Mat_Insieme Lavoro di Gruppo a tre mani Prodotti Notevoli Tabella di Scomposizioni Test Scomposizioni a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia 1 I Prodotti Notevoli Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli prof.ssa Giuseppa Chirico 2 Quadrato di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 3 Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b)2 = (a+b) (a+b) = = a2+ab+ab+b2 = = a2+2ab+b2 prof.ssa Giuseppa Chirico 4 Quadrato di binomio: la regola (a+b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: • il quadrato del 1° monomio • il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° • il quadrato del 2° monomio prof.ssa Giuseppa Chirico 5 Quadrato di binomio: significato geometrico (a + b)2 (a + b) a ab b2 a2 ab b (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 prof.ssa Giuseppa Chirico 6 Quadrato di binomio: esempi (2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2 (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2 (-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2 2 2 5 1 1 2 5 25 2 1 1 5 5 y x y x 2 x y y x xy 2 3 9 3 4 3 3 2 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 7 Quadrato di binomio: esercizi (2a + 7)2 = 4a2 + 28 a + 49 (3a - 4b)2 = 9a2 - 24 ab + 16b2 (-2x - 3y)2 = (5a - 3b)2 = 4x2 + 12 xy + 9y2 a4 + 6 a2b + 9b2 25a2 - 30ab + 9b2 (5a2 + 2b2)2 = 25a4 + 20 a2b2 + 4b4 (-3a3 + 2b2)2 = 9a6 - 12 a3b2 + 4b4 (2ab - 3b)2 = 4a2b2 - 12 ab2 + 9b2 49x2y2 - 28 x2y + 4x2 (a2 + 3b)2 = (7xy - 2x)2 = prof.ssa Giuseppa Chirico 8 Quadrato di binomio: esercizi 2 1 2 a 3ab 9b 2 4 2 9 2 a 9ab 9b 2 4 1 a 3b 2 3 a 3b 2 1 3 a b 5 2 1 3 a b 5 5 1 5 a b 3 3 1 1 a ab 3 3 2 2 1 2 a b 2 3 2 9 2 3 1 a ab b 2 4 5 25 2 9 2 6 1 a ab b 2 25 25 25 2 2 2 25 2 10 1 a ab b 2 9 9 9 1 2 2 2 1 a a b a 2b 2 9 9 9 4 4 2 2 2 1 4 a a b b 9 3 4 prof.ssa Giuseppa Chirico 9 Cubo di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 10 Cubo di binomio: significato algebrico (a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = = (a2+2ab+b2) (a+b) = = a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3= = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 11 Cubo di binomio: la regola (a+b) 3 =a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: • il cubo del 1° monomio • il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° • il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° • il cubo del 2° monomio prof.ssa Giuseppa Chirico 12 Cubo di binomio: significato geometrico (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 13 Cubo di binomio: esempi (2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3 (2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3 (-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3 (-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3 3 3 2 2 3 5 1 3 5 2 25 2 25 3 1 1 1 5 1 5 5 a a b ab b a b a 3 a b 3 a b b 2 27 6 4 4 3 3 3 2 3 2 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 14 Cubo di binomio: esercizi (2a + 1)3 = (3a - b)3 = (-2x - 3y)3 = (a2 + 3b)3 = (a - 3b)3 = (a2 + 2b2)3 = (-3a3 + 2b2)3 = (2ab - 3b)3 = 8a3+12a2+6a+1 27a3-27a2b+6ab2-b3 -8x3-36x2y-54xy2-27y3 a6+9a4 b+27a2b2+27b3 8a3-36a2 b+54ab2 -27b3 a6+6a4 b2+12a2b4+8b6 -27a9+54a6b2-36a3b4+8b6 8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 15 Cubo di binomio: esercizi 3 1 a 3b 2 3 a 3b 2 1 3 a b 3 2 1 1 a b 3 5 1 2 a b 3 3 1 a ab 3 1 2 1 2 a b 2 3 1 3 9 2 27 2 a a b ab 27b 3 8 4 2 3 27 3 81 2 81 a a b ab 2 27b 3 8 4 2 3 3 3 27 3 9 2 1 1 a a b ab 2 b 3 8 4 2 27 1 3 1 2 1 1 3 a a b ab 2 b 125 25 15 27 8 3 4 2 2 1 a a b ab 2 b 3 27 9 9 27 3 1 3 1 3 a a b a 3b 2 a 3b 3 27 3 3 1 6 1 4 2 1 2 2 1 6 a a b a b b 27 6 4 8 prof.ssa Giuseppa Chirico 16 Quadrato di un Polinomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 17 Quadrato di polinomio: significato algebrico (a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 = = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc prof.ssa Giuseppa Chirico 18 Quadrato di polinomio: la regola (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: • il quadrato di tutti i termini • il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono prof.ssa Giuseppa Chirico 19 Quadrato di polinomio:significato geometrico (a+b+c)2 (a+b+c) a b ac bc c2 ab b2 bc a2 ab ac c (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc prof.ssa Giuseppa Chirico 20 Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c)2 = =(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c )2 = =(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc 2 2 2 5 1 1 5 1 5 1 5 2 x y 1 x y 1 2 x y 2 x 1 2 y 1 2 3 3 2 3 2 3 2 1 2 25 2 5 2 x y 1 xy x 5 y 9 4 3 3 prof.ssa Giuseppa Chirico 21 Quadrato di polinomio: esercizi (2a + 2b + 7)2 = 4a2+4b2+49+8ab+24a+24b (3a - 4b - 2c)2 = 9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc (-2x - 3y + 1)2 = 4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y (a2 + 3b - c)2 = a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc (5a + 2b + c)2 = 25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc (-3a3+2b2+1)2 = 9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2 (2ab - 3b - 2)2 = 4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b (7xy - 2x - 1)2 = 49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x prof.ssa Giuseppa Chirico 22 Potenza n-esima di Binomio Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 23 Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola (a+b)0 = (a+b)1 = (a+b)2 = (a+b)3 = (a+b)4 = (a+b)5 = (a+b)6 = 1 a+b a2+2ab+b2 a3+3a2b+3ab2+b3 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 » lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini » i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali » in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn » i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia” prof.ssa Giuseppa Chirico 24 Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia (a+b)0 = 1 (a+b)1 = 1 (a+b)2 = 1 (a+b)3 = 1 (a+b)4 = 1 (a+b)5 = (a+b)6 = 1 1 2 3 4 5 6 1 15 1 3 6 10 20 1 4 10 1 5 15 1 6 1 In questo prospetto: * ogni riga inizia e termina con 1 * ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente prof.ssa Giuseppa Chirico 25 Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. In pratica, si procede nel seguente modo: • si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n) • si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia prof.ssa Giuseppa Chirico 26 Potenza n-esima di binomio: esempi (a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 (2a+b)5 = =(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5 =32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5 =32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 (3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 = =81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4= = 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4 prof.ssa Giuseppa Chirico 27 Potenza n-esima di binomio: esercizi (2a - b)4 = (a +b)7 = 16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4 a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7 (a - b)7 = a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7 (a - b)6 = a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6 (a +2b)4 = a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4 (a - 2b)4 = a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4 (a +2b)5 = a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5 (-x - y)5 = - x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5 prof.ssa Giuseppa Chirico 28 Somma per differenza Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 29 Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a2 - ab + ab - b2 = = a2 - b2 prof.ssa Giuseppa Chirico 30 Somma per differenza: la regola (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico 31 Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2 2 2 5 1 5 1 5 1 2 25 2 1 y x y x y x y x 2 3 2 3 2 9 4 3 prof.ssa Giuseppa Chirico 32 Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = 4a2 - 49 9a2 - 16b2 (5a - 3b)(5a+ 3b) = 4x2 - 9y2 a4 - 9b2 25a2 - 9b2 (5a2+2b2)(5a2 -2b2) = 25a4 - 4b4 (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a2 - 3b) = 9a6 - 4b4 2 2 (2a + 3b)( -2a + 3b) = 9b - 4a 2 2 2 (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4x - 49x y (-3a3+2b2)(-3a3-2b2) = prof.ssa Giuseppa Chirico 33 Somma per differenza: esercizi 1 1 a 3b a 3b 2 2 1 2 a 9b 2 4 3 3 a 3b a 3b 2 2 9 2 a 9b 2 4 1 3 1 3 a b a b 5 2 5 2 1 2 9 2 b a 25 4 1 3 1 3 a b a b 5 5 5 5 9 2 1 2 a b 25 25 [(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1 prof.ssa Giuseppa Chirico 34 Altri Prodotti Notevoli Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 35 Somma di Cubi: significato algebrico (a+b) (a2 - ab + b2 ) = = a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 = = a3 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 36 Differenza di Cubi: significato algebrico (a - b) (a2 + ab + b2 ) = = a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 = = a3 - b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 37 Somma o differenza di cubi: la regola (a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico 38 Somma o Differenza di Cubi: esempi (2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3 (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3 (3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3 (3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3 3 3 3 3 3 1 2 1 9 2 1 3 1 3 27 3 1 a b a b a ab b a b 3 4 9 4 16 3 4 27 64 3 1 2 1 9 2 1 3 1 3 27 3 1 a b a b a ab b a b 3 4 9 4 16 3 4 27 64 prof.ssa Giuseppa Chirico 39 Somma o Differenza di Cubi: esercizi (2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)= 8a3 + 343 (3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = 27a3 - 64b3 (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = 8x3 - 27y3 (a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = a6 + 27b3 (5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = 125a3 - 27b3 (x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = x6 + 8y6 (3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4) = 27a9 + b6 (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2) = prof.ssa Giuseppa Chirico 8a2 + 27b2 x3 - 8y3 40 SCOMPOSIZIONI QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE. IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA. prof. Pier Angela Cerati 41 DOMANDA n.1 Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali? 1. a 2 x 2 y y axy 2. 3x 2 x 2 2 3. 4 x 2 2 x 2 4. x 2 xy2 1, 2 e 3 1, 2 e 4 1, 3 e 4 prof.Pier Angela Cerati 2, 3 e 4 42 ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E’ CORRETTA! La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c). Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, quest’ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all’interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore evidenziato: 1. a 2 x 2 y y axy axy(axy - 1) 3. 4 x 2 2 x 2 2(2x 2 x 1) 4. x 2 xy2 x(x y 2 ) mentre 3x 2 x 2 2 non è fattorizza bile perchè i suoi termini non hanno alcun fattore comune prof.Pier Angela Cerati 43 BRAVO!!! LA TUA RISPOSTA E’ CORRETTA! VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE prof. Pier Angela Cerati 44 TABELLA DI SCOMPOSIZIONI Prof.Adelaide Boccia 45 SE HO Due termini Tre termini Quattro termini Cinque termini Sei termini Prof.Adelaide Boccia 46 DUE TERMINI differenza di quadrati a 2 b 2 a b a b somma di quadrati a 2 b 2 non si scompone differenza di cubi a 3 - b 3 a b a 2 a b b 2 somma di cubi a 3 b 3 a b a 2 a b b 2 Prof. Adelaide Boccia 47 TRE TERMINI quadrato di binomio a 2ab b a b trinomio notevole 2 2 2 x a b x ab x a x b regola di RUFFINI 2 Prof. Adelaide Boccia 48 QUATTRO TERMINI cubo di binomio a 3a b 3ab b a b 3 2 2 3 3 raccoglime nto a fattor comune parziale ax bx ay by x a b y a b a b x y Regola di Ruffini Prof. Adelaide Boccia 49 CINQUE TERMINI Regola di Ruffini Prof. Adelaide Boccia 50 SEI TERMINI Quadrato di trinomio a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc a b c Raccoglime nto parziale ax bx ay by az bz x a b y a b z a b a b x y z Regola di Ruffini 2 Prof. Adelaide Boccia 51