Capitolo 9
Cinematica e
dinamica rotazionale
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
Il tipo di moto più comune è una combinazione
di moto traslatorio e di moto rotatorio,
chiamato moto rototraslatorio.
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
Durante una rotazione attorno a un asse,
detto asse di rotazione, tutti i punti di
un corpo rigido percorrono traiettorie
circolari aventi tutte il centro sull’asse.
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
DEFINIZIONE DI SPOSTAMENTO ANGOLARE
Quando un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso,
il suo spostamento angolare è l’angolo descritto dalla linea
radiale che passa per un punto qualunque del corpo
ed è perpendicolare all’asse di rotazione.
Per convenzione lo spostamento
angolare è positivo se la rotazione
avviene in senso antiorario e negativo
se avviene in senso orario.
!" = " # " o
unità di misura nel SI: radiante (rad)
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
DEFINIZIONE DI VELOCITA’ ANGOLARE MEDIA
velocità angolare media =
spostamento angolare
tempo impiegato
" # " o $"
!=
=
t # to
$t
Unità di misura nel SI: radianti al secondo (rad/s)
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
DEFINIZIONE DI VELOCITA’ ANGOLARE MEDIA
accelerazione angolare media =
variazione della velocità angolare
tempo impiegato
" # "o $"
!=
=
t # to
$t
Unità di misura nel SI: radianti al secondo quadrato (rad/s2)
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
Esempio 1 Un motore su di giri
Ponendosi di fronte all’aereo,
la velocità angolare iniziale
di rotazione delle pale
della turbina è 110 rad/s,
dove il segno meno indica
che le pale ruotano in senso
orario. Per decollare, il pilota aumenta
la velocità angolare delle pale fino a raggiunge un valore di
330 rad/s in 14 s.
Calcola l’accelerazione angolare media delle pale.
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9.1 I corpi rigidi e il moto di rotazione
"
(
! 330 rad s )! (! 110 rad s )
=
= !16 rad
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14 s
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s
2
9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
vT = velocità tangenziale
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9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
"=
s r'
&' #
vT = =
= r$ !
t
t
%t"
vT = ! r
(! in rad/s)
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!
t
9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
! # !o
"=
t
aT =
vT ! vTo
t
"r ) ! (" r )
" !"
(
=
=r
aT = r!
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o
t
t
(! in rad/s )
2
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o
9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
( )
!r
v
ac = =
r
r
(! in rad/s)
2
T
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2
=! r
2
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9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
Esempio 2 Una pala di elicottero
La pala dell’elicottero ha un’accelerazione angolare
di α = 1,30 giri/s2. Calcola
l’accelerazione tangenziale
dei punti della pala indicati
con 1 e 2.
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9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
giri $ # 2! rad $
#
" = %1,30 2 & %
& = 8,17 rad s
s ( ' 1 giro (
'
Punto 1
"
rad %
! T = ! r = $8,17 2 ' 3,00m = 24,5 m s
s &
#
(
)
Punto 2
"
rad %
! T = ! r = $8,17 2 ' 6,70m = 54,7 m s
s &
#
(
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)
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9.2 Relazioni fra grandezze angolari e grandezze tangenziali
La velocità di un punto sul profilo esterno
del pneumatico è uguale alla velocità
dell’automobile ripetto al terreno.
d
s
=
!t !t
v = "r
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9.3 Il momento di una forza
Nel moto traslatorio la causa dell’accelerazione di un corpo
è la forza totale che agisce su di esso.
Qual è la grandezza fisica responsabile
dell’accelerazione angolare di un corpo?
MOMENTO DI UNA FORZA
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9.3 Il momento di una forza
L’effetto della forza dipende dal suo modulo, dalla sua
direzione e dalla distanza tra il punto di applicazione
della forza e l’asse di rotazione della porta.
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9.3 Il momento di una forza
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9.3 Il momento di una forza
DEFINIZIONE DI MOMENTO DI UNA FORZA
Il momento di una forza F di braccio b è
M = Fb
Per convenzione, il segno è considerato positivo quando il
momento tende a provocare una rotazione in senso antiorario
attorno all’asse di rotazione e negativo quando tende a
provocare una rotazione in senso orario.
Unità di misura: newton · metri (N · m)
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9.3 Il momento di una forza
Esempio 4 Il tendine di Achille
L’articolazione di una caviglia e il tendine di Achille,
che è inserito in un punto P del calcagno. Il tendine esercita
una forza di modulo F = 720 N. Calcola il momento torcente
rispetto all’articolazione della caviglia che si trova a 3,6 ·102 m
dal punto P.
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9.3 Il momento di una forza
M
cos60 =
M = Fb
3,6 !10"2 m
"2
!
M = 720 N 3,6 !10 m cos60 =
!
(
)(
)
= 13 N ! m
720 N
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
Se un corpo è in equilibrio, sia il suo moto di traslazione
che quello di rotazione non subiscono cambiamenti.
ax = a y = 0
!F
x
=0
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! =0
!F
y
=0
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!M =0
9.4 Corpi rigidi in equilibrio
EQUILIBRIO DI UN CORPO
Un corpo rigido è in equilibrio quando sono nulle sia
la risultante delle forze esterne sia la risultante dei momenti
delle forze esterne applicate al corpo:
!F
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=0
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!M =0
9.4 Corpi rigidi in equilibrio
Esempio 5 Un trampolino
Una tuffatrice che pesa 530 N è ferma sul bordo di
un trampolino lungo 3,90 m. Il trampolino ha un peso
trascurabile e è imbullonato al suo estremo sinistro e sostenuto
da un fulcro posto a 1,40 m da questo estremo.
Trova le forze F1 e F2 esercitate sul trampolino rispettivamente
dal bullone e dal fulcro.
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
! M = +F b
2 2
F2
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" PbP = 0
PbP
F2 =
b2
530 N ) (3,90 m )
(
=
= 1480 N
1,40 m
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
!F
y
= "F1 + F2 " P = 0
!F1 +1480 N ! 530 N = 0
F1 = 950 N
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
Esempio 6 Spegnere un incendio
Una scala antincendio, lunga 8,00 m
e del peso di 355 N, è appoggiata
a una parete verticale liscia. L’attrito
fra scala e parete è trascurabile, quindi
la parete esercita sulla scala solo
una forza F in direzione
perpendicolare alla sua superficie.
Un pompiere che pesa 875 N è fermo
a 6,30 m dalla base della scala.
Il baricentro della scala coincide con il suo centro geometrico,
mentre il peso dell’estintore è trascurabile.
Calcola le forze esercitate sulla scala dalla parete e dal suolo.
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
!F
!F
x
= Gx " F = 0
y
= G y " PS " PP = 0
G y = PS + PP = 355 N + 875 N = 1230 N
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
" M = !P b
S S
! PP bP + FbF = 0
PS bS + PP bP
F=
=
bF
(355 N )(4, 00 m )(cos 50, 0! )+ (875 N )(6,30 m )(cos 50, 0! )
=
= 727 N
!
(8, 00 m )(cos 50, 0 )
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
xCG =
P1 x1 + P2 x2 +!
P1 + P2 +!
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9.4 Corpi rigidi in equilibrio
Un corpo appeso per un punto P
rimane in equilibrio quando
il suo baricentro si trova sulla retta
verticale passante per P.
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
FT = maT
aT = r!
M = FT r
( )
M = mr !
2
Momento di inerzia, I
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
( )
= (m r ) !
M1 = m r !
2
1 1
M2
2
2 2
(
!
)
MN = m r !
mr ) "
(
!M =!
!
#"#
$
2
Momento torcente
risultante
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Momento di
inerzia I
del corpo rigido
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2
N N
9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA
PER IL MOTO DI ROTAZIONE
Per un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso
vale la relazione:
!M = I"
( )
I = ! mr 2
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
Esempio 7 Il momento di inerzia dipende dalla posizione
dell’asse di rotazione.
Due particelle di masse uguali (m1= m2= m) sono fissate
agli estremi di un’asta rigida di massa trascurabile
e di lunghezza L. Calcola il momento d’inerzia dell’oggetto
formato dall’asta e dalle due particelle quando ruota attorno
a un asse perpendicolare all’asta
(a) in un suo estremo
e (b) nel suo centro.
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
(a)
( )
()
( )
I = ! mr = m r + m r = m 0 + m L
2
2
1 1
2
2 2
m1 = m2 = m
2
r1 = 0 r2 = L
I = mL
2
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2
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
( )= mr
(b) I = ! mr
2
2
1 1
( )
m1 = m2 = m
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( )
2
r1 = L 2 r2 = L 2
I = mL
1
2
2
+m r =m L 2 +m L 2
2
2 2
2
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
K = 12 mvT2 = 12 mr 2! 2
vT = !r
K ="
(
1
2
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mr !
2
2
) = (" mr )!
1
2
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2
2
= I!
1
2
2
9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
DEFINIZIONE DI ENERGIA CINETICA ROTAZIONALE
L’energia cinetica rotazionale di un corpo rigido
con momento d’inerzia I che ruota a velocità angolare ω è:
K = I!
1
2
Unità di misura nel SI: joule (J)
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2
9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
Esempio 8 Quanta energia!
Una sfera omogenea di 0,10 m di raggio e di massa 6,8 kg
rotola senza strisciare su un piano. La velocità del suo centro
è 0,45 m/s, mentre la sua velocità angolare è 4,5 rad/s.
Calcola l’energia cinetica totale della sfera.
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9.5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido
K = 12 mv 2 + 12 I! 2
1 2 1 2 2 2
K = mv + ! mr " =
2
2 5
2
2
1
1
= 6,8kg 0,45m s + 6,8kg 0,1m 4,5rad s
2
5
= 0,96 J
(
)(
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)
(
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)(
)(
)
2
=
9.6 Il momento angolare e la sua conservazione
DEFINIZIONE DI MOMENTO ANGOLARE
Il modulo del momento angolare L di un corpo rigido che
ruota attorno a un asse è il prodotto del momento d’inerzia
del corpo rispetto all’asse di rotazione e della sua velocità
angolare ω:
L = I!
Condizione di validità: la velocità angolare deve essere espressa in rad/s.
Unità di misura nel SI: kg·m2/s
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9.6 Il momento angolare e la sua conservazione
LEGGE DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
Il momento angolare totale di un sistema si conserva,
cioè rimane costante, quando è nulla la somma dei momenti
delle forze esterne che agiscono sul sistema.
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9.6 Il momento angolare e la sua conservazione
Esempio 9 Piroette sul ghiaccio
Una pattinatrice esegue una piroetta
sul ghiaccio tenendo una gamba
ed entrambe le braccia tese verso
l’esterno. Nella figura B la pattinatrice
continua a piroettare ma con le gambe
unite e le braccia strette al corpo.
Che cosa accade quando
la pattinatrice porta gli arti vicino al corpo?
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