Probabilità 01 - 1 / 64
Lezione 4
Probabilità
Probabilità 01 - 2 / 64
parte 1
Le tre
definizioni
della probabilità
Probabilità 01 - 3 / 64
Sommario
Premessa
– i modelli matematici della realtà e della probabilità
– lo scopo dei modelli
La definizione di “probabilità”
– definizione a posteriori (frequentista) di probabilità
– definizione a priori (classica) di probabilità
• equiprobabilità degli eventi
• mutua esclusività degli eventi
– definizione assiomatica di probabilità
• assiomi di Kolmogoroff
• conseguenze degli assiomi di Kolmogoroff
• applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
Probabilità 01 - 4 / 64
i “modelli matematici”
della realtà
e della probabilità
Georg Simon Ohm
(1789 – 1854)
Probabilità 01 - 5 / 64
i modelli matematici della realtà
v = R i
a = f( /f m
- kv 2 ) / m
Probabilità 01 - 6 / 64
i modelli matematici della probabilità
1,61 < h < 1,63
1,59 < h < 1,61
1,57 < h < 1,59
Probabilità 01 - 7 / 64
i modelli matematici della probabilità
1,61 < h < 1,63
1,59 < h < 1,61
Francesca Piccinini
e Simona Gioli
h = 1,85
1,57 < h < 1,59
Sara Anzanello
h = 1,92
Probabilità 01 - 8 / 64
i modelli matematici della probabilità
Probabilità 01 - 9 / 64
i modelli matematici della probabilità
Carl Friedrich Gauss
(1777 – 1855)
fX 
 1  x 
1
x 
exp  

2 
 2   
2



Probabilità 01 - 11 / 64
i modelli matematici della probabilità
Waloddi Weibull
(1887 – 1979)
Probabilità 01 - 12 / 64
i requisiti dei modelli matematici
della probabilità
fX 
 1
1
x 
exp 
2 
 2
 x 


  
2



la funzione è uno dei più conosciuti
modelli matematici della probabilità
fX 
 1  x   2 
x   1  exp  
 
 2    
questa funzione potrebbe essere usata come
modello matematico della probabilità ?
Probabilità 01 - 13 / 64
Definizione
“a posteriori”
o frequentista
di “probabilità”
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Probabilità 01 - 14 / 64
Definizione a posteriori ( o “frequentista” )
della probabilità
premesse:
Frequenza :
indichiamo come “frequenza” nE di un evento E
il numero delle volte in cui tale evento si è presentato
in un esperimento composto da N prove.
Frequenza relativa :
indichiamo come “frequenza relativa” fE il rapporto:
nE
fE 
N
Probabilità 01 - 15 / 64
Definizione a posteriori ( o “frequentista” )
della probabilità
definizione:
La probabilità P di un evento E è definita come il limite
a cui tende il valore della frequenza relativa fE di E
quando N tende all’infinito.
fE
P E   Nlim

Probabilità 01 - 16 / 64
esempio
Nell’esperimento consistente nel lancio ripetuto di
una moneta (non truccata) la frequenza relativa
con cui si trova “testa” ha mostrato il seguente andamento
all’aumentare di N
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
lim f E  0,5
N 
Probabilità 01 - 17 / 64
Definizione a posteriori ( o “frequentista” )
della probabilità
La probabilità P di un evento E è definita come il limite
a cui tende il valore della frequenza relativa fE di E
quando N tende all’infinito.
fE
P E   Nlim

Probabilità 01 - 18 / 64
Definizione
“a priori”
o classica
di “probabilità”
Probabilità 01 - 19 / 64
Definizione a priori ( o “classica” )
della probabilità
definizione:
La probabilità P di un evento E è definita come il rapporto
fra il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei
risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati
possibili
P
s
E  
n
Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili
e si escludano mutuamente.
Probabilità 01 - 20 / 64
esempio
Nel lancio di un dado (non truccato) a 6 facce
la probabilità di avere un risultato dispari è:
P
3 1
numero dispari   
6 2
Probabilità 01 - 21 / 64
Condizione di uguale possibilità
Nel lancio di due monete i risultati possibili sono:
– “due teste”:
(T,T),
– “una testa ed una croce”: (T,C),
– “due croci”:
(C,C).
Sarebbe però sbagliato pensare che la probabilità di ottenere
“due croci” sia di 1/3 !
(T,T), (T,C), (C,T), (C,C)
La possibiltà di ottenere “una testa ed una croce” è infatti doppia
rispetto alle altre due combinazioni e si deve pertanto concludere
che:
P
1
due croci  
4
Probabilità 01 - 22 / 64
Condizione di mutua esclusione
Quale è la possibilità di estrarre da un mazzo di 52 carte
un “asso” oppure una carta a “fiori” ?
– 4 sono gli assi A ( , , ,  ,
– 13 sono le carte di fiori  ( A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K ),
Sembrerebbe che la probabilità sia di 17 / 52, ma si deve
considerare che una delle 13 carte di fiori è l’asso !
I casi favorevoli sono quindi:
– 3 assi “non di fiori”:
A ( , ,  ,
– 1 asso di fiori:
( A ,
– 12 carte di fiori dal 2 al K:  ( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K ).
P
16
asso o fiori  
52
Probabilità 01 - 23 / 64
Definizione a priori ( o “classica” )
della probabilità
La probabilità P di un evento E è definita come il rapporto
fra il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei
risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati
possibili
P
s
E  
n
Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili
e si escludano mutuamente.
Probabilità 01 - 24 / 64
Definizione
“assiomatica”
di “probabilità”
Andrej Nikolaevič Kolmogorov
(1903 - 1997)
Probabilità 01 - 25 / 64
Premesse
La definizione assiomatica di probabilità è di applicazione generale,
ma richiede alcune definizioni preliminari:
– fenomeno casuale
– spazio campione
– evento
S
sj
E
– spazio degli eventi
A
– punto campione
Probabilità 01 - 26 / 64
Fenomeno casuale
definizione:
Definiamo il “ fenomeno casuale ” come:
un fenomeno empirico caratterizzato dalla proprietà che la
sua osservazione in un insieme fissato di circostanze non
conduce sempre agli stessi risultati.
1,2
In un fenomeno casuale i singoli risultati hanno un
1
comportamento irregolare e non sono (singolarmente)
0,8
prevedibili,
ma nel complesso si evidenzia un
comportamento
caratterizzato da una “certa” regolarità
0,6
che
è possibile descrivere.
0,4
0,2
0
Probabilità 01 - 27 / 64
Spazio campione
definizione:
Definiamo lo “ spazio campione S ” come:
l’insieme costituito da tutti i risultati possibili a priori.
esempio:
Nel caso del doppio lancio di una sola moneta:
S = { (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) }
n.b.: i risultati (T,C) e (C,T) sono diversi!
Probabilità 01 - 28 / 64
Punti campione
definizione:
Chiamiamo “punti campione sj” gli elementi dello
spazio campione S, ognuno dei quali corrisponde
ad uno dei risultati possibili a priori.
esempio:
Nel caso del doppio lancio di una sola moneta:
S = { (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) }
pertanto:
(T,T) è un punto campione,
(C,C) è un punto campione,
(T,C) e (C,T) sono due distinti punti campione.
Probabilità 01 - 29 / 64
Evento
definizione:
Definiamo l’ “evento E ” come:
un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campione S .
esempio:
Nel caso del doppio lancio di una sola moneta:
S = { (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) }
pertanto:
{ (T,T) }
{ (T,T) , (T,C) }
{ (T,C) , (C,T) , (C,C) }
è un evento (“doppia T”),
è un evento (“primo risultato T”),
è un evento (“no doppia T”).
Probabilità 01 - 30 / 64
Eventi nello spazio campione
Diagramma di Venn che mostra un generico
evento E nello spazio campione S
Ricordiamo che:
l’ “evento E ” è un qualsiasi sottoinsieme di S .
l’ “evento E ” è costituito da “punti campione”.
Probabilità 01 - 31 / 64
Spazio degli eventi
definizione:
Definiamo lo “ spazio degli eventi A ” come:
l’insieme di tutti i possibili eventi E.
Nello spazio degli eventi A includiamo anche:
- lo spazio campione S , che viene chiamato “evento certo”
- l’insieme vuoto , cioè l’insieme che non contiene nessuna
descrizione di S ; esso viene chiamato “evento impossibile”
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
Probabilità 01 - 32 / 64
Spazio degli eventi
definizione:
Definiamo lo “ spazio degli eventi A ” come:
l’insieme di tutti i possibili eventi E.
conseguenza:
Se lo spazio campione S è costituito
da un numero finito #S di elementi (“punti campione”),
lo spazio degli eventi A sarà costituito da 2#S eventi
tra i quali anche  e S.
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
Probabilità 01 - 33 / 64
Algebra degli eventi
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
Aver incluso S e  nello spazio degli eventi
A
ci permette di
costruire un’algebra degli eventi che è strutturalmente equivalente
all’algebra degli insiemi.
Valgono quindi proprietà analoghe:
- all’uguaglianza,
- all’unione,
- all’intersezione,
- al complemento, ...
Probabilità 01 - 34 / 64
Evento complementare EC
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Dato un evento E appartenente ad A si definisce
“evento complementare” di E in S ( EC ) l’evento che si verifica
quando non si verifica E, cioè quell’evento costituito da tutte le
descrizioni (punti campione) di S che non appartengono ad E;
conseguenza:
anche EC è un elemento dello spazio A degli eventi.
E = { (T,T) } _ EC = { (T,C),(C,T),(C,C) }
Probabilità 01 - 35 / 64
Evento complementare EC
Diagramma di Venn che mostra un evento E ed il
suo complementare EC nello spazio campione S
Ricordiamo che:
Dato un evento E appartenente ad A si definisce
evento complementare di E in S ( EC ) l’evento che si verifica
quando non si verifica E, cioè quell’evento costituito da tutte le
descrizioni di S che non appartengono ad E.
Probabilità 01 - 36 / 64
Evento unione E  F
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli
eventi A, si definisce “evento unione” di E e di F ( E  F )
l’evento che si verifica quando si verifica E o F o entrambi,
cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che
appartengono ad E o ad F o ad entrambi;
conseguenza:
anche E  F è un elemento dello spazio degli eventi A.
E = { (T,T) } ; F = { (T,T),(T,C) }
_ E  F = { (T,T),(T,C) }
Probabilità 01 - 37 / 64
Evento unione E  F
Diagramma di Venn che mostra gli eventi E ed F e
il loro evento unione nello spazio campione S
Ricordiamo che:
Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli
eventi A, si definisce “evento unione” di E e di F ( E  F ) l’evento
che si verifica quando si verifica E o F o entrambi, cioè
quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che appartengono
ad E o ad F o ad entrambi.
Probabilità 01 - 38 / 64
Evento intersezione E  F
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli
eventi A, si definisce “evento intersezione” di E e di F ( E  F )
l’evento che si verifica quando si verifica sia E sia F, cioè
quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che
appartengono sia ad E che ad F;
conseguenza:
anche E  F è un elemento dello spazio degli eventi A.
E = { (T,T) } ; F = { (T,T),(T,C) }
_ E  F = { (T,T) }
Probabilità 01 - 39 / 64
Evento intersezione E  F
Diagramma di Venn che mostra gli eventi E ed F e
il loro evento intersezione nello spazio campione S
Ricordiamo che:
Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli
eventi A, si definisce “evento intersezione” di E e di F ( E  F )
l’evento che si verifica quando si verifica sia E sia F, cioè
quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che appartengono
sia ad E che ad F.
Probabilità 01 - 40 / 64
Sottoevento E  F
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Dati due eventi E ed F , si definisce E come un
“sottoevento di F ” ( E  F ) quando l’insieme delle
descrizioni di E è contenuto nell’insieme delle
descrizioni di F ;
conseguenza:
il verificarsi di E implica il verificarsi di F ,
ma non vale il viceversa.
E = { (T,T) } ; F = { (T,T),(T,C) }
_EF
Probabilità 01 - 41 / 64
Sottoevento E  F
Diagramma di Venn che mostra l’evento E come
sottoevento di F nello spazio campione S
Ricordiamo che:
Dati due eventi E ed F, appartenenti allo spazio degli eventi A, si
definisce E come un “sottoevento di F” ( E  F ) quando l’insieme
delle descrizioni di E è contenuto nell’insieme delle descrizioni di F
Probabilità 01 - 42 / 64
Eventi uguali - Eventi mutamente esclusivi
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Due eventi E ed F , si dicono “uguali” quando l’insieme delle
descrizioni di E è formato dagli stessi elementi che formano
l’insieme delle descrizioni di F ;
definizione:
Due eventi E ed F , si dicono “mutuamente esclusivi”
( o “mutuamente escludentisi” ) quando l’insieme delle descrizioni
di E è disgiunto dall’insieme delle descrizioni di F ;
EF= 
Probabilità 01 - 43 / 64
Funzione di insieme
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Una funzione si dice: “funzione di insieme” quando ha:
- come dominio una collezione di insiemi
e
- codominio nell’insieme dei numeri reali.
Probabilità 01 - 44 / 64
Funzione di insieme
A = {  , { (T,T) } , ... ,
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
definizione:
Una funzione si dice: “funzione di insieme” quando ha:
- come dominio una collezione di insiemi
e
- codominio nell’insieme dei numeri reali.
Ora possiamo enunciare la definizione assiomatica di probabilità:
Probabilità 01 - 45 / 64
Definizione assiomatica di probabilità
Una funzione di probabilità
P
è una funzione di insieme che:
– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,
A = {  , { (T,T) } , ... ,
(
{ (T,T),(T,C) } , … , S }
… ha come dominio una collezione di insiemi
)
- ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,
(
… ha codominio nell’insieme dei numeri reali
- soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff
)
Probabilità 01 - 46 / 64
Assiomi di Kolmogoroff
I°
P E  0
II°
P S   1
III°
se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi
E  A
dello spazio degli eventi
A
e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi
allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle
probabilità dei singoli eventi:
P





i 1

Ei  


P
i 1
Ei 
A,
Probabilità 01 - 47 / 64
Assiomi di Kolmogoroff
Gli assiomi di Kolmogoroff forniscono la definizione assiomatica
della probabilità.
Essi non ci dicono quale sia il valore della probabilità di un evento,
ma solo quali siano le funzioni che possono essere definite come
“funzioni di probabilità”.
L’obiettivo di tale definizione è quello di consentire la previsione e
la descrizione degli eventi mediante un modello matematico
costituito dallo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ).
Lo spazio di probabilità è formato da:
S
spazio campione;
insieme
degli eventi elementari;
spazio degli
eventi;
A
insieme
di tutti
gli eventi;
P [ ]
●
probabilità di ciascun evento.
Probabilità 01 - 48 / 64
Particolarizzazione del III assioma
se E1 ,
E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi
dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene
allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari
alla somma delle probabilità dei singoli eventi:
P





i 1

Ei  


P
Ei 
i 1
se E1 , E2 , … , En è una sequenza finita di eventi
mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A
e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio
degli eventi A, allora
P
 n

Ei  

 i 1 

n
P
i 1
 Ei 
Probabilità 01 - 49 / 64
Conseguenza del II assioma di Kolmogoroff
se E è un evento dello spazio degli eventi A allora:
P C[ S ]  1
P [ E ]  1 P [ E ]
E  E C  S 


C
E  E   

P [ S ]  P [ E ]  P [ E ]

P [ S ]  1
C

P [ E ] 1 P [ E ]
C
Probabilità 01 - 50 / 64
Altre conseguenze
degli assiomi di Kolmogoroff
– qualunque siano gli eventi
E ed F si ha:
P E  F   P E P F  P E  F 
– se E 
F si ha:
P E  P F 
Probabilità 01 - 51 / 64
Applicazione degli assiomi
di Kolmogoroff:
funzioni di probabilità
Probabilità 01 - 52 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
esempio 1:
• Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline
di cui 2 bianche e 3 nere: , , , , .
• L’esperimento casuale consiste nella estrazione…
esempio 2:
• supponiamo di dare corso ad un esperimento
che si svolge in due fasi:
•
•
fase 1: si lancia una moneta;
fase 2: se il lancio della moneta ha dato:
T : si lancia una seconda moneta;
C : si lancia un dado a 6 facce.
Probabilità 01 - 53 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una
funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di
probabilità.
esempio 1:
• Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline di cui 2
bianche e 3 nere: , , , , .
• L’esperimento casuale consiste nella estrazione in successione
di due palline, senza reimmissione della prima pallina estratta.
• Lo spazio campione S è dato da:
S = { (,), (,), (,), (,), (,),
(,),…, (,), (,),…, (,) }
Probabilità 01 - 54 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
S = { (,), (,), (,), (,), (,),
(,),…, (,), (,),…, (,) }
• Definiamo poi i seguenti eventi:
– E1: la prima pallina estratta sia bianca
– E2: la seconda pallina estratta sia bianca
– E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera
– E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche
– E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5
– E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5
– E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4
– E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10
– E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10
Probabilità 01 - 55 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
S = { (,), (,), (,), (,), (,),
(,),…, (,), (,),…, (,) }
• Definiamo poi i seguenti eventi:
– E1: la prima pallina estratta sia bianca
– E2: la seconda pallina estratta sia bianca
– E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera
– E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche
– E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5
– E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5
– E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4
– E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10
– E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10
Probabilità 01 - 56 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
S = { (,), (,), (,), (,), (,),
(,),…, (,), (,),…, (,) }
• Gli eventi definiti possono essere rappresentati dagli insiemi:
– E1 = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) }
– E2 = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) }
– E3 = { (,), (,), (,), (,), (,), (,) }
– E4 = { (,), (,) }
– E5 = { (,), (,), (,), (,) }
– E6 = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) }
– E7 = { (,), (,), (,), (,) }
– E8 = S
– E9 = 
Probabilità 01 - 57 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
S = { (,), (,), (,), (,), (,),
(,),…, (,), (,),…, (,) }
• Lo spazio campione S è finito
ed è composto da 20 “punti campione”:
# S = N = 20
• I punti campione sono equiprobabili pertanto:
P  s1  P  s2     P  sN   1 N
• Se si introduce la funzione
P Ei  
# Ei
#S
è possibile verificare che essa è funzione di insieme e soddisfa i 3
assiomi di Kolmogoroff ed è pertanto una funzione di probabilità.
Probabilità 01 - 58 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
• La funzione di probabilità definita ci permette di individuare la
probabilità che “la somma dei numeri delle palline estratte sia
uguale a 5”, cioè la probabilità dell’evento E5.
S = { (,), (,), (,), (,), (,),
(,),…, (,), (,),…, (,) }
E5 = { (,), (,), (,), (,) }
P
: # S = 20
: # E5 = 4
4
E5  

 0,2
#S
20
# E5
Allo stesso risultato saremmo giunti, ma in modo formalmente
meno rigoroso, mediante la valutazione a priori (o classica)
della probabilità.
Probabilità 01 - 59 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una
funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di
probabilità.
esempio 2:
supponiamo di dare corso ad un esperimento si svolge in due fasi:
• fase 1: si lancia una moneta;
• fase 2: se il lancio della moneta ha dato:
T : si lancia una seconda moneta;
C : si lancia un dado a 6 facce.
Quando l’esperimento si svolge in più passi successivi, per
elencare i possibili punti campione può essere utile ricorrere
ad un diagramma ad albero
Probabilità 01 - 60 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
• fase 1: si lancia una moneta;
• fase 2: se il lancio della moneta ha dato:
T : si lancia una seconda moneta;
C : si lancia un dado a 6 facce.
Probabilità 01 - 61 / 64
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
• individuata la probabilità
p
j
di
ciascun punto campione:
p = P [{ s }]
 p =1
j
j
N
con j = 1, 2, … , N e con
j
j 1
• definiamo per ogni evento
• si può dimostrare che la
Ei  S:
P Ei  
p

j:s j Ei
P [Ei ] è funzione di insieme e
soddisfa i tre assiomi di Kolmogoroff pertanto essa è una
“funzione di probabilità”.
j
Probabilità 01 - 62 / 64
Probabilità assiomatica: conclusioni
• La definizione assiomatica di probabilità si basa sui tre assiomi
di Kolmogoroff e ci porta a concludere che una funzione può
essere considerata “funzione di probabilità” se rispetta tali
assiomi.
• Le due funzioni mostrate negli esempi,
– l’una valida nel caso di
punti campione equiprobabili:
P Ei  
# Ei
– l’altra valida nel caso più generale:
P Ei  
p

possono essere considerate funzioni di probabilità.
#S
j:s j Ei
j
Probabilità 01 - 63 / 64
Dalla popolazione oggetto
allo spazio campione
tramite la misurazione
• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli
elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.
• Limitiamo il nostro
interesse a quelle
caratteristiche che
sono classificabili
come
“grandezze misurabili”
(numerali, razionali,
strumentali, selettive
o complesse).
• Lo “spazio campione” è costituito dai possibili risultati
della misurazione della caratteristica comune
della popolazione oggetto.
Probabilità 01 - 64 / 64
Nella prossima puntata ...
Dalla probabilità alla statistica
– le variabili casuali
• dalla popolazione oggetto alla variabile casuale
– variabili casuali discrete
• funzione di distribuzione cumulativa
• funzione di densità discreta
– variabili casuali continue
• funzione di densità di probabilità
– le funzioni di probabilità ed i loro parametri
• media,
• varianza e scarto quadratico medio
• quantili
– la distribuzione normale
• i parametri della distribuzione normale
• dalla distribuzione normale a quella standardizzata
– introduzione agli stimatori