Fisica II - Informatica
Tabella periodica degli elementi
 Vi siete mai chiesti perchè ha questa forma ?
 Ovvero, esiste una regola per l’ordinamento dei singoli atomi ?
 Le proprietà dei materiali hanno una relazione con la tabella ?
L’applicazione dei modelli quantistici ha fornito le risposte !
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Effetti quantistici
• La descrizione fisica dei fenomeni a livello microscopico
NON È totalmente deterministica (ma probabilistica)
• L’osservazione stessa influisce sull’esperimento
• Le particelle si comportano come onde e le onde come
particelle
– L’equazione di Schrödinger, permette di descrivere in
maniera corretta (probabilistica) la dinamica di particelle
e fotoni su scala microscopica
– Cioè laddove si evidenziano comportamenti di tipo
quantistico
– Il primo e probabilmente più importante campo di
applicazione della fisica quantistica è stato la corretta
interprtazione delle proprietà degli atomi
– Vedremo perchè esiste la cosiddetta TABELLA
PERIODICA degli elementi !
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Principio di indeterminazione di
Heisenberg
 Se si esegue una misura di posizione di una particella con
indeterminazione Dx e una simultanea di quantità di moto
con indeterminazione Dpx, allora il prodotto delle due
indeterminazioni non può mai essere minore di ħ/2
Dx Dp x 
2
 È fisicamente impossibile misurare contemporaneamente
la posizione esatta e la quantità di moto esatta di una
particella
Addio descrizione deterministica !!!
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Equazione di Schrödinger
(x)
• La probabilità di trovare una particella in
una certa regione di spazio dx
P  x  dx   dx
2
sotto la condizione


 dx  1
2
la particella deve trovarsi da qualche parte

b
Pab    dx probabilità di trovare la particella in a  x  b
2
d 2

 U   E
2m dx 2
U  x  energia potenziale e E energia totale del sistema
• Equazione Schrödinger
a
2
• Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione
svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica
• Noto U e  si ricava E l’energia, cioè lo stato dinamico del sistema.
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Evidenze sperimentali: Elettroni
Fz  Fe  Fm
Fe  qe E
Fm   qe vx B
regolando E e B  Fz  0
E
qe E  qe vx B  0  vx 
B
si spegne B, nessuna forza lungo x
E
x  t   vx
B
1
1 Fz 2 qe E 2
z  t   az t 2 
t 
t
2
2m
2m
detta la distanza percorsa
lungo x e s quella lungo y
2
q E B
B
t
 s e 

E
2m  E 
qe
2 sE
 2 2  1.76  1011 C/kg
me
B
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• Raggi Catodici
• J.J.Thomson
– esperimento e/m
Esperimento di Millikan della goccia d’olio
• Misura carica elettrone
mgoccia g  qe E
qe 
mgoccia g

mgoccia gd
E
V
qe  1.6 1019 C
combinando con i risultati di Thomson
me  9.111031 kg
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or X-ray
Modello atomico di Thomson
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Esperimento di Rutherford
Diffusione di atomi di He++ (particelle alfa) da una lamina d’oro. La maggior
parte la attraversano indisturbati, alcuni (pochi) vengono retrodiffusi !
Ipotesi: l’atomo è per la maggior parte spazio vuoto con un piccolo (r = 10-15 m)
nucleo carico positivamente circondato da una nuvola di elettroni (r = 10-10 m)
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Modello Atomico di Rutherford
grandi angoli diffusione
atomo nucleare
• L’atomo nucleare non è stabile
(classicamente)
• Gli elettroni dovrebbero irraggiare
(acc. centripeta) perdendo energia e
con un moto a spirale decadere sul
nucleo !!!
Necessità teoria quantistica
Gli elettroni devono orbitare intorno al nucleo con energie
costanti e discrete (quantizzate) !
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Spettri di Emissione
• Applichiamo una d.d.p ad un gas a bassa pressione (scarica elettrica)
• Il gas emette una luce caratteristica (dipende dal tipo di gas)
• L’analisi spettroscopica mostra una serie di righe luminose discrete
Serie
Balmer
Serie
Lyman
Spettro
Assorbiment
o
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Spettro di Emissione dell’Idrogeno
• Le lunghezze d’onda delle righe spettrali dell’idrogeno sono date da
 1 1 
 RH  2  2 

 n1 n2 
con n1  1, 2,3,...  Lyman, Balmer , Paschen,...
1
e n2  n1  1, n1  2,...
 RH è la constante di Rydberg
 RH = 1.0973732 x 107 m-1
 ni è un intero, n = 1, 2, 3, …
 Le diverse righe spettrali corrispondono a differenti valori di ni
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Righe spettrali dell’idrogeno
• La serie di Balmer presenta
righe le cui lunghezze d’onda
sono date dall’equazione
 1 1 
 RH  2  2  Serie di Balmer

2 n 
n  3, 4,...
1
• Esempi di righe spettrali
– n = 3,  = 656.3 nm
– n = 4,  = 486.1 nm
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Spettri a righe
Gli elementi emettono un insieme discreto di lunghezze
d’onda che vengono viste come righe in uno
spettroscopio. (esperimenti in cui luce proveniente da
sorgenti atomiche è fatta passare attraverso un prisma).
Le misure effettuate nel caso dell’idrogeno seguono la
relazione:
1
1 1  R = 1.097 x 107 /m

 R 2  2 
serie di Lyman

1 n 
n=3
n=2
1 1 
E fotone  hcR  2  2 
Usando
E=-3.4 eV
1
n


E=hc/
E fotone
1 1 
 13.6 eV  2  2 
1 n 
Gli elettroni “saltano” tra livelli di
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energia quantizzati.
E=-13.6 eV
n=1
Modello di Bohr
• Modello planetario
non irradiano energia)
(elettroni orbitano intorno al nucleo, ma
• La forza di attrazione Coulombiana produce
l’accelerazione centripeta.
– Ciò definisce l’energia (raggio) di ciascuna orbita permessa.
• Le righe spettrali ci dicono quali raggi orbitali
sono permessi.
– Il calcolo mostra che questo è equivalente a “quantizzare” il
momento angolare L = mvr = n h / 2p
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Modello di Bohr:
assorbimento ed emissione di fotoni
• Ciascun elettrone che orbita intorno al nucleo
possiede una specifica energia En=-13.6/n2
• Un fotone viene emesso quando un elettrone
“salta” da un’orbita ad alta energia ad una a più
bassa energia.
Ei – Ef = h f
• Per converso, un fotone viene assorbito quando un
elettrone “salta” da un’orbita ad bassa energia ad
una a più alta energia.
Ef – Ei = h f
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Dualismo Onda-Particella di DeBroglie
• Orbite intese come onde stazionarie
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Dualismo Onda-Particella di DeBroglie
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Calcolo di Bohr
Moto circolare
mv 2 kZe 2

r
r2
Energia totale
Quantizzazione del
momento angolare :
1 2 kZe 2
kZe 2
E  mv 

2
r
2r
h
(mvr )n  mv n rn  n
2
h
vn  n
2mrn
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2
1
kZe
mv 2 
2
2r
Calcolo di Bohr
Usando
h
vn  n
2mrn
in
2
kZe
mv n2 
rn
h 2 1
n2
rn  n ( )
 (0.0529nm )
2
2 mkZe
Z
2
raggio di Bohr
Sostituendo per rn in
kZe 2
En  
2rn
Z2
E n  13.6eV 2
n
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Notare che E (quantizzata)
dipende da Z2 e non da Z !!!
Risultati/Limiti del Modello di Bohr
• Bohr ottiene i corretti valori di energia dei livelli
ed anche del raggio dell’atomo di idrogeno.
• Spiega lo spettro (emiss./assorb.) dell’idrogeno
• Tuttavia, non funziona per atomi a più elettroni
– Nemmeno per He con 2 elettroni
• Il modello di Bohr viola il principio di
indeterminazione di Heisenberg?
» Sì
» No
• Il modello di Bohr è semi-classico, non si
possono specificare contemporaneamente
il raggio e l’energia
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Teoria di Schrödinger
Funzione d’onda - Probabilità
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Quiz
• Quale dei due disegni è più corretto ?
– Sinistro
– Destro
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Equazione di Schrödinger
 2 2


i
  r, t    
 V (r)    r, t 
2
t
 2m r

• Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione
svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica
• Noto U e  si ricava E l’energia, cioè lo stato dinamico del sistema.
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Atomo di Idrogeno usando la teoria di
Schrödinger
2



2
i
  r, t    
 U (r )    r, t 
2
t
 2m r

e2
U  r    ke
r
• Il problema è di tipo tridimensionale, U non è costante ma dipende solo
dalla coordinata radiale r (richiede l’uso di coordinate sferiche).
• Risolvendo si ottengono i valori dell’energia degli stati permessi per
l’atomo di idrogeno
 ke e 2  1
13.606 eV
En   
 2 
2
2
a
n
n
 0 
n  1, 2,3,...
• n = numero quantico principale
• L’imposizione delle condizioni al contorno conducon a due nuovi numeri
quantici: l numero quantico orbitale, ml numero quantico magnetico
orbitale.
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Regole Quantiche
La soluzione dell’eq. di Schrodinger per l’atomo
determina queste regole.
La distribuzione degli stati legati è quantizzata,
E0
En   2 , n  1, 2,3,
n
Il momento angolare è quantizzato (dipende da n),
h
L  l (l  1)
,  l  0,1, 2, , n  1
2
La direzione del momento angolare è quantizzata  dipende da l 
Lz  ml
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h
,  ml  l , l  1,
2
, 1, 0,1,
, l  1, l 
Effetto Zeeman
Le righe spettrali si separano quando gli atomi sono soggetti ad un
campo magnetico. La separazione tra le righe è proporzionale
all’intensità del campo.
Alcune non si separano, altre si
dividono in 3, altre ancora in 5 !
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La proporzionalità tra
la separazione e B
implica l’interazione con
una carica in moto:
Momento angolare.
Effetto Zeeman - Momento Angolare
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Spin Elettronico
• Lo spin elettronico è un secondo tipo di momento angolare nell’atomo.
• Lo spin, detto momento angolare intrinseco, ha un momento magnetico
associato con esso.
• Questo momento magnetico interagisce col campo magnetico atomico e
dà un contributo all’energia dell’elettrone.
• L’esperimento di Stern e Gerlach mise in evidenza questo momento
magnetico “intrinseco”
• Una possibile (ma sbagliata) visualizzazione del fenomeno è pensare
l’elettrone rotante su se stesso (trottola  spin)
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Spin Elettronico: quantizzazione
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In definitiva:
Numeri Quantici
Ciascun elettrone nell’atomo è identificato da 4 numeri quantici
n = Numero quantico principale (1, 2, 3, …)
• Determina l’energia (Bohr)
l = Numero quantico orbitale (0, 1, 2, … n-1)
•
•
Determina il momento angolare
l <n
sempre vero !
L
h
(  1)
2
ml = Numero quantico magnetico (-l , … 0, … l )
• Componente di l
• | ml |  l
sempre vero !
ms = Numero quantico di spin (-½ , +½)
•
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“Spin Su” o “Spin Giù”
Lz  m
h
2
Nomenclatura
“Shells”
(strati)
“Subshells”
(sottostrati)
l =0 “stato s”
n=1 “K shell”
l =1
l =2
l =3
l =4
n=2 “L shell”
n=3 “M shell”
n=4 “N shell”
n=5 “O shell”
“stato p”
“stato d”
“stato f”
“stato g”
1 elettrone nello stato fondamentale
dell’Idrogeno:
n=1, l =0 si scrive come: 1s1
n=1
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l =0
1 elettrone
Numeri Quantici
Quanti stati elettronici unici esistono per n=2 ?
l = 0 : 2s2
ml = 0 : ms = ½ , -½
2 stati
l = 1 : 2p6
ml = +1: ms = ½ , -½
ml = 0: ms = ½ , -½
ml = -1: ms = ½ , -½
2 stati
2 stati
2 stati
Vi sono un totale di 8 stati con n=2
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Principio di Esclusione di Pauli
In un atomo a molti elettroni non possono esistere
due elettroni con lo stesso insieme di numeri
quantici (n, l, ml, ms).
Questa è la spiegazione della
tabella periodica !
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Configurazioni Elettroniche
Atomo
Configurazione
H
1s1
He
1s2
Li
1s22s1
Be
1s22s2
B
1s22s22p1
Ne
etc
shell 1s piena (n=1 shell piena, gas
nobile)
1s22s22p6 2p shell filled (n=2 shell piena, gas
shells s ospitano fino a 2 elettroni
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shell 2s piena
nobile)
shells p ospitano fino a 6 elettroni
Sequenza degli Strati (Shell)
Sequenza delle shell:
1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p…..
gli elettroni 4s sono più
vicini al nucleuo dei 3d
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn
4s
3d
4p
Nella shell 3d inseriamo elettroni nello stato l = 2; tutti gli
atomi con circa metà riempimento sono fortemente
magnetici.
Momento
Grandi
Spira percorsa
angolare
momenti
da corrente
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magnetici
Sodio
Na
(Na)
1s22s22p6 3s1
Singolo elettrone
esterno
core tipo Neon
Molte righe spettrali del Na sono dovute
alle transizioni dell’elettrone esterno
La riga gialla della scarica in vapori di
Na è dovuta a
3p
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3s
Tabella periodica degli elementi
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