Esercizi di termologia
L. Paolucci
14 dicembre 2009
Sommario
Termologia: esercizi e problemi con soluzioni.
Per la classe seconda.
Anno Scolastico 2009/10.
Versione: v1
Si ricordi che
1 cal = 4,186 J
.
Quindi il calore specifico dell’acqua è
cH2 O = 1
cal
J
J
=
4186
= 4186
g °C
kg ◦ K
kg °C
.
Inoltre per la conversione tra temperatura Celsius e temperatura Kelvin (assoluta) si ha
0 °C = 273,15 ◦ K
.
1. Una sbarra di ferro, inizialmente alla temperatura di 20 °C, viene introdotta in un forno
1
. Determinare la temperatura del forno.
nel quale essa si allunga di
300
(Coefficiente di dilatazione termica lineare del ferro a 20 °C : λFe = 1,2 · 10−5 °C−1 )
Si osservi che non si conosce la lunghezza iniziale l0 della sbarra ma, poiché la dilatazione ∆l è
1
della lunghezza iniziale, si ha
300
∆l
1
=
.
l0
300
Possiamo quindi calcolare agevolmente l’aumento di temperatura subìto dalla sbarra. Dalla
relazione
∆l = λ l0 ∆t ,
1
si ricava
∆t =
∆l
1
= 278 °C .
=
−5
λ l0
1,2 · 10 °C−1 · 300
La temperatura del forno è quindi
t = t0 + ∆t = 20 + 278 = 298 °C
.
2. Una sfera di alluminio piena subisce un incremento di temperatura di 500 °C. Sapendo
che il coefficiente di dilatazione lineare dell’alluminio è λAl = 2,38 · 10−5 °C−1 , stabilire
di quanto variano il diametro ed il volume della sfera.
Si ricordi innanzitutto che il valore assoluto della dilatazione termica è proporzionale alle dimensioni iniziali. Per quanto riguarda il problema si deve quindi osservare che, poiché non si
conosce il diametro iniziale della sfera, non si può determinare in senso assoluto l’entità della
dilatazione; si può solamente stabilire quanto vale la dilatazione rispetto alla lunghezza iniziale,
cioè determinare la dilatazione relativa
∆l
1
12
= λ ∆t = 2,38 · 10−5
· 500 °C = 0,012 =
l0
°C
1000
.
12
del proprio valore iniziale.
1000
Per quanto riguarda la variazione di volume, essa si ricava dall’analoga relazione
Possiamo quindi concludere che il diametro varia di
∆V
1
36
= α ∆t = 7,14 · 10−5
· 500 °C = 0,036 =
V0
°C
1000
,
dove per il coefficiente di dilatazione volumica si è assunto il valore
α ' 3 λ = 7,14 · 10−5 °C−1
.
3. Un calorimetro delle mescolanze contiene 300 g d’acqua alla temperatura iniziale di
18,6 ◦ C. In esso vengono versati 200 g d’acqua calda, alla temperatura di 72,4 ◦ C. Il
sistema raggiunge l’equilibrio termico alla temperatura di 37,5 ◦ C.
Determinare le quantità di calore Q1 e Q2 assorbito e ceduto dalle due masse d’acqua.
Determinare la quantità di calore Qcal assorbita dal calorimetro.
Determinare la massa equivalente del calorimetro.
Le quantità di calore Q1 assorbito dall’acqua fredda e Q2 ceduto dall ’acqua calda si calcolano,
rispettivamente, come segue:
Q1 = c · m1 · ∆t1 = c m1 (te − t1 )
,
Q2 = c · m2 · ∆t2 = c m2 (te − t2 )
,
2
dove c è il calore specifico dell’acqua e te la temperatura d’equilibrio del sistema al termine dello
scambio di calore.
Eseguendo i calcoli si ottiene
cal
· 300 g · (37,5 − 18,6) °C = 5670 cal ,
g °C
cal
· 200 g · (37,5 − 72,4) °C = − 6980 cal .
Q2 = 1
g °C
Q1 = 1
Come si vede le due quantità, a parte il segno, sono diverse: si deduce che non tutto il calore
ceduto dall’acqua calda è assorbito da quella fredda, una parte di esso è assorbita dal calorimetro
stesso (cioè dalle sue pareti interne, dall’agitatore e dal termometro, cioè da tutte le parti
a contatto con l’acqua). Chiamiamo Qcal tale quantità di calore: essa risulta pari al calore
“mancante” dal confronto tra Q1 e Q2 . Lo scambio di calore nel calorimetro deve avvenire,
come sempre, in modo che tutto il calore scambiato dalle parti calde è assorbito dalle parti
fredde, dunque:
.
Q1 + Qcal = −Q2
Risulta allora
Qcal = − Q1 − Q2 = − 5670 − ( − 6980) = 1310 cal
.
La massa equivalente di un calorimetro (o equivalente in acqua del calorimetro) è la massa
fittizia d’acqua che assorbirebbe, nelle stesse condizioni, la stessa quantità di calore assorbita
effettivamente dal calorimetro. Per determinare la massa equivalente me è quindi sufficiente
calcolare la quantità di calore assorbita dal calorimetro come se fosse assorbita da una massa
me aggiuntiva d’acqua fredda. Ponendo
Qcal = c me ∆t1
,
si può così ricavare
me =
Qcal
1310 cal
= cal
= 69,3 g
c ∆t1
1 g °C · (37,5 − 18,6) °C
.
4. Una sbarra di ferro alla temperatura iniziale di 20 ◦ C è lunga 10,000 m. Sapendo
che il coefficiente di dilatazione lineare del ferro è 1,2 · 10−5 ◦ C−1 , determinare a quale
temperatura bisogna riscaldare la sbarra perché essa assuma una lunghezza di 10,006 m.
Determiniamo dapprima quale deve essere la variazione di temperatura corrispondente alla
dilatazione richiesta; poiché
∆l = λ l0 ∆t ,
si ha
∆t =
∆l
(10,006 − 10,000) m
=
= 50 °C .
1
λ ∆l0
1,2 · 10−5 °C
· 10,000 m
La temperatura finale risulterà quindi
t1 = t0 + ∆t = 20 + 50 = 70 °C .
3
5. Un blocco di ferro di massa 500 g alla temperatura iniziale di 145,0 ◦ C viene immerso in un
calorimetro contenente 280 g d’acqua alla temperatura iniziale di 20,0 ◦ C. Determinare
quale temperatura d’equilibrio raggiungerà il sistema. (calore specifico del ferro: cFe =
452 kg·J◦ K )
Risolvere il medesimo problema tenendo conto che la massa equivalente del calorimetro
è me = 55 g.
• Imponiamo innanzitutto la condizione che la quantità di calore Q2 ceduto dal blocco metallico caldo sia uguale ed opposta alla quantità di calore Q1 assorbito dall’acqua fredda
(trascurando il ruolo del calorimetro, di cui si terrà conto in un secondo momento):
Q1 = − Q2
esplicitando
;
c1 m1 ∆t1 = − c2 m2 ∆t2
;
poiché si deve ricavare la temperatura d’equilibrio te , che compare nelle variazioni di
temperatura ∆t, svolgiamo i calcoli:
c1 m1 (te − t1 ) = − c2 m2 (te − t2 ) ,
cioè
c1 m1 te − c1 m1 t1 = − c2 m2 te + c2 m2 t2
;
isolando i termini contenenti te otteniamo:
c1 m1 te + c2 m2 te = c1 m1 t1 + c2 m2 t2
;
raccogliendo a fattor comune si ricava
(c1 m1 + c2 m2 ) · te = c1 m1 t1 + c2 m2 t2
,
e quindi l’importante relazione
te =
c1 m1 t1 + c2 m2 t2
c1 m1 + c2 m2
.
Sostituendo i valori dati si ottiene:
te =
4186
J
kg °C
· 0,280 kg · 20,0 °C + 452
4186
J
kg °C
· 0,280 kg +
J
kg °C · 0,500 kg ·
452 kgJ°C · 0,500 kg
145,0 °C
= 40,2 °C
.
• Per tener conto del fatto che anche il calorimetro assorbe calore è sufficiente applicare le
medesime relazioni appena viste considerando una massa totale d’acqua fredda pari alla
somma di quella effettivamente presente nel calorimetro (m1 ) e di quella che, dal punto di
vista termico, “equivale” al calorimetro (me ): al posto di m1 = 0,280 kg si ha dunque una
massa d’acqua fredda
m1 + me = 0,280 + 0,055 = 0,335 kg
4
.
Dalla relazione scritta sopra per te si ricava ora
te =
4186
J
kg °C
· 0,335 kg · 20,0 °C + 452
4186
J
kg °C
· 0,335 kg +
J
kg °C · 0,500 kg ·
452 kgJ°C · 0,500 kg
145,0 °C
= 37,3 °C
.
Il valore così ottenuto per la temperatura d’equilibrio è più prossimo a quello effettivamente
misurabile in un esperimento e risulta, come previsto, inferiore a quello che si ottiene se
si trascura il ruolo del calorimetro.
6. Determinare quanto calore è necessario fornire ad un blocco di rame avente massa m =
400 g per fonderlo completamente, partendo dalla temperatura ambiente (ti = 20 °C).
; calore latente di fusione del rame: λf = 51 cal
;
(Calore specifico del rame: c = 0,092 gcal
°C
g
temperatura di fusione del rame: tf = 1085 °C)
Determiniamo dapprima la quantità di calore Q∆t necessaria per portare il blocco di rame dalla
temperatura ambiente alla temperatura di fusione:
Q∆t = c m ∆t = 0,092
cal
· 400 g · (1085 − 20) °C = 39192 cal
g °C
;
quindi calcoliamo la quantità di calore Qf necessaria per fondere completamente il blocco di
rame:
cal
Qf = λf m = 51
· 400 g = 20400 cal .
g
La quantità di calore totale Qtot necessaria per l’intero processo risulta quindi
Qtot = Q∆t + Qf = 39192 + 20400 = 59592 cal
.
7. Del ghiaccio tritato a 0 °C viene immerso in acqua bollente (100 °C). Sapendo che la
massa del ghiaccio è mg = 500 g e quella dell’acqua è ma = 240 g, determinare lo stato
finale del sistema una volta che esso ha raggiunto l’equilibrio.
(Calore latente di fusione del ghiaccio: λf = 80 gcal
)
°C
Poiché il ghiaccio si trova a 0 °C esso inizia a fondere e la sua temperatura rimane costante fino
a che esso non è fuso completamente.
Determinare lo stato finale significa determinare la temperatura di equilibrio e le masse delle
parti (eventualmente ghiaccio e acqua) che costituiscono il sistema all’equilibrio.
Per stabilire se il ghiaccio fonde completamente calcoliamo dapprima la quantità di calore Qf
che sarebbe necessaria per tale cambiamento di stato:
Qf = λ f m g =
cal
= 80
· 500 g = 40000 cal
g °C
5
.
Verifichiamo ora se l’acqua bollente, raffreddandosi, può cedere la quantità di calore richiesta;
poiché la temperatura dell’acqua non può scendere oltre 0 °C, la massima quantità Q100−0 di
calore cedibile da parte dell’acqua è
Q100−0 = ca ma ∆t
cal
=1
· 240 g · ( − 100) °C = − 24000 cal
g °C
.
Dunque non vi è calore a sufficienza per fondere completamente il ghiaccio: infatti con 24000
calorie si può fondere una massa mf di ghiaccio pari a
− Q100−0
λf
24000 cal
=
= 300 g
80 cal
g
mf =
.
Cedendo questa quantità di calore l’acqua bollente giunge alla temperatura di 0 °C; a questo
punto la temperatura non cambia più e cessa lo scambio di calore perché acqua e ghiaccio si
trovano alla stessa temperatura ed in equilibrio termico. Sono rimasti 200 g di ghiaccio mentre
il resto è acqua.
Possiamo quindi concludere che lo stato finale del sistema, al quale si raggiuenge l’equilibrio
termico, è costituito da 200 g di ghiaccio e da 300 + 240 = 540 g d’acqua alla temperatura di
0 °C.
6