Equazione e grafico
Per gli alunni delle terze classi
Prerequisiti
Distanza tra due punti e tra un punto e una retta
Equazioni delle rette nel piano cartesiano
Sistema di riferimento cartesiano nel piano
Obiettivi
Capire il significato di equazione di una parabola
Saper rappresentare graficamente una parabola
Definizione di parabola
Equazione della parabola con vertice
nell’origine e simmetrica rispetto all’asse
delle ordinate
Equazione generale della parabola
Cenni sulla traslazione
Test di autoverifica
Definizione
Si dice parabola il luogo geometrico dei
punti equidistanti da un punto fisso detto
fuoco e da una retta fissa detta direttrice
Equazione della parabola
Fissati nel piano un punto F ed una
retta d, per definizione, un generico
punto P(x,y) della parabola deve
essere equidistante dal fuoco e dalla
direttrice. Ovvero deve essere :
P(x.y)
F
PF = PH
Scelto il sistema di riferimento in
modo che il fuoco appartenga all’asse
delle ordinate, la direttrice sia
parallela all’asse delle ascisse e
l’origine sia equidistante da F e da d,
si ha che F(0,p) e d ha equazione
y = -p
d
H y = -p
Poiché
P(x,y),
F(0,p) e d ha equazione y=-p
PF = (x - 0) 2 + ( y - p) 2
Ma deve essere
e
PH = y + p
Quindi:
PF = PH
(x - 0) 2 + ( y - p) 2 = y + p
Elevando al quadrato entrambi i membri, si ha:
( (x - 0)
2
+ ( y - p)
2
)
2
2
(
)
= y+p
si ha:
Che dopo facili calcoli diventa:
x 2 + y 2 - 2py + p 2 = y 2 + 2py + p 2
Riducendo i termini simili si ottiene l’equazione:
4py = x
2
Che risolta rispetto a y diventa:
x2
y=
4p
Posto nell’equazione
1
a =
4p
x2
y=
4p
1
p=
4a
si ricava
L’equazione precedente si può scrivere nella forma:
y = ax 2
(1)
E, ricordando che il fuoco ha coordinate (0, p) e la direttrice
ha equazione y =-p, possiamo sostituire il valore di p,
calcolato in funzione di a, ottenendo così le coordinate del
fuoco e l’equazione della direttrice a partire dall’equazione
della parabola.
Possiamo concludere dicendo che:
y = ax 2
rappresenta l’equazione della parabola con vertice nell’origine
e avente come asse di simmetria l’asse delle y. Ovvero
1
1
V(0,0),
F(0, ),
direttrice di equazione y = 4a
4a
e avente per asse di simmetria l' asse delle ordinate
Per rappresentare graficamente la parabola
mediante il foglio elettronico cliccare qui
Per trovare l’equazione generale della parabola basta applicare alla parabola
di equazione y=ax2 la traslazione che porta il vertice V(0,0) nel punto
V’(x0,y0)
Basta,quindi, sostituire le seguenti equazioni:
x = x '- x 0
Ottenendo:
y = y'- y 0
y'- y 0 = a(x'-x 0 ) 2
y'- y 0 = a(x' 2 -2x' x 0 + x 0 2 )
y'- y 0 = ax' 2 -2ax' x 0 + ax 0 2
y' = ax' 2 -2ax 0 x '+ax 0 2 + y 0
(*)
Ponendo:
b = -2ax 0
e
c = ax 02 + y 0
e sostituendo nella (*) l’equazione assume la forma:
y = ax 2 + bx + c
Per studiare il grafico cliccare quì
ricordando che:
b =-2ax0
si ricava
e
c = ax 02 + y 0
x0 =
b
2a
y 0 = c - ax 02
Sostituendo nella seconda relazione il valore di x0 si ha
4ac - b 2
y0 =
4a
dove x0 e y0 sono le coordinate del nuovo vertice della parabola
Applicando la traslazione anche al fuoco, alla direttrice e
all’asse di simmetria possiamo concludere dicendo che:
2
y = ax + bx + c
rappresenta l’equazione della parabola con:
V(
b
,
2a
Δ
),
4a
F(
b 1- Δ
,
)
2a 4a
direttrice di equazione
y=
1+ Δ
4a
e asse di simmetria di equazione x =
Per rappresentare graficamente la parabola
mediante il foglio elettronico cliccare qui
b
2a
Si dice traslazione di vettore (a,b) quella
trasformazione che ad ogni punto P(x,y)
associa il punto P’ (x’,y’) tale che:
y’
x’=x+a
y
P’
b
P
a
y’=y+b
che rappresentano le equazioni della
traslazione
x
x’
Le equazioni
x’=x+a
y’=y+b
vengono utilizzate per calcolare il trasformato di un punto.
Consideriamo una funzione y=f(x), una traslazione trasforma tutti i suoi
punti nello stesso modo, quindi il grafico ottenuto è congruente al dato,
mentre l’equazione generalmente è diversa.
Esempio
Data la retta di equazione
coordinate (0,5) (5,0)
consideriamo la sua
traslazione di equazioni
x+y=5
che incontra gli assi cartesiani nei punti di
corrispondente
nella
x’=x+a
5+a+b
y’=y+b
Per ottenere la funzione corrispondente a
quella data bisogna sostituire al posto di x e y
le loro espressioni ricavate dalle precedenti
equazioni
x=x’-a
5
5
y=y’-b
ottenendo:
(x’-a)+(y’-b)=5
ovvero
x’+y’=5+a+b
Che è una retta parallela alla precedente(se a e b sono entrambi positivi si ottiene
la retta rappresentata in figura)
5+a+b
1.
2.
3.
4.
Data la parabola di equazione y=x2+1
a=……. b=…….. c=……….. concavità…………………….….
asse di simmetria……………… V(……;……..)
Date le due parabole: y=-3x2+1 e y=5x2+1
quali elementi hanno in comune?……………
Data la parabola di equazione y=x2+6x-4
V(…….;…….) F(……..;…….)
asse di simmetria…………….
direttrice………………..
Rappresentare graficamente le parabole precedenti e verificare i
risultati con i grafici ottenuti usando il foglio elettronico.
Soluzioni
1. a=1 b=0
c=1, volge la concavità verso l’alto,
simmetria è l’asse delle y ( x=0 )
V(0,1)
l’asse di
2. Hanno: il vertice nel punto V(0,1) e come asse di simmetria l’asse
delle ordinate
3. V(-3, -13)
F(-3, -51/4)
direttrice y = -53/4
asse di simmetria: x = -3