
⎬ = {f max ⋅ e iψ }e iΩt
iψ j
⎪ ⎪
⎪f
iΩt ⎪
⋅
⋅
f
e
e
j max ⋅ cos(Ωt + ψ j )
⎪ ⎪ j max
⎪
⎪
−
⎪ ⎪
⎪
⎪
−
⎪ ⎪
⎪
⎪
−
−
⎭ ⎩
⎩
⎭
{F (t )} = {f max ⋅ eiψ }eiΩt = { f max (cos(ψ ) + i ⋅ sin(ψ ) )}eiΩt
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA
{U (t )} = {umax ⋅ eiϕ }eiΩt = {umax (cos(ϕ ) + i ⋅ sin(ϕ ) )}eiΩt
{U& (t )}= iΩ{u
{U&&(t )}= −Ω {u
}
iϕ
iΩt
⋅
e
e
max
2
{F (t )} = {f max ⋅ eiψ }eiΩt
}
iϕ
iΩt
⋅
e
e
max
[M ]{U&&}+ [C ]{U& }+ [K ]{U } = {F (t )}
{
}
{
}
{
}
{
}
− Ω 2 [M ] umax e iϕ eiΩt + iΩ[C ] umax e iϕ eiΩt + [K ] umax e iϕ eiΩt = f max eiψ eiΩt
(([K ] − Ω [M ]) + iΩ[C ]){u
2
} {
iϕ
iψ
e
=
f
e
max
max
}
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MD
Principali tecniche di soluzione:
• Metodo diretto
• Metodo di sovrapposizione modale
Soluzione: metodo diretto (MD)
(([K ] − Ω [M ]) + iΩ[C ]){u
2
} {
iϕ
iψ
e
=
f
e
max
max
[K c ]{umax eiϕ } = {f max eiψ }
{u
}
iϕ
e
= [K c ]
max
−1
{f
iψ
e
max
}
}
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)
Proprietà modi propri
{Φ}j
• i modi propri sono ortogonali rispetto alle
matrici [M] e [K]
• i modi propri costituiscono una base di
vettori linearmente indipendenti
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
{U& (t )}= ∑ {Φ} Y& (t )
nMP
j =1
j
j
{U&&(t )} = ∑ {Φ} Y&& (t )
nMP
j =1
j
j
⎧= 0 se j ≠ k
{Φ} [M ]{Φ}j ⎨
⎩≠ 0 se j = k
T
k
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{U&&(t )} = ∑ {Φ}j Y&&j (t )
∞
j =1
{U& (t )}= ∑ {Φ}j Y&j (t )
∞
∞
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
j =1
[M ]{U&&}+ [C ]{U& }+ [K ]{U } = {F (t )}
[M ]∑ {Φ}j Y&&j + [C ]∑ {Φ}j Y&j + [K ]∑ {Φ}j Y j = {F (t )}
j
j
j
⎛
⎞
T
&
&
&
⎜
⎟
{Φ} ⎜ [M ]∑ {Φ}j Y j + [C ]∑ {Φ}j Y j + [K ]∑ {Φ}j Y j ⎟ = {Φ}k {F (t )}
j
j
j
⎝
⎠
T
k
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
⎛
⎞
&
&
&
{Φ} ⎜⎜ [M ]∑ {Φ}j Y j + [C ]∑ {Φ}j Y j + [K ]∑ {Φ}j Y j ⎟⎟ = {Φ}Tk {F (t )}
j
j
j
⎠
⎝
T
k
= 0 se j ≠ k
⎩≠ 0 se j = k
= 0 se j ≠ k
⎩≠ 0 se j = k
{Φ}Tk [M ]{Φ}j ⎧⎨
{Φ}Tk [K ]{Φ}j ⎧⎨
{Φ}Tk [M ]{Φ}k Y&&k + {Φ}Tk [C ]∑ {Φ}j Y&j + {Φ}Tk [K ]{Φ}k Yk = {Φ}Tk {F (t )}
j
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
T
T
T
&
&
&
{Φ} [M ]{Φ}k Yk + {Φ}k [C ]∑ {Φ}j Y j + {Φ}k [K ]{Φ}k Yk = {Φ}k {F (t )}
T
k
j
Ipotesi aggiuntiva: smorzamento proporzionale (di Rayleigh) o costante
[C ] = α [M ] + β [K ] + δ [I ]
{Φ}Tk [C ]{Φ}j ⎧⎨
= 0 se j ≠ k
⎩≠ 0 se j = k
La matrice di smorzamento deve avere
anch’essa una forma che garantisca la
normalità rispetto ad essa delle forme
modali.
Non sono ammessi, ad esempio,
smorzatori “localizzati”.
{Φ}Tk [M ]{Φ}k Y&&k + {Φ}Tk [C ]{Φ}k Y&k + {Φ}Tk [K ]{Φ}k Yk = {Φ}Tk {F (t )}
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
{Φ}Tk [M ]{Φ}k Y&&k + {Φ}Tk [C ]{Φ}k Y&k + {Φ}Tk [K ]{Φ}k Yk = {Φ}Tk {F (t )}
Normalizzazione
{Φ}Tk [M ]{Φ}k = 1
{Φ}Tk [M ]{Φ}k Y&&k = Y&&k
([K ] − ω [M ]){Φ}
2
k
k
=0
{Φ}Tk ([K ] − ωk2 [M ]){Φ}k = 0
{Φ}Tk [K ]{Φ}k − ωk2 {Φ}Tk [M ]{Φ}k = 0
{Φ}Tk [K ]{Φ}k Yk = ωk2Yk
T
T
2
&
&
&
Yk + {Φ}k [C ]{Φ}k Yk + ωk Yk = {Φ}k {F (t )}
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
T
T
Y&&k + {Φ}k [C ]{Φ}k Y&k + ωk2Yk = {Φ}k {F (t )}
{Φ}Tk [C ]{Φ}k = {Φ}Tk (α [M ] + β [K ] + δ [I ]){Φ}k =
= α {Φ}k [M ]{Φ}k + β {Φ}k [K ]{Φ}k + δ {Φ}k [I ]{Φ}k = α + βω k2 + δ1 (ωk )
T
Sistema 1 gdl:
T
T
m&x& + cx& + kx = F0 cos(Ωt )
F0
c
k
2
&x& + x& + x = &x& + 2ξωn x& + ωn x = cos(Ωt )
m
m
m
{Φ} [C ]{Φ}k = 2ξ kωk
T
k
δ1 (ωk )
α
ξk =
+ βω k +
ωk
ωk
T
Y&&k + 2ξ k ωk Y&k + ωk2Yk = {Φ}k {F (t )}
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
T
Y&&k + 2ξ k ωk Y&k + ωk2Yk = {Φ}k {F (t )} = f k
(
)
f k = f k ,max e iψ k eiΩt = f kc eiΩt
Yk = Ykc e iΩt
Y&k = iΩYkc eiΩt
Y&& = −Ω 2Y e iΩt
k
kc
− Ω 2Ykc e iΩt + 2ξ k ωk iΩYkc e iΩt + ωk2Ykc e iΩt = f kc eiΩt
(ω
2
k
)
− Ω 2 + 2iξ k ωk Ω Ykc = f kc
f kc
Ykc = 2
ωk − Ω 2 + 2iξ k ωk Ω
(
)
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM
f kc
=
Ykc = 2
2
ωk − Ω + 2iξ k ωk Ω
(
)
f kc
=
ωk2
⎛ Ω
⎜⎜1 − 2
⎝ ωk
2
2
⎞ ⎛
Ω⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ 2ξ k
⎟⎟
ωk ⎠
⎠ ⎝
2
AMPLITUDE [mm]
15
RISPOSTA ARMONICA
10
{U (t )} = ∑ {Φ}k Ykc eiΩt
k =1
|U|
|Y1c |
0
nMP
|Y2c |
5
0
500
ω1 ω2
ω3
1000
1500
ω4
2000
ω5
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
⎛ nMP
⎞ iΩt
= ⎜⎜ ∑ {Φ}k Ykc ⎟⎟e
⎝ k =1
⎠
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Forzanti: le forzanti esterne agenti sulla struttura hanno generalmente un
andamento nel tempo di tipo periodico, ma non armonico.
30
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
30
10
20
30
T
T
tempo (s)
Per determinare il loro effetto sulla struttura è quindi necessario:
• scomporre la forzante in una somma di funzioni armoniche (serie di Fourier)
• ottenere la risposta complessiva tramite la sovrapposizione degli effetti
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
2π
Ω0 =
T
∞
nF
h =1
h =1
F (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh ) ≅ A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
30
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
T
T
tempo (s)
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
Andamento tipico delle ampiezze delle diverse armoniche eccitatrici con il
relativo ordine h
8
7
Ampiezza [kN]
6
5
4
Armoniche non
considerate
nF = 8
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ordine armonica
Oss: al di sopra di un certo numero d’ordine l’ampiezza Ah diviene
usualmente trascurabile.
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
nnFB==11
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
nF
F ' (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
nnFB==22
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
nF
F ' (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
nnFB==33
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
nF
F ' (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
nnFB==44
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
nF
F ' (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
nnFB==55
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
nF
F ' (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI
30
nnFB==87
Forza (kN)
20
10
0
5
10
15
20
25
10
20
30
tempo (s)
Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e
nF
F ' (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
30
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
nM
≅ ∑ {Φ}j Y j (t )
nM < nMP
j =1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso,
che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di ωn
M
12
10
AMPLITUDE [mm]
nM = 1
8
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
nM
≅ ∑ {Φ}j Y j (t )
nM < nMP
j =1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso,
che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di ωn
M
12
10
AMPLITUDE [mm]
nM = 2
8
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
nM
≅ ∑ {Φ}j Y j (t )
nM < nMP
j =1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso,
che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di ωn
M
12
10
AMPLITUDE [mm]
nM = 3
8
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
nM
≅ ∑ {Φ}j Y j (t )
nM < nMP
j =1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso,
che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di ωn
M
12
10
AMPLITUDE [mm]
nM = 4
8
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
nM
≅ ∑ {Φ}j Y j (t )
nM < nMP
j =1
Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso,
che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di ωn
M
12
10
AMPLITUDE [mm]
nM = 5
8
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare:
• la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella
“banda passante” del modello
12
Banda passante
AMPLITUDE [mm]
10
nF Ω 0
8
nM = 2
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare:
• la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella
“banda passante” del modello
ω n > nF Ω 0
M
12
Banda passante
AMPLITUDE [mm]
10
nF Ω 0
8
nM = 5
6
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare:
• il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
12
12
10
10
Ampiezza vibrazione [mm]
AMPLITUDE [mm]
nM = 5
8
6
4
2
0
8
6
4
2
0
500
1000
1500
2000
2500
0
Ω
0
1
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
I modi propri di alta frequenza mantengono un contributo
anche alle basse frequenze
2
3
Numero di modi propri considerati
4
180
200
250
5
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare:
• il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
12
12
10
10
Ampiezza vibrazione [mm]
AMPLITUDE [mm]
nM = 5
8
6
4
2
0
8
6
4
2
0
500
180
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
0
Ω
0
1
2
3
Numero di modi propri considerati
4
180
200
250
5
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare:
• il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
12
12
10
10
Ampiezza vibrazione [mm]
AMPLITUDE [mm]
nM = 5
8
6
4
2
0
8
6
4
2
0
500
200
1000
1500
2000
EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
0
Ω
0
1
2
3
Numero di modi propri considerati
4
180
200
250
5
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI
Condizioni da soddisfare:
• il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza
ωn >> nF Ω 0 ωn >1.5 ⋅ nF Ω 0
M
M
12
12
10
10
Ampiezza vibrazione [mm]
AMPLITUDE [mm]
nM = 5
8
6
4
2
0
8
6
4
2
0
500
1000
1500
2000
250EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]
2500
0
Ω
0
1
2
3
Numero di modi propri considerati
4
180
200
250
5
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – MSM + MD - APPLICAZIONI
Ulteriore requisito per MD e per MSM:
• il modello FEM deve essere costruito in maniera da rappresentare in
maniera sufficientemente accurata tutti i modi che danno un contributo
significativo alla risposta del sistema (tutti gli nM modi propri nel caso del
MSM)
ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – SMORZAMENTO
δ1 (ωk ) α
α
ξk =
+ βω k +
=
+ βω k + β mωk + ξ + ξ m + ξ k
ωk
ωk
ωk
α-damping (ALPHAD)
β-damping (BETAD)
β-damping dip. materiale (MP,DAMP)
Constant damping ratio (DMPRAT) (Anal. arm. e anal. trans. con MSM)
Constant damping ratio dip materiale (MP,DMPR) (Anal. armonica non
ridotta )
Modal damping ratio (MDAMP)
Element damping (applicabile con metodi particolari)
COMANDI ANSYS/1
ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
/SOLU
ANTYPE, HARMIC
Definisce il tipo di analisi richiesta
HROPT, FULL, …..
Sceglie il tipo di analisi diretto completo
HARFRQ, FREQB, FREQE
Frequenza iniziale e finale per l’analisi
NSUBST, NSBSTP
N° di “step” in cui suddividere l’intervallo di frequenze da analizzare
COMANDI ANSYS/2
ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
HROUT, Reimky, Clust, Mcont
- ON
- OFF
Stampa i risultati come parti reale ed immaginaria
Stampa i risultati come ampiezza e fase
-OFF
-ON
“Step” di frequenza equispaziati
“Step” di frequenza addensati attorno ai modi propri
-OFF
-ON
Non stampa il contributo dei diversi modi
Stampa il contributo dei diversi modi
F, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
Parti reale ed immaginaria della forza
SOLVE
FINISH
COMANDI ANSYS/3
ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO
/POST26
NSOL
ESOL
RFORCE
etc.
Definizione grandezze da estrarre dal database
PRCPLX, KEY
PRVAR
0 – Stampa i risultati nella forma parte reale + parte immaginaria
1 – Stampa i risultati nella forma ampiezza + fase
PLCPLX, KEY
PLVAR
0 — Ampiezza
1 — Fase
2 — Parte reale
3 — Parte immaginaria
COMANDI ANSYS/4
ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO
/SOLU
ANTYPE, HARMIC
HROPT, REDUC, …..
Definisce il tipo di analisi richiesta
Sceglie il tipo di analisi diretto ridotto
HARFRQ, FREQB, FREQE
NSUBST, NSBSTP
HROUT, Reimky, Clust, Mcont
F, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
SOLVE
FINISH
COMANDI ANSYS/5
ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO
/SOLU
EXPASS, ON
Passo di espansione
NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG, …
Numero di soluzioni da espandere (se ALL espande tutti gli “step” disponibili)
“Range” di frequenza sul quale effettuare l’espansione delle soluzioni
EXPSOL, LSTEP, SBSTEP, TIMFRQ, Elcalc
SOLVE
FINISH
COMANDI ANSYS/6
ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE
/SOLU
ANTYPE, MODAL
Analisi modale preliminare
MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey
---------SOLVE
FINISH
/SOLU
Analisi armonica con MSM
HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE
N° d’ordine finale (default e max.: NMODE) ed iniziale (default: 1) dei modi da
impiegare
HROUT, Reimky, Clust, Mcont
F, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
SOLVE
FINISH
COMANDI ANSYS/7
ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE RIDOTTO
/SOLU
ANTYPE, MODAL
Analisi modale preliminare ridotta
MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey
---------SOLVE
FINISH
/SOLU
Analisi armonica con MSM
HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE
HROUT, Reimky, Clust, Mcont
F, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC
SOLVE
FINISH
/SOLU
Passo di espansione
EXPASS, ON
NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG
SOLVE
FINISH
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioni
esterne, generalmente di tipo non periodico, applicate abbastanza
rapidamente da rendere non trascurabili gli effetti delle forze di inerzia.
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
Può essere impiegato anche per valutare la risposta del sistema a forze o
sollecitazioni esterne di tipo periodico, in presenza di effetti non lineari.
Non linearità di contatto
F(t)=F0 cos(Ωt)
Materiale elastico non lineare
δ
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
Principali tecniche di soluzione:
¾ Metodo di sovrapposizione modale (MSM)
ƒ Ipotesi:
• Struttura in campo lineare, con matrici [M], [C] e [K] costanti
• Matrice di smorzamento proporzionale o costante
¾ Metodi di integrazione diretta (MID)
ƒ Ipotesi:
• Struttura oprante anche in campo non lineare
• Matrici [M], [C] e [K] anche non costanti
• Matrice di smorzamento qualsiasi
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO
Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
T
Y&&k + 2ξ k ωk Y&k + ωk2Yk = {Φ}k {F (t )} = f k (t )
Soluzione della equazione relativa ad ogni modo con metodi “passo-passo”
(Es. Runge-Kutta)
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla
linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]
L’intervallo temporale in cui si vuole studiare il comportamento del
sistema viene suddiviso in intervalli (“passi”) temporali successivi.
{U(t)}
{U}n
{U}n+1
{U}n-1
Δt
Δtn
tn-1
Δtn+1
tn
tn+1
Noto lo stato del sistema
(spostamenti, velocità, accelerazioni)
al tempo “tn-1” si calcola il nuovo stato
al tempo “tn” (“step-by-step
integration”).
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla
linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]
Tra i metodi di integrazione diretta, rientrano due tipi principali di
algoritmi:
Algoritmi di tipo implicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta
tramite la conoscenza della soluzione al passo n e delle condizioni imposte
al passo n+1 (Es.: metodo di Newmark)
Algoritmi di tipo esplicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta
tramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo n
(Es.: metodo delle differenze centrali)
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo delle differenze centrali (Esplicito)
Eq. di eq. dinamico al tempo “tn” (nota)
[M ]{U&&}n + [C ]{U& }n + [K ]{U }n = {F (tn )}
Si assume:
{U& }≈ 12 ({U& }
Δt n
{} )
+ U&
Δt n+1
1 ⎛ {U }n +1 − {U }n {U }n − {U }n −1 ⎞ {U }n +1 − {U }n −1
&
{U }≈ 2 ⎜ Δt + Δt ⎟ ≈
2Δt
⎝
⎠
(
{
U& } − {U& } )
{U&&}≈
Δt n+1
Δt n
Δt
{U&&}≈
{U }n+1 − {U }n − {U }n − {U }n−1
Δt
Δt
Δt
≈
{U }n+1 − 2{U }n + {U }n−1
Δt 2
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo delle differenze centrali (Esplicito)
Sostituendo:
{
U }n +1 − 2{U }n + {U }n −1
&
&
{U }≈
Δt 2
{
U }n +1 − {U }n −1
&
{U }≈
2 Δt
[M ]{U&&}n + [C ]{U& }n + [K ]{U }n = {F (tn )}
{
{
U }n +1 − 2{U }n + {U }n −1
U }n +1 − {U }n −1
[M ]
+ [K ]{U }n = {F (t n )}
+ [C ]
2
Δt
2Δt
Δt ⎞
⎛
Δt 2 ({F (t n )}− [K ]{U }n ) + 2[M ]{U }n − ⎜ [M ] − [C ] ⎟{U }n −1
2⎠
⎝
{U }n+1 =
[M ] + [C ] Δt
2
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo delle differenze centrali (Esplicito)
Δt ⎞
⎛
Δt 2 ({F (t n )}− [K ]{U }n ) + 2[M ]{U }n − ⎜ [M ] − [C ] ⎟{U }n −1
2⎠
⎝
{U }n+1 =
[M ] + [C ] Δt
2
Se si fa in modo che [M] e [C] siano diagonali il calcolo è immediato.
Stabilità:
2
Δt ≤ ωmax
Massima pulsazione propria del modello EF
L’algoritmo risulta condizionatamente stabile, vale a dire che la stabilità
dipende dal passo temporale prescelto.
Possibili stime Δt:
⎛ ρ (1 + υ )(1 − 2υ ) ⎞
⎟⎟
Δt ≤ μL⎜⎜
E (1 − υ )
⎝
⎠
1
2
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)
[M ]{U&&}n+1 + [C ]{U& }n+1 + [K ]{U }n+1 = {F (tn+1 )}
Si assume:
({U&&}
{U& }
&&
n +1 + {U }n )
2
n +1
≈ {U& }n + ((1 − δ ){U&&}n + δ {U&&}n +1 )Δt
{U&&}
n +1
{U&&}
n
δ
0
1/2
1
δ ∈ {0,1}
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
Si assume:
⎞ 2
⎛⎛ 1
⎞ &&
&
&
&
{U }n+1 ≈ {U }n + {U }n Δt + ⎜⎜ ⎜ − α ⎟{U }n + α {U }n+1 ⎟⎟Δt
⎠
⎠
⎝⎝ 2
({U&&}
&&
n +1 + {U }n )
2
{U&&}
n +1
{U&&}
n
α
0
1/4
1/2
⎧ 1⎫
α ∈ ⎨0, ⎬
⎩ 2⎭
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
⎧ Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)
⎪[M ]{U&&} + [C ]{U& } + [K ]{U } = {F (t )}
n +1
n +1
n +1
n +1
⎪
⎪ &
⎨{U }n +1 ≈ {U& }n + ((1 − δ ){U&&}n + δ {U&&}n +1 )Δt
⎪
⎪{U }n +1 ≈ {U }n + {U& }n Δt + ⎛⎜ ⎛⎜ 1 − α ⎞⎟{U&&}n + α {U&&}n +1 ⎞⎟Δt 2
⎟
⎜ 2
⎪⎩
⎠
⎠
⎝⎝
⎧
⎪[M ]{U&&} + [C ]{U& } + [K ]{U } = {F (t )}
n +1
n +1
n +1
n +1
⎪⎪
⎨{U& }n +1 ≈ {U& }n + ((1 − δ ){U&&}n + δ {U&&}n +1 )Δt
⎪
&} ⎛ 1
{
}
{
}
{
U
−
U
U
⎞ &&
1
n
+
n
n
⎪{U&&}n +1 =
−
−
−
1
⎜
⎟{U }n
2
⎪⎩
αΔt
αΔt ⎝ 2α ⎠
Risolvendo per
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
⎧
⎪[M ]{U&&} + [C ]{U& } + [K ]{U } = {F (t )}
n +1
n +1
n +1
n +1
⎪
⎪
{
U }n +1 − {U }n
δ ⎞ &&
⎛ δ⎞ &
⎛
&
⎟{U }n Δt + δ
⎨{U }n +1 ≈ ⎜1 − ⎟{U }n + ⎜1 −
αΔt
⎝ α⎠
⎝ 2α ⎠
⎪
⎪
&} ⎛ 1
{
}
{
}
{
U
U
U
−
⎞ &&
1
n
+
n
n
1
−
−
−
⎪{U&&}n +1 =
⎜
⎟{U }n
2
αΔt
αΔt ⎝ 2α ⎠
⎩
⎛ {U }n +1 − {U }n {U& }n ⎛ 1
⎞ && ⎞
[M ]⎜⎜
−
−
−
1
⎜
⎟{U }n ⎟⎟ +
2
αΔt
αΔt ⎝ 2α ⎠
⎝
⎠
⎞
⎛ {U }n +1 − {U }n ⎛ δ ⎞ &
δ ⎞ &&
⎛
+ [C ]⎜⎜ δ
+ ⎜1 − ⎟{U }n + ⎜1 −
⎟{U }n Δt ⎟⎟ +
αΔt
⎝ α⎠
⎝ 2α ⎠
⎠
⎝
+ [K ]{U }n +1 = {F (t n +1 )}
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di Newmark (Implicito)
{U }n+1 ⎛⎜ [M ]2 + δ [C ] + [K ]⎞⎟ = {F (tn+1 )}+
αΔt
⎠
⎝ αΔt
⎛ 1
1 &
⎛ 1
⎞ && ⎞
{U }n + {U }n + ⎜ − 1⎟{U }n ⎟⎟ +
+ [M ]⎜⎜
2
αΔt
⎝ 2α ⎠
⎝ αΔt
⎠
⎛ δ
Δt ⎛ δ
⎛δ
⎞ &
⎞ && ⎞
{U }n + ⎜ − 1⎟{U }n + ⎜ − 2 ⎟{U }n ⎟⎟
+ [C ]⎜⎜
2 ⎝α
⎝α ⎠
⎠
⎝ αΔt
⎠
[Kˆ ]{U }
n +1
[]
= Fˆ
Risoluzione:
[ ] [Fˆ ]
{U }n+1 = Kˆ
−1
Oss.: se [M], [C] e [K] sono costanti,
[]
la matrice K̂ è anch’essa costante
e può essere costruita ed invertita
una sola volta.
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Condizioni di stabilità:
1⎛1
⎞
α ≥ ⎜ +δ ⎟
4⎝2
⎠
1
δ≥
2
2
1
0.9
Condizionatamente stabile
0.8
δ
All’interno del campo di stabilità
l’algoritmo risulta
incondizionatamente stabile,
vale a dire stabile
indipendentemente dal passo
temporale prescelto.
0.7
Stabile
0.6
0.5
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
Esiste anche una regione in cui
l’algoritmo risulta
condizionatamente stabile, con
passo limite:
Δt ≤
2
2
⎛1
⎞
Ω ⎜ + δ ⎟ − 4α
⎝2
⎠
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Al variare di α e δ si ottengono altri
algoritmi classici di soluzione:
α =0
1
δ=
2
1
0.9
Metodo delle differenze
centrali
Condizionatamente stabile
0.8
δ
0.7
Stabile
0.6
1
α=
4
1
δ=
2
1
α=
6
1
δ=
2
0.5
Metodo dell’accelerazione
media
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
0.1
Metodo dell’accelerazione
lineare
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
In ANSYS i due parametri α e δ sono
generalmente espressi in funzione di
1
un terzo parametro γ (TINTP):
0.9
1
(1 + γ )2
4
1
δ = +γ
2
α=
1
⎧
=
α
⎪⎪
4
γ =0⇒⎨
⎪δ = 1
⎪⎩
2
Per default
⎧α = 0.2525
γ = 0.005 ⇒ ⎨
⎩δ = 0.505
Condizionatamente stabile
0.8
δ
0.7
Stabile
0.6
0.5
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione
tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.
sln. esatta
U
1
stabile
0.9
Condizionatamente stabile
0.8
δ
Δt0
0.7
Stabile
0.6
0.5
t
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione
tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.
U
sln. esatta
1
stabile
0.9
Condizionatamente stabile
0.8
δ
Δt1< Δt0
0.7
Stabile
0.6
0.5
t
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione
tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.
U
sln. esatta
1
stabile
0.9
Condizionatamente stabile
0.8
δ
Δt2< Δt1
0.7
Stabile
0.6
0.5
t
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
y
Effetto del passo di integrazione in
condizioni di stabilità incondizionata
L = 10 m
x
100 N, 4.07466 Hz (risonanza), onda triangolare
α = 0.2525
δ = 0.5050
2.00E-03
Δt [s]
1.50E-03
0.213
2.66E-02
4.25E-03
Spostamento mezzeria [m]
1.00E-03
1
0.9
Condizionatamente stabile
0.8
δ
0.7
Stabile
0.6
0.5
Instabile
0.4
5.00E-04
0.00E+00
-5.00E-04
-1.00E-03
0.3
Instabile
0.2
-1.50E-03
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
-2.00E-03
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
Tempo [s]
2.00E+00
2.50E+00
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Al di fuori del campo di stabilità, la soluzione mostra una rapida divergenza (in
genere con forti oscillazioni) da quella esatta, senza convergere su
quest’ultima al tendere a zero di Δt.
U
sln. esatta
1
stabile
0.9
instabile
0.8
δ
Condizionatamente stabile
0.7
Stabile
0.6
0.5
t
Instabile
0.4
0.3
Instabile
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
y
Effetto del passo di integrazione in
condizioni di stabilità condizionata
L = 10 m
x
100 N, 0.25 Hz, onda triangolare
5.00E-03
α = 0.25
δ = 0.51
Δt [s]
4.00E-03
8.00E-02
4.00E-02
2.00E-02
3.00E-03
1.33E-02
Spostamento mezzeria [m]
2.00E-03
1
0.9
Condizionatamente stabile
0.8
δ
0.7
Stabile
0.6
1.00E-03
0.00E+00
-1.00E-03
-2.00E-03
0.5
Instabile
0.4
-3.00E-03
0.3
Instabile
-4.00E-03
0.2
0.1
0
-5.00E-03
0
0
0.1
0.2
0.3
α
0.4
0.5
5
10
15
Tempo [s]
20
25
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Scelta del passo di integrazione temporale.
Procedura per valori indicativi frequenze in gioco
F(t)
t
T
“Periodicizzazione” della storia di carico
Ω0 =
2π
T
∞
F (t ) = A0 + ∑ Ah ⋅ cos(hΩ 0t + λh )
h =1
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Andamento tipico delle ampiezze
10
9
8
Ampiezza [kN]
7
6
5
Armoniche non
considerate
4
nF = 7
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Ordine armonica
7
8
9
10
ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID
Metodo di sovrapposizione modale:
nMP
{U (t )} = ∑ {Φ}j Y j (t )
j =1
ωn >> nF Ω 0
M
Tutti i metodi di soluzione:
Δt ≤
2π
nP n F Ω 0
nP > 20 ÷ 30
In ogni caso, a partire da questa prima stima, è generalmente necessario uno
studio di convergenza su nP e Δt.
Situazioni che possono richiedere valori particolarmente ridotti di Δt:
• fenomeni di contatto
• propagazione di onde elastiche (dimensioni elementi < 1/20 lungh. d’onda)
• non linearità geometriche, “stress stiffening”
INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/2
Tipo di
problema
Algoritmi espliciti
Algoritmi impliciti
Generale
Nessuna inversione di
matrici; basso tempo di
calcolo per step
Inversione di matrici ad ogni
step; elevato tempo di
calcolo per step
Campo lineare
Stabilità condizionata;
necessari passi temporali
molto piccoli
Possibile stabilità
incondizionata; grandi passi
temporali
Soluzione diretta ad ogni
passo
Soluzione tramite tecniche
iterative
Necessari passi temporali
molto piccoli per la stabilità
Necessari piccoli passi
temporali per la
convergenza
Verifiche di convergenza
non richieste
Convergenza non sempre
assicurata per forti non
linearità
Campo non
lineare
INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/3
Campo applicativo
Dinamico
Quasi statico
Statico
Problemi “standard”
Urti autovetture
Stampaggio
Comportamento statico materiale
10-2
Urto proiettili
Esplosioni
Effetti “strain rate” sul materiale
101
Strain rate
Metodi Impliciti
Metodi Espliciti
Possibili anche approcci misti Impliciti+Espliciti
[s-1]
104