STATISTICA A – K
(60 ore)
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Esempi
• Lancio di una moneta 3 volte
• Spazio degli eventi?
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• Probabilità degli eventi:
– A=“Croce nel primo lancio”
– B=“Almeno due volte testa”
– C=“Croce nel primo lancio o almeno due volte
testa”
Probabilità dell’evento
A=“Croce nel primo lancio”
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(A) = 4/8=0,5
Probabilità dell’evento
B=“Almeno due volte testa”
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(B) = 4/8=0,5
Probabilità dell’evento
C=“A Croce nel primo lancio o
B almeno due volte testa”
• Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(A)=0.5
P(B)=0.5
• P(A ∩ B)=1/8
• P(C)=7/8
Esempio
• Titolari di patente classificati per sesso e
per l’obbligo di portare le lenti
Sesso\lenti S
N
Tot.
M
0,2
0,4
0,6
F
0,1
0,3
0,4
Tot
0,3
0,7
1
• Prob. degli eventi
• P(M ∩ N)? P(M U N)
Esempio
• Titolari di patente classificati per sesso e
per l’obbligo di portare le lenti
Sesso\lenti S
N
Tot.
M
0,2
0,4
0,6
F
0,1
0,3
0,4
Tot
0,3
0,7
1
• P(M ∩ N)=0,4
Esempio
• Titolari di patente classificati per sesso e
per l’obbligo di portare le lenti
Sesso\lenti S
N
Tot.
M
0,2
0,4
0,6
F
0,1
0,3
0,4
Tot
0,3
0,7
1
P(M U N)= P(M)+P(N)-P(M ∩ N)=
0,6+0,7-0,4=0,9
Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B=“Il secondo boero contiene il buono”
• P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il
buono”
Esempio
• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due
dei quali contengono un buono per un
nuovo boero. Probabilità di mangiare 3
boeri comprandone uno solo?
• A=“Il primo boero contiene il buono”
• B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato
che il primo buono è già stato estratto”
• P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023
Esempio totocalcio
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni
1
X
2
• Qual è la prob. di fare 14?
Esempio
• Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1
X 2). Qual è la prob. di fare 14?
• Ei= indovino il segno della partita i=1, 2, …,
14
• P(Ei)= 1/3
• Prob. di fare 14=P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ E14)=
P(E1) ∩ P(E2) ∩ P(E3) ∩ … ∩ P(E14)=(1/3)14=
2,09075E-07 =1/4.782.969
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Ei= indovino il numero i-esimo della
combinazione
• P(E1)=6/90 P(E2)=5/89 P(E3)=4/88 …
• (6 5 4 3 2 1 ) (1/90 1/89 1/88 1/87 1/86 1/85)
• = 1 / 622.614.630
Richiami di matematica:
coefficiente binomiale
Combinazioni
Il numero di combinazioni di n oggetti
di classe s, cioè il numero di modi in
cui si possono selezionare s oggetti da
un campione di n, è dato da:
dove
n
n!
n(n  1)(n  s  1)!
Cn ,s    

s!
 s  s!(n  s)!
n!  n( n  1)(n  2)...  2  1
è detto n fattoriale e 0! = 1.
15
Esempio: superenalotto
• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,
40, 90}
• Prob di fare 6?
• Casi favorevoli =1
• Casi possibili = Combinazioni di 90
elementi di classe 6 = C90,6
• C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)=
• C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630
Esercizi
•
•
•
•
•
•
•
•
Dati i tre insiemi
A={x: 0≤x ≤4}
B={x: 3≤x ≤10}
C={x: -1≤x ≤3}
Si determinino gli eventi
AUBUC
A∩B∩C
A ∩ B ∩ Cc
Soluzione
Esercizio
• Dati due eventi incompatibili A e B tali che
P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le
seguenti probabilità
• P(Ac)
• P(A ∩ B )
• P(A U B)
• P(Ac U Bc)
• P(Ac ∩ Bc)
Soluzione
Esercizio
• Per i due eventi A e B sono note le
probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39
P(A ∩ B )=0,18 si determinino le
probabilità nella tabella che segue
A
Ac
B
Bc
• E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc )
Esercizio
• Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere.
Calcolare
• Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima
estrazione (evento A)?
• Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di
estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione
(evento B) dato che nella prima estrazione è stata
estratta una pallina bianca (evento A)?
• Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una
pallina bianca
Soluzione
Esercizio
• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2
almeno una volta in tre lanci consecutivi di
un dado.
Soluzione
Esercizio
• Un docente di statistica ha distribuito un
elenco di 20 domande da cui sceglierà a
caso quattro domande per l’esame finale.
Avendo poco tempo lo studente x prepara
solo 4 domande. Qual è la probabilità che
proprio queste costituiscano la prova di
esame
Soluzione
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la
probabilità di avere due carte di quadri,
due di cuori e una di fiori?
Soluzione
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure una carta rossa?
Soluzione
Esercizio
• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52
carte. Si estrae una sola carta. Qual è la
probabilità di estrarre una carta di quadri
oppure un re?
Soluzione
Esercizio
• Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel
bancone di un supermercato, 10 scadono
fra una settimana, 50 fra due settimane e
le restanti 20 fra tre settimane. Si calcoli la
probabilità che su 5 confezioni scelte a
caso due scadano tra una settimana, due
scadano fra due settimane e una fra tre
settimane
Soluzione
Esercizio
• Da un mazzo di 52 carte da poker se ne
estraggono a sorte 5. Si determini la
probabilità che delle 5 carte 3 siano assi
Soluzione
Esercizio
• Si calcoli la probabilità che estraendo a
sorte due carte da un mazzo di 40
appaiano 2 assi.
– Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo
prima dell’estrazione della seconda
– Nel caso che la prima non sia reinserita nel
mazzo prima dell’estrazione della seconda
Soluzione
Esercizio
• Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli
– La probabilità che l’esito del primo lancio sia
5, se la somma dei punteggi è 7
– La probabilità che l’esito del secondo lancio
sia un numero doppio dell’esito del primo
lancio
Soluzione
Esercizio
• Si dimostri che se due eventi A e B sono
indipendenti, allora A e l’evento
complementare di B (Bc) sono indipendenti
Soluzione