Onde piane nel vuoto
Equazione delle onde nel vuoto
H
  E   0
t
  H  0
E
t
E  0
H  0
  H
2 E
    E   0
  0 0 2
t
t
    E    E  2 E  2 E
2
2
2



2  2  2  2
x
y
z
Equazione delle onde nel vuoto
1 E
 E 2 2 0
c t
2
2
1
c
 0 0
 310 [m/s]
8
Analogamente, eliminando E si trova
1 H
 H 2 2 0
c t
2
2
Onde piane uniformi nel vuoto
2 E 2 E 2 E 1 2 E
 2  2  2
0
2
2
x
y
z
c t
Ex Ey Ez


0
x
y
z
( = x, y, z)
Studiamo l’evoluzione spazio-temporale di un generico
campo dinamico che non dipende né da x né da y.
.
2 E 1 2 E
 2
0
2
2
z
c t
Ez
0
z
( = x,y,z)
equazione di D’Alembert
Soluzione dell’equazione di D’Alembert
E  f (z  ct)  g (z  ct)
 f , g
funzioni arbitrarie  C1 
Le funzioni f e g rappresentano un moto
ondulatorio, che si propaga nei due versi di z alla
velocità della luce
f (z  ct)
t=0
0
t>0
z
ct
g (z  ct)
t>0
t=0
ct
0
z
Effetto della condizione
Ez
0
z
Ez  fz (z  ct)  gz (z  ct)
fz gz
0

 f z  gz
z z
Ez  fz  gz  cost.
Poiche siamo interessati solo a soluzioni dinamiche poniamo
Ez  0
Ex  fx (z  ct)  gx (z  ct)

E  E (z  ct)  E (z  ct)
Ey  f y (z  ct)  gy (z  ct)
fx
x
y

E
z
fy
La soluzione dell’equazione
delle onde relativa al campo
magnetico ha forma analoga.


H  H (z  ct)  H (z  ct)
L’evoluzione spazio-temporale del campo elettromagnetico è di
tipo ondulatorio.




Le onde rappresentate da E ,H ed E ,H si propagano alla
velocità della luce, senza deformarsi, nella direzione dell’asse z,
nel verso positivo e negativo, rispettivamente.
Tali onde sono piane e uniformi, perche il campo assume
simultaneamente gli stessi valori sui piani perpendicolari alla
direzione di propagazione.
Le onde qui trovate sono Trasversali Elettriche e Magnetiche
(TEM), perché E e H sono trasversali rispetto alla direzione
di propagazione.

Relazione fra E e H


H
  E    0
t

  ẑ
z


H

(il campo
non dipende da x e y)
ẑ  E considerato
  0
z
t


H 
H  (z ct)
H 

 c
t
(z ct) t
(z ct)
E 
E  (z ct)
H 


z
(z ct) z
(z ct)

(z
ẑ  E

ct)
ẑ  E 

0 cE   0
0 cH   cost.  0

Relazione fra E e H

H 
 ẑ  E
0

0

0
0 c 
 377 
0
Nelle onde piane uniformi nel vuoto il campo elettrico e il
campo magnetico hanno esattamente lo stesso andamento
spazio-temporale.
I due campi sono sempre perpendicolari l’uno all’altro.
La direzione di propagazione, il campo elettrico e il
campo magnetico costituiscono una terna destra.
Onda non polarizzata
x
y
z
E
ẑ
0 H 
Vettore di Poynting



S E H 

E    ẑ  E 

0
A  B  C  B A  C  C A  B 


E   ẑ  E

S   ẑ
E

  ẑ E

E


E

E


 ẑ   ẑ E
 2
 2
0
o anche
S   ẑ 0 H

 2
Se sono presenti entrambe le onde si può mostrare facilmente che

S S S

Questo risultato
non
è ovvio !
In un mezzo lineare, come il vuoto, i campi si sommano mentre
non è generalmente lecito sommare le grandezze energetiche,
che dipendono dal prodotto di campi.
Densità di potenza
A
x
z
y

w  W W

W 
E
A
potenza netta transitante attraverso
l’area A, perpendicolare alla direzione
di propagazione.
 2
0
 0 H
 2
densità di potenza di un’onda piana
uniforme nel vuoto [W/m2]