Scambi fra
donatori di reni:
modellizzazione e “mechanism
design”
Liste d’attesa per un
trapianto di rene
al 31 dicembre 2005:
• Iscritti: 6362
• Tempo media d’attesa: 2,99 anni
• Percentuale mortalità: 1,52%
Trapianti di rene nel 2005
• 1662 interventi
• 75 da donatore vivente
Liste d’attesa
rene – fegato - cuore
7000
6000
5000
4000
rene
3000
fegato
cuore
2000
1000
0
2002 2003 2004 2005
Idea alla base del lavoro:
• Implementare scambi tra coppie
donatore-paziente tra di loro non
compatibili
Donatore2
Paziente1
Paziente2
Donatore1
Semplificazioni al
problema:
• Scambi tra coppie
• Modello statunitense: compatibilità 0-1
Modellizzazione del
problema:
•
•
•
•
N = {1,2,…,n} insieme di pazienti
Di donatori per il paziente i
A insieme dei matching
R insieme dei preordini degli elementi di N
sull’insieme A
Matching in A:
il paziente i non viene associato
i viene associato a j, se c’è compatibilità
avverrà lo scambio
• Consideriamo:
•Le preferenze di i sono:
Consideriamo:
Razionalità individuale:
scambio tra i e j
il paziente i non riceve un rene
Pareto-efficienti: massimali
Implementiamo la “social
choice rule”:
attraverso il meccanismo di priorità
Ordine di priorità: permutazione dei pazienti in
modo che il k-esimo giocatore abbia la k-esima
priorità
Meccanismo di priorità
Consideriamo un ordine di priorità (1,2,…,n) sui pazienti
Definendo la game form attraverso
il meccanismo di priorità, una
strategia dominante consiste nel:
• dichiarare come accettabile l’intero
insieme di giocatori;
• dichiarare interamente il proprio
insieme di donatori
Decomposizione di GallaiEdmonds
Underdemanded patients:
Overdemanded patients:
Perfectly matched patients:
Esempio di gioco:
3
2
4
12
1
Overdemanded
15
6
9
5
7
8
10
13
14
16
11
Underdemanded: N  N \ 1,2
U
Meccanismo egualitario
• Lotteria: distribuzione di probabilità
sull’insieme dei matching
• Meccanismo stocastico: procedura
sistematica che seleziona una lotteria
• Matrice di allocazione: riassume la
probabilità che i sia associato con j
• Profilo di utilità:
• Chiamiamo D l’insieme delle componenti
dispari tra gli underdemanded patients,
riordinate in ordine decrescente di priorità
• Consideriamo:
Definiamo l’insieme dei vicini di
• Per ogni
definiamo
in I:
Partizioniamo
in
nel seguente modo:
Passo 1:
Passo k:
e
in
Profilo di utilità egualitario
Costruiamo
nel modo seguente:
Il profilo di utilità egualitario è fattibile.
Nel nostro esempio:
Esempio di gioco:
3
2
4
12
1
Overdemanded
15
6
9
5
7
8
10
13
14
16
11
Underdemanded: N  N \ 1,2
U
Dominanza secondo Lorenz
Riordiniamo il vettore in ordine crescente
Diciamo che il profilo di utilità egualitario domina
secondo Lorenz ogni altro profilo di utilità fattibile,
cioè che
per ogni v profilo di utilità fattibile ordinato in ordine
crescente
Curva di Lorenz
Per una popolazione di cardinalità n, alla quale viene
attribuita una sequenza di valori
in ordine crescente, la curva di Lorenz è la poligonale
che congiunge
dove
Per il nostro esempio:
100
90
80
70
% of income
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
% of households
70
80
90
100
Indice di Gini
Coefficiente di Gini:
Nel nostro esempio:
L’indice di Gini per il nostro problema è quindi
dell’ 8,85%