Funzioni di due
variabili
Definizioni e dominio
Ad integrazione dello studio delle funzioni di due
variabili vengono trattate brevemente le disequazioni e i
sistemi di disequazioni in due incognite; viene anche
introdotto
il
sistema
di
riferimento
cartesiano
ortogonale tridimensionale che permette di esprimere
in termini analitici gli enti fondamentali della geometria
dello spazio.
Argomenti trattati:
•
•
•
•
•
•
•
Definizione di funzione di due variabili
Dominio e codominio di una funzione
Rappresentazione grafica di alcune funzioni
Richiami sulle coordinate cartesiane nel piano
Cenni sulle coordinate cartesiane nello spazio
Richiami sulle disequazioni lineari in due incognite
Richiami sulle disequazioni non lineari in due
incognite
• Richiami sui sistemi di disequazioni
• Test di autoverifica sul dominio delle funzioni di due
variabili
Richiami sulle coordinate cartesiane nel piano
Nel piano  fissiamo un
punto O detto origine, due
rette orientate fra loro
perpendicolari e passanti per
O che prendono il nome di
asse delle x e asse delle y e
un segmento u che costituisce
l’ unità di misura.
y
P’’
P
O
P’
x
Consideriamo un punto P qualunque del piano e sia P’ il punto in
cui la parallela condotta da P all’asse y incontra l’asse x, e P’’ il
punto in cui la parallela condotta da P all’asse x incontra l’asse y.
Indichiamo con x la misura del segmento orientato OP’ e con y
la misura del segmento orientato OP’’. I due numeri reali relativi
x e y sono individuati da P e si chiamano rispettivamente
ascissa e ordinata di P.
Viceversa, fissati comunque due numeri reali relativi x e y,
risultano determinati i punti P’ e P’’ che a loro volta
individuano il punto P del piano che ha x come ascissa e y come
ordinata.
In altri termini, si viene a stabilire una corrispondenza
biunivoca senza eccezioni tra i punti del piano e le coppie
ordinate di numeri reali. Per indicare che un punto P ha
coordinate x e y si scrive P(x, y).
Ricordiamo che una funzione
y = f(x) viene rappresentata
graficamente mediante tutti e
soli i punti di coordinate (x, y)
che
soddisfano
la
sua
equazione.
Es. la rappresentazione grafica
della funzione y = x3-x è
quella riportata nel grafico
accanto. (Fig. 1) dove le
coordinate di tutti i punti di
questo grafico soddisfano
l’equazione y = x3-x
Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio
Fissiamo nello spazio:
-un punto O detto origine
z
-tre rette orientate non complanari
passanti per O e a due a due perpendicolari
che prendono il nome di asse x, asse y,
asse z
P’’’(c)
P(a; b; c)
P’’(b)
O
y
P’(a)
-un segmento u che chiamiamo unità di
misura.
L’insieme degli elementi O, x, y, z, u
costituisce un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale nello spazio.
Q(a; b)
x
Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio
individua:
- su ciascuno dei tre assi il riferimento cartesiano che ha O per
origine e u per unità di misura;
- su ciascuno dei tre piani xy, xz e yz un riferimento
cartesiano che ha O per origine e u per unità di misura;
Consideriamo un punto qualunque P dello
spazio.
z
Il piano passante per P e parallelo al piano
yz incontra l’asse x nel punto P’
P(a; b; c)
P’’’(c)
Il piano passante per P e parallelo al piano
xz incontra l’asse y nel punto P’’
Il piano passante per P e parallelo al piano
xy incontra l’asse z nel punto P’’’ (vedi
figura)
P’’(b)
O
y
P’(a)
Q(a; b)
Indichiamo con a
la coordinata di P’
sull’asse x, con b la coordinata di P’’
sull’asse y e con c la coordinata di P’’’
sull’asse z.
I tre numeri reali relativi a, b, c sono
individuati dal punto P e si chiamano
coordinate di P.
x
Viceversa, fissati comunque tre numeri reali relativi a, b, c risultano
individuati i punti P’, P’’, P’’’ sugli assi cartesiani e questi tre punti
individuano il punto P che ha come coordinate i numeri a, b, c.
Si deduce che:
fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, ad ogni
punto corrisponde una terna ordinata di numeri reali relativi ( a, b, c ) , e
viceversa ad ogni terna ordinata di numeri reali relativi corrisponde un
determinato punto dello spazio.
Si è così stabilita una corrispondenza biunivoca senza eccezioni
tra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali relativi.
Per indicare che il punto P ha coordinate
P( a, b, c ) .
a, b, c scriveremo
Analogie tra il piano e lo spazio
Nel piano fissata una qualunque retta r esiste una equazione lineare in x e y
ax+by+c = 0 tale che i punti del piano che appartengono alla retta sono tutti e
soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione.
Ricordiamo i seguenti casi particolari:

x = 0 rappresenta l’equazione dell’asse y ( in quanto l’asse y è formata
da tutti e solo i punti la cui ascissa è zero)

y = 0 rappresenta l’equazione dell’asse x ( in quanto l’asse x è formata
da tutti e solo i punti la cui ordinata è zero)

x = k rappresenta una retta parallela all’asse delle y, costituita da tutti e
solo i punti che hanno ascissa uguale a k

y = h rappresenta una retta parallela all’asse delle x, costituita da tutti e
solo i punti che hanno ordinata uguale ad h
Nello spazio fissato un qualunque piano  esiste una equazione lineare in x
y e z ax+by+cz+d = 0 tale che i punti dello spazio che appartengono al
piano  sono tutti e soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione.
Ricordiamo i seguenti casi particolari:
 x = 0 rappresenta l’equazione del piano Oyz ( ovvero l’insieme di tutti e
soli i punti P(0; y; z) di ascissa zero con y e z numeri reali variabili )
z
O
y
x
y = 0 rappresenta l’equazione del piano Oxz ( ovvero l’insieme di tutti
e soli i punti P(x; 0; z) con x e z numeri reali )
z
O
y
x
z = 0 rappresenta l’equazione del piano Oxy ( ovvero l’insieme di tutti
e soli i punti
P(x; y; 0) con x e y numeri reali )
z
y
O
x
x = k rappresenta l’equazione di un piano parallelo al piano Oyz la cui
distanza da esso è data dal valore assoluto di k ( ovvero l’insieme di tutti
e soli i punti P(k; y; z) di ascissa k con y e z numeri reali variabili )
y = h rappresenta l’equazione di un piano parallelo al piano Oxz la cui
distanza da esso è data dal valore assoluto di h ( ovvero l’insieme di tutti
e soli i punti P(x; h; z) di ordinata h con x e z numeri reali variabili)
z = t rappresenta l’equazione di un piano parallelo al piano Oxy la cui
distanza da esso è data dal valore assoluto di t ( ovvero l’insieme di tutti
e soli i punti P(x; y; t) con t fissato e x e y numeri reali variabili )
Definizione:
Si dice funzione reale di due variabili reali x e y una relazione che associa
ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) uno ed un solo numero reale z
Per indicare che la variabile z è funzione delle variabili x e y si scrive:
z = f(x; y)
con (x ; y)  D
oppure :
f : (x , y)  z
e z  R dove D è un sottoinsieme di RxR
x e y si dicono variabili indipendenti, z si dice variabile dipendente.
Dominio e codominio:
Data la funzione z = f(x; y) con (x , y)  D
e zR
Il sottoinsieme D di RxR è detto dominio o insieme di
definizione o campo di esistenza della funzione.
L’insieme C dei valori assunti dalla variabile z si dice
codominio della funzione.
Ricerca del campo di esistenza di una funzione
Si ricorda che:
Si dice campo di esistenza o dominio di una funzione
z = f(x; y) l’insieme di tutte le coppie (x; y) appartenenti a
RxR per le quali la funzione è definita
Per determinare il dominio di una funzione reale di due variabili
reali, come nel caso delle funzioni di una sola variabile,
dobbiamo tenere presenti le principali regole di esistenza:
o Una funzione razionale intera esiste per qualunque (x; y)
appartenente a RxR
O Una funzione razionale fratta esiste se il suo denominatore
è diverso da zero
O Una funzione irrazionale (con l’indice della radice pari)
esiste se il suo argomento è positivo o nullo
O Una funzione irrazionale (con l’indice della radice dispari)
esiste qualunque sia il valore del suo argomento
Una funzione logaritmica esiste se il suo argomento è positivo
Esempi
1. Determinare il campo di esistenza della funzione z = 5x+2y-5
Si tratta di una funzione di due variabili razionale intera dove
ciascuna delle due variabili può assumere tutti i valori reali, quindi
il campo di esistenza è:
(x; y)  RxR
2. Data la funzione
z = xy
determinarne il dominio
Trattandosi di una funzione irrazionale il radicando deve essere
positivo o nullo, quindi si deve porre xy 0. Questo si verifica
quando x e y sono entrambe positive o entrambe negative. Quindi
il dominio è rappresentato da tutti i punti che appartengono al
primo ed al terzo quadrante compresi i punti degli assi coordinati.
3. Calcolare il dominio della funzione:
2x + 3
z= 2
x + y 2 - 25
Essendo una funzione razionale fratta il denominatore deve
essere diverso da zero. Quindi il dominio è rappresentato da
tutti i punti del piano che non appartengono alla
circonferenza con centro nell’origine e raggio 5
Per calcolare il dominio delle funzioni di due variabili è
necessario saper operare con le disequazioni e i sistemi di
disequazioni in due variabili
Rappresentazione grafica:
La rappresentazione grafica della funzione
z = f(x; y)
viene fatta
mediante un sistema di riferimento ortogonale nello spazio
Il grafico o diagramma della funzione z = f(x; y)
è l’insieme di tutti e soli i punti dello spazio di coordinate (x; y; z)
per i quali sussiste la relazione z = f(x; y).
Cominciamo a considerare i grafici di alcune funzioni:
z
8
x2  y2  1
Notiamo che il dominio di questa funzione è RxR
il denominatore della frazione non è mai nullo
in quanto
Paraboloide ellittico
x2 y2
z

8 18
Il dominio di questa funzione è RxR
Paraboloide iperbolico
x2 y2
z

8 18
Il dominio di questa funzione è RxR
Richiami sulle Disequazioni lineari in
due incognite
Ogni disequazione del tipo
ax+by+c  0
( oppure ax+by+c  0 )
rappresenta un semipiano individuato dalla retta r ( o di bordo r)
formato da tutti e solo i punti che con le loro coordinate verificano la
disequazione.
Il valore del trinomio lineare ax+by+c dipende dalle coordinate del
punto P ( x; y ) nel quale esso si calcola.
Ricordiamo che ogni equazione lineare del tipo
ax+by+c = 0
rappresenta una retta r del piano alla quale appartengono tutti e solo i punti
che con le loro coordinate verificano l’equazione.
Tale retta divide il piano in due semipiani di bordo r.
N.B. Per verificare l’appartenenza di un punto ad una retta basta sostituire le
coordinate del punto nell’equazione della retta. Es. data la retta di equazione
x –2y +4 = 0;
il punto P( 2; 3) appartiene alla retta perché sostituendo le
sue coordinate rispettivamente al posto di x e y si ha:
2-2*3+4 = 0 ;
mentre P( 1; 5)
non appartiene alla retta in quanto
sostituendo le sue coordinate nell’equazione della retta si ha:
1 – 2*5 + 4  0
Per individuare il semipiano dove risulta, per esempio,
ax+by+c > 0 , basta:
 considerare un qualsiasi punto P ( x; y ) che non stia sulla retta
(altrimenti ax+by+c = 0 )
 determinare il segno che il trinomio ax+by+c assume in tale
punto.
 Se risulta ax+by+c > 0 allora il semipiano cercato è quello
di bordo r e contenente P; altrimenti è il semipiano opposto.
Casi particolari:
 Se a = 0 e b  0 la disequazione viene espressa da una
delle seguenti forme:
y>q;
yq;
y<q;
y q
Consideriamo i seguenti esempi tenendo conto che la retta
y = q è parallela all’asse x
ESEMPI
La disequazione y > 3 è
verificata da tutti i punti del
piano di ordinata maggiore di 3,
ovvero da tutti i punti del
semipiano che si trova “sopra”
la retta r di equazione y = 3,
esclusi i punti della retta r ( deve
essere y > 3 e non y  3
quindi y non può essere uguale
a 3. La linea tratteggiata in figura
indica che sono esclusi i punti
della retta ).
y
3
O
x
La disequazione y  - 2 è
verificata da tutti i punti del
piano di ordinata maggiore o
uguale a - 2, ovvero da tutti i
punti del semipiano che si
trova“sopra” la retta r di
equazione y = - 2, compresi i
punti della retta ( deve essere
y  -2 quindi y può anche
essere uguale a – 2.
La retta r di equazione y = -2
non è tratteggiata perché sono
compresi i punti della retta ).
y
O
x
-2
y
La disequazione y < 1
è verificata da tutti i punti del
piano di ordinata minore di
1, ovvero da tutti i punti del
semipiano
“sotto”
che
si
la retta
equazione y = 1
punti della retta r.
trova
r di
esclusi i
1
O
x
La disequazione
y  -3
y
è verificata da tutti i punti del
semipiano di ordinata minore o
uguale a – 3
O
ovvero da tutti i
punti del semipiano che si trova
“sotto” la retta r di equazione
y = -3, compresi i punti della
retta r.
x
-3
Casi particolari:
 Se a  0 e b = 0 la disequazione viene
espressa da una delle seguenti forme:
x>p;
x  p;
x<p;
x p
Analogamente al caso precedente si considera
qualche esempio tenendo conto che la retta x = p è
parallela all’asse y
Esempi
y
La disequazion x > 2 è verificata
da tutti i punti del piano di ascissa
maggiore di 2, ovvero dai punti del
semipiano “a destra” della retta r
O
di equazione x = 2, esclusi i punti
della retta
( perché deve essere
x > 2 e non x  2 )
2
x
La
disequazione
x  4 è
y
verificata da tutti i punti del
piano di ascissa
minore
o
uguale a 4, ovvero da tutti i
punti del semipiano “a sinistra”
della retta
r di equazione
x = 4, compresi i punti della
retta
O
4
x
Consideriamo ora il caso in cui
a0 e b0
La disequazione è del tipo ax+by+c  0
(o
ax+by+c  0 )
Vedremo con un esempio come si risolve una
disequazione di questo tipo
Per risolvere la disequazione
• l’equazione della retta r
x + 3y – 6  0
si considera:
x + 3y – 6 = 0 ad essa associata .
• Si calcolano le coordinate dei punti in cui essa interseca gli
assi cartesiani :
[Si ricorda che per calcolare l’intersezione della retta con l’asse x si pone y
= 0, l’equazione diventa x – 6 = 0 che ha soluzione x = 6, quindi la
retta incontra l’asse x nel punto di coordinate ( 6; 0 )
Per calcolare l’intersezione della retta con l’asse y si pone
x = 0,
l’equazione diventa 3y – 6= 0 che ha soluzione y = 2, dunque la retta
incontra l’asse y nel punto di coordinate(0; 2)]
Si disegna ora nel piano cartesiano la retta r
che passa per i punti (6; 0) e (0; 2); le soluzioni
della disequazione sono date da tutti i punti
appartenenti ad uno dei due semipiani
individuati dalla retta r.
Per stabilire di quale semipiano si tratta, si
considera un punto qualunque appartenente ad
uno dei due semipiani, per esempio O(0; 0) , il
valore che il trinomio x + 3y – 6 assume in
tale punto è : - 6 < 0.
Si deduce che l’origine non è soluzione della
disequazione.
Il semipiano richiesto è quello individuato da r
(compresi i punti della retta ) e non contenente
l’origine degli assi
y
2
O
6
x
Prima di affrontare lo studio delle disequazioni non lineari in
due incognite è opportuno ricordare le equazioni della
circonferenza e della parabola.
CIRCONFERENZA
Definizione
Si dice Circonferenza il luogo geometrico dei punti del
piano equidistanti da un punto fisso detto centro.
Dalla definizione e dalla formula della distanza tra due punti
segue che: l’equazione cartesiana della circonferenza è:
( x  ) 2  ( y  ) 2  r 2
dove C(α ; β) è il centro della circonferenza, r la misura del
raggio e P(x; y) un generico punto della circonferenza.
La precedente equazione, dopo aver sviluppato i quadrati, e
dopo aver posto
a = - 2α,
b = -2 β, e
c = α 2 + β2 - r 2
si può scrivere nella forma:
(1)
x2 + y2 + ax + by + c = 0
che è:
un’equazione algebrica di secondo grado nelle variabili x e y
dove i coefficienti di x2 e y2 sono uguali tra loro e manca il
termine in xy
Si ricorda inoltre che non sempre un’equazione del tipo (1)
rappresenta una circonferenza reale; la condizione perché essa sia
l’equazione di una circonferenza è:
dove
r2 > 0
ovvero α 2 + β2- c > 0
a

2

b
2
Quindi:
L’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0
rappresenta una circonferenza solo se risulta
2
2
a b
    c  0
2 2
dove le coordinate del centro sono
2
ed
il raggio
2
a

2
a
b
r      c
2
2
b

2
PARABOLA
Definizione
Si dice Parabola il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa
detta direttrice.
Si dimostra che:
y  ax 2  bx  c
rappresenta una parabola
all’asse y
con: vertice

 b
V  ; - 
4a 
 2a
con asse di simmetria parallelo
 b 1  

e fuoco F  ;
 2a 4a 
il cui asse di simmetria è la retta di equazione: x   b
2a
e la cui direttrice è la retta,
parallela all’asse x, di equazione:
1 
y
4a
Si ricorda inoltre che la parabola volge la concavità verso
l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 .
L’equazione
x  ay 2  by  c
rappresenta una parabola
all’asse x
con: vertice
con asse di simmetria parallelo
b 
 
V - ;  
2a 
 4a
il cui asse di simmetria è la
retta di equazione:
b 
 1 
e fuoco F
;  
2a 
 4a
b
y
2a
e la cui direttrice è la retta,
parallela all’asse y, di equazione
1 
x
4a
DISEQUAZIONI NON LINEARI IN DUE INCOGNITE
Vediamo un esempio tenendo presente che il procedimento per
risolvere le disequazioni non lineari è simile a quello per le
disequazioni lineari.
Esempio
Risolvere la disequazione x2 – 6x + 5 – y  0.
Si rappresenta la curva di equazione
x2 – 6x + 5 – y = 0
ovvero la curva di equazione y = x2 – 6x + 5
che è l’equazione di una parabola che volge la concavità verso
l’alto, ha il vertice nel punto V( 3; - 4 )
incontra gli assi cartesiani nei punti ( 0; 5 ), ( 1; 0 ) e ( 5; 0 )
Essa divide il piano in due parti una delle quali contiene
l’origine (dato che la parabola non passa per l’origine)
Una di queste due parti
è costituita dai punti le cui
coordinate (x; y ) soddisfano la disequazione .
Consideriamo il punto O (0; 0) come punto di “ prova” e
sostituiamo le sue coordinate nella disequazione
si ha:
0 – 6*0 + 5 – 0 > 0 ; quindi verifica la disequazione.
Si conclude dicendo che:
L’insieme delle soluzioni della disequazione è rappresentato
da una delle due parti in cui la parabola divide il piano, ed
esattamente dalla parte contenente l’origine ( la parte di
piano colorata nella figura della pagina successiva).
5
3
-4
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
L’insieme delle soluzioni di un sistema di due o più
disequazioni in due incognite è dato dalle soluzioni comuni alle
disequazioni del sistema.
Per risolvere un sistema di disequazioni bisogna:
- risolvere le singole disequazioni che lo compongono
- rappresentare le soluzioni nel piano cartesiano
- determinare le intersezioni delle soluzioni delle singole
disequazioni.
Esempio:
Risolvere il seguente sistema di disequazioni:
x+2y-20
x-y+40
Si risolvono separatamente le due disequazioni (vedi
disequazioni lineari in due incognite) e si rappresentano le
soluzioni nel piano cartesiano.
Le soluzioni della prima disequazione del sistema:
x+2y-2 0
sono:
y
O
1
2
x
Le soluzioni della seconda disequazione del sistema:
x-y+40
sono date dai punti del seguente semipiano:
y
4
O
-4
x
L’ intersezione dei due precedenti semipiani rappresenta la
soluzione del sistema
y
4
1
O
-4
2
x
1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo
graficamente: a) z = x2-y;
b) z = 2x+3x2-2y+4
x 2 - y2
c) z =
x2
x 2 + y 2 + 3xy
d) z =
x 2 + y2
1
f) z =
x+y
x - 3y
g) z = 2 2
x -y
2
e) z =
xy
h) z =
x + 7y
x 2 + y 2 - 6x + 4y - 12
2. Il dominio della funzione z = log( y - x 2 + 1)
è dato da:
 L’insieme di tutti i punti del piano
 L’insieme di tutti i punti del piano escluso l’origine
 L’insieme dei punti del piano “sopra” la parabola con vertice nel punto
(0,-1) e concavità rivolta verso l’alto
 L’insieme dei punti del piano “sotto” la parabola con vertice nel punto
(0,-1) e concavità rivolta verso l’alto
3. Data la funzione f(x,y) = (2x + y)2 - 4

h2 - 4h

h2 + 4h +8

h ( h + 4)

h2 + 4h - 8
f(-1; -h) è uguale a:
4. Il dominio della funzione
2x
z= 2
x + y2 + 9
è dato da:
 L’insieme di tutti i punti del piano
 L’insieme di tutti i punti del piano escluso l’origine
 L’insieme dei punti del piano interni alla circonferenza con centro
nell’origine e raggio 3
 L’insieme dei punti del piano che non appartengono alla circonferenza
con centro nell’origine e raggio 3
5. Il dominio della funzione z = 16 - x 2 - y 2
è dato da:
 L’insieme di tutti i punti del piano
 L’insieme di tutti i punti del piano escluso l’origine
 L’insieme dei punti del piano interni alla circonferenza con centro
nell’origine e raggio 4
 L’insieme dei punti del piano esterni alla circonferenza con centro
nell’origine e raggio 4
Soluzioni
1. a) e b) l’insieme di tutti i punti del piano, c) x0 (tutti i punti del
piano esclusi i punti dell’asse y) d) tutti i punti del piano escluso
l’origine e) tutto il piano esclusi i punti appartenenti agli assi
coordinati f) tutto il piano esclusi i punti della bisettrice del secondo e
del quarto quadrante g) tutto il piano esclusi i punti delle due bisettrici
h) tutti i punti del piano esterni alla circonferenza con centro nel punto
C(3, -2) e raggio 5
2. L’insieme dei punti del piano “sopra” la parabola con vertice nel
punto (0,-1) e concavità rivolta verso l’alto.
3. h ( h + 4)
4. L’insieme di tutti i punti del piano
5. L’insieme dei punti del piano interni alla circonferenza con centro
nell’origine e raggio 4