AIAS – ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
40° CONVEGNO NAZIONALE, 7-10 SETTEMBRE 2011, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
AIAS 2011 - 116
CONDIZIONI DI RISONANZA PER RUOTE PALETTATE,
DEFINIZIONE DEL DIAGRAMMA SAFE
M. Beghinia, L. Bertinia, C. Santus*a, G. Mariottib
a
Università degli Studi di Pisa - Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione.
Largo Lucio Lazzarino, n.2, 56126 Pisa, *e-mail: [email protected]
b
General Electric, Oil & Gas, Nuovo Pignone, Firenze 50127, Italy
Sommario
Le ruote palettate di turbine e compressori interagiscono con il flusso distribuito da uno statore, a sua
volta palettato. Le pale della girante sono sollecitate a vibrare rendendo quindi la ruota vulnerabile a
fatica, soprattutto in condizioni di risonanza, o nell’intorno di risonanze. L’approccio del diagramma
di Campbell è quello di determinare le frequenze proprie ed evitare che vadano a coincidere con le
prime frequenze di eccitazione. Tuttavia, una girante ha moltissime frequenze proprie ravvicinate e
quindi potenzialmente pericolose. È necessario quindi l’approccio del diagramma SAFE mediante il
quale si individuano quelle risonanze che oltre ad avere accoppiamento in termini di frequenza hanno
anche accoppiamento di forma. Il lavoro descrive la trattazione che conduce al digramma SAFE e
presenta un’analisi estensiva mediante tale diagramma di una famiglia di ruote palettate, individuando
una configurazione geometrica ottimale al fine di evitare risonanze.
Abstract
Compressor and turbine bladed wheels interact with the fluid distributed by the stator vanes. The
blades are excited by fluctuating forces, and their vibration is the reason of fatigue failures, especially
near the resonances. The Campbell diagram approach is just to avoid the matching between the natural
mode frequency and the excitation frequency. However, bladed wheels show many natural frequencies
that are very near each other, so it is difficult to avoid any resonance matching. The SAFE diagram
approach introduces also the shape matching instead of just the frequency matching. Many frequency
matching can be identified as non-critical and then tolerated. The present paper demonstrates the
SAFE diagram and then it shows the application of this diagram to a family of bladed wheels,
identifying the optimal geometry configuration to avoid any resonance.
Parole chiave: Modi propri; Ruote palettate; Risonanza; Diagramma SAFE.
1. INTRODUZIONE
Le ruote palettate di turbine e compressori sono sollecitate a vibrare per effetto dell’interazione del
fluido fra la girante e lo statore anch’esso palettato. L’eccitazione delle pale può produrre un’intensa
sollecitazione a fatica che quindi può portare a fratture tipicamente in corrispondenza dell’attacco
della pala al disco oppure nella pala stessa [1]. La determinazione delle frequenze proprie della ruota
è, quindi, il primo passo per la verifica del funzionamento in sicurezza della girante. L’approccio più
immediato è quello del diagramma di Campbell, in cui si individuano le frequenze proprie e si
confrontano con le componenti armoniche della forzante [2]. L’interazione del fluido con le pale della
girante è di natura armonica dal momento che il fluido è distribuito da uno statore, i cui vani sono
angolarmente equidistanti, e quindi l’interazione si ripete ciclicamente al passaggio di ogni settore. La
frequenza principale di questa sollecitazione è legata alla velocità di rotazione della girante e al
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numero di pale dello statore che coincide con il numero di vani. Le ulteriori armoniche della forzante
sono multiple della frequenza principale e quindi anch’esse lineari con la velocità di rotazione della
girante. Le frequenze proprie della ruota palettata, invece, sono fondamentalmente non influenzate
dalla velocità di rotazione (trascurando possibili effetti di stress stiffening e/o azioni centrifughe). Il
diagramma di Campbell delle ruote palettate si presenta tipicamente come quello di Fig.1.
Natural frequency
Campbell possible
resonance
×n
Working frequency
Figura 1: Tipico diagramma di Campbell per ruote palettate.
La forma complessa delle ruote palettate ha l’effetto che le frequenze proprie siano molto ravvicinate,
come rappresentato schematicamente in Fig.1. Di conseguenza ad ogni regime di rotazione c’è, con
buona probabilità, una coincidenza (o valori vicini) fra una frequenza di un’armonica multipla della
principale ed una frequenza naturale. L’applicazione dell’approccio di Campbell renderebbe quindi
impossibile la progettazione, individuando sempre possibili risonanze. Tuttavia, in molte situazioni,
sia per le ruote palettate, sia per la dinamica strutturale in generale, la coincidenza fra frequenza
propria e frequenza della forzante non implica necessariamente una condizione di risonanza. Le
strutture, avendo un’estensione geometrica, possono avere delle forze in contro-fase (anche solo
parziale) con la forzante, Fig.2. Questo stesso principio può essere applicato anche alle ruote palettate
considerando la pale come le zone di sollecitazione della ruota.
Harmonic forces
Second natural
Harmonic forces
Second natural
Harmonic forces
Ω = ω2
mode, ω2
Ω = ω2
mode, ω2
Ω = ω2
work:
max(+)
work:
max(+)
work:
(+)
work:
( −)
Second natural
mode, ω2
work:
work:
max(+ )
max( −)
(a)
(b)
(c)
Figura 2: Possibili combinazioni fra forzante e modo proprio, esempio trave appoggiata: (a)
composizione costruttiva, (b) composizione parzialmente costruttiva, (c) composizione distruttiva.
Il diagramma Singh’s Advanced Frequency Evaluation (SAFE), che fu introdotto da M.P. Singh [1, 3,
4] e successivamente è stato ritenuto il punto di riferimento per la verifica delle ruote palettate [5, 6],
viene motivato e descritto nel presente lavoro, e permette appunto di individuare quelle combinazioni
fra modi propri e armoniche di eccitazione, considerando sia la coincidenza delle frequenze sia anche
la combinazione della forma.
Nel presente lavoro infine si applica tale diagramma ad una famiglia di ruote palettate con geometria
modulare, riportando quindi una configurazione ottimale, che permette di evitare risonanze pericolose.
2. DINAMICA DELLE RUOTE PALETTATE
La Fig.3(a) riporta le principali grandezze necessarie per descrivere la dinamica vibratoria delle ruote
palettate. Ω è la velocità angolare della girante, Δϑ è la distanza angolare fra una pala e la successiva,
mentre N B , N V sono il numero di pale della girante e il numero di vani, rispettivamente.
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NV
i -th Blade
i = 1, 2,..., N B
Δϑ
Ω
Δϑ =
NB
2π
NB
(a)
i -th traveling blade
(i + 1)-th traveling blade
ϑ = Ωt + ϑ0
ϑ = Ωt + Δϑ + ϑ0
Blade force
Δϑ =
Fi
2π
NB
Angle coordinate, ϑ
2π
NV
(b)
Blade force
Fi
2π
2π
2π
...
NV 2 × NV
n NV
f0
f2
f1
Angle coordinate, ϑ
(c)
Figura 3: (a) Girante palettata e statore. (b) Interazione fra la variabile tempo e la posizione angolare di
ciascuna pala. (c) Scomposizione della forza sulla singola pala in armoniche multiple dell’armonica
fondamentale.
Ciascuna pala riceve un’azione di interazione con lo statore per mezzo del flusso di fluido. Questa
forza è di tipo armonico per la simmetrica ciclica dello statore con cui la singola pala interagisce.
Inoltre, le forze sulle varie pale sono uguali fra loro, ma con uno sfasamento angolare. Dato che
ciascuna pala interagisce con N V vani con lo statore, la frequenza dell’armonica fondamentale è:
Ω1 = N V Ω
(1)
Le armoniche successive sono semplicemente multiple della prima:
Ω n = nΩ1 = nN V Ω
(2)
La forza complessiva che agisce su ciascuna i-esima pala si può pertanto scomporre secondo la serie di
Fourier, Eq3, da notare l’interazione fra tempo e posizione angolare espressa in Fig.3(b).
f i = F0 + ∑ n =1 Fn cos(nN V (Ωt + iΔϑ ) + ϕ n )
∞
(3)
F1 , F2 ,..., Fn ,... sono le varie armoniche. La loro sovrapposizione genera la forza totale f i per ciascuna
pala i, Fig.3(c).
La generica pala risponde alla sollecitazione vibrazionale con un moto oscillatorio di deformazione
che si può esprimere secondo la sovrapposizione modale:
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xi = X 0 + ∑ m =1 X m cos(ωmt + ϕtm ) cos(d m Δϑ i + ϕϑ m )
∞
(4)
in cui X m è l’ampiezza del singolo modo proprio m, mentre ωm è la frequenza (angolare) del generico
modo proprio, ed infine d m è il numero di diametri nodali del singolo modo proprio. Il numero di
diametri nodali ovviamente è un concetto specifico della presente trattazione, riguardante ruote
palettate. I diametri nodali sono i punti lungo la circonferenza della ruota che non subiscono
spostamento, relativamente ad un singolo modo proprio. d m può essere una qualunque naturale fino ad
un valore massimo pari a d m ,max = N B / 2 se N B è pari, d m ,max = ( N B − 1) / 2 se N B è dispari. Quindi d m
è compreso fra: 0 ≤ d m ≤ d m,max . La Fig.4 mostra tipici esempi di forme di modi propri per una tipica
girante palettata.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4: Alcuni fra i primi modi propri di una ruota palettata: (a) modo con distribuzione spaziale non
armonica, (b) modo con distribuzione spaziale armonica a 0 diametri nodali, (c) 1 diametro nodale, (d)
2 diametri nodali.
Alcuni modi propri mostrano una distribuzione spaziale non armonica (esempio Fig.4(a)) e quindi non
rientrano nell’espressione dell’Eq.4. In realtà, la risposta armonica dell’Eq.4, rappresentata come
scomposizione modale, dovrebbe contenere anche questi modi. Tuttavia, i modi con distribuzione
spaziale non armonica possono generare un accoppiamento con una forzante armonica soltanto di tipo
parzialmente costruttivo, come ad esempio nella Fig.2(b) e quindi non possono comportare una
significativa risonanza, pertanto vengono esclusi dalla presente trattazione. Altri modi propri hanno
zero diametri nodali e quindi l’espressione del moto perde la dipendenza dalla posizione angolare della
singola pala.
Da notare che ordinando i modi, secondo la frequenza propria crescente, il numero di diametri nodali
non è sempre crescente, anche perché i modi sono infiniti, mentre i possibili numeri di diametri nodali
sono pochi. Quindi molti modi, a frequenze proprie diverse, possono avere lo stesso numero di
diametri nodali, diversificandosi ad esempio per la complessità della deformata della pala. Infine,
molto spesso si possono trovare modi con distribuzione spaziale non armonica, intervallati fra modi
con distribuzione spaziale armonica. I modi con distribuzione spaziale non armonica possono essere
sistematicamente scartati eseguendo la ricerca dei modi propri con un’analisi agli elementi finiti
modellando soltanto un settore della ruota palettata ed imponendo la condizione di vincolo di ciclicità.
Modellando l’intera ruota, come ad esempio in Fig.4, si ottengono invece tutti i modi propri, ed è
quindi necessaria un’analisi critica per classificarli. Un aspetto di notevole interesse nella presente
trattazione è l’esistenza di modi “gemelli”, ossia quei modi che hanno la stessa frequenza e la stessa
forma e quindi anche lo stesso numero di diametri nodali (l’unica distinzione potrebbe essere l’angolo
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di fase, anche se ha senso parlare di angolo di fase solo in termini di risposta armonica e non
nell’ambito di analisi modale). L’esistenza di modi gemelli si ha soltanto per ciascun modo proprio
con numero di diametri nodali maggiore di zero, mentre non si ha per i modi che hanno zero diametri
nodali. I due modi propri gemelli suggeriscono la scrittura del moto, relativo al singolo modo proprio,
come la sovrapposizione di due onde controrotanti, Eq.5.
xm ,i = X m cos(ωmt + ϕtm ) cos(d m Δϑi + ϕϑ m )
Xm
[cos(−ωmt + d m Δϑi − ϕ1m ) + cos(ωmt + d m Δϑi + ϕ2 m )]
2
X
= m [cos(ωmt − d m Δϑi + ϕ1m ) + cos(ωmt + d m Δϑi + ϕ 2 m )]
2
in cui: ϕ1m = ϕtm − ϕϑ m , ϕ2 m = ϕtm + ϕϑ m
=
(5)
La forma dell’Eq.5 non ha particolare significato per il caso di un modo proprio con zero diametri
nodali ( d m = 0 ), tuttavia l’espressione dell’Eq.5 è valida anche per questo caso particolare.
La forzante n-esima è un’onda traslante, mentre il singolo modo proprio m-esimo, o meglio la singola
coppia di modi gemelli, è un’onda stazionaria, che a sua volta può essere vista come la
sovrapposizione di due traslanti in direzioni opposte, Fig.5.
Traveling wave:
cos(ωt + ϑ )
angle coordinate, ϑ
Blades: 1
2
3
4 ...
Stationary wave:
cos(ωt ) cos(ϑ ) =
1
1
cos(−ωt + ϑ ) + cos(ωt + ϑ )
2
2
angle coordinate, ϑ
Figura 5: Forzante come onda traslante. Modo proprio come onda stazionaria che a sua volta può
essere vista come la sovrapposizione di due onde traslanti in direzioni opposte.
La velocità di vibrazione del singolo modo proprio può essere ottenuta per semplice derivazione,
rispetto al tempo dello spostamento:
∂
xm,i = X mωm cos(ωmt + ϕtm + π / 2) cos(d m Δϑi + ϕϑ m )
∂t
X
= m ωm [cos(−ωmt + d m Δϑi − ϕ1m + π / 2) + cos(ωmt + d m Δϑi + ϕ 2 m + π / 2)]
2
Xm
ωm [cos(ωmt − d m Δϑi + ϕ1′m ) + cos(ωmt + d m Δϑi + ϕ 2′ m )]
=
2
in cui: ϕ1′m = ϕ1m − π / 2, ϕ 2′ m = ϕ 2 m + π / 2
vm,i =
(6)
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Il lavoro fatto dalla forzante sull’intera ruota palettata è la somma del lavoro fatto dalle singole
armoniche che compongono la forzante sulle singole pale, Eq.7.
W = ∑ i =B1 Wi
N
Wi = ∫ dWi
dWi = fi vi dt
(7)
t
Il termine prodotto fra forzante e velocità di vibrazione di ciascuna i-esima pala può essere scritto
sfruttando la scomposizione di Fourier della forzante, Eq.3, la scomposizione modale delle velocità e
la relativa sovrapposizione di due onde traslanti in direzioni opposte di ciascuna componente modale,
Eq.6, ottenendo quindi:
X mωm
cos(nN V (Ωt + Δϑi ) + ϕn )[cos(ωmt − d m Δϑi + ϕ1′m ) + cos(ωmt + d m Δϑi + ϕ2′ m )]
2
m =1
∞ ∞
X ω
+ ∑∑ Fn m m cos(nN V (Ωt + Δϑi ) + ϕn )[cos(ωmt − d m Δϑi + ϕ1′m ) + cos(ωmt + d m Δϑ i + ϕ 2′ m )]
2
n =1 m =1
∞
fi vi = F0 ∑
(8)
Il termine fi vi viene poi integrato su un tempo indefinito che comprende un numero elevato di periodi
della forzante principale. Quindi il termine costante F0 della forzante produce un lavoro fluttuante con
media nulla, in pratica non produce un lavoro che si accumula nel tempo. Lo stesso vale per una
qualunque altra combinazione di n-esima forzante con m-esimo modo proprio per le quali si hanno
frequenze diverse. Quindi una combinazione forzante – modo proprio può produrre lavoro in
accumulo soltanto se nN V Ω = ωm . Questa condizione può essere riscritta sfruttando la definizione
dell’Eq.2:
Ω n = ωm
(9)
L’Eq.9 non è altro che il criterio del diagramma di Campbell, ossia la coincidenza della frequenza di
un’armonica con la frequenza naturale di un modo proprio.
Il termine fi vi , oltre ad essere integrato nel tempo, viene anche sommato su tutte le pale. Nonostante
la coincidenza delle frequenze, alcune pale possono subire un accumulo positivo di lavoro, mentre
altre, per effetto dello sfasamento angolare, un accumulo negativo. Questo concetto è descritto
schematicamente nella Fig.2. Anche nella dinamica delle ruote palettate esistono tre condizioni:
combinazione pienamente costruttiva, parzialmente costruttiva, e distruttiva. Le combinazioni
costruttive sono individuate dalla coincidenza del termine di dipendenza angolare su tutte le pale.
L’Eq.10 formalizza questa condizione:
n N V Δϑ i = d m Δϑ i + k (2π ), per ogni i = 1, 2,..., N B , per un qualunque intero k = ..., −2, −1, 0,1, 2,...
oppure
n N V Δϑ i = −d m Δϑ i + k (2π ), per ogni i = 1, 2,..., N B , per un qualunque intero k = ..., −2, −1, 0,1, 2,...
(10)
Da notare che se una delle due condizioni dell’Eq.10 è verificata per i = 1 è anche verificata per un
qualunque altro indice i , dal momento che sarà sufficiente moltiplicare per i l’intero k che rendeva
soddisfatta la condizione per i unitario. È banalmente verificato il viceversa, se una delle due
condizioni è verificata per ogni i lo è anche per i = 1 . Quindi la condizione espressa dall’Eq.10 è
equivalente alla stessa condizione soltanto per i = 1 . Inoltre, ricordando la definizione Δϑ = 2π / N B ,
l’Eq.10 può essere riscritta come segue:
n NV ± dm
= intero (positivo, negativo o nullo)
NB
(11)
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Il verificarsi delle due condizioni Eq.9 ed Eq.11, per una data combinazione di armonica e modo
proprio n, m comporta la condizione di risonanza, perché si accumula indefinitamente lavoro non
nullo su un elevato numero di cicli, su tutte le pale. Tuttavia, ci possono essere delle combinazioni
n, m per le quali vale la condizione dell’Eq.9, ma non vale l’Eq.11. In questi casi si può avere
combinazione parzialmente costruttiva o completamente distruttiva (Fig.2(b), Fig.2(c)). Nei casi di
combinazione parzialmente costruttiva, in linea di principio, si ha lo stesso una risonanza. Tuttavia, la
trattazione che porta al diagramma SAFE considera solo i casi di risonanza completamente costruttiva,
trascurando le altre. Anche i modi propri con distribuzione spaziale non armonica rientrano nel caso di
combinazione parzialmente costruttiva e quindi vengono scartati, come detto in precedenza.
L’accumulo di lavoro può essere compensato dagli inevitabili attriti e smorzamenti che subisce la
struttura. Quindi, l’oscillazione raggiunge un suo limite senza necessariamente degenerare, sia nel
caso di risonanza piena, sia nel caso di risonanza con combinazione parzialmente costruttiva.
L’eventualità che gli effetti di smorzamento siano in grado di mantenere limitata un’oscillazione di
risonanza si assume che valga anche quando si trascurano le armoniche di indice superiore ad un certo
numero. Infatti, le combinazioni n, m sono infinite. Fortunatamente, l’intensità delle armoniche tende
a zero all’aumentare dell’indice dell’armonica stessa. Questo principio permette quindi di limitare la
ricerca di possibili risonanze su un numero finito (e limitato) di armoniche.
3. IL DIAGRAMMA SAFE
Applicando le condizioni dell’Eq.11 è possibile determinare per ogni armonica n il numero di
diametri nodali d m di accoppiamento pienamente costruttivo. Si può dimostrare che per ogni valore di
n esiste uno valore, ed unico, di accoppiamento d m , ricordando deve essere 0 ≤ d m ≤ d m,max . Si può
pertanto rappresentare una “mappa di accoppiamento”, Fig.6, in cui si riporta per ogni n il
corrispondente valore di d m . Inoltre, si può dimostrare che alternativamente ad applicare l’Eq.11 si
può ottenere il numero di diametri nodali di accoppiamento semplicemente contando il numero di vani
a partire da d m = 0 per la prima armonica, ripartendo dal valore precedente per le armoniche
successive, ed applicando le riflessioni in corrispondenza del numero massimo di diametri nodali,
secondo gli schemi rappresentati in Fig.6. Come detto in precedenza non c’è un limite superiore
dell’indice di armonica, tuttavia le armoniche che si considerando sono un numero limitato.
8
8
N B = 10
NV = 7
6
5
4
3
7
2
1
0
1
1
2
3
4
2
3
4
nodal diameter
6
5
5
NB
2
7
excitation harmonic order
excitation harmonic order
7
NB = 9
NV = 7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
7
6
3
4
1
2
3
nodal diameter
4
NB −1
5 2
(a)
(b)
Figura 6: Mappa di accoppiamento: indice armonica – numero di diametri nodali. (a) Numero di pale
pari. (b) Numero di pale dispari.
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450
N B = 10
450
400
NV = 7
400
350
350
300
300
d m (n = 2), Ω 2
250
200
d2 = 3
150
d m (n = 1), Ω1
100
d1 = 2
50
0
d3 = 4
frequency, Hz
frequency, Hz
A questo punto è possibile combinare la condizione di accoppiamento di forma con la condizione sulla
frequenza, ottenendo appunto il diagramma SAFE. In ascissa si riporta il numero di diametri nodali, in
ordinata la frequenza (espressa in Hz, oppure in rad/s, o al limite in rpm). Si riportano i modi propri su
questo diagramma, individuandoli come numero di diametri nodali (la forma del modo) e valore della
frequenza propria. Successivamente, si riporta una linea (linea delle armoniche) con pendenza pari al
valore della velocità di rotazione della ruota palettata (espressa in Hz, oppure in rad/s, o al limite in
rpm, in accordo con l’unità di misura usata per i modi propri). Si applica la regola delle riflessioni
analogamente alla mappa di accoppiamento, Fig.6. Si marca su questa linea un punto ogni volta che
viene percorso un numero di passi pari al numero di vani N V . Il verificarsi di una risonanza è
individuato dalla coincidenza di uno di questi punti sulla linea delle armoniche, con uno dei modi
propri, Fig.7.
250
200
NB = 9
NV = 7
d3 = 4
d m (n = 2), Ω 2
150
d2 = 3
100
50
d1 = 2
0
2
3
4
5
0
1
2
3
4
shape
shape
(a)
(b)
Figura 7: Costruzione del diagramma SAFE. (a) Numero di pale pari. (b) Numero di pale dispari.
0
1
Nell’esempio di Fig.7(a) il secondo modo proprio è caratterizzato da 3 diametri nodali, del resto anche
la prima armonica ha 3 come numero di diametri nodali di accoppiamento, per quella combinazione di
numero di pale e numero di vani. Il secondo modo proprio però ha una frequenza non identica alla
prima armonica, che è pari alla frequenza di rotazione moltiplicata per il numero di vani (in accordo
sia con l’Eq.1 sia con la pendenza della linea delle armoniche). Procedendo, la seconda armonica ha
frequenza pari alla velocità di rotazione moltiplicata per 2 volte il numero di vani (in accordo con
l’Eq.2). Il terzo modo oltre ad avere la stessa frequenza propria ha anche lo stesso numero di diametri
nodali di accoppiamento della seconda armonica. Quindi la combinazione fra il terzo modo proprio e
la seconda armonica costituisce una risonanza, ed infatti sono verificate le due condizioni: l’Eq.9 e una
delle due dell’Eq.11. Nel diagramma SAFE si individua la risonanza come coincidenza fra il punto
che rappresenta il terzo modo proprio e il punto che rappresenta la seconda armonica. Infine, la
Fig.7(b) riporta un esempio analogo ma relativo ad un numero di pale dispari.
Ritornando all’esempio di Fig.7(a), nonostante fosse stato scartato che il secondo modo potesse dare
luogo ad una risonanza con la prima armonica, perché le due frequenze non erano esattamente uguali,
bisogna però notare che:
• la frequenza di rotazione della girante può subire delle variazioni (regime variabile), infatti
spesso si riporta il diagramma SAFE non come una linea delle armoniche singola ma come
una banda delimitata da due linee;
• l’amplificazione dinamica del modo proprio può essere molto elevata anche se la frequenza di
eccitazione non coincide esattamente con la frequenza del modo proprio, generando
comunque una vibrazione molto pericolosa della girante.
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La vicinanza fra un modo proprio e la sua eccitante deve essere valutata sul diagramma SAFE secondo
la direzione verticale, ossia secondo la variabile della frequenza, dopo aver verificato l’accoppiamento
della forma.
Come detto in precedenza, ci si limita ad un numero necessariamente finito, e solitamente non elevato,
di armoniche, interrompendo il diagramma SAFE ad un certo livello di frequenza. Coerentemente i
modi propri possono essere cercati limitatamente a quel livello di frequenza. Non è possibile
escludere, quindi, che ci siano altre frequenze nella parte superiore del diagramma SAFE non
investigata. Questa limitazione è tollerata assumendo che l’intensità delle armoniche di ordine elevato
tende ad essere sempre più bassa, e quindi anche una risonanza piena può essere non pericolosa,
considerando gli inevitabili (in questo caso benefici) effetti di attrito e smorzamento.
4. APPLICAZIONE DEL DIAGRAMMA SAFE AD UNA FAMIGLIA DI RUOTE PALETTATE
Si riporta l’analisi di una famiglia di ruote palettate (la geometria di riferimento è quella di Fig.4) per
le quali sono stati variati i numeri di pale e di vani e lo spessore del disco, Tab.1.
Tabella 1: Famiglia di ruote palettate considerata.
Configurazione
Ruota/Statore
Numero pale
Spessore disco
[mm]
Numero vani
NB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
13
15
13
17
13
17
13
16
16
10
19
28
10
22
28
10
16
27
13
4
4
4
7
7
9
11
11
11
9
NV
In Fig.8 si riportano i primi 50 modi propri della ruota della configurazione 1, in cui si mette in
evidenza la presenza di modi “gemelli”. Molti dei modi propri della ruota 1 (analogamente anche per
le altre ruote) sono di natura non armonica secondo la coordinata angolare, per cui sistematicamente
scartati nella presente trattazione.
Example of
“twin” modes
Figura 8: Primi 50 modi propri della ruota della configurazione 1.
Nonostante il diverso numero di pale e il diverso spessore del disco (il numero di vani non ha
influenza sui modi propri) queste ruote hanno mostrato distribuzioni dei modi propri molto simili,
Fig.9, avendo stessi diametri interno ed esterno e stessa altezza. In particolare si riconosce un certo
andamento crescente, comune, della frequenza naturale dei primi modi propri con il numero di
diametri nodali. Successivamente, sopra ad una certa frequenza (che per la geometria in questione è
intorno a 4000 Hz) i modi propri sono distribuiti pressoché uniformemente su tutti i diametri nodali.
Data questa distribuzione il diagramma SAFE permette di evitare risonanze nella prima parte del
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grafico, selezionando il numero di vani ottimale. Invece, per la parte superiore è pressoché impossibile
evitare risonanze. L’approccio del diagramma SAFE tuttavia permette di concludere che scegliendo un
numero di vani basso, la frequenza di rotazione viene moltiplicato per un numero più piccolo e quindi
si raggiunge la soglia di frequenza oltre la quale i modi sono uniformemente distribuiti in
corrispondenza di un ordine di armonica più elevato. Come detto in precedenza è lecito attendersi
un’intensità debole delle armoniche superiori e quindi tollerare le risonanze con indici di armoniche
elevati.
6000
Frequency, Hz
5000
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
4000
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nodal diameters
Figura 9: Distribuzione dei modi propri di tutte le 10 ruote.
La Fig.10 mostra la scelta ottimale della configurazione ruota – numero di vani, fra quelle considerate,
che permette di evitare risonanze fino ad un ordine elevato di armonica. Questa configurazione
ottimale è la numero 3 della Tab.1. I diagrammi SAFE delle altre configurazioni non sono stati
riportati per brevità. Come discusso precedentemente, il numero di vani della configurazione ottimale
è il minimo, pari a 4. La scelta di un numero ridotto di vani deve però essere non in contrasto con le
esigenze fluidodinamiche.
6000
41
40
frequency, Hz
5000
4000
38
36
35
21
33
31
18
20
3000
25
16
2000
15
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
shape
Figura 10: Configurazione ottimale con basso numero di vani.
40° CONVEGNO NAZIONALE – PALERMO, 7-10 SETTEMBRE 2011
5. CONCLUSIONI
•
•
•
Il diagramma SAFE permette di superare la semplice condizione di coincidenza fra armonica
della forzante e frequenza del modo proprio, identificando come pericolose solo quelle
combinazioni per le quali anche la forma del modo proprio è in pieno accoppiamento con la
forzante. Questa selezione è di notevole interesse dato che le ruote palettate hanno le
frequenze dei modi propri molto ravvicinate.
Il diagramma SAFE permette quindi di scegliere la combinazione più opportuna di geometria
ruota, numero di pale, e numero di vani dello statore, al fine di evitare le risonanze.
La famiglia di ruote considerata ha fornito un esempio di applicazione del diagramma SAFE.
È buona norma scegliere un numero di vani basso in modo che le prime armoniche (a più alta
intensità) si esauriscano prima di trovare la zona in cui i modi sono distribuiti su tutti i
diametri nodali che rende pressoché impossibile individuare una configurazione priva di
risonanze.
BIBLIOGRAFIA
[1] H.P. Bloch and M. Singh. Steam Turbines: design, applications and re–rating. McGraw–Hill, 2nd
edition, 2008.
[2] R.E.D. Bishop and D.C. Johnson. The Mechanics of Vibration, Cambridge University Press,
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[3] M.P. Singh. SAFE Diagram, technical report, Dresser-Rand Company, 1984. ST 16.
[4] M.P. Singh. SAFE diagram – a design and reliability tool for turbine blading, technical report,
Dresser-Rand Company, 2002. TP024.
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[6] G. Nordwall, M. Leduc, and A. Demeulenaere. Unsteady blade and disk resonant stress analysis
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