Liceo scientifico Galileo Ferraris
Presentazione a cura
di
Alessandro Mantua classe IV E
L’ ARCOBALENO
• Un arcobaleno si può osservare solo in situazioni particolari: ci si
deve comunque trovare tra il sole e, dalla parte opposta, vi deve
essere una regione del cielo ancora investita dalla pioggia. Il sole,
come vedremo, deve essere sufficientemente basso all'orizzonte.
L'arcobaleno appare sempre dalla parte opposta ai raggi solari per
cui, rivolto all'arcobaleno, l'osservatore ha sempre alle spalle il sole.
Arcobaleni si possono
osservare anche in
vicinanza delle cascate o si
possono generare con
relativa facilità in giardino
con uno spruzzo d'acqua
disposto dalla parte
opposta al sole. In tutte
queste situazioni vengono
coinvolte gocce d'acqua
colpite dai raggi solari ed è
pertanto su queste che ci si
deve concentrare per
spiegarne il meccanismo
• Consideriamo una goccia d'acqua
di indice di rifrazione pari a n =
4/3 (nei calcoli numerici sarà
questo il valore standard per
l'indice di rifrazione che, fino ad
un certo punto, assoceremo alle
gocce) colpita da un raggio di
luce monocromatico cioè di
un'unica lunghezza d'onda. Se il
raggio della goccia è inferiore al
millimetro la forma della goccia
sospesa in aria è praticamente
una sfera perfetta in quanto la
forza di gravità non riesce a
deformarla vincendo le forze di
tensione superficiale.
Consideriamo quindi gocce di
tale forma: il raggio sarà nella
nostra analisi un parametro
ininfluente per cui potremo
considerarlo, per comodità,
unitario.
Si vuole approfondire il
comportamento di un raggio
monocromatico che subisce
internamente alla goccia una
sola riflessione emergendo
quindi diffuso ad un certo
angolo nella successiva
rifrazione. In particolare,
dedurremo la deviazione
subita da un raggio incidente
al variare dell'angolo di
incidenza fornendo poi il
grafico del suo angolo
supplementare.
Sia quindi n l'indice di rifrazione dell'acqua e indicati
con i l'angolo di incidenza e con r l'angolo di
rifrazione, la legge della rifrazione
permette di esprimere l'angolo di rifrazione r in termini
dell'angolo di incidenza ossia
da cui, passando alla funzione inversa, abbiamo
In base alla figura che rappresenta una goccia d'acqua sferica
in sezione assieme agli angoli coinvolti, ricaviamo la
deviazione δ subita da un raggio incidente e che emerge
dopo una sola riflessione interna. valutare la deviazione
totale δ come somma delle tre deviazioni subite dal raggio
incidente nel suo percorso complessivo. Risulta che
• nella prima rifrazione la deviazione è pari a
• nella seconda rifrazione la deviazione è pari a
• nella terza rifrazione la deviazione è pari a
da cui si ottiene
Essendo α il supplementare di δ si ha che
Sostituendo l'angolo di rifrazione r espresso nell’equazione iniziale
nell’equazione di α, possiamo studiare l'andamento dell'angolo di
diffusione al variare dell'angolo di incidenza i. Si ottiene la funzione α(i)
In particolare gli angoli permessi appartengono all'intervallo compreso tra 0°, e in tal
caso il raggio viene diffuso all'indietro verso il sole, e un valore massimo che,
relativamente all'indice di rifrazione n = 4/3, risulta essere approssimativamente di
42° e corrisponde ad un angolo di incidenza i di circa 60°.
Un andamento analogo si ottiene se si sostituisce all'angolo di
incidenza il parametro d'impatto y, grandezza che ci sarà utile per
studiare la distribuzione in intensità dei raggi luminosi. Tale
grandezza esprime la distanza del raggio incidente dal centro della
goccia e, geometricamente, è l'ordinata del punto P nella figura una
volta che la goccia sia rappresentata da un cerchio di raggio R centrato
nell'origine di un sistema cartesiano.
Il legame tra y e l'angolo i è dato in tale sistema dalla relazione y = R sen(i)
Queste osservazioni qualitative si possono tradurre ulteriormente in
forma grafica se si rappresenta l'intensità uniforme dei raggi
incidenti sulla goccia come un insieme di linee egualmente
spaziate nell'intervallo [0, R]: la corrispondente distribuzione dei
raggi emergenti appare quindi graficamente in ordinata
Appare ora più evidente l'addensamento dei raggi attorno al valore massimo
della curva in questione. Il valore di y (che indicheremo con , y critico) in
corrispondenza del quale viene raggiunto il massimo si può determinare con
i metodi dell'Analisi Matematica e risulta
per cui nel caso sia n = 4/3 ed R = 1, si ottiene
•L'angolo in corrispondenza del quale si ha la massima intensità luminosa per i raggi
emergenti, angolo che definiamo come angolo di arcobaleno primario o, più
brevemente, angolo di arcobaleno, si deduce sostituendo tale valore nella funzione α
• Quest'ultimo risultato mostra una dipendenza dal
solo indice di rifrazione mentre è indipendente dal
raggio della goccia: gocce con raggio diverso
diffondono i raggi solari responsabili dell'arcobaleno
primario nello stesso modo. L'angolo di arcobaleno
relativo all'indice di rifrazione n = 4/3, è quindi pari a
In conclusione, i raggi che
incidono sulla goccia ad una
distanza prossima (un po'
inferiore o un po' maggiore)
a 0.86 R, escono dalla medesima
approssimativamente con un
angolo di 42°. Come detto, ciò
significa che attorno a questo
valore si forma una
concentrazione di raggi che si
traduce in una maggiore
intensità luminosa rispetto alla
luce diffusa dalla goccia nelle
regioni relative ad angoli
inferiori: è tale fatto che dà
origine all'arcobaleno primario.
A seguito della
dispersione, ciascuna
componente
monocromatica della
luce solare seguirà
un suo percorso entro
la goccia e ne uscirà
con angoli di
emergenza e quindi
con angoli di
arcobaleno diversi.
• Poiché, per quanto visto precedentemente, l'intensità
massima si ottiene in corrispondenza dell'angolo di
arcobaleno , ad ogni lunghezza d'onda possiamo
associare l'angolo, misurato rispetto al punto
antisolare, in corrispondenza del quale si osserva
l'arcobaleno di quel particolare colore. La funzione che
fornisce tale angolo si ottiene sostituendo all'indice di
rifrazione n là presente, la funzione n(λ)
Come si vede, il violetto forma una arcobaleno attorno
ai 40.5° mentre la componente rossa lo forma attorno
ai 42°. In particolare,, l'arcobaleno primario si forma
entro un angolo compreso tra gli estremi [40.43°,
42.31°]. L'ampiezza angolare di un arcobaleno primario
è quindi poco meno di 2°.
In particolari situazioni collegate
all'altezza del sole, alle dimensioni
della zona investita dalla pioggia,
alla posizione dell'osservatore, si
può osservare in aggiunta al
comune arcobaleno pure un
secondo arcobaleno, generalmente
meno luminoso e disposto al di
sopra dell'arcobaleno
propriamente detto o arcobaleno
primario: è questo il cosiddetto
arcobaleno secondario
L'arcobaleno secondario si spiega
ancora tramite la rifrazione
considerando il percorso di un
raggio che incide su una goccia
d'acqua sferica ma che, a
differenza dell'arcobaleno
primario, subisce invece due
riflessioni al suo interno.
L'angolo δ che dà la deviazione totale rispetto alla direzione
originaria si ottiene ancora come somma delle singole
deviazioni subite dal raggio luminoso. Come già visto,
•nella prima rifrazione: questa è pari a i - r (punto P)
•nella prima riflessione interna: π - 2r (punto Q)
•nella seconda riflessione interna: π - 2r (punto R)
•nella seconda rifrazione è ancora i - r (punto S)
per cui in totale risulta
Ovviamente la situazione interessante si presenta quando il raggio viene
deviato nella direzione dell'osservatore (disposto nelle nostre figure
sempre in basso a destra rispetto alla goccia). Pertanto l'angolo di
diffusione secondario, angolo che indicheremo con β ), è il supplementare
della deviazione totale δ cosicché si ha
La dipendenza di β dall'angolo di incidenza i si ottiene
riprendendo la legge della rifrazione e sostituendola in
luogo di r
In questo caso l'angolo β presenta un minimo anziché un massimo
in analogia a quanto fatto per l'arcobaleno primario,
esprimiamo tale angolo in termini del parametro di
impatto y = R sin(i)
• Possiamo ora riproporre le medesime considerazioni
esposte per l'arcobaleno primario: anche in questo caso la
goccia disperde i raggi luminosi in un ampio intervallo
angolare, a partire comunque da un valore minimo
approssimativamente attorno ai 50°. Rappresentando
l'intensità uniforme incidente sulla goccia tramite un certo
numero di raggi egualmente distribuiti nell'intervallo [0, R]
Il valore del parametro d'impatto cui corrisponde il minimo, , si
trova sempre con i metodi dell'Analisi Matematica e risulta
che, con i valori standard finora utilizzati fornisce per y il valore
Pertanto i raggi che incidono con questo parametro o in prossimità di esso e che, a
ben vedere, sono molto prossimi al raggio che incide tangenzialmente alla goccia,
sono i responsabili dell'arcobaleno secondario. Il valore dell'angolo di arcobaleno
secondario in corrispondenza del quale si ha la massima intensità luminosa
dell'arcobaleno secondario (e il minimo dell'angolo di diffusione) si ottiene
sostituendo questo valore nell’equazione di β
• Nelle sezioni precedenti abbiamo dedotto le espressioni
degli angoli di diffusione primario e secondario in
termini i parametro di impatto. Disponendo ora i relativi
grafici sullo stesso piano cartesiano si ottiene:
•
Questa mette in evidenza un fatto interessante: nell'intervallo angolare di
estremi [42°, 51°] evidenziato in grigio nella figura (e relativo a n = 4/3), le
gocce di pioggia non diffondono verso l'osservatore alcun raggio luminoso
tra quelli finora considerati e cioè tra quelli che subiscono una o due
riflessioni interne. E poiché tale grafico descrive come una goccia diffonde
una significativa frazione della luce solare ne segue che la zona di cielo
corrispondente a tale intervallo angolare apparirà all'osservatore meno
luminosa delle adiacenti (che, all'opposto, appariranno più chiare). In effetti
questa è un'altra caratteristica dell'arcobaleno, comunemente non rilevata
da un osservatore occasionale ma che all'osservatore attento non può
sfuggire:
tra l'arco del primario
e del secondario il
cielo appare più scuro
delle zone interne ed
esterne ai due archi:
tale zona viene
detta banda oscura di
Alessandro dal nome
del filosofo Alessandro
di Afrodisia che per
primo la descrisse.
• A causa dell'ulteriore
riflessione subita dai
raggi dell'arcobaleno
secondario, la
dispersione angolare
delle diverse
componenti
monocromatiche deve
essere maggiore
rispetto all'analoga
dispersione nel
primario.
Ciò evidentemente comporta un arco secondario
con i colori dello spettro invertiti rispetto
all'ordine del primario. Difatti sostituendo
nell'angolo di arcobaleno la funzione n(λ)
si ottengono le ampiezze angolari del
secondario corrispondenti all'intensità
massima di un dato colore o lunghezza
d'onda.
• In base a tale andamento si può dedurre come, da
un'ampiezza di circa 54° per il violetto, si giunga ad una
ampiezza di circa 50.5° per il rosso: come prospettato
precedentemente l'arcobaleno secondario avrà pertanto il
colore rosso nella regione inferiore dell'arco mentre il violetto
apparirà nella zona più elevata
In particolare la successione che emerge a partire dai valori
angolari minori è, in definitiva:
• primario: violetto a partire dai 40.3° per finire con il rosso
a 42.3°,
• banda di Alessandro, dai 42.5° ai 50.5°
• secondario: rosso attorno ai 50.5° e quindi violetto a circa 54°.
• Concludiamo riprendendo con le condizioni di osservabilità
dell'arcobaleno. Se per l'osservazione di un arcobaleno primario
è necessario che il sole sia ad un'altezza sull'orizzonte inferiore
ai 42°, la maggior ampiezza angolare dell'arcobaleno secondario
permette di osservarlo anche ad altezze solari maggiori: in
particolare poiché il violetto si forma a circa 54° dal punto
antisolare, sarà questa l'altezza massima sull'orizzonte: in ogni
caso, per altezze solari comprese tra i 42° e i 54° si potrà
osservare solo l'arcobaleno secondario che sarà riconoscibile per
l'ordine dei colori.