Il pricing dei derivati:
Metodo di Montecarlo, Path Integrals
L. Bellucci, G. Cipriani M.Rosa-Clot, S.Taddei Firenze
E. Bennati Dip Scienze Econ. (Pisa)
M.Cerchiai, C.Giannotti G. Einaudi, P. Rosa-Clot (Pisa)
A. Amendolia, (Sassari)
Un indice di borsa: il cambio EURO/$
Analisi dell’indice
• Ci sono andamenti di lungo periodo
• Si sovrappongono movimenti veloci
Rumore
Fisici e ingegneri
chiamano rumore tutti
quei fenomeni
impreditibili che alterano
il processo fisico e le sue
leggi di fondo
Volatilità
Gli economisti chiamano
volatilità la rapida
fluttuazione di un indice o
di un prezzo determinata
dalle spinte impredittibili
del mercato
La legge binomiale
• Si assume che ci sia una probalbilità
definita che abbia luogo un evento (1/2 se si
lancia una moneta e si vuole trovare testa) e
si chiede con quale frequenza compare testa
in un certo numero di lanci.
• In generale
Eventi casuali  Rischio
Esempio canonico : il lancio della moneta
testa
p=.5
croce
q= .5
p+q=1
Distribuzione Binomiale  Curva Gaussiana
N!
p(m, N ) 
pmq N  m
( N  m)!m!
Legge dei grandi numeri
 p(m, N ) 1
 mp(m, N )  m  np
2 p(m, N )  npq
(
m

m
)

Distribuzioni di probabilità
•
•
•
•
Come verificare che la legge gaussiana è vera ?
Osservando molte volte l’evento !
Quante volte ? Moltissime ! ! !
Processo di Wiener : per il lancio della moneta
abbiamo assunto
D x= 1  D x = D w
• MATALAB: BINOMIALE
Lanci ripetuti:100, 1000, 10000, 50000
Il continuo e il metodo di Montecarlo
un semplice caso di barriera
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
12
Processo di Wiener
In generale assumiamo:
D x = m(x,t)Dt + s(x,t) D w
In particolare per esempio si ha
D r = a (b - r ) Dt + s D w
Vasicek
oppure
D r = a (b - r ) Dt + s r D w CIR
Il caso generale: equazioni stocastiche
dx  m(x,t)dt s (x,t)dW
E la corrispondente equazione differezniale
 F ( y,T , x,t)  m ( x,t)  F ( y,T , x,t)  1s ( x,t)  2 F ( y,T , x,t)
2
t
x
x 2
• Soluzioni analitiche (in pochi casi)
• equazione differenziale (Fokker Plank)
• metodo di montecarlo (lunghi tempi di CPU)
• Metodi discretizzati ad albero
Le tecniche di soluzione
• Soluzioni analitiche (in pochi casi)
• Soluzione della equazione differenziale (metodo generale
ci sono problemi matematici delicati)
• metodo di montecarlo (lunghi tempi di CPU)
• Metodi discretizzati ad albero (funziona bene solo in casi
1D)
• Metodo dei Path Integral (funziona in 1 2 3 dimensioni ed
è rapido e generale)
Un sempio disoluzione analitica IL MODELLO CIR
Una realizzazione del modello CIR
Cox, Ingersoll, Ross a= 0.5 b= 0.1 sigma= 0.075
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
Modelli realistici
• Il modello di Vasicek ha seri limiti (ammette per esempio
tassi di interesse negativi)
• Un modello migliore è quello CIR (Cox Ingersoll Ross)
che sostituisce ad una volatilità costante una legata alla
radice del tasso. Tale modello ammette soluzioni
analitiche.
• PROBELMA I : sganciarsi dai modelli e utilizzare
i tassi “reali”
• PROBLEMA II: valutare un funzionale generico
Un esempio :anno 1998 interesse a 30 anni per la lira
Cosa è un funzionale
Cox, Ingersoll, Ross a= 0.5 b= 0.1 sigma= 0.075
0.2
0.18
Nella figura accanto
tutto quello e supera la
linea nera viene pesato
calcolato attualizzando il
valore col tasso di
interesse corrispondente
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
I funzionali possono essere molto complicati: per esempio i possono
essere barriere, oppure cedole,
oppure il diritto di esercizio di qualche clasuola
Calcolare un funzionale comporta
• Mediare su tutti i cammini
possibili
• Ma icammini possono
dipendere dal funzionale
stesso
• Quindi iterare moltissimi
processi mediando i
diversi risultati
• MONTECARLO
• Discretizzare il processo a
step finiti
• Conoscere la distribuzione
di probabilità ad ogni
istante
• Integrare numericamente
sulle distribuzioni
• PATH INTEGRAL
Path
Path Integral
Integral 11
• La distribuzione di probabilità condizionata
r(y,t,x,0) dà la probablità di trovare il valore y
della variabile al tempo t essendo nota la
distribuzione al tempo t=0.
• Per tale distribuzione vale la legge di
composizione
r ( y,t, x,0)   r ( y,t, z, )  r ( z, , x,0)dz
Path Integral 2
• Per piccoli incrementi temporali si ha in
generale
1
r ( y,t  Dt, x,t) 
e L( x, x, t)Dt
2Dts ( x,t)
Con
1

2
  m ( x,t) Dt
L( x, x,t) 
x

2s ( x,t)2 
(
y

x
)
x 
Dt
Path Integral 3
• Si tratta ora di effettuare N convoluzioni
ottenendo in tal modo l’ampiezza di
probabilità per tempi finiti.
• La grandezza (y-x)/Dt rappresenta una
specie di velocità e la funzione L(x,v,t) è la
lagrangiana del sistema.
Realizzazione di alcuni cammini
Partendo da zero
si realizzano
5 diversi percorsi
4
3
2
1
La funzione di
trasferimento r
è nota per ogni
intervallo Dt
0
-1
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
10
Il formalismo di Feymann
• Wiener formula la teoria degli integrali stocastici nel 1921
• Feynman introduce il concetto di path integral in
meccanica quantistica nel 42.
• Non vengono applicati fino al lavoro di Kreutz e Freedman
del 1981 (problemi di calcolo)
• Poi esplodono gli approcci Montecarlo: problema di tempo
ma “multidimensionalità”
• Più recentemente approcci “deterministici”: Rosa-Clot e
Taddei. Molto veloci ma bassa dimensionalità: <4.
• Basta e avanza per i mercati finanziari.
Vantaggi formali e numerici
• Teoria solidamente
fondata
• Sono noti tutti i casi
analitici e le loro
possibili estensioni
• Si riproducono tutti i
casi noti in letteratura
• Sono note molte
tecniche approssimate
• Numericamente stabile
• Da fondamento più
generale agli alberi
• E’ molto veloce
(quanto gli alberi)
• Permette di estendere
a casi complessi la
valutazione del
funzionale
Il funzionale
• In genere si tratta di valutare grandezze che
dipendono dalla realizzazione del processo
stocastico.
• Esempi tipici sono il cap e la put american
Esempio di un cap





C(r,t, s,0)   drE e
Con
  r( )d





P(r,t)   drE e





 (P(r,t)   )
  r( )d 



Questa definizione formale si traduce numericamente in una
prescrizione molto semplice: quando il tasso di interesse
supera il valore  si calcola attualizzato il valore in eccesso.
Esempio di una put american
4
L’opzione viene
esercitata quando
il suo valore scende
sotto un valore tale
da massimizzare il
guadagno
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
10
Tempi di CPU per il pricing di opzioni
Il problema delle volatilità
Un problema aperto e molto complesso è quello delle
fluttuazioni non gaussiane degli indici di borsa.
In altre parole ci sono scarti molto elevati rispetto al
valore della deviazione standard: la teoria prevede che la
probabilità di una fluttuazione maggiore di 3 volte la
deviazione standard sia 1/1000
In realtà abbiamo spesso deviazioni che sono 10 volte
superiori alla deviazione standard
Il problema dei dati: il FIB30
Analisi degli scarti con ritardo di 1 4 16 64 256 1024 tic
Confronto con una gaussiana