L’equazione della retta
Una retta su un piano cartesiano è sempre
rappresentata da un’equazione di primo grado
nelle lettere x e y (o anche solo la x o solo la y)
Le coordinate di un punto appartenente ad una
retta devono soddisfare l’equazione della retta
stessa.
Rette parallele all’asse delle y
Inseriamo nel piano cartesiano i punti
A(2,1), B(2,-3), C(2,-½), D(2,3).
Osserviamo che hanno tutti la prima coordinata
(la x) uguale a 2
Rette parallele all’asse delle y
y
D
A
O
C
B
x
Rette parallele all’asse delle y
Osserviamo che sono tutti allineati
Rette parallele all’asse delle y
y
D
A
O
C
B
x
Rette parallele all’asse delle y
Ma se prendessimo un qualunque altro punto,
chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata
avrebbe sicuramente prima coordinata uguale a
2
Rette parallele all’asse delle y
y
E(2, ?)
D
A
O
C
E(2, ?)
B
E(2, ?)
x
Rette parallele all’asse delle y
Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i
punti che hanno la prima coordinata, la x,
uguale a 2.
Pertanto l’equazione della retta è:
x2
Rette parallele all’asse delle y
Ovviamente se avessimo preso dei punti aventi
prima coordinata, anziché 2, ad esempio -1 e li
avessimo uniti con una retta, tale retta avrebbe
avuto equazione:
x  1
Rette parallele all’asse delle y
Possiamo quindi concludere che una retta
parallela all’asse y ha sempre equazione
x  numero
Esercizi
Determinare l’equazione della retta parallela
all’asse y passante per il punto A(-3,1).
Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha
equazione x  numero
Dal momento che tale retta passa per il punto A
avente prima coordinata uguale a -3 ,
la sua equazione è
x  3
Esercizi
Determinare l’equazione dell’asse y
Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha
equazione
Dal momento che tale retta passa per l’origine
che ha prima coordinata uguale a 0,
l’equazione dell’asse y è
x  numero
x0
Esercizi
Disegnare la retta di equazione
x 1
Sappiamo che una retta di equazione
x  numero
È una retta parallela all’asse y.
Scegliamo allora un qualunque punto avente
ascissa 1, ad esempio A(1,0) e disegniamo una
retta verticale passante per tale punto
risolvendo il problema
Rette parallele all’asse delle y
y
O
A(1,0)
x
Rette parallele all’asse delle x
Inseriamo nel piano cartesiano i punti
A(2,3), B(-1, 3), C(½,3), D(-2,3).
Osserviamo che hanno tutti la seconda
coordinata (la y) uguale a 3
Rette parallele all’asse delle x
y
D
B
C
O
A
x
Rette parallele all’asse delle x
Osserviamo che tutti i punti sono allineati
Rette parallele all’asse delle x
y
D
B
C
O
A
x
Rette parallele all’asse delle x
Ma se prendessimo un qualunque altro punto,
chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata
avrebbe sicuramente come seconda coordinata
3
Rette parallele all’asse delle x
y
E (?,3)
D
B
C E (?,3)A
O
E (?,3)
x
Rette parallele all’asse delle x
Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i
punti che hanno la seconda coordinata, la y,
uguale a 3.
Pertanto l’equazione della retta è:
y3
Rette parallele all’asse delle x
Possiamo quindi concludere che una retta
parallela all’asse x ha sempre equazione
y  numero
Esercizi
Determinare l’equazione della retta parallela
all’asse x passante per il punto A(3,-2).
Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha
equazione y  numero
Dal momento che tale retta passa per il punto A
avente seconda coordinata uguale a -2 ,
la sua equazione è
y  2
Esercizi
Determinare l’equazione dell’asse x
Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha
equazione y  numero
Dal momento che tale retta passa per l’origine
che ha seconda coordinata uguale a 0,
l’equazione dell’asse x è
y0
Esercizi
Disegnare la retta di equazione
y 1
Sappiamo che una retta di equazione
y  numero
è una retta parallela all’asse x.
Scegliamo allora un qualunque punto avente
ordinata 1, ad esempio A(0,1) e disegniamo una
retta orizzontale passante per tale punto
risolvendo il problema
y
A(0,1)
O
x
Rette passanti per l’origine
Si consideri una qualunque retta passante per
l’origine, e prendiamo su di essa due punti
A( xA , y A ) e B( xB , yB )
y
B
A
O
x
Rette passanti per l’origine
Da A e da B tracciamo due segmenti che
arrivano perpendicolarmente all’asse delle x,
formando i triangoli OHA e OKB
y
B
A
O
H
K
x
Rette passanti per l’origine
I due triangoli sono simili (perché hanno l’angolo di
vertice O in comune ed un angolo retto).
Quindi, per una proprietà dei triangoli simili,
AH
BK
risulta:

OH
OK
Ma AH è l’ordinata del punto A e OH la sua
ascissa, così come BK è l’ordinata del punto B e BK
la sua ascissa. Quindi l’equazione precedente
diventa:
AH
BK

OH
OK
yA
yB

xA
xB
Rette passanti per l’origine
E se scegliessimo un altro punto
sulla retta risulterebbe
C ( xC , yC )
yC
yA
yB


xC
xA
xB
In altre parole, ogni punto su quella retta ha sempre
lo stesso rapporto fra la sua coordinata y e la sua
coordinata x. In formule:
y
 costante
x
Rette passanti per l’origine
Tale costante è chiamata coefficiente angolare e
si indica con la lettera m (minuscola da non
confondere con M che indica il punto medio).
Pertanto l’equazione di una qualunque retta
passante per l’origine è y
x
m
Da cui si ricava, moltiplicando per x a destra e a
sinistra:
y  mx
Rette passanti per l’origine
Ricapitolando: ogni retta passante per l’origine
y  mx
ha equazione:
Comprendiamo bene questo concetto:
sappiamo che per ogni punto, e quindi anche
per l’origine, passano infinite rette.
y
m3
m 1
1
m
2
O
x
1
m
3
m  1
Rette passanti per l’origine
Ad ognuna delle infinite rette corrisponde un
valore di m. Quindi con l’equazione y=mx non si
rappresenta una sola retta bensì le infinite rette
passanti per l’origine.
Appena si da un valore ad m le infinite rette
diventano una soltanto
Scegliamo ad esempio m=3
y
m3
m 1
1
m
2
O
La retta che rimane ha equazione y=3x
x
1
m
3
m  1
Osservazione importante
L’equazione y=mx rappresenta tutte le rette
passanti per l’origine tranne una:
l’asse y che ha equazione x=0.
Quindi y=mx assieme alla retta x=0,
rappresentano tutte (ma proprio tutte) le rette
passanti per l’origine
Esercizi
Determinare la retta passante per l’origine e per
il punto (2,4).
Una retta passante per l’origine ha equazione
y=mx.
Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta
passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equazione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y del
punto
y  mx 4  m  2
Esercizi
Quindi
2
4
2m  4  m   m  2
2
2
Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione
y=mx che diventa
y  2x
che è l’equazione cercata
Esercizi
Determinare la retta passante per l’origine e per
il punto (3,-5).
Una retta passante per l’origine ha equazione
y=mx.
Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta
passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equazione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y del
punto
ym
mx 3
5
Esercizi
Quindi
3
5
5
3m  5  m    m  
3
3
3
Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione
y=mx che diventa
5
y  
x
3
che è l’equazione cercata
Esercizi
Determinare la retta passante per l’origine e per
il punto (0,5).
Una retta passante per l’origine ha equazione
y=mx.
Si osserva però che il punto scelto è sull’asse y.
Pertanto la retta cercata è proprio l’asse y che ha
equazione
x0
Esercizi
Determinare se il punto (4,6) appartiene alla
3
y

x
retta
2
Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del
punto e vedere se soddisfano l’equazione
y 6
3
3
x 
4  3 2  6
2
2
Esercizi
Dal momento che il primo termine coincide col
secondo le coordinate del punto soddisfano
l’equazione e quindi il punto (4,6) appartiene
alla retta
3
y 
2
x
Esercizi
Determinare se il punto (3,2) appartiene alla
y  4x
retta
Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del
punto e vedere se soddisfano l’equazione
y 2
4 x  4  3  12
Esercizi
Dal momento che il primo termine è diverso dal
secondo le coordinate del punto non soddisfano
l’equazione e quindi il punto (3,2) non
appartiene alla retta
y  4x
Equazione di una retta qualunque
Abbiamo visto che una qualunque retta per
l’origine ha equazione y=mx. Prendiamo per
esempio la retta y=2x
y=2x
y
O
x
Equazione di una retta qualunque
Ad essa appartengono tutti i punti la cui
seconda coordinata, la y, è doppia della prima, la
x.
Ad esempio (1;2), (-3;-6); (2;4); (3/2;3) ecc.
(verificalo per esercizio).
Mentre ad esempio non ci appartengono
(-1;2), (5;9) ecc.
I punti A(1;2) e B(2;4) appartengono
alla retta
y
B
A
O
x
Alziamo adesso la retta ad esempio di 3
La nuova retta è la precedente “alzata”
di 3
E
y
D
B
C
A
O
x
Osserviamo che …
C ha la stessa ascissa dell’origine O (cioè zero)
D ha la stessa ascissa di A (cioè 1)
e E ha la stessa ascissa di B (cioè 2).
C ha la stessa ascissa di O, D la stessa
di A e E la stessa di B
E
y
D
B
C
A
O
x
E le ordinate?
C ha la stessa ordinata di O aumentata di 3
D ha la stessa ordinata di A aumentata di 3
E ha la stessa ordinata di B aumentata di 3
E così via per qualunque punto della retta …
Pertanto ogni punto sulla “nuova” retta ha la
seconda coordinata, la y, uguale al doppio della
prima più 3.
Infatti C è di coordinate (0;3) (3 è il doppio di
zero più 3)
Infatti D è di coordinate (1;5) (5 è il doppio di 1
più 3)
Infatti E è di coordinate (2;7) (7 è il doppio di 2
più 3)
Quindi l’equazione della nuova retta è:
y  2x  3
Ovviamente…
Se invece di “alzare la retta” di 3 l’avessimo
alzata di 4 avremmo ottenuto la retta di
equazione
y  2x  4
Mentre se l’avessimo alzata di -1 (cioè
abbassata) avremmo ottenuto la retta di
equazione
y  2x 1
Ma anche…
Se invece della retta y=2x avessimo alzato la
retta y=5/2x avremmo ottenuto
5
y 
x 3
2
oppure
o ancora
5
y 
x  4
2
5
y 
x 1
2
Estendiamo al caso generale
Se prendiamo la retta y=mx e “l’alziamo” di un
numero q otteniamo l’equazione di una
qualunque retta del piano cartesiano che è
y  mx  q
EQUAZIONE IN FORMA ESPLICITA DELLA RETTA
Osservazione super importante
Come l’equazione y=mx rappresenta tutte le
rette per l’origine eccetto l’asse delle y,
l’equazione y=mx+q rappresenta tutte le rette
del piano cartesiano eccetto le rette parallele
all’asse y (che infatti hanno equazione
x=numero)
Osservazione
Il fatto che con la forma
y  mx  q
si possa rappresentare una qualunque retta
(eccetto quelle parallele all’asse y) significa che
posso rappresentare anche le rette per l’origine
e le rette parallele all’asse x. Infatti:
Se all’equazione
mx
y y
mx
q
Poniamo q=0 rimane
Cioè una retta per l’origine.
mentre
Se all’equazione
 q q
y y mx
Poniamo m=0 rimane
Ed essendo q un numero abbiamo l’equazione di
una retta parallela all’asse x.
Ricapitolando
Retta parallela all’’asse y ha equazione
x  numero
Retta parallela all’’asse x ha equazione
y  numero
Retta passante per l’origine (eccetto l’asse y)
ha equazione y  mx
Retta qualunque (eccetto le rette parallele
all’asse y) ha equazione y  mx  q
Definizione di coefficiente angolare di
una retta.
Supponiamo di avere una retta la cui equazione
è scritta in forma esplicita. Si definisce
coefficiente angolare della retta il coefficiente di
x.
Per convenzione il coefficiente angolare di una
retta si indica con la lettera m.
Significato geometrico di coefficiente
angolare di una retta
Il coefficiente angolare di una retta indica la
pendenza della retta stessa. Maggiore il valore
del coefficiente angolare, maggiore è la
pendenza della retta. In particolare:
Se m>0 la retta "sale'‘
Se m<0 la retta "scende''
Se m=0 la retta non sale nè scende e quindi è in
"piano'' (cio\`{e} orizzontale).
Definizione di termine noto
Si definisce termine noto il numero presente al
secondo termine in un'equazione posta in forma
esplicita.
Convenzionalmente il termine noto si indica con
la lettera q.
Significato geometrico di termine noto
Il termine noto corrisponde al'ordinata del
punto in cui la retta interseca l'asse delle y.
In particolare:
- Se q > 0 la retta “passa sopra” l’origine
- Se q < 0 la retta “passa sotto” l’origine
- Se q = 0 la retta passa dall’l’origine
Rappresentare graficamente una retta
nota la sua equazione