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Potenze nell’insieme N
Teoria – Esercizi – Test di verifica
Definizioni
Definizione di potenza:
La potenza, se l’esponente è maggiore di 1*, è il prodotto di tanti
fattori tutti uguali alla base quanti vengono indicati dall’esponente.
Esempio:
27
= 2·2·2·2·2·2·2
2 = Base
7
= Esponente
È una potenza, si legge: due alla settima
*
l’esponente deve essere maggiore di uno, (cioè 2) per avere una moltiplicazione con due fattori.
Definizione di potenza con esponente 0
La potenza di un numero diverso da zero, con esponente zero, è 1.
20 = 1
Esempi:
1870 =1
10=1
Non si definisce la potenza con base ed esponente 0, cioè 00 non ha significato.
Definizione di potenza con esponente 1
La potenza di un numero con esponente 1 è il numero stesso.
Esempi:
91=9
251=25
11=1
Proprietà delle potenze
•
•
•
•
P1: Prodotto di potenze di ugual base.
P2: Quoziente di potenze di ugual base.
P3: Potenza di una potenza.
P4: Prodotto di potenze di ugual esponente.
• P5: Quoziente di potenze di ugual esponente.
NOTA
Le cinque proprietà riguardano solo la moltiplicazione e la divisione,
perché la potenza è una moltiplicazione ripetuta.
Prodotto di potenze di ugual base
Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza
che ha per base la stessa base e per esponente la
somma degli esponenti.
am · an = am+n
Esempi:
23 · 25 = 2·2·2 · 2·2·2·2·2 = 28
3 volte
34 · 35 = 34+5 = 39
23 · 22 = 23+2 = 25
Applicando la definizione
di potenza
5 volte
Applicando direttamente
la proprietà
Quoziente di potenze di ugual base
Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza
che ha per base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti.
am : an = am – n
Esempio:
m≥n
37 : 35 = 37 – 5 = 32
Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione
3·3·3·3·3·3·3 =
· 3·3·3·3·3
7 volte
5 volte
Cerca quel numero che moltiplicato per 35 mi da 37
3·3·3·3·3·3·3 =
7 volte
3·3 · 3·3·3·3·3
2 volte
5 volte
Potenza di potenza
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha
per base la stessa base e per esponente il prodotto.
(am)n = am · n
Esempio: (43)2 = (4·4·4)2=(4·4·4)(4·4·4)=4·4·4·4·4·4 =46
6 volte
Prodotto di potenza di eguale esponente
Il prodotto di potenza di eguale esponente è una potenza di
uguale esponente e ha per base il prodotto delle basi.
an ·bn=(a·b)n
Esempio: 42·32=(4·3)2
42·32 =4·4·3·3=
(4·3)·(4·
4·3·4·3 =
3)
(4·3)2=
Definizione di potenze
Proprietà associativa
Proprietà commutativa
Definizione di potenza
Il quoziente di potenze di uguale esponente
Il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza
di uguale esponente e per base il quoziente delle basi.
an : bn = (a:b)n
Esempio:
a multiplo di b
62 : 32 = (6:3)2 = 22
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione quindi
bisogna trovare quel numero che moltiplicato per 32 dia 62 per la
proprietà precedente (P4) è 22
Esercizi
1)
Calcola il valore delle seguenti potenze:
23 ;
2)
24 ;
30 ;
41 ;
14.
Trova tra i seguenti numeri quelli che sono potenze di 3:
3 , 6 , 9 , 0 ,1 , 12 , 27 , 30 , 33 , 81 , 121 , 99 .
3)
Applica, quando è possibile, le proprietà delle potenze:
(24)3 =
24·22·2 =
23·53 =
(34)2 · 37 =
24 + 2 3 =
83 : 23 =
Esercizi
4)
Applicando le proprietà delle potenze, calcolare il
valore delle seguenti espressioni.
•
•
•
•
(32)3 : (32)2 · {(34)3 : (32)6}
23 · (22 · 23)3 : {[(24)3] · (22)2}
[66 · 46 : (32 · 82)] : 84
[(103 : 23) · 53] : (53)2 + {[(40 · 44)3 : (42 · 43)2 – 23] + 90}
R= 9
R= 4
R= 81
R= 10
Test di verifica
53 + 5 4 = 5 7
V
F
54 · 52 = 5 6
V
F
22 · 32 = 6 2
V
F
(42)3 = 45
V
F
24 · 3 4 = 6 8
V
F
Test di verifica
24 · 23 : 22 =
85
La soluzione è:
27
(43)2 : 26 =
46
25
210
La soluzione è:
40
20
26
Test verifica
52 · 5˙˙˙ = 510
Completa :
5
8
0
23 · (….)3 = 163
Completa :
2
7
14
6
8