è la scienza che permette di rappresentare in modo inequivocabile
su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali,
attraverso determinate costruzioni geometriche
La rappresentazione può essere finalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come
nel rilievo (oggetto dal vero), e/o di oggetti mentalmente concepiti, come nella
progettazione di manufatti tridimensionali.
Metodi di
rappresentazione
Tridimenisionale
3D
ASSONOMETRIA
PROSPETTIVA
Bidimenisionale
2D
PROIEZIONI
ORTOGONALI
o
Metodo di Monge
Durante le fasi di progettazione e di realizzazione degli oggetti, la
rappresentazione grafica riveste un ruolo fondamentale, inizialmente per
concretizzare l’idea progettuale e verificarne la fattibilità, in seguito per
guidare il processo costruttivo
Ogni metodo di proiezione è uno strumento per rappresentare la realtà con oggetti
della geometria euclidea, ovvero punti, rette e superfici.
Per definire un metodo di proiezione è necessario introdurre alcuni elementi
che sono:
• l’oggetto della rappresentazione
• un centro di proiezione, che corrisponde al nostro occhio, e da cui partono i
raggi proiettanti
• il piano di proiezione, che corrisponde al foglio di disegno
S
S ∞
S punto proprio,
proiezione conica
(o centrale)
α
S punto improprio,
proiezione parallela
(o cilindrica)
α
Nelle Proiezioni Ortogonali il centro di proiezione è posto all'infinito, per cui
le linee proiettanti sono tra loro parallele. Inoltre le linee proiettanti
raggiungono i piani di proiezione, che sono tre come vedremo, in modo
ortogonale, cioè formando angoli retti
Lo spazio tridimensionale viene diviso mediante tre piani anch'essi ortogonali fra
loro:
 un primo piano orizzontale (P.O.)
 un secondo piano verticale (P.V.)
 un terzo piano laterale (P.L.)
I tre piani così definiti individuano 4 triedri ma la parte di spazio di nostro
interesse è il triedro delimitato dai tre semipiani evidenziato
P.V.
P.L.
P.O.
la retta di intersezione
tra i piani P.O. e P.V. è
detta linea di terra
(L.T.)
I semipiani del triedro possono essere tagliati lungo la linea di separazione
tra P.O. e P.L. e ruotando disporsi su un unico piano che sarà il foglio su cui
disegneremo
P.V.
P.V.
P.L.
P.O.
P.O.
P.V.
P.O.
P.L.
P.L.
Sistema europeo
Le proiezioni ortogonali possono essere
effettuate secondo due “metodi”:
 metodo europeo
 metodo americano
La differenza sostanziale tra i due
metodi sta nella posizione dei piani di
proiezione e dell’oggetto da proiettare
rispetto ai punti di osservazione
Nel metodo europeo l’oggetto è situato
tra l’osservatore e il piano di proiezione.
Nel metodo americano è il piano di
proiezione ad essere ubicato tra
l’osservatore e l’oggetto da proiettare
Sistema americano
Le norme internazionali raccomandano
di riportare sui disegni il simbolo di tale
sistema americano o europeo con le
proiezioni del tronco di cono visibili come
indicato nella figura. Tale simbolo va posto
nel riquadro delle iscrizioni (cartiglio).
Qualunque sia il metodo prescelto, è
necessario stabilire la vista principale: in
linea di massima si assume come tale quella
che rappresenta l’oggetto nella sua posizione
di utilizzazione oppure quella che mette in
evidenza
la
maggior
parte
delle
caratteristiche del pezzo. Di norma la vista è
quella dall’alto o quella frontale, mentre
quella laterale si ottiene per costruzione.
L’oggetto viene disposto in questo triedro e proiettando i punti dell’oggetto
con i raggi visuali fuoriuscenti dai centri di proiezione, che per le proiezioni
ortogonali sono disposti a distanza infinita dall’oggetto, fino ad incidere
perpendicolarmente ai tre piani vengono definite le tre proiezioni o viste
dell’oggetto sui tre piani
B’’= A’’
C’’= D’’
A
F’’= E’’
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
P.V.
A’’’= D’’’
D
G’’= H’’
C
B
E’’’= H’’’
H
E
F
A’= E’
G
D’= H’
B’= F’
C’= G’
P.O.
B’’’= C’’’
F’’’= G’’’
Di solito, 3 proiezioni
(prospetto, fianco e
pianta) sono sufficienti
per dedurre in modo
preciso
e
senza
ambiguità la forma e le
dimensioni dell’oggetto
rappresentato
1. Nel foglio da disegno si traccia una linea orizzontale che rappresenta la linea di
terra (L.T.)
2. Poi si traccia una linea perpendicolare alla linea di terra, il piano è così
suddiviso in quattro quadranti
 nello spazio in basso a sinistra , che rappresenta il piano orizzontale (P.O.),
sarà disegnata la vista dall’alto ovvero la pianta
 nello spazio in alto a sinistra, che rappresenta il piano verticale (P.V.), sarà
disegnata la vista frontale o il prospetto
 nello spazio in alto a destra, che rappresenta il piano laterale (P.L.) sarà
disegnata la vista laterale o il profilo
3. Il riquadro in basso a destra viene utilizzato come piano di appoggio, ma non fa
parte dei piani di proiezione.
P.V.
L.T.
P.O.
P.L.
P.V.
P.L.
Si disegna l’oggetto nella vista dall’alto
tracciando tutti i contorni visibili con
tratto scuro e continuo, immaginando
di guardare l’oggetto dall’alto da una
distanza infinita rispettando l’aggetto e
la distanza dal P.L.; eventuali spigoli
esistenti ma invisibili (perché interni o
di una faccia opposta) vanno disegnati
con tratto scuro tratteggiato) .
L.T.
aggetto
distanza
P.L.
distanza
dal P.L.
aggetto
P.O.
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
quota
P.V.
VISTA FRONTALE o PROSPETTO
quota
L.T.
P.O.
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
P.L.
Per disegnare il prospetto si tracciano da
ciascun punto importante ( i quattro
vertici) della vista dall’alto i raggi di
proiezione, con tratto chiaro continuo,
che si estenderanno nel piano verticale
(P.V.).
Dopo aver fissato la quota, si traccia la
linea che rappresenta la base inferiore e
poi si riporta l’altezza del solido. Si
completa il prospetto tracciando tutti i
contorni visibili con tratto scuro e
continuo.
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
quota
P.V.
VISTA FRONTALE o PROSPETTO
VISTA LATERALE o PROFILO
P.L.
Per disegnare la vista laterale si tracciano
da ciascun punto importante ( i quattro
vertici) della vista frontale i raggi di
proiezione, con tratto chiaro continuo,
che si estenderanno nel piano laterale
(P.L.).
L.T.
P.O.
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
P.V.
VISTA FRONTALE o PROSPETTO
VISTA LATERALE o PROFILO
P.L.
Per disegnare la vista laterale si tracciano
da ciascun punto importante ( i quattro
vertici) della vista dall’alto i raggi di
proiezione, con tratto chiaro continuo,
che
si
estenderanno
fino
alla
perpendicolare alla linea di terra (L.T.).
L.T.
P.O.
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
P.V.
VISTA FRONTALE o PROSPETTO
VISTA LATERALE o PROFILO
P.L.
Si punta il compasso nell’intersezione
della L.T. con la sua perpendicolare e si
ribaltano i raggi proiettori provenienti
dal P.O. sempre con tratto chiaro
continuo. Questa operazione si può fare
con la squadretta a 45°.
L.T.
P.O.
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
P.V.
VISTA FRONTALE o PROSPETTO
VISTA LATERALE o PROFILO
P.L.
Dai punti individuati
sulla L.T., inerente al
P.L. ,si tracciano le
verticali.
Si disegna infine la
vista
laterale
all’interno
della
griglia creata dalle
linee di costruzione
L.T.
P.O.
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
P.V.
VISTA DIFRONTE o PROSPETTO
B’’ = A’’
F’’ = E’’
C’’ = D’’
G’’ = H’’
P.L.
VISTA LATERALE o PROFILO
A’’’ = D’’’
B’’’ = C’’’
F’’’ = G’’’
E’’’ = H’’’
L.T.
A’ = E’
D
A
D’ = H’
C
B
’
B’ = F’
P.O.
H
E
C’ = G’
VISTA DALL’ALTO o PIANTA
F
G
Proiezione ortogonale
di un parallelepipedo
Proiezione ortogonale di un cerchio parallelo al P.V.
P.V.
P.L.
A’
A’’’
D’
B’
B’’’ = D’’’
C’’’
C’
Si inizia a disegnare
dalla vista principale
che in questo caso è
quella del P.V. in
quanto in tale piano
si vede il cerchio
L.T.
B’’
A’’ = C’’
A
D’’
D
B
C
P.O.
Proiezione ortogonale di un prisma con la base esagonale parallela al P.O.
P.V.
P.L.
L.T.
P.O.
Si inizia a disegnare dalla vista principale che in questo
caso è quella del P.O. in quanto in tale piano si vede
l’esagono
Proiezione ortogonale di un pezzo meccanico
P.V.
P.L.
L.T.
P.O.
Si inizia a disegnare dalla vista principale che in
questo caso è quella del P.V. in quanto tale piano
contiene più particolari
Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano
perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O.
La vera forma e le vere dimensioni dell’esagono si possono ottenere eseguendo un
“ribaltamento” sul p.v. del piano π contenente la figura e “ricostruendo” su tale piano
ribaltato la vera forma e le vere dimensioni dell’esagono, a partire dalle sue proiezioni
ortografiche sui piani principali.
P.V.
Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano
perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O.
P.L.
Disegnare l’esagono come se
giacesse su un piano parallelo al
P.O. – Tracciare la vista sul piano
orizzontale e quella sul piano
verticale.
L.T.
F
A
E
B
P.O.
D
C
P.V.
Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano
perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O.
Si
inclina
la
proiezione
dell’esagono dell’angolo stabilito (
per esempio 45°).
D’ = E’
C’ = F’
Si ribaltano i vertici dell’esagono.
B’ = A’
L.T.
F
A
E
B
D
P.O.
P.L.
C
P.V.
Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano
perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O.
D’ = E’
B’ = A’
L.T.
F’’
A’’
E’’
P.O.
D’’
C’’
dell’esagono
nel piano
Tracciare i raggi di proiezione fino alla
linea perpendicolare alla L.T.,
estendendoli
anche a sinistra in
modo da intersecare le proiezioni che
giungono dal P.V.– Si individuano così
i vertici reali dell’esagono nel P.O.
C’ = F’
B’’
Proiettare i vertici
individuati nel P.V.
orizzontale.
P.L.
P.V.
Proiezione ortogonale di un esagono posto su un piano
perpendicolare al P.V. e inclinato di un certo angolo rispetto al P.O.
D’ = E’
E’’
D’’
C’ = F’
C’’’
F’’’
B’ = A’
A’’’
L.T.
F’’
A’’
E’’
D’’
B’’
P.O.
C’’
B’’’
P.L.
un po’ di storia….
Gaspard Monge
(1746-1818)
L’inventore del metodo delle proiezioni
ortogonali fu Gaspard Monge, matematico
francese nato a Beaune il 9 maggio 1746.
Figlio di un venditore ambulante, frequentò una scuola privata cattolica.
Conosciuto come ragazzo prodigio, aveva disegnato la pianta della sua
città, fu ammesso con riserva per le sue umili origini, nella scuola di
formazione per militari a Mézières.
La sua invenzione si rivelò ben presto brillante ed eccezionale per quei
tempi perché permetteva di definire in poco tempo e con precisione
oggetti di grande interesse come le fortificazioni militari.
un po’ di storia….
Nel 1768-1780 Monge fu professore di matematica a
Mézières a condizione che i risultati della sua
geometria descrittiva rimanessero un segreto
militare limitato agli ufficiali superiori
Nel 1780 fu nominato a ricoprire la cattedra di matematica all'Università a
Parigi. Repubblicano, partecipò attivamente alla rivoluzione ricevendo
incarichi di notevole importanza, Ministro della Marina e membro del
Comitato della Salute Pubblica
A Parigi fu professore alla scuola politecnica, in cui insegnava geometria
descrittiva, materia della quale pubblicò un manuale
Con la caduta di Napoleone anche la stella di Gaspard Monge si spegne:
muore in estrema povertà a Parigi il 28 luglio 1818, bandito dall’accademia e
senza mezzi di sussistenza a causa della sua fede napoleonica, viene sepolto
in un mausoleo del Père Lachaise a Parigi.