A
Un triangolo e' la parte di piano
comune a tre angoli aventi due a
due un lato in comune
B
C
Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato da tre vertici, tre
angoli, e tre lati.
Esso rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero
minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa; oltre a questo
il triangolo è anche importante per molte sue altre proprietà e caratteristiche
geometriche, su cui si fondano le basi della geometria.
Inoltre è una figura indeformabile ed è l'unico poligono a cui è sempre
circoscrivibile e in cui è sempre inscrivibile una circonferenza.
Si definisce angolo interno l’angolo
formato da due lati consecutivi
Si definisce angolo esterno ognuno
dei due angoli adiacenti a un suo
angolo interno rispetto ai
prolungamenti dei lati dell'angolo,
ogni angolo interno ha quindi due
angoli esterni che poiché opposti al
vertice risultano congruenti.
In un triangolo chiameremo angolo opposto
ad un lato l'angolo che sta di fronte al lato.
Esempio :
di fronte al lato AB sta l'angolo BCA
Fra le caratteristiche salienti può essere menzionato il fatto che la somma dei suoi
angoli interni è pari a 180° (un angolo piatto).
In ogni triangolo un angolo esterno è
maggiore di ogni angolo interno non
adiacente
Ciascun angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni non
adiacenti
In ogni triangolo a lato maggiore sta
opposto l'angolo maggiore
In ogni triangolo
La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato
a+b>c
a+c>b
b
c
b+c>a
a
In ogni triangolo
La differenza delle lunghezze di due lati è sempre minore del terzo lato
a-b<c
a-c<b
b
c
b-c<a
a
In ogni triangolo
La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato
5u
5+3>7
5u
3u
7u
5+7>3
7+3>5
7u
3u
ALTRIMENTI
2u
2+3>7
2u
3u
7u
2+7>3
7+3>2
7u
3u
Rispetto ai lati si dividono in
Rispetto agli angoli si dividono in
Hanno ognuno
In base ai LATI
ottusangolo
acutangolo
ottusangolo
rettangolo
acutangolo
rettangolo
SCALENI
3 LATI NON
CONGRUENTI
EQUILATERI
3 LATI
CONGRUENTI
ISOSCELI
2 LATI
CONGRUENTI
acutangolo
a
l
a
l
l
a
b
l
a
l
b
a
a
c
b
b
a
g
In base agli ANGOLI
scaleno
OTTUSANGOLI
1 ANGOLO OTTUSO
La somma degli altri due è
minore di 90°
isoscele
equilatero
isoscele
scaleno
isoscele
ACUTANGOLI
3 ANGOLI ACUTI
La somma dei tre angoli è 180°
scaleno
RETTANGOLI
1 ANGOLO RETTO
La somma degli altri due
è di 90°
Nel TRIANGOLO RETTANGOLO i lati hanno un proprio nome:
CATETI e IPOTENUSA
CATETO
MINORE
C2
i
ANGOLO
RETTO
C1
CATETI
sono i lati del triangolo che
formano l’angolo retto
CATETO
MAGGIORE
IPOTENUSA
è il lato opposto
all’angolo retto.
In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono un postulato e due teoremi tramite
i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o
lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre.
In matematica si chiamano postulati o assiomi tutti
e soli gli enunciati che, pur non essendo stati
dimostrati, sono considerati veri
In matematica per teorema si intende
un enunciato che viene dimostrato
nell'ambito
Vedi il VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=sHd2Ul8Bcl0&feature=player_embedded
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo
compreso
Dimostrazione
Ipotesi
AB  A' B'
BC  B ' C '
ABˆ C  A' Bˆ 'C '
Tesi
ABC  A ' B ' C '
Trasporto l'angolo B sopra l'angolo B' (posso farlo
perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in
due modi diversi: o facendo scivolare l'angolo o
ribaltandolo; devo dire che lo porto sopra senza
ribaltarlo) in modo che il lato AB vada sopra il lato
A'B' ed il lato BC vada sopra B'C'; in questo modo i
due triangoli hanno A su A', B su B' e C su C' quindi
sono sovrapposti e coincidono punto per punto
C.V.D. (Come Volevamo Dimostrare)
Vedi il VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=scKlfy4NUMI&feature=related
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato
compreso
Dimostrazione
Ipotesi
BC  B ' C '
BCˆA  B 'Cˆ ' A'
ABˆ C  A' Bˆ 'C '
Tesi
ABC  A ' B ' C '
Trasporto il lato BC sopra il lato B'C' (posso farlo
perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in
due modi diversi: o traslando il lato o ruotandolo;
devo dire che lo porto sopra senza ruotarlo) in
modo che l'angolo ABC vada sopra l'angolo A'B'C' e
l'angolo BCA vada sopra B'C'A'; in questo modo i
due triangoli hanno AB su A'B', BC su B'C' e CA su
C'A' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per
punto come volevamo dimostrare
Vedi il VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=vGOsIAPTKTE&feature=player_embedded#!
Due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti
Dimostrazione
Ipotesi
AB  A' B'
BC  B ' C '
AC  A' C '
Tesi
ABC  A ' B ' C '
Trasporto il triangolo ABC da banda opposta rispetto al triangolo A'B'C' in modo che il
lato BC vada sopra il lato B'C'; allora il punto A va in A''.
Considero il triangolo A'B'A'': esso ha due lati uguali (A'B'=A''B') quindi ha anche due
angoli uguali cioe' B'A'H=B'A''H (quelli indicati in azzurro)
Considero ora il triangolo A'C'A'': esso ha due lati uguali (A'C'=A''C') quindi ha anche
due angoli uguali cioe' C'A'H=C'A''H(quelli indicati in viola)
Considero ora i triangoli A'B'C' ed A''B'C' essi hanno:
A'B' = A''B' per ipotesi (ho fatto fare un movimento rigido a due lati uguali per ipotesi)
A'C' = A''C' sempre per ipotesi (come sopra)
Gli angoli B'A'C'=B'A''C' sono uguali perche' somme di angoli uguali (quelli colorati)
Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio come volevamo dimostrare.
L'altezza del triangolo, relativa ad un lato, è il
segmento perpendicolare al lato uscente dal vertice
opposto.
Altezze nel triangolo
ottusangolo
Ogni triangolo ha tre
altezze, ognuna
relativa ad ogni lato, il
punto di incontro di
esse si chiama
ORTOCENTRO
Altezze nel triangolo
rettangolo
Altezze nel triangolo
acutangolo
L'altezza del triangolo
è la distanza, misurata
da uno dei vertici al
lato opposto (o del
suo prolungamento).
La mediana è un segmento che congiunge un
vertice al punto medio del lato opposto,
dividendo il triangolo in due parti di area uguale.
Mediane nel triangolo
rettangolo
Le tre mediane di un
triangolo si intersecano nel
suo BARICENTRO o
centro di massa.
Mediane nel triangolo
acutangolo
Mediane nel triangolo
ottusangolo
Ogni mediana giace per
due terzi della propria
lunghezza fra il vertice e il
baricentro, mentre l'altro
terzo si trova fra il
baricentro e il punto medio
del lato opposto.
Nel triangolo, per bisettrice, relativa ad un
angolo, si intende il tratto di semiretta che lo
divide in due angoli congruenti e congiunge il
vertice col lato opposto.
Bisettrici nel triangolo
ottusangolo
Bisettrici nel triangolo
acutangolo
In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si
congiungono tutte e tre in un unico punto,
INCENTRO, interno al poligono e
equidistante dai lati del triangolo.
Bisettrici nel triangolo
rettangolo
COSTRUZIONE DI BISETTRICI
Gli assi di un triangolo sono rette
ortogonali ai lati passanti per il punto
medio .
Assi nel triangolo
acutangolo
Il punto di incontro delle assi si
chiama CIRCOCENTRO ed è il
centro della circonferenza
circoscritta
Bisettrici nel triangolo
rettangolo
Bisettrici nel triangolo
rettangolo
costruzione
Somma delle lunghezze dei lati
l
l
isoscele
P=2xl+b
b
l
l
equilatero
P=3xl
l
l2
l1
b
scaleno
P = l1 + l2 + b
l primo triangolo è
effettivamente un
triangolo rettangolo di
base 13, altezza 5.
Il secondo non è invece
un triangolo rettangolo,
come si può notare nel
punto cerchiato.
ALTRO
http://www.youtube.com/watc
h?v=4jc5oWWMr8k&feature=
player_embedded
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