Albez edutainment production
Economia Aziendale I
I calcoli percentuali
Giuseppe Albezzano ITC Boselli
Varazze
1
Sommario
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Rapporti e proporzioni
Terminologia
Proprietà fondamentale
Conseguenze della proprietà fondamentale
Esempi
Proporzionalità diretta e inversa
Problemi del tre semplice diretto
Problemi del tre semplice inverso
E adesso prova tu!
Calcoli percentuali
Problemi diretti
Problemi inversi
E ora prova tu!
I calcoli sopra cento
Esempio di sopra cento diretto
Esempio di sopra cento inverso
I calcoli sottocento
Esempio di sottocento diretto
Esempio di sottocento inverso
E adesso prova tu!
Fonti bibliografiche
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I Rapporti e le proporzioni
Si dice rapporto tra due numeri, presi in un certo ordine, il quoziente tra il
primo e il secondo.
Ad esempio, il rapporto tra 10 e 5 si esprime:
10 : 5 oppure 10 o anche 10/5
5
Si dice proporzione l’uguaglianza tra due rapporti:
10 : 5 = 8 : 4 oppure 10/5 = 8/4
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Consideriamo i seguenti rapporti:
10 : 5 = 8 : 4
E’ una proporzione perché il rapporto
tra il primo e il secondo:
10 : 5 =2
E’ uguale al rapporto tra il terzo e il
quarto:
8:4=2
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Terminologia
Data la proporzione
10 : 5 = 8 : 4
10 e 4 si dicono estremi
5 e 8 si dicono medi
10 e 8 si dicono antecedenti
5 e 4 si dicono conseguenti
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Proprietà fondamentale
In ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al
prodotto dei medi
Verifichiamola con la nostra proporzione
10 : 5 = 8 :4
10*4 = 40
5*8 = 40
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Conseguenze della proprietà
fondamentale
E’ possibile determinare uno dei quattro termini se si
conoscono gli altri tre
Infatti, data la seguente proporzione:
A:B=C:D
Dove A e D sono estremi e B e C medi
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Conseguenze della proprietà
fondamentale
1. Se il termine incognito è un estremo, per trovarlo si esegue
il prodotto dei medi e si divide il risultato per l’altro estremo
B*C
A=
B*C
D=
D
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A
8
Conseguenze della proprietà
fondamentale
2. Se il termine incognito è un medio, si effettua il
prodotto degli estremi e si divide il risultato per l’altro
medio
A*D
B=
A*D
C=
C
B
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Esempi
Data la seguente proporzione
15 : 81 = 25 = x
x = 81 * 25/15 = 135
e la seguente
85 : 17 = x : 54
x = 85 * 54/17 = 270
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Proporzionalità diretta e inversa
Due grandezze variabili e dipendenti tra loro sono
direttamente proporzionali quando diventando l’una
doppia, tripla, quadrupla, ecc. anche l’altra diventa doppia,
tripla, quadrupla.
Due grandezze variabili e dipendenti tra loro sono
inversamente proporzionali quando diventando l’una
doppia, tripla, quadrupla, ecc. l’altra diventa la metà, un
terzo, un quarto, ecc.
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Problemi del tre semplice diretto
Acquistando 48 lattine di olio d’oliva, un commerciante
ha pagato € 96,00.
Quanto avrebbe pagato se avesse acquistato 125
lattine?
1° procedimento
Si può impostare la proporzione in modo che il primo antecedente sia della
stessa specie del secondo antecedente, e quindi analogamente il primo
conseguente sia della stessa specie del secondo conseguente. Avremo
quindi:
quantità
spesa
48
a
c 96
125
a
c
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x
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E la proporzione:
48
quantità
:
96
spesa
=
125
quantità
:
x
spesa
Risolvendo la proporzione si ottiene:
x = 96 * 125/48 = € 250,00 somma spesa
2° procedimento
Si può impostare la proporzione in modo tale che i primi due termini siano della
stessa specie e allo stesso modo il terzo e il quarto siano tra loro della stessa
Specie. Avremo quindi:
quantità
spesa
48
a
a
96
125
c
c
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x
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E la proporzione:
48
quantità
:
125
quantità
=
96
spesa
:
x
spesa
Risolvendo la proporzione si ottiene:
x = 125 * 96/48 = € 250,00 somma spesa
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Problemi del tre semplice inverso
Una strada può essere costruita in 60 giorni da una squadra di 15 operai.
Se venissero utilizzati 20 operai in quanti giorni potrebbe essere terminata?
Per impostare correttamente la proporzione occorre ricordare che il secondo
Rapporto deve essere invertito rispetto al primo. Cioè i primi due termini
Devono essere della stessa specie, pure il terzo e il quarto devono essere
della stessa specie ma presi in ordine inverso. Avremo così:
operai
15
a
c
20
c
a
giorni
60
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x
15
Problemi del tre semplice inverso
E la proporzione:
15 :
operai
Da cui:
20 = x :
operai
giorni
60
giorni
x = 15 * 45/20 = 45 giorni
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E adesso prova tu!
• Un’azienda produce 400 pezzi al giorno impiegando 50 operai. Se la
produzione venisse aumentata a 600 pezzi al giorno quanti opeai
occorrerebbero? (R. 75)
• Per costruire un muro sono stati utilizzati 6 operai che hanno
lavorato per 24 giorni. Quanto tempo sarebbe occorso se gli operai
fossero stati 8? (R. 18)
• La spedizione di una 150 tonnellate di merce è costata € 6.000.
Quanto costerebbe la spedizione di 120 tonnellate? (R. 4.800)
• Una merce è stata trasportata con un furgone che ha percorso km
270 in 4 ore ad una media di 70 km/h. Quanto tempo avrebbe
impiegato a percorrere la stessa distanza se avesse tenuto una
media di 80 km/h? (R. 3,5)
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Calcoli percentuali
Una percentuale indica quante unità di
una certa grandezza corrispondono a 100
unità di un’altra grandezza
La percentuale viene espressa con un
numero e con il simbolo %
Ad esempio se l’IVA sulle auto è del 20%
significa che ogni 100 euro di valore
dell’auto si dovranno pagare 20 euro di
IVA
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Calcoli percentuali
I calcoli percentuali si eseguono impostando e risolvendo una proporzione.
Così se indichiamo con:
S = somma sulla quale si calcola la percentuale
P = valore percentuale totale (percento)
r = ragione o tasso o aliquota percentuale
Otteniamo la seguente proporzione:
100 : r = S : P
Da cui, conoscendo due dei tre termini, cioè S, P, r, si può trovare quello
Incognito.
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Problemi diretti
In tali problemi si conoscono la somma sulla quale deve essere calcolata la
percentuale (S) e la ragione (r). E’ incognito il valore percentuale (P).
ESEMPIO
Una partita di mele contenuta in cassette di legno ha un peso lordo di 250 kg.
La tara (cassette di legno) corrisponde al 2% del peso lordo. Calcolare la tara.
I dati del problema sono:
r = 2%
S = 250
P=x
La proporzione si presenterà così:
100 : 2 = 250 : x
dove x = 2 * 250/100 = 5 Kg di tara
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Problemi inversi
In tali problemi si conosce il valore percentuale (P) e, oltre da esso, uno degli
altri due termini: S (somma sulla quale deve essere calcolata la percentuale),
oppure r (ragione o aliquota o tasso percentuale).
ESEMPIO 1
Durante il trasporto via mare una partita di merce del peso di 120 quintali ha
assorbito umidità ed ha subito un aumento di peso di q. 1,2. Qual è stata la
percentuale di aumento?
Dati problema
r = x incognita
S = 120 q.
P = 1,2 q.
Proporzione
100 :
r
=
S
:
P
100 : x = 120 : 1,2
da cui otteniamo:
X = 100 * 1,2/120 = 1% percentuale di aumento
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Problemi inversi
ESEMPIO 2
Su un orologio acquistato per un regalo abbiamo pagato un Imposta sul
Valore Aggiunto di € 90 pari al 20% del prezzo di acquisto dell’orologio.
Qual è stato il prezzo di acquisto dell’orologio?
Dati del problema
r = 20%
S = x incognita
P = 90 euro
Proporzione
100
:
r
100
:
20 =
=
S
:
P
x
:
90
Da cui otteniamo:
X = 100 * 90/20 = € 450 prezzo di acquisto
dell’orologio
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E ora prova tu!
• In una partita di merce del peso lordo di quintali
180 la tara corrisponde al 5% del peso lordo.
Determinare la tara (peso dell’imballaggio) e il
peso netto (R. 9; 171).
• Per assicurare l’arredamento di un alloggio
contro il rischio di furto occorre pagare lo 0,85%
del valore assicurato. Calcolare l’importo da
pagare nel caso che l’arredamento dell’alloggio
si valutato complessivamente a € 19.000,00 (R.
161,50).
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E ora prova tu!
• Un rappresentante di commercio percepisce
mensilmente la provvigione del 6% sugli affari
conclusi. Determinare il volume degli affari
effettuati nel mese di ottobre sapendo che gli è
stato liquidato il compenso di € 2.400,00 (R.
40.000).
• Abbiamo acquistato un motorino del prezzo di
listino di € 2.800,00. Sapendo che sul prezzo di
listino abbiamo ottenuto uno sconto di € 175,00,
calcolare la percentuale di sconto che il
rivenditore ci ha concesso (R. 6,25%)
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I calcoli sopra cento
 Vengono applicati nei problemi in cui il valore della
percentuale (P) deve essere sommato alla somma (S)
sulla quale essa è stata calcolata e la ragione
percentuale (r) deve essere sommata a 100.
 Per eseguire calcoli sopra cento occorre riprendere la
proporzione fondamentale:
100 : r = S : P
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I calcoli sopra cento

Secondo la proprietà del comporre, puo’ essere
ricavata la seguente proporzione:
100 : (100 + r) = S : (S + P)
I simboli della proporzione hanno questo significato:
(100+r) = cento aumentato della ragione percentuale
S = somma sulla quale viene calcolato il valore
percentuale (P)
(S+P) = somma aumentata del valore della percentuale
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Esempio sopracento diretto
Un’impresa acquista una merce al prezzo di € 12,50 il chilogrammo.
Determiniamo il prezzo di vendita sapendo che l’impresa vuole
ottenere un guadagno pari al 20% del costo d’acquisto.
Ricordiamo la proporzione: 100 : (100+r) = S : (S+P)
Dove: (100+r) = 120
S = 12,50
(S+P) = x
Sostituendo: 100 : 120 = 12,50 : x
X = 120*12,50/100 = € 15,00 prezzo di vendita della merce
I problemi di calcolo del sopra cento sono chiamati diretti quando si
vuole trovare il valore di S+P
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Esempio sopracento inverso
Il peso lordo di una merce è di kg 28,56, mentre la tara è pari al 2%
del peso netto. Determiniamo il peso netto della merce e il peso
dell’imballaggio.
Ricordiamo la proporzione: 100 : (100+r) = S : (S+P)
dove: (100+r) = 102
sostituendo:
S=x
(S+P) = 28,56
100 : 102 = x : 28,56
x = 100*28,56/102 = kg 28 peso netto
Kg (28,56 – 28) = 0,56 kg tara
I problemi di sopra cento sono inversi quando il valore conosciuto è
(S+P) e vogliamo individuare le parti che lo compongono, cioè S e
P.
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I calcoli sotto cento

Per eseguire i calcoli sotto cento occorre applicare la
proprietà dello scomporre delle proporzioni:
100 : (100 – r) = S : (S - P)
Significato dei simboli:
(100 – r) = cento diminuito della ragione percentuale
S = somma sulla quale viene calcolato il valore della
percentuale
(S – P) = somma diminuita del valore della percentuale
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Esempio di sottocento diretto
Durante il trasporto una merce che aveva in partenza il peso di 350 kg
ha subito un calo del 3% Determiniamo il peso della merce all’arrivo.
Ricordiamo la proporzione: 100 : (100 – r) = S : (S-P)
Dove: (100-r) = 97
Sostituendo:
S = 350 kg
(S – P) = x
100 : 97 = 350 : x
x = 97*350/100 = kg 339,5
peso della merce all’arrivo
I problemi di calcolo sotto cento sono diretti quando si vuole
determinare il valore di (S – P).
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Esempio di sottocento inverso
A fine stagione un negozio di abbigliamento espone in vetrina un completo
da uomo a € 195,00 scontato del 25%. Determiniamo il prezzo di listino
dell’abito.
100: (100 – r) = S : (S – P)
Dove: (100 – r) = 75
Sostituendo:
S=x
(S – P) = 195,00
100 : 75 = x : 195
x = 100*195/75 = € 260,00 prezzo di listino
I problemi del sotto cento sono inversi quando si vuole determinare il valore
di S e P.
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E adesso prova tu!
• Una merce che alla partenza pesava quintali 650,
durante il trasporto ha subito un calo del 4%.
Determinare la quantità arrivata (R. 624 q).
• Abbiamo acquistato un cellulare pagandolo € 320,00,
dopo aver ottenuto dal negoziante lo sconto del 20%.
Calcolare il prezzo di listino (R. € 400,00).
• Una merce acquistata a € 180,00 viene venduta con un
guadagno del 30% sul prezzo di acquisto. Determinare il
prezzo di vendita (R. € 234,00).
• Una merce acquistata a € 360,00 viene venduta con un
guadagno del 20% sul prezzo di vendita. Calcolare il
prezzo di vendita (R. € 450,00).
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Ti sei meritato una vacanza….
Fine
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Fonti bibliografiche
• Astolfi & Stroffolino “Scoprire l’economia aziendale”
Tomo A, editore Tramontana Milano 2004
• Lidia Sorrentino “Azienda passo passo” volume 1
Paramond editore Milano 2004
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