Mat_Insieme
Lavoro di Gruppo a tre mani
Prodotti Notevoli
Tabella di Scomposizioni
Test Scomposizioni
a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia
1
I Prodotti Notevoli
 Quadrato di binomio
 Cubo di binomio
 Quadrato di polinomio
 Potenza n-esima di binomio
 Somma per differenza
 Altri prodotti notevoli
prof.ssa Giuseppa Chirico
2
Quadrato di un Binomio





Cerchiamo la regola
La regola
Il significato geometrico
Esempi
Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico
3
Quadrato di binomio: significato algebrico
(a+b)2 = (a+b) (a+b) =
= a2+ab+ab+b2 =
= a2+2ab+b2
prof.ssa Giuseppa Chirico
4
Quadrato di binomio: la regola
(a+b)
2
=a
2
+ 2ab + b
2
Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per
termini:
• il quadrato del 1° monomio
• il doppio prodotto del 1° monomio per il 2°
• il quadrato del 2° monomio
prof.ssa Giuseppa Chirico
5
Quadrato di binomio: significato geometrico
(a + b)2
(a + b)
a
ab
b2
a2
ab
b
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
prof.ssa Giuseppa Chirico
6
Quadrato di binomio: esempi
(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2
(2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2
(3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2
(-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2
2
2
5  1 
1 2 5
25 2
1
 1  5   5 
y
 x  y    x   2 x   y     y   x  xy 
2  3 
9
3
4
3
 3  2   2 
prof.ssa Giuseppa Chirico
7
Quadrato di binomio: esercizi
 (2a + 7)2 =
4a2 + 28 a + 49
 (3a - 4b)2 =
9a2 - 24 ab + 16b2
 (-2x - 3y)2 =
 (5a - 3b)2 =
4x2 + 12 xy + 9y2
a4 + 6 a2b + 9b2
25a2 - 30ab + 9b2
 (5a2 + 2b2)2 =
25a4 + 20 a2b2 + 4b4
 (-3a3 + 2b2)2 =
9a6 - 12 a3b2 + 4b4
 (2ab - 3b)2 =
4a2b2 - 12 ab2 + 9b2
49x2y2 - 28 x2y + 4x2
 (a2 + 3b)2 =
 (7xy - 2x)2 =
prof.ssa Giuseppa Chirico
8
Quadrato di binomio: esercizi
2
1 2
a  3ab  9b 2
4
2
9 2
a  9ab  9b 2
4

1

 a  3b  
2


3

 a  3b  
2


1 
3
 a  b 
5 
2

1 
3
 a  b 
5 
5

1 
5
 a  b 
3 
3

1 
1
 a  ab  
3 
3

2 2 1 2
 a  b  
2 
3
2
9 2 3
1
a  ab  b 2
4
5
25
2
9 2 6
1
a 
ab  b 2
25
25
25
2
2
2
25 2 10
1
a  ab  b 2
9
9
9
1 2 2 2
1
a  a b  a 2b 2
9
9
9
4 4 2 2 2 1 4
a  a b  b
9
3
4
prof.ssa Giuseppa Chirico
9
Cubo di un Binomio





Cerchiamo la regola
La regola
Il significato geometrico
Esempi
Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico
10
Cubo di binomio: significato algebrico
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =
= (a2+2ab+b2) (a+b) =
= a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3=
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico
11
Cubo di binomio: la regola
(a+b)
3
=a
3
+ 3a2b + 3ab2 + b
3
Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per
termini:
• il cubo del 1° monomio
• il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2°
• il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2°
• il cubo del 2° monomio
prof.ssa Giuseppa Chirico
12
Cubo di binomio: significato geometrico
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico
13
Cubo di binomio: esempi
(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 =
= 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3
(2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 =
= 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3
(-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 =
= -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3
(-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3
= -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3
3
3
2
2
3
5 
1 3 5 2
25 2 25 3
1
1 
 1   5   1  5   5 
a  a b
ab  b
 a  b    a   3 a    b   3 a   b    b  
2 
27
6
4
4
3
3 
 3   2   3  2   2 
prof.ssa Giuseppa Chirico
14
Cubo di binomio: esercizi
 (2a +







1)3
=
(3a - b)3 =
(-2x - 3y)3 =
(a2 + 3b)3 =
(a - 3b)3 =
(a2 + 2b2)3 =
(-3a3 + 2b2)3 =
(2ab - 3b)3 =
8a3+12a2+6a+1
27a3-27a2b+6ab2-b3
-8x3-36x2y-54xy2-27y3
a6+9a4 b+27a2b2+27b3
8a3-36a2 b+54ab2 -27b3
a6+6a4 b2+12a2b4+8b6
-27a9+54a6b2-36a3b4+8b6
8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3
prof.ssa Giuseppa Chirico
15
Cubo di binomio: esercizi
3

1

 a  3b  
2


3

 a  3b  
2


1 
3
 a  b 
3 
2

1 
1
 a  b 
3 
5

1 
2
 a  b 
3 
3

1

 a  ab  
3


1 2 1 2 
 a  b  
2 
3
1 3 9 2
27 2
a  a b
ab  27b 3
8
4
2
3
27 3 81 2
81
a  a b  ab 2  27b 3
8
4
2
3
3
3
27 3 9 2
1
1
a  a b  ab 2  b 3
8
4
2
27
1 3 1 2
1
1 3
a 
a b  ab 2 
b
125
25
15
27
8 3 4 2
2
1
a  a b  ab 2  b 3
27
9
9
27
3
1 3 1 3
a  a b  a 3b 2  a 3b 3
27
3
3
1 6 1 4 2 1 2 2 1 6
a  a b  a b  b
27
6
4
8
prof.ssa Giuseppa Chirico
16
Quadrato di un Polinomio





Cerchiamo la regola
La regola
Il significato geometrico
Esempi
Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico
17
Quadrato di polinomio: significato algebrico
(a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) =
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 =
= a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
prof.ssa Giuseppa Chirico
18
Quadrato di polinomio: la regola
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi
di termini è un polinomio avente per termini:
• il quadrato di tutti i termini
• il doppio prodotto (con il relativo segno) di
ciascun termine per tutti quelli che lo seguono
prof.ssa Giuseppa Chirico
19
Quadrato di polinomio:significato geometrico
(a+b+c)2
(a+b+c)
a
b
ac
bc
c2
ab
b2
bc
a2
ab
ac
c
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
prof.ssa Giuseppa Chirico
20
Quadrato di polinomio: esempi
(2a + b + 3c)2 =
=(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c)
= 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc
(2a - b - c)2 =
= (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)=
= 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc
(-3a - 2b + c )2 =
=(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c)
= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc
2
2
2
5
1

1   5 
 1  5   1 
 5 
2
 x  y  1   x     y    1  2 x   y   2 x  1  2  y  1 
2
3

3   2 
 3  2   3 
 2 
1 2 25 2
5
2
x 
y  1  xy  x  5 y
9
4
3
3
prof.ssa Giuseppa Chirico
21
Quadrato di polinomio: esercizi
 (2a + 2b + 7)2 = 4a2+4b2+49+8ab+24a+24b
 (3a - 4b - 2c)2 = 9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc
 (-2x - 3y + 1)2 = 4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y
 (a2 + 3b - c)2 =
a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc
 (5a + 2b + c)2 = 25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc
 (-3a3+2b2+1)2 = 9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2
 (2ab - 3b - 2)2 = 4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b
 (7xy - 2x - 1)2 =
49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x
prof.ssa Giuseppa Chirico
22
Potenza n-esima di Binomio





Cerchiamo la regola
Triangolo di Tartaglia
La regola
Esempi
Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico
23
Potenza n-esima di binomio:
cerchiamo una regola
(a+b)0 =
(a+b)1 =
(a+b)2 =
(a+b)3 =
(a+b)4 =
(a+b)5 =
(a+b)6 =
1
a+b
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
» lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini
» i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono
uguali
» in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an
ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn
» i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di
Tartaglia”
prof.ssa Giuseppa Chirico
24
Potenza n-esima di binomio:
Triangolo di Tartaglia
(a+b)0 =
1
(a+b)1 =
1
(a+b)2 =
1
(a+b)3 =
1
(a+b)4 =
1
(a+b)5 =
(a+b)6 =
1
1
2
3
4
5
6
1
15
1
3
6
10
20
1
4
10
1
5
15
1
6
1
In questo prospetto:
* ogni riga inizia e termina con 1
* ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti
della riga precedente
prof.ssa Giuseppa Chirico
25
Potenza n-esima di binomio: la regola
(a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn
La potenza n-esima di un binomio è un polinomio
omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo
le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui
coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.
In pratica, si procede nel seguente modo:
• si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di
grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n)
• si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia
prof.ssa Giuseppa Chirico
26
Potenza n-esima di binomio: esempi
(a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 =
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 =
= a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
(2a+b)5 =
=(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5
=32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5
=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5
(3a-2b)4 =
=(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 =
=81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4=
= 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4
prof.ssa Giuseppa Chirico
27
Potenza n-esima di binomio: esercizi
 (2a - b)4 =
 (a +b)7 =
16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4
a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
 (a - b)7 = a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7
 (a - b)6 = a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6
 (a +2b)4 = a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4
 (a - 2b)4 =
a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4
 (a +2b)5 = a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5
 (-x - y)5 = - x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5
prof.ssa Giuseppa Chirico
28
Somma per differenza




Cerchiamo la regola
La regola
Esempi
Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico
29
Somma per differenza: significato algebrico
(a+b) (a-b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 - b2
prof.ssa Giuseppa Chirico
30
Somma per differenza: la regola
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
Il prodotto della somma di due termini
per la loro differenza è uguale al
quadrato del primo termine meno il
quadrato del secondo termine
prof.ssa Giuseppa Chirico
31
Somma per differenza: esempi
(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2
(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2
(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2
(-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2
2
2
5  1
5  1  5 
1 2 25 2
1
y
 x  y  x  y    x    y   x 
2  3
2  3  2 
9
4
3
prof.ssa Giuseppa Chirico
32
Somma per differenza: esercizi
 (2a + 7)(2a - 7)=
 (3a - 4b)(3a+ 4b) =
4a2 - 49
9a2 - 16b2
 (5a - 3b)(5a+ 3b) =
4x2 - 9y2
a4 - 9b2
25a2 - 9b2
 (5a2+2b2)(5a2 -2b2) =
25a4 - 4b4
 (-2x - 3y)(-2x+3y) =
 (a2 + 3b)(a2 - 3b) =
9a6 - 4b4
2
2
 (2a + 3b)( -2a + 3b) = 9b - 4a
2
2 2
 (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4x - 49x y
 (-3a3+2b2)(-3a3-2b2) =
prof.ssa Giuseppa Chirico
33
Somma per differenza: esercizi

1
 1

 a  3b  a  3b  
2
 2

1 2
a  9b 2
4

3
 3

 a  3b  a  3b  
2
 2

9 2
a  9b 2
4

1  3
1 
3
 a  b   a  b  
5  2
5 
2
1 2 9 2
b  a
25
4

1  3
1 
 3
  a  b   a  b  
5  5
5 
 5
9 2 1 2
a  b
25
25

[(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1

prof.ssa Giuseppa Chirico
34
Altri Prodotti Notevoli





Somma di cubi
Differenza di cubi
La regola
Esempi
Esercizi proposti
prof.ssa Giuseppa Chirico
35
Somma di Cubi: significato algebrico
(a+b) (a2 - ab + b2 ) =
= a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 =
= a3 + b3
prof.ssa Giuseppa Chirico
36
Differenza di Cubi: significato algebrico
(a - b) (a2 + ab + b2 ) =
= a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 =
= a3 - b3
prof.ssa Giuseppa Chirico
37
Somma o differenza di cubi: la regola
(a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3
Il prodotto della somma di due termini per il trinomio
formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza
del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il
cubo del secondo termine
(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3
Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio
formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del
loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il
cubo del secondo termine
prof.ssa Giuseppa Chirico
38
Somma o Differenza di Cubi: esempi
(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3
(2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3
(3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 +
8b3
(3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3
3
3
3
3
3  1 2 1
9 2  1   3 
1 3 27 3
1
a 
b
 a  b  a  ab  b    a    b  
3
4
9
4
16
3
4
27
64


    
3  1 2 1
9 2  1   3 
1 3 27 3
1
a  b
 a  b  a  ab  b    a    b  
3
4
9
4
16
3
4
27
64


    
prof.ssa Giuseppa Chirico
39
Somma o Differenza di Cubi: esercizi
 (2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)=






8a3 + 343
(3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = 27a3 - 64b3
(2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = 8x3 - 27y3
(a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = a6 + 27b3
(5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = 125a3 - 27b3
(x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = x6 + 8y6
(3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4) = 27a9 + b6
 (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) =
 (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2) =
prof.ssa Giuseppa Chirico
8a2 + 27b2
x3 - 8y3
40
SCOMPOSIZIONI
QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER
MISURARE LE TUE CONOSCENZE.
IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ FORNITA LA
CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA.
prof. Pier Angela Cerati
41
DOMANDA n.1
Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano
fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all’addizione. Quali?
1. a 2 x 2 y y  axy
2. 3x  2 x 2  2
3. 4 x 2  2 x  2
4. x 2  xy2
1, 2 e 3
1, 2 e 4
1, 3 e 4
prof.Pier Angela Cerati
2, 3 e 4
42
ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E’ CORRETTA!
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione è così
sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c).
Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso
fattore, quest’ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una
parentesi; all’interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio
ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore
evidenziato:
1. a 2 x 2 y y  axy  axy(axy - 1)
3. 4 x 2  2 x  2  2(2x 2  x  1)
4. x 2  xy2  x(x  y 2 )
mentre 3x  2 x 2  2 non è fattorizza bile
perchè i suoi termini non hanno alcun fattore
comune
prof.Pier Angela Cerati
43
BRAVO!!!
LA TUA RISPOSTA E’ CORRETTA!
VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE
prof. Pier Angela Cerati
44
TABELLA DI
SCOMPOSIZIONI
Prof.Adelaide Boccia
45
SE HO





Due termini
Tre termini
Quattro termini
Cinque termini
Sei termini
Prof.Adelaide Boccia
46
DUE TERMINI
 differenza di quadrati
a 2  b 2  a  b   a  b 
 somma di quadrati
a 2  b 2  non si scompone
 differenza di cubi




a 3 - b 3  a  b   a 2  a  b  b 2
 somma di cubi
a 3  b 3  a  b   a 2  a  b  b 2
Prof. Adelaide Boccia
47
TRE TERMINI
 quadrato di binomio
a  2ab  b  a  b 
 trinomio notevole
2
2
2
x  a  b   x  ab  x  a   x  b 
 regola di RUFFINI
2
Prof. Adelaide Boccia
48
QUATTRO TERMINI
 cubo di binomio
a  3a b  3ab  b  a  b 
3
2
2
3
3
 raccoglime nto a fattor comune parziale
ax  bx  ay  by  x  a  b   y  a  b  
 a  b    x  y 
 Regola di Ruffini
Prof. Adelaide Boccia
49
CINQUE TERMINI
 Regola di Ruffini
Prof. Adelaide Boccia
50
SEI TERMINI
 Quadrato di trinomio
a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 
 a  b  c 
 Raccoglime nto parziale
ax  bx  ay  by  az  bz 
 x a  b   y a  b   z a  b  
 a  b    x  y  z 
 Regola di Ruffini
2
Prof. Adelaide Boccia
51