Metodi di proiezione per
equazioni integrali di
Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita e G. Mastroianni
Università degli Studi della Basilicata
Equazioni Integrali: recenti sviluppi
numerici e nuove applicazioni
Parma, 27-28 Settembre 2007
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie
Definendo l’operatore
L’equazione (1) può essere riscritta come segue
operatore identico
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In [C. Frammartino, C.L., G. Mastroianni]
l’equazione (1) è studiata nello spazio
Noi studiamo l’equazione (1) in
con
e
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Notazioni e risultati preliminari
Siano
Funzione Peso
Spazio pesato
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Per
consideriamo lo spazio di tipo Sobolev pesato di ordine
dotato della norma
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Denotiamo con
l’insieme dei polinomi algebrici di grado al più
l’errore di migliore approssimazione mediante
polinomi algebrici di
in
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In [G. Mastroianni, J. Szabados]
per
con
numero di Mhaskar-Rachmanov-Saff
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Peso di Laguerre generalizzato
Polinomi ortonormali rispetto al peso
con coefficiente direttore positivo
Zeri di
con
numero di M-R-S
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Per un fissato
definiamo l’intero
come segue
sufficientemente grande
definiamo la funzione
funzione caratteristica dell’intervallo
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Interpolazione di Lagrange
Nodi di Interpolazione
Per
con
Polinomio interpolante di Lagrange
Polinomi fondamentali di Lagrange
sui nodi
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Consideriamo, inoltre, il polinomio interpolante la funzione troncata
rappresentabile anche nella forma
con
k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange
sugli zeri di
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Lemma Sia
e per ogni
con
. Sotto le seguenti ipotesi
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Metodi numerici
Posto
il nostro scopo è costruire una successione di polinomi che converga
alla soluzione
dell’equazione integrale
in qualche opportuno spazio di funzioni
.
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1) Introduciamo il sottospazio di
Osserviamo che
l’operatore
è un proiettore sul sottospazio
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2) Consideriamo gli operatori approssimanti l’operatore
e
Ovviamente
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3)
Poniamo
con
Osserviamo
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4) Calcoliamo la soluzione
finito-dimensionale
dell’equazione
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A tale scopo risolviamo il sistema lineare di
nelle
equazioni
incognite
con
k-esimo numero di Christoffel
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Il sistema lineare è equivalente all’equazione finito dimensionale
nel senso che
Fissato
è soluzione del sistema
è soluzione dell’equazione
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Teorema 1


e
tali che
è l’unica soluzione dell’equazione

in
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
tale che
e
con

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Per ogni



sufficientemente grande
il sistema
la matrice
ha un’ unica soluzione
del sistema
il corrispondente polinomio
soddisfa la stima
verifica
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Nel caso di pesi e nuclei non standard, per costruire la matrice
insorgono difficoltà di carattere computazionale
Infatti è necessario calcolare i nodi
Per
(caso Laguerre)
Nel caso generale,
e i numeri di Christoffel
utilizziamo la routine gaussq
non sono note
relazioni di ricorrenza valide per i polinomi ortonormali
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Osservazioni
 Poiché
con
m-esima funzione di Christoffel
relativa al peso
procedure numeriche alternative si ottengono sostituendo ovunque
con
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 Metodo di Nyström
Una conseguenza del Teorema 2 è la stabilità del metodo
di Nyström basato su una formula di quadratura
Gaussiana troncata [G. Mastroianni, G. Monegato].
Esso consiste nel
1. calcolare la soluzione
2. applicare la seguente
del sistema
Formula d’interpolazione di Nyström
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Teorema 2
Sotto le ipotesi del Teorema 1 si ha
con
.
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Esempi numerici
Esempio 1
La soluzione esatta è nota,
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Esempio 2
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Grafico di
per
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Esempio 3